代数结构-同态与同构

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同构及同态在代数中的应用论文

同构及同态在代数中的应用论文同构及同态在代数中的应用摘要：在近世代数的主要内容是研究所谓代数系统，即带有运算的集合，而在近世代数中同态与同构又是其一等重要的概念，在近世代数中有重要的作用。

在不同的代数系统中同态成为同构的条件不同，本文给出了同态成为同构的条件，论述了同构在不同代数系统上的一些应用，从中说明了同态与同构的重要性。

关键词：同态；同构；群；环1 代数系统的同态与同构1.1同态映射及同态的定义一个A到A的映射φ，叫做一个对于代数运算和来说的，A到A 的同态映射，假如，在φ之下，不管a和b是A的哪两个元，只要→→，b ba a就有a b a b→定义1：假如对于代数运算和来说，就有一个A到A的满射的同态映射存在，我们就说，这个映射是一个同态满射，并说，对于代数运算和来说，A与A同态。

定义2: 我们说，一个A与A间的一一映射φ是一个对于代数运算与来说的，A与A间的同构映射（简称同构），假如在φ之下，不管a，b是A的哪两个元，只要→a a→，b b就有a b a b→1.2同态与同构的联系1）从定义上看2）一个无限集可以与它的子集同态或同构，但一个有限集只能与它的子集同态而不能同构关于代数系统的同态有以下定理：定理1 :假定，对于代数运算和来说，A与A同态。

那么，（1）若适合结合律，也适合结合律；（2）若适合交换律，也适合交换律。

定理2:假定，?，⊕都是集合A 的代数运算，?，⊕都是集合A 的代数运算，并且存在一个A 到A 的满射φ，使得A 与A 对于代数运算?，?来说同态，对于代数运算⊕，⊕来说也同态。

那么，（1）若?，⊕适合第一分配律，?，⊕也适合第一分配律；(2)若?，⊕适合第二分配律，?，⊕也适合第二分配律。

2群的同态与同构2.1群的同态与同构定义定义3：给定群(),G 和群(),G ?称集G 到集G 的一个映射φ：G G →是群G 到群G 的一个同态映射（简称同态），如果对任意a ，b ∈G ，有()()()a b a b φφφ=? 当φ是单（满）射时，称φ为单（满）同态；当φ是一一映射时，称φ为G 与G 间的同构映射（简称同构，记为G G ?）；当φ是群G 到群G 得一个同态时，令ker φ={x G ∈|()x e φ'=，e '是G 的单位元}，称之为φ的核。

离散数学-第2讲-同态与同构ppt课件.ppt

*abcd aabcd bbbdd ccdcd ddddd
*0123
00110 11121 21232 30123
可以验证在函数h: S→S′中，其中h(a)=0, h(b)=1, h(c)=0, h(d)=1，保持运算。因此, h: S→S′是A到B的同态。
二、同态代数的性质
例2：设S = {a, b, c, d}, S′={0, 1, 2, 3}, 代数A=<S, *>和B=<S′, >由* 下表定义:
一、同态与同构
同构定义:
设A=<S, *, △, k>和A′=<S′, *′, △′, k′>是同构的, 如果存在一双射函数h，使
(1) h: S → S′；
(2) h(a*b) = h(a) *′h(b)； (3) h(△a) = △′h(a)；
在h作用下，A的每一运算都保持，简称为运算保持
f 0表示A上的恒等函数；f 1表示f；f 2表示合成函数f·f；f 3表示f 2·f； f 4表示 f 3·f；则f 4=f 0。设F={f 0, f 1, f 2, f 3}, 则代数<F, ·, f 0>可以用左下方的运算表给定, 这里f 0是么元。集合N4={0, 1, 2, 3},+4是模4加法,代数<N4,+4,0>用右下方的运算表给定, 这里0是么元。
(1)
p=h(x)=h((x-1)+1)=h(x-1)·h(1)
(2)
但因为p是一质数, 唯一的因子是p和1, 根据(1), h(x)=1或h(0)=1; 根据(2), h(1)=1或h(x-1)=1。
因为0＜1≤x-1＜x, 所以，在映射h下, 1至少是两个元素的象, 得出h 不是双射函数,因此< N, +>和< I+, ·>不同构。

6.5---同构及同态PPT课件

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4
证明
(1) 因为G非空，显然G′非空. (2)设a’∈G′，b’∈G′，往证a’b’∈G′。
因有a,b∈G,使得 a’=σ(a), b’=σ(b)，
故按σ的同态性， a’b’= σ(a)σ(b)=σ(ab)，
而ab ∈G, 因而a’b’∈G′。
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5
(3) 往证G′中有结合律成立：设a’ ，b’，c’∈G，往证a’ (b’ c’)=(a’b’)c’。有a,b,c∈G,使得 a’ =σ(a),b’=σ(b),c’=σ(c)，因群G中有结合律成立,所以a(bc)=(ab)c。于是
……
用⊕表示陪集间的加法，则
1 ⊕4 =(1+N)⊕(4+N)=(1+4)+N=N= 0 ，
G 在陪集加法下是一个群，若命σ：a→a+N，
则σ是G到 G 上的同态映射,且σ的核就是N。
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21
第三同态定理
定理6.5.4 设σ是G到G′上的一个同态映射，
若σ的核为N，则G′ G/N。 ❖例. 设G是整数加法群，
σ：x→x（mod 5），x∈G ，则 G′=σ（G）={0，1，2，3，4} 是模5的加法群，σ是G 到G′上的同态映射。 σ的核为N=5G，
G∕N =={ ,0 ,1 ,2 ,3 }4，则G′G∕N。
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22
证明
因为G′的元素和G∕N的元素一一对应，设在这个一一对应之下，G′的元素a′和b′分别对应G∕N的元素aN 和bN，其中a′=σ（a），b′=σ（b）：
b∈σ-1(a’)iff σ（b）=a′
iff σ(b)(a′)-1=1′
iff σ(b)(σ(a))-1=σ(ba-1)=1’

