《自动控制理论教学课件》第五章 控制系统的频域分析.ppt
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自动控制理论教学课件-第五章 控制系统的频域分析.ppt
第五章 线性系统的频域分析法
§5-1 频率特性及其与时域响应的关系 §5-2 典型环节的频率特性
§5-3 系统开环频率特性的极坐标图
§5-4 系统开环对数频率特性的绘制 §5-5 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性 §5-6 控制系统对数坐标图与稳态误差及瞬态
响应的关系
*§5-7 系统的闭环频率特性
UmG(j )
2j
UmG(j)sinG(j)t0
A ( ) G ( j )， ( ) G ( j )
通常，把 G(j)G(j)ej()称为系统的频率特性。它
反映了在正弦输入信号作用系。系统稳态输出信号与输入正弦信号的幅值比
A()G(j) 称为幅频特性，它反映了系统对不同频率的正
§5-8 根据闭环频率特性分析系统的时域响应
§5-1 频率特性及其与时域响应的关系
一、频率特性的基本概念
频率响应：在正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态 分量。
频率特性：系统频率响应与正弦输入信号之间的关系。 频域分析法：应用频率特性研究线性系统的经典方法。其
特点是根据系统的开环频率特性去判断闭环系统的性能。
按 L ()2 0 lgG (j)2 0 lg A ()线性分度，单位是分贝
( d B ) 。对数相频特性曲线的纵坐标按 ( ) 线性分度，单 位为度 ( ) 。由此构成的坐标系称为半对数坐标系。
仍以RC电路为例：
L()20lg 1 20lg120lg 122
122
() arctanarctan 1
如图，设初始 u o(0 ) 0 ， u i U m sint。 R
当输出阻抗足够大时有：
i(t)
C
u
i
Ri
uo
1
§5-1 频率特性及其与时域响应的关系 §5-2 典型环节的频率特性
§5-3 系统开环频率特性的极坐标图
§5-4 系统开环对数频率特性的绘制 §5-5 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性 §5-6 控制系统对数坐标图与稳态误差及瞬态
响应的关系
*§5-7 系统的闭环频率特性
UmG(j )
2j
UmG(j)sinG(j)t0
A ( ) G ( j )， ( ) G ( j )
通常，把 G(j)G(j)ej()称为系统的频率特性。它
反映了在正弦输入信号作用系。系统