代数系统间的同构与同态

则称A和B是两个同类型的代数系统。
例3 < I, ＋,×> 和< 2X,∩,∪>是两个同类型的代数系统，因为这两个代数系统都具有两个运算，且＋和∩都是二元运算， ×和∪也都是二元运算。
定义2 设< X，f >和< Y，g >是两个代数系统，f 和 g 分别是 X 和 Y 上的 n 元运算。若存在一个函数 h：X→Y，使得 ( x1,x2,…,x n ) X n ，有 h (f(x1,x2,…,x n ))=g(h(x1),h(x2),…,h(x n)) ①
则称函数 h 对 f 和 g 保持运算，同时称①式为同态公式。
❖ h对 f 和 g保持运算的含义是指在 h 的作用下，元素运算结果的象等于元素象的运算结果。
❖ 当 h 对 f 和 g 保持运算时，也称 h 满足同态公式。
2.2 代数系统间的同构关系
定义3 设 A= < X,f1,f2,···,fm > 和 B= < Y,g1,g2, ···,g m > 是两个同类型的代数系统。若存在一双射函数 h：X→Y，对于A 和B 中的每一对相应的运算fi和gi(i=1,2,…,m)满足同态公式，则称 h 是从 A 到 B 的同构函数，同时称 A 和 B 同构。
定理1 代数系统间的同构关系R是X上的等价关系, 其中 X=｛A | A是代数系统}。由等价关系的定义知要证R是 1）自反的； 2定义4 设A1= < X,f1,f2,···,fm> 和A2= < Y,g1,g2, ···,gm> 是两个同类型的代数系统。若存在函数h：XY，对A1 和A2 中每一对相应的运算满足同态公式，则称 h 是从 A1到 A2的同态函数，并称< h(X),g1,g2, ···,gm> 是A1的同态象。

同态和同构

①τ1，τ2是一一变换，则τ1τ2也是 ② 结合律 ③ 左单位元 ④τ是一个任意的一一变换，则有τ-1：（第一章） τ-1：
1
aa
1
假如
1
(a
) a
所以τ-1τ：
a (a ) a
τ-1τ= ε
定义：一个集合A的若干个变换对于以上规定的乘法作成的一个群叫做A的变换群。此群的元素不是数
e：g ge g 是G的恒等变换，
由定理一，G 是G的一个变换群。这样 G与G的一个变换群G 同构。
习
题
课
例1，举一个有两个元的群的例。
例2，设G是有限群，则G中元素的阶都有限例3，设G为群，试证 n Z及a, b G, 有(aba-1)n = abna-1 例4，设G为群， , b G, a e且a 4b ba 5，证明：ab≠ba a 例5，G为交换群的充要条件是对任意a,b∈G,有
§8.2 同态和同构
定义1：设G,G’是两个群， G上:o G’上:⊙ ，f：G → G’
如果对任意的a,b∈G,都有 f（aob）=f(a)⊙ f(b) 则称f为G到G’的一个同态。进一步
满同态：如果f是满射；单同态：如果f是单射；同构：如果f是一一对应的。
例1，
A={所有整数}， B={1，-1}, A:+， f1：a → 1 ， f2：a → -1 f3：奇a → -1 , 偶a → 1
定理3不是说，除了全体一一变换所作成的集合外，
没有其它的变换群存在。
例5 A={平面上所有的点}， G={所有绕原点o的旋转} 则G是一个变换群。
证明：用τθ 表示转θ角的旋转，有
I. G是闭的 Ⅱ. 结合律 IV. ε = τ0∈G V. τθ = τ-θ

400浅谈代数系统上的同态与同构

400浅谈代数系统上的同态与同构何东东(陕西理工学院数学与计算机科学学院数教专业11级1班，陕西汉中 723000)指导教师:郑红梅[摘要] 同态与同构是代数学中最重要,最基本的概念之一.本文通过总结同态与同构在各个代数系统上的一些应用,说明它们在代数学中的重要性.[关键词] 半群;群;环;格;同态;同构1 预备知识同态、同构是代数学中的重要概念,它们是研究群、环等代数系统的重要手段.同态是保持代数系统结构的映射,同态是同构的推广.同态与同构是代数学中最重要,最基本的概念之一.本文通过总结同态与同构在各个代数系统上的一些应用,说明它们在代数学中的重要性.下面首先对同态与同构的相关概念进行简单介绍.定义1.1]1[设集合A 到A 各有代数运算和 ,且ϕ是A 到A 的一个映射.如果ϕ保持运算，即对A 中任意元素a ,b ,在ϕ之下由a a →,b b →总可得b a b a →,亦即b a b a =或)()()(b a b a ϕϕϕ =,则称ϕ为代数系统A 到A 的一个同态映射,若ϕ又是满射,则称ϕ为同态满射.如果A 到A 存在同态满射,则简称A 与A 同态,记为A A ~.定义 1.2]1[设ϕ是A 到A 的一个(关于代数运算及 )同态满射.如果ϕ又是单射(即ϕ是双射),则称ϕ是A 到A 的一个同构映射.如果A 到A 存在同构映射,就说A 与A 同构,记为A A ≅.否则,即若A 到A 不存在任何同构映射,则称A 与A 不同构.A 到自身的同态映射,称为A 的自同态映射,简称A 的自同态.同样,A 到自身的同构映射,叫做A 的自同构映射,简称A 的自同构.定义1.3]2[设(S ,≤)是序列集,S T ⊆.如果存在S u ∈,使得)(T t u t ∈∀≤,则称u 为T 的一个上界.如果T 的一个上界u 具有如下的性质:对于T 的任一上界u ',都有u u '≤,则称u 为T 的一个最小上界,记为lub T .如果存在S l ∈使得)(T t T l ∈∀≤,则称l 为T 的一个下界.如果T 的一个下界l 具有以下性质：对于T 的任一个下界l ',都有l l ≤',则称l 为T 的一个最大下界,记为glb T .S 的上界和下界(如果存在,显然唯一)分别称为幺元和零元,记为1和0.由偏序的反对称性可知:偏序集中任意指定的两个元素的最小上界和最大下界有唯一性(如果它们存在).设），（≤L 是一个偏序集,如果L 中的任意两个元素都有最小上界和最大下界,则称），（≤L 是一个格.只含有有限多个元素的格称为有限格,否则称为无限格.定义 1.4]2[设R 是幺环,M 是一个交换群,如果映射(称R 在M 上的作用)M M R →⨯,ax x a ),(.满足下列条件:(1);,,,)(M y x R a ay ax y x a ∈∈∀+=+(2);,,,)(M x R b a bx ax x b a ∈∈∀+=+(3);,,),()(M x R b a bx a x ab ∈∈∀=(4),,1M x x x ∈∀=则称M 为环R 上的一个左模,或左R 模.如果将(3)改为;,,),()(R b a M x ax b x ab ∈∈∀=其余条件不变,则称M 为环R 上的一个右模,或右R 模.理论上讲,右模和左模没有本质的区别.如果M 为环R 上的一个右模,令R '为R 的反同构的环,则M 构成R '上的左模,当然,若R 是交换环,则R 上的左模和右模没有区别.定理1.1]3[设代数系统),( A 和)( ，A 同态，则（1）若适合结合律, 也适合结合律;（2）若适合交换律, 也适合交换律.定理 1.2]3[设⊗,⊕为集合A 的代数运算,⊗,⊕为集合A 的代数运算,且存在A 到A 的满射φ,使得A 与A 对于代数运算⊗,⊗来说同态,对于代数运算⊕,⊕来说也同态,那么（1）若⊗,⊕适合第一分配律,⊗,⊕也适合左分配律;（2）若⊗,⊕适合右分配律,⊗,⊕也适合右分配律. 2 主要内容下面将分别讨论群,环,格,模上同态同构在其中的应用以及比较它们在同态同构中的不同.2.1 群同态与同构定义2.1.1]4[设G 是一个非空集合, 是它的一个代数运算,如果满足以下条件:(1)结合律成立,即对G 中任意元素c b a ,,都有)()(c b a c b a =;(2)G 中有元素e ,叫做G 的左单位元,它对G 中每一个元素a 都有a a e = ;(3)对G 中每一个元素a ,在G 中都有元素1-a ,叫做a 的左逆元,使e a a =- 1;则称G 对代数运算为一个群.定义 2.1.2]4[设G 和1G 是群,映射1:G G →ϕ称为由G 到1G 的群同态,如果ϕ保持群运算,即∀G b a ∈,,都有)()()(b a ab ϕϕϕ=.如果ϕ为单(满)射,则称ϕ为单(满)同态.定义 2.1.3]4[既单又满的同态称为同构.如果存在由G 到1G 的一个同构,则称G 同构于1G ,也说G 和1G 是同构的,记为1G G ≅.群G 到自身的同态及同构具有重要的意义,称之为群G 的自同态和自同构.)(End G 表示G 的全体自同态构成的集合,)(Aut G 表示G 的全体自同构构成的集合.对于映射的乘法,)(End G 构成一个有幺元的半群,而)(Aut G 构成一个群,称为G 的自同构群.定义2.1.4]4[像通常的映射一样,)(G ϕ称为ϕ的像,记为ϕim .又将1e 的原像称为ϕ的核,记为ϕker ,即})(|{ker 1e a G a =∈=ϕϕ.定理2.1.1]4[设1:G G →ϕ是群同态.则ϕϕim G ≅ker /.证明记H =ϕker ,定义映射,im /:ϕψ→H G ).(a aH ϕ验证ψ是良定义的,即)(aH ψ与陪集代表a 的选取无关.如果bH aH =,即aH b ∈,则存在H h ∈使得ah b =.故)()()()()()()(aH a h a ah b bH ψϕϕϕϕϕψ=====,即ψ良定义.下面证明ψ是群同构，也就是证明ψ是单射,并且ψ也是满射.)()()()()()()))(((bH aH b a ab abH bH aH ψψϕϕϕψψ====,所以ψ是群同态.又设1)(e aH =ψ(1G 的幺元),即1)(e a =ϕ,故H a ∈,即)/(的幺元H G H aH =,所以ψ是单射.最后设ϕim g ∈,则存在G a ∈使得g a =)(ϕ.于是g a aH ==)()(ϕψ,这说明ψ必是满射.所以ψ同构.定理 2.1.2]3[设G 是一个群,G 是一个代数运算(也称为乘法)的集合.如果G G ~,那么G 也是一个群.证明因为G G ~,G 是群,其乘法满足结合律,故由定理1.1得,G 的乘法也满足结合律.设e 是群G 的单位元,a 是G 的任一元素,又设ϕ是G 到G 的满同态,且在ϕ之下e e →，a a → 于是a a e =,但是a ea =,故a a e = ,即e 是G 的单位元.又设1-a →1-a,则a a a a 11--→.但是e a a =-1,故e a a =-1,即1-a 是a 的逆元.因此,G 也是一个群. 本定理的意义在于,要验证一个集合G 对所指的代数运算作成群时,可找到一个已知群,并通过同态来实现.定理 2.1.3]4[设ϕ是群G 到群G 的一个同态映射(不一定是满射),则群G 的单位元的像是群G 的单位元,G 的元素a 的逆元的像是a 的像的逆元,即11--=a a 或11)()(--=a a ϕϕ.应该注意,如果集合G 与G 各有一个代数运算,且G G ~,则当G 为群时,G 却不一定是群.例 1 令G ={全体正负奇数},代数运算为数的普通乘法;又}1,1{-=G 关于数的普通乘法作成群,令ϕ:正奇数1→,负奇数-1→.则易知ϕ是G 到G 的一个同态满射,故G G ~.G 是群,但G 却不是群.当然,若G 与G 为各有一个代数运算的代数系统,且G G ≅,则当G 与G 中有一个是群时,另一个必然是群.例2 设G 是一个群,N 是G 的正规子群.令G a aN a f ∈∀=,)(.显然f 是群G 到商群N G 的满同态,这个满同态称为群G 到商群N G 的自然同态.定理2.1.4]4[设是G 到G 的同态映射(不一定是满映射),则1）当G H ≤时,有G H ≤)(ϕ且H ～)(H ϕ;2）当G H ≤时,有ϕG H ≤)(-1ϕ,且在ϕ之下诱导出)(-1H ϕ到H 的一个同态映射. 证明 1）任取a ,b ）（H ϕ∈且在ϕ之下令a a →,b b →.其中H b a ∈,.由于G H ≤,故H ab ∈,且b a ab →. 从而)(H b a ϕ∈,即）（H ϕ对G 的乘法封闭,且 )(~H H ϕ.但H 是子群,从而)(H ϕ也是群且是G 的子群.2）当G H ≤时,由于)(-1H ϕ显然非空,任取)(,1H b a -∈ϕ,且在ϕ之下令a a →,b b →则11--→b a ab ,其中,H b a ∈，.而G H ≤,故H b a ∈-1,从而1-b a )(-1H ϕ→,即G H ≤)(-1ϕ且显然ϕ诱导出)(-1H ϕ到H 的一个同态映射.定理2.1.5]3[群G 到群G 的同态映射ϕ是单射的充要条件,群G 的单位元e 的逆象只有e .证明必要性显然,下证充分性.设ϕ是群G 到群G 的任一同态映射,且在ϕ之下e 的逆象只有e .又设在ϕ之下a a →,b b →,当b a ≠时,必有b a ≠:又若b a =,则由于e b a ab =→--11,故b a e ab ==-,1,矛盾.因此,ϕ是单射. 定理 2.1.6]3[设f 是群G 到G '的一个满同态.若N 是G 的正规子群,则)(N f 是G '的正规子群.证明设N 是G 的正规子群,可得,)(N f 是G '的子群.对于任意的)(N f n ∈'和任意的G a '∈',去N n ∈和G a ∈,使得n n f '=)(,a a f '=)(. 于是,有 )()())()(()()(111N f ana f a f n f a f a n a ∈=='''---,所以)(N f 是G '的正规子群.性质1]4[任何群G 与自身同构;证明首先,对于任何群G ,单位变换G I 就是G 到自身的一个同构,因此G G ≅.所以性质成立.性质2]4[若群1G 与群2G 同构,则群2G 与群1G 同构;证明 1G 和2G 是两个群,并且1G 2G ≅,我们有b a b a f f ''=''-))((1,b a b f f a f f b f a f f ''=''=''----))(())(())()((1111,从而)()()(111b f a f b a f ''=''---.因此1-f是群2G 到群1G 的同构,从而12G G ≅,所以性质成立.性质3]4[若群1G 与群2G 同构,群2G 与群3G 同构,则群1G 与群3G 同构;证明假设1G ,2G 和3G 都是群,并且21G G ≅,32G G ≅,不妨设f 是群1G 到2G 的同构,g 是群2G 到3G 的同构.容易验证,gf 是群1G 到3G 的同构,因此31G G ≅,所以性质成立.定理2.1.7]2[设G 是一个群,N 是G 的正规子群.（1）若H 是G 的子群,则 N HN N H H )()(≅ .（2）若H 是G 的正规子群且H N ⊆,则H G N H H G ≅)()(.推论2.1.8]4[设1:G G →ϕ是群同态,则ϕϕim G ≅ker /.定理2.1.9]4[(Cayley 定理)任何一个群都与某个变换群同构.证明设G 是群.对与每一个G a ∈,定义G 的变换a σ如下： G x ax x a ∈∀=,)(σ.显而易见,a σ是G 的一一变换. 令{}G a G a ∈='σ.下面我们来阐明G '是G 上的一个变换群. 事实上,显然,我们有G I e G '∈=σ.此外对于任意的a σ,G b '∈σ,我们有)())((x abx x ab b a σσσ==,)())((11x I x x aa x G a a ===--σσ, )())((11x I x ax a x G a a ===--σσ,G x ∈∀,从而,G ab b a '∈=σσσ,G a a a a I ==--σσσσ11,所以,G '是G 上的一个变换群.现在考察由下式定义的G 到G '的映射fa a f σ=)(,G a ∈∀.显而易见,f 是满射.对于任意的G b a ∈,我们有b a b f a f σσ=⇒=)()( b a e e b a =⇒=⇒)()(σσ.因此f 是单射,从而,f 是双射.此外,我们有)()()(b f a f ab f b a ab ===σσσ,G b a ∈∀,.所以f 是G 到G '的同构,从而G G '≅.推论2.1.10]4[任何一个有限群都与某个置换群同构.2.2 环同态与同构由于环是有加,乘两种运算的代数系统,因此,定义同态映射时必须同时保持加,乘的同态性.定义2.2.1]5[设R 是一个环,S 是有加法和乘法的两种运算的代数系统,称R 到S 中的一个映射σ是环R 到S 中的一个同态映射,如果 )()()(b a b a σσσ+=+,)()()(b a ab σσσ=.若R 到R '上有一个同态映射,则称R 到R '同态,记为R ～R '.定义 2.2.2]5[如果σ是环R 到R '的一个同态映射,并且σ又是双射时,则称σ为环R 到R '的一个同构映射,当R 与R '之间存在同构映射时,称环R 与R '同构,记为R R ≅,特别的,当R R =时,称σ为环的一个自同构.定理2.2.1]5[设R 是一个环，S 是一个有加法和乘法的运算系统,若σ是R 到S 中的同态映射,则)(R R σ='也是一个环;)0(σ为R '的零元0';)()(a a σσ-=-;若R 有幺元而R '不止有一个元素,则R '有幺元且,σ（1）就是R '的壹1'；若R a ∈可逆,则)(a σ在R '中可逆而且)(1-a σ就是1)(-a σ.设σ是R 到R '上的同态映射,R '的零0'的逆映像)0(1'-σ叫σ的核.定理2.2.2]5[(环同态基本定理)设R 和R 是两个环,且R R ~.则1）这个同态的核N ,即零元的全体逆像,是R 的一个理想;2）R N R ≅/证明设ϕ是环R 到环R 的一个同态满射.1)易知,核N 首先是环R 的一个子加群;其次,设R r N a ∈∈,,则r r a →→,0.于是在ϕ之下有00,00=→=→r ar r ra ,故N ar ra ∈,,即N 是R 的理想.2)令)(:a N a ϕσ→+,则由群同态基本定理知,作为加群,σ是N R /到R 的一个同构映射.又由于N ab N b N a +=++))((,而)()()(b a ab ϕϕϕ=,因此σ是N R /到环R 的一个同构映射,从而R N R ≅/.此定理表明,在同构意义下,每个环能而且只能与商环同态.推论2.2.3]6[设1:R R →ϕ是环同态,则1ker /R R ≅ϕ.定理 2.2.4]6[同态映射σ的核N 是R 的理想,设a '是R '的任意元素,则a '的逆映像})({)(1a a R a a '=∈='-σσ是N 的一个剩余类.证明因为σ是R 的加法群到R '的加法群上面的一个同态映射,所以σ的核)0(1'=-σN 是R的一个子群,且a '的逆映象)(1a '-σ是模N 的一个剩余类.现在再证N 做成理想.即证：若N a ∈，R x ∈,则N ax ∈,N xa ∈,事实上,0)()()('==x a ax σσσ,故N ax ∈,同样可证N xa ∈.对于R 的任意理想N ,是否有一个环R '而且有R 到R '的一个同态映射σ使N 刚好就是σ的核呢?答案也是肯定的.由群中已证的结果,模N 的所有剩余类按照剩余类的加法作成一个加法群,就是R 对于N 的商群N R ,规定N a a +=)(σ,即N a a +→:σ这样规定的σ便是群R 到群N R 上的一个同态映射,其核为N .规定剩余类的乘法,以使σ成为环R 到系统N R 上的同态映射.设A ,B 是N 的两个剩余类,任取A a ∈，B b ∈,规定包含ab 的剩余类N ab C +=为A 与B 的积,而AB C =,))((N b N a N ab ++=+.若另取A a ∈',B b ∈',则包含a 'b '的剩余类和包含ab 的剩余类是一样的,可见上面的乘法规定由A ，B 完全确定,与b a ,的选择无关.由σ的定义,N a a +=)(σ,N b b +=)(σ,N ab ab +=)(σ.但由上面的剩余类乘法的定义,))((N b N a N ab ++=+,故)()()(b a ab σσσ=.所以,σ是环R 到运算系统N R 上的一个同态映射.因此,N R 是一个环,于是有：定理 2.2.5]7[按照上述剩余类的加法和乘法,R 对于理想N 的所有剩余类的集合N R 是一个环,规定N a a +=)(σ,则σ是R 到N R 上的一个同态映射,其核为N .N R 叫做R 对于N 的剩余环,前面定理所说的加法和乘法的同态性,其实是说剩余环N R 中的加法和乘法运算可由剩余类中的任意元素来确定,剩余类的运算与其中元素的特殊选择无关.剩余环N R 有了这加法和乘法两种运算,就与环R 同态.定理 2.2.6]7[(第一同构定理)设R 是环,是R 的理想,则在自然同态I R R /:→π,I r r + .下,(1)R 的包含I 的子环与I R /的子环一一对应.(2)在此对应下,理想对应理想.(3)若J 是R 的理想且I J ⊇,则)/)(/(/I J I R J R ≅.定理 2.2.7]7[(第二同构定理)设R 是环,I 是R 的理想,S 是R 的子环,则(1)I S ⋂是S 的理想.(2))(/)(I S S I S I ⋂≅+.定理 2.2.8]8[若σ是环R 到R '上的一个同态映射,其核为N ,则R '与N R 同构：R '≅N R .证明设a '是R '的任意元素,则)(-1a 'σ是N 的一个剩余类A .规定R '的a '和这个N R 的A对应.这样,我们规定了R '到N R 上的一个一对一映射τ,τ：N R R /→',a ' A .下面证明τ是同构,即证明：若R b a '∈'',,则)()()(b a b a '+'='+'τττ,)()()(b a b a ''=''τττ. 事实上,若A a =')(σ,B b =')(τ,即N a A a +=='-)(1τ,N b B b +=='-)(1σ,其中,A a ∈B b ∈,则因b a b a '+'=+)(σ,b a ab ''=)(σ,故 N b a b a ++='+'-)(1σ,N ab b a +=''-)(1σ,B A b a +='+'-)(1σ,AB b a =''-)(1σ.于是)()()(b a B A b a '+'=+=''ττσ,)()()(b a AB b a ''==''τττ.故τ是R '到N R 上的一个同构对应.定理 2.2.9]8[设环R 同态于R '：R R '~于是R 与N 间的子环与R '的子环一一对应,大环对应大环,小环对应小环,理想对应理想.2.3 其他代数系统上的同态与同构定义 2.3.1]9[(模同态与同构)设M 和T 都是R 模,T M →:ϕ是映射.如果ϕ满足下述两个条件:(1)M y x y x y x ∈∀+=+,),()()(ϕϕϕ.(2)M x R a x a ax ∈∈∀=,),()(ϕϕ.则称ϕ为M 到T 的一个R 模同态.如果ϕ又是单(满)射,则称ϕ为R 模的单(满)同态.定义 2.3.2]9[如果,ϕ既单又满,则称ϕ为模同构.此时,也称为M 和T 是同构的,记作T M ≅,由M 到T 的所有R 模同态构成的集合记为),(Ho m T M R ;如果M T =,记),(Hom T M R 为)(End M R ,其元素称为M 的自同态.定义 2.3.3]10[(格同态与同构)设21:L L f →,1,L y x ∈∀有)()()(y f x f y x f ∧=∧，)()()(y f x f y x f ∨=∨则称f 为1L 到2L 的同态.如果f 是双射的,就称f 是1L <，1∨，>∧1到>∧∨<222,,L 的格同构,也称格>≤<11,L 和>≤<22,L 同构. 定理2.3.4]9[(同态基本定理)设T M →:ϕ是模同态.ϕϕim ker /→M ,)(x x ϕ是模同构,其中ϕker +=x x 是x 所代表的陪集.定理2.3.5]9[(第一同构定理)设N 为M 的子模,N M M /:→π是典范同态,则在π下的包含N 的子模与N M /一一对应,对于M 的包含N 的子模H ,有同构 )//()/(/N H N M H M →,)/()(N H x H x ++π .定理2.3.6]9[(第二同构定理)设H 和N 为M 的子模,则有同构)(/)(N H H N N H ⋂→+,)()(N H h N n h ⋂+++ ),(N n H h ∈∈∀.可以想象:环上的模的性质依赖与环的性质.环的性质越丰富,其上的模的结构就越简单.定理2.3.7]10[f 是格1L 到2L 的同态,则1,L b a ∈,)()(b f a f b a ≤⇒≤.证明 b a ≤)()()()()()()(b f a f a f b f a f a f b a f a b a ≤⇒=∧⇒=∧⇒=∧⇒.注意 )()(b f a f ≤不一定推出b a ≤.定理3.2.8]10[f 为双射.f 为格1L 到2L 的同构当且仅当)()(,,1b f a f b a L b a ≤⇔≤∈∀. 证明必要性:)()(b f a f b a ≤⇒≤显然成立,若)()(b f a f ≤成立,则)()()(a f b f a f =∧,因为f 是同构,有)()(a f b a f =∧,由单射性a b a =∧,所以b a ≤.充分性:只须证明f 是同态映射,即：)()()(b a f b f a f ∧=∧,)()()(b a f b f a f ∨=∨.b a b b a a ∨≤∨≤,)()(),()(a f b f b a f a f ≤∨≤⇒)()()(b a f b f a f ∨≤∨⇒,2)()(L b f a f ∈∨))()()((1b f a f d f L d ∨=∈∃⇒,d b d a d f b f d f a f ≤≤⇒≤≤,)()(),()()()()(b f a f b a f d b a ∨≤∨⇒≤∨⇒)()()(b a f b f a f ∨=∨∴同理)()()(b a f b f a f ∧=∧.3 小结同态只保持两个代数系统的部分性质,而同构却能使两个代数系统的结构完全相同.但同态关系比同构易建立.虽然同态比起同构有其不足，但它的确是比同构应用更广泛也更灵活的一种研究代数系统的有效方法.在我们学习的过程中应该加强它们之间的联系与区别，这对于技术人员,工程人员,高等理工科院校本科生,研究生是必不可少的基础数学知识,有着重要的学习意义以及应用价值.参考文献[1].杨子胥.近世代数[M].北京:高等教育出版社.2011.21-107.[2].赵春来,徐明曜.抽象代数Ⅰ[M].北京:北京大学出版社.2008.143-153.[3].张禾瑞.近世代数基础（修订本)[M].高等教育出版社.1978.31-48.[4] 崔亚琼.浅谈同构在代数中的应用[J].大同职业技术学院学报,2005,1(19):75-76.[5].杨子胥.近世代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社.2003.81-105.[6].张禾瑞,郝炳新.近世代数基础[M].高等教育出版社.1988.30-42.[7].刘绍学.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社.1999.45-52.[8] 杨树生.代数系统的同态与同构[J].内蒙古民族大学学报,2004,6(19):1-2.[9] J.M.Howie:An Introduction to semigroup theory[M].London:Published for the London Mathematical Society by Academic prees Inc,1975.1-156.[10] 崔亚琼.浅谈同构在代数中的应用[J].大同职业技术学院学报,2005,1(19):75-76.A T entative Discussion on the Homomorphism and Isomorphism of the Algebraic SystemDongdong He(Grade11,Class1, Major in Mathematics Education Speciality, School of Mathematics and ComputerScience, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000,Shaanxi)Tutor: Hongmei ZhengAbstract : One of the most important and elementary concept in algebra is homomorphism and isomorphism.The application of the homomorphism and isomorphism on several algebraic systems is summarized in this paper,which shows the importance on the algebra.Key words: Semigroup; Group; Ring; Lattic; Homomorphism; Isomorphism。

4.2 代数系统的同构与同态

4
第四章例设V1=<S1,o>,V2=<S2,*>,其中S1={a,b,c,d}, S2={0,1,2,3},二元运算o和*的运算表如下
o a b c d a a b c d b c d d d d d * 0 1 2 3 0 0 1 1 0 1 1 1 2 1 2 1 2 3 2 3 0 1 2 3
2
第四章定义3 设h是V1=<S1,o>,V2=<S2,*>的同态，如果 h是满射的,单射的，双射的，则称h是V1到V2的满同态，单同态，同构. 例设V=<Z,+>,给定a∈Z,令 h:Z →Z, h(x)=ax, 任意x∈Z 则h是否是V到自身的同态?如果是，称为自同态.
3
二.同态，同构定理
b c b d d c d d
定义同态h:S1→S2,且 h(a)=0,h(b)=1,h(c)=0,h(d)=1 则h是满，单，双同态？V1在h下的同态像为？非单非满同态，<{0,1},*>
5
第四章
作业： P129 1(6,8) P130 7,12,15
6
第四章
定理1 设V1=<S1,f1,f2,..,fm>和V2=<S2,g1,g2,..,gm>是两个同类型的代数系统，h是从V1到V2的同态函数，那么V1的同态像<h(S1),g1,g2,..,gm>是V2的子代数系统. 定理2 设V1=<S1,o>和V2=<S2,*>是两个代数系统，o和*是二元运算，h是从V1到V2的满同态函数，那么 (1) e, θ，x-1分别是o的单位元，零元和x的逆元，则 h(e), h(θ)，h(x-1)分别是关于*的单位元，零元和h(x)的逆元.

64 代数结构的同态与同构

f (1A1 ) =1A2 , f (0A1 ) = 0A2 , f −1( x) = f ( x−1)
定理6.4.3 设 f 为从 ( A , o, ) 到 ( A ,∗, ⊗) 的一个同定理 1 2 构, 则 ( A , o, ) 满足关于运算 o (或 ) 的交换或 1 律、结合律以及对 o (或 o 对 ) 的分配律等或运算性质的充要条件是 ( A ,∗, ⊗)满足关于运算 ∗ 2 (或 ⊗) 相对应的性质。相对应的性质。或定理6.4.2 设 f 为从 ( A , o, ) 到 ( A ,∗, ⊗) 的一个同定理 1 2 构, 则 ( A , o, )有特异元的充要条件是 ( A ,∗, ⊗) 1 2 有相应的特异元，有相应的特异元，且
例. 代数代数(A, ◦), 其中 A={a, b, c}, 运算◦由右表给出, 为单位元为单位元; 运算◦由右表给出 c为单位元但 (B, ◦)其中 B={a, b}, a为单位元。为单位元。其中为单位元
定义6.4.3 设 f 为从 1, ◦)到(A2, *)的一个同态，如为从(A 的一个同态，定义到的一个同态单射(满射双射)，满射，果是 f 单射满射，双射，则称 f 为从 (A1, ◦) 到 (A2, *) 的单同态满同态，同构。的单同态(满同态同构) 满同态，是同构时，当 f 是同构时，也称 (A1, ◦)与 (A2, *)是同构的，与是同构的，并记作：并记作：(A1, ◦) ≅(A2, *) 。
定义6.4.2 设(A1,◦,⊙)和 (A2,*,⊗) 是二个代数定义 ◦⊙ 和 *⊗ 结构，若存在映射f 结构，若存在映射 : A1→A2，满足
f ( x o y) = f ( x)∗ f ( y) 和 f ( x y) = f ( x) ⊗ f ( y),

第十四讲同态与同构

第十四讲同态与同构§14.1. 同态§14.2. 同态基本定理§14.1. 同态在讲授半群和monoid时，我们已定义过它们的同态与同构，现定义群同态与群同构。

1.1.定义：设(G,*)与(H,︒)为群，f: G→H为映射(1)f为从群G到群H的同态，指(∀a,b∈G)(f(a*b)=f(a)︒f(b))，记为G∽f H(2)f为从G到H的满同态指f为同态且f为onto(3)f为从G到H的同构指f为同态且f为1-1&onto，记为G≌f H(4)f为从(G,*)到(G,*)的自同态指f(ab)=f(a)f(b)(5)f为从(G,*)到(G,*)的自同构(automorphism)指f为自同态且1-1&onto1.2.例：(1)(Z,+),(Z2,+2)为群，令f(2n)=0,f(2n+1)=1,则f为从(Z,+)到(Z2,+2)的群满同态，但f非同构。

令g(n)=0，则g也为同态但不是满的。

(2)(R,+)为实数加群，(R*,*)为非零实数乘群，令f: R→R*为f(x)=2x∵2x+y=2x*2y,∴f为同态，但f不是满的。

(3)令R+为全体正实数，(R+,*)为群，令f: R→R+为f(x)=2x，则f为从(R,+)到(R+,*)的同构。

1.3.命题：设(G,*),(H,︒)为群，(1)令f: G→H，对∀x∈G,f(x)=e H,则f为同态。

(2)令a∈G,f a: G→G为f a(x)=axa-1,则f a为自同构。

证明：∵f a(xy)=axya-1=axa-1aya-1=f a(x)f a(y)∴f a为同态又∵f a为1-1&onto∴f a为同构. #1.4.命题：(Z6,+6)恰有6个自同态，恰有2个自同构。

证明：(1)令f i: Z6→Z6,f I(x)=ix(mod 6)(=ix-[ix/6]*6),i=0,1, (5)∵f i(x+6y)=i(x+6y)(mod 6)=ix(mod 6)+6iy(mod6)=f i(x)+6f i(y)∴f i为同态.∵f i(1)=i∴i≠j→f i≠f j,故(Z6,+6)至少有6个自同态。

同态同构同胚

同态同构同胚全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：同态、同构、同胚是代数学中常见的概念，它们在不同的数学领域中有着广泛的应用。

本文将分别解释这三个概念的含义，并通过例子阐述它们之间的关系和区别。

同态（Homomorphism）是一种保持代数结构的映射。

具体来说，设有两个代数结构（如群、环、域等）G和H，一个从G到H的映射f 称为同态，如果对于G中的任意两元素a和b，都有f(a*b) = f(a)*f(b)。

这意味着同态将代数结构中的运算保持下来，即先运算再映射等价于先映射再运算。

考虑一个从整数环Z到模2加法群Z/2Z的映射f，定义为将偶数映射为0，奇数映射为1。

这个映射保持整数环的加法运算，因此是一个同态。

同态在代数结构的保持性质上有很多应用，比如在同态定理中，同态映射的核与像之间的关系能够帮助我们理解代数结构的结构和性质。

同构可以看作是一个更强的同态，因为它不仅保持代数结构的运算，还保持了元素之间的一一对应关系。

一个典型的例子是置换群S3和三阶对称群D3之间的同构：置换群S3包括所有的三元置换，而D3包括所有的三角形对称。

这两个群之间存在一个双射同态，它将S3中的置换映射到D3中的三角形对称，这就是它们之间的同构。

同胚（Homeomorphism）是拓扑空间之间的同构。

在拓扑学中，同胚是一种保持拓扑结构的双射映射，即在两个拓扑空间X和Y之间存在一个双射映射f，f及其逆映射f^-1都是连续函数。

同胚能够保持拓扑空间的开集、闭集、极限等性质，因此它们的拓扑结构是完全相同的。

考虑一个从实数轴R到开区间(0,1)的映射f，定义为f(x) =1/(1+e^-x)。

这个映射是一个双射，并且连续，因此是一个同胚，将实数轴上的开集映射为开区间上的开集，保持了拓扑结构上的同构。

同态、同构、同胚都是代数学和拓扑学中重要的概念，它们分别描述了代数结构和拓扑结构之间的关系。

同态是保持代数结构的映射，同构是保持代数结构的双射同态，同胚是保持拓扑结构的双射映射。

同态与同构获奖课件

b
baac
c
bddc
d
abcd
* αβγδ
α
αβγδ
β
βααγ
γ
βδδγ
δ
αβγδ
证明：考察映射f, 使得f(a)=α，f(b)=β，f(c)=γ， f(d)=δ
显然，f是一种从A到B旳双射，由表5-8.2和表5-8.3，轻易验证f是由<A,★>到<B,*>旳一种同态。所以， <A,★>和<B,*>是同构旳。
零之间旳特征区别，那么代数系统<I, >中运算成果旳特征就能够用另一种代数系统<B, ⊙>旳运算成果来描述，其中B={正，负，零}，是定义在 B上旳二元运算，如表5-8.1所示。
表5-8.1
⊙
正负零
正正负零负负正零零零零零
作映射f: I→B如下：正若n>0
f(n)= 负若n<0 零若n=0
假如g是由<A,★>到<A,★>旳同构，则称g 为自同构。
定理5-8.1：设G是代数系统旳集合，则G中代数系统之间旳同构关系是等价关系。
证明：因为任何一种代数系统<A,★>要以经过恒等映射与它本身同构，即自反性成立。
有关对称性，设<A,★>≌<B,*>且有相应旳同构映射f, 因为f 旳逆是由<B,*>到<A,★>旳同构映射，即<B,*>≌<A,★>。
设k1,k2∈K,则 f(k1★k2)=f(k1)*f(k2)= e*e =e 故k1★k2∈K。对任意旳k∈K,由定理5-8.2可知 f(k-1)=f(k)-1=e-1=e 故k-1∈K。所以，<K,★>是<G,★>旳子群。

5.8同态与同构

=f(x*(y*z))
=f((x*y)*z)=f(x*y)*’f(z) =(f(x)*’f(y))*’f(z)=(a*’b)*’c 。
<f(A),*’>是半群。
同态像的性质
2)若<A,*>是独异点,则<f(A),*’>也是独异点. 证:af(A),则x,有a=f(x),eA,f(e)f(A)， a*’f(e)=f(x)*’f(e)=f(x*e)=f(x)=a， f(e)*’a=f(e)*’f(x)=f(e*x)=f(x)=a。 f(e)是<f(A),*’>的幺元, <f(A),*’>是独异点。 3)若<A,*>是一个群,则<f(A),*’>也是一个群.
<R+,>同构于<R,+>。
同态与同构
例2.证明<R-｛0｝,×>和<R,+>不同构。
证:（反证法）设h是<R,+>到<R-｛0｝,×>的一个同构映射, b∈R-｛0｝,必存在a∈R,使得h(a)=b,
则:b=h(a)=h(0+a)=h(0)×h(a)=h(0)×b
b=h(a)=h(a+0)=h(a)×h(0)=b×h(0),所以h(0)=1。对于-1∈R-｛0｝,必存在c∈R,使得h(c)=-1, 且h(c+c)=h(c)×h(c)=-1×-1=1,故有c+c=0,即c=0, h(0)=-1, 这与h(0)=1是矛盾,所以h不是双射。 <R-｛0｝,×>和<R,+> 不同构。
同态核
1.定义5-8.4:设f是由群<G,*>到群<G’,*>的同态,e’是

代数结构同态与同构

代数结构同态与同构代数结构同态与同构是抽象代数学中的两个重要概念。

它们描述了两个代数结构之间的关系，并在代数学的研究中发挥着重要作用。

本文将介绍代数结构同态与同构的概念、定义以及性质，并讨论它们的应用和意义。

一、代数结构同态的概念与性质1. 同态的定义在抽象代数学中，如果存在两个代数结构A和B，其中A的运算是由集合和运算规则所确定的，B也是类似的，那么我们称映射f：A → B为从A到B的同态，如果对于A中的任意元素x和y，都有f(x * y) = f(x) * f(y)，其中*表示A中的运算，*表示B中的运算，即f保持运算的性质。

2. 同态的性质同态具有以下性质：（1）同态保持单位元：即f(单位元A) = 单位元B；（2）同态保持逆元：即对于A中的任意元素x，有f(x的逆元A) = f(x)的逆元B；（3）同态保持运算：即对于A中的任意元素x和y，都有f(x * y) = f(x) * f(y)。

二、代数结构同构的概念与性质1. 同构的定义在抽象代数学中，如果从A到B的同态f：A → B是双射（即一一对应）且保持运算的性质，则称A与B是同构的，记作A ≅ B。

同构表示两个代数结构在结构上完全相同，可以通过一一对应的方式进行映射。

2. 同构的性质同构具有以下性质：（1）同构保持单位元；（2）同构保持逆元；（3）同构保持运算。

三、同态与同构的应用1. 结构的研究与刻画同态与同构可用于研究和刻画代数结构的结构和性质。

通过同态与同构的关系，我们可以将复杂的代数结构简化为更易于理解和研究的形式。

例如，通过同构关系，我们可以将一个群与一个矩阵代数的子群作为同构来描述，从而简化问题的分析和求解。

2. 等价关系的建立同态与同构也可用于建立代数结构之间的等价关系。

如果两个代数结构之间存在同构关系，则可以将它们看作是等价的。

这种等价关系在代数学中非常有用，可以帮助我们分类、比较甚至证明不同的代数结构。

3. 结构的构造与研究同态与同构的概念在代数结构的构造与研究中起着重要的作用。

第5-5讲同态与同构

3
1、例子（3）
f(α)=f(β)=f(γ)=1,f(δ)=f(ε)=0,f(ζ)=f(α)=f(β)=f(γ)=1,f(δ)=f(ε)=0,f(ζ)=-1, *(- )=0 β ⊗ ζ= ε ; 1*(-1)=0 f(β )=f( f(ε *(f(β)*f(ζ f(β ⊗ ζ)=f(ε)= 0 =1*(-1)= f(β)*f(ζ)
9ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5、同态核
定义4 设f是群<G,⊗>到群<H,*>的一个同态，eH是<H,*> 的幺元,令Ker(f)={x|x∈G且f(x)=eH}。称Ker(f)是同态映射f的核，简称同态核。定理3 设f是群<G,⊗>到群<H,*>的一个同态，则f的同态核K是G的子群。(<K,⊗>是<G,⊗>的子群) 证明：对任意k1,k2∈K,有对任意k K,有对任意 )=e f(k1⊗k2)=f(k1)*f(k2)= H*eH=eH k 所以k k K,所以运算在K 封闭。进而可知⊗运算在所以⊗运算在所以k1⊗k2∈K,所以运算在K上封闭。进而可知运算在可结合。 K上可结合。又因f是群<G, 到群<H,*>的同态，根据定理1 <G,⊗ <H,*>的同态又因f是群<G,⊗>到群<H,*>的同态，根据定理1， eH=f(e)，这说明e∈K，e也是K的幺元。这说明e 也是K 幺元。这说明对任意k f(k)=e =(e 对任意k∈K, f(k)= H。 f(k-1)=(f(k))-1=( H)-1= eH 所以k K,即中任意元素有逆元从而K 逆元。的子群。所以k-1∈K,即K中任意元素有逆元。从而K是G的子群。

代数系统的同态和同构

第二节代数系统的同态和同构设S 是一个非空集合，12,,...,k f f f 分别是S 上的12,,...,k n n n 元运算。

由S 和12,,...,k f f f 组成的系统称作一个代数系统，简称代数，记作12,,,...,k S f f f <>。

例如，<R,＋>,<R,－>,<R,×>，<R +,+,×>等都是代数系统，而,R <÷>，,R +<−>都不是代数系统。

定义2.1 设1S 和2S 是两个非空集合，f 和g 分别是1S 和2S 上的n 元运算。

如果映射12:S S ϕ→满足121,,...,n x x x S ∀∈：1212((,,...,))((),(),...,())n n f x x x g x x x ϕϕϕϕ=则称ϕ关于f 和g 是保持运算的，简称是保持运算的，特别地，当f 和g 分别为二元运算*和o 时，上式为1,x y S ∀∈，ϕϕϕ=o (*)()()x y x y如果12,,...,k f f f 分别与12,,...,k g g g 同是12,,...,k n n n 元运算，则称代数系统1112,,,...,k V S f f f =<>和2212,,,...,k V S g g g =<>是同类型的，如果映射12:S S ϕ→关于每一个i f 和(1,2,...,)i g i k =都是保持运算的，则称ϕ是1V 到2V 同态映射，简称同态(homomorphism)。

称112(,,,...,)k S g g g ϕ<>是1V 在ϕ下的同态象。

当ϕ是单射，满射和双射时，分别称作单射同态(injective homomorphism)，满同态(surjective homomorphism)和同构(isomorphism)。

153代数系统的同态与同构

f(e)是V2中单位元，e为V1中相应运算单位元
f(θ)是V2中零元，θ为V1中相应运算零元
f(a-1)是 f(a)的逆元
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几点说明
1. 满同态条件重要. 如果不是满同态，有关性质只能在同
态像中成立. 例如
V =< A,⋅ >
A
=

a 0
0 b

|
a,
b
∈
R,

f : A → A,
推论代数系统的同构具有自反、对称、传递的性质. 8
同态像是映到代数系统的子代数
定理1 设 V1 =< A,o1 ,o2 ,..., or > 与V2 =< B,o1', o2',..., or '>
是同类型的代数系统，对于 i=1,2,…,r，oi与oi′是ki 元运算, f:A→B是V1到V2的同态，则 f(A)关于V2中的运算构成代数系统，且是V2的子代数，称为V1在 f 下的同态像.
oi (a 1 , a 2 ,..., a ki ) ∼ oi (b1 , b2 ,..., bki ) ∼关于oi运算具有置换性质，根据oi的任意性，定理得证. 19
实例
例2 V=<Z4,⊕>, fi : Z4→Z4, fi(x) = (ix) mod 4，i = 0,1,2,3
函数
f0(x)=0, x=0,1,2,3
统的下述性质：
交换、结合、幂等、分配、吸收单位元、零元、逆元消去律不一定保持
7
同态的合成仍旧是同态
命题若 f:V1→V2, g:V2→V3为同态映射，则 g∘f:V1→V3也为同态映射.
证根据集合论的定理，g∘f: V1→V3为映射. 任取V1,V2,V3中一组对应的运算 o1,o2,o3, 设为 k 元运算. ∀x1, x2, … , xk∈V1,

高等工程数学课件--2.1 代数运算,同态与同构

(2) 若对适合右分配律，则对适合右分配律。
(1) 若对适合左分配律，则对适合左分配律；
定理2.1.4 设 A, B, C 是三个非空集合，，，
分别是A, B, C 上的代数运算。如果是A到B 的同构映射，是B到C的同构映射，则 (1) 是B到A的同构映射；
a b b a e,
则称 b 为 a 的逆元，记为 b a 1 。半群G上的代数运算一般用通常的乘法符号“ . ”表示，并且通常省略。
定理2.2.1 设G是一个半群，则
（1）如果G有单位元，则单位元是唯一的；（2）如果 a G有逆元a ，则 a 是唯一的，并且 (a 1 ) 1 a ；（3）如果 a, b G 是可逆的，则 ab 也是可逆的，并且
(2) Ker ( )是G的子群； (3) 是一个单映射 Ker ( ) {e}.
定理2.2.11 设 G , G, G是三个群，如果是G到
G的同构映射，是G到G的同构映射，则 (1) 是G到G的同构映射； (2) 是G到G的同构映射。
－1
2.2.4
(2)
A A到C的映射称为A到C的代数运算；
A对代数运算是封闭的。
(3) A A 到A的映射称为A的代数运算或A的二元运算，也称集合
一个代数运算是一个特殊的映射。如果有A 与B到C的一个代数运算记为“ ”, 则由定义，对任意 A, b B ，经过代数运算得唯一的 C ， c a 即 :(a,b)→c，记为c=a b . 例2.1.1 R
第2章代数结构与线性空间
2.1 代数运算，同态与同构
2.2 群 2.3 环与域 2.4 线性空间
2.5 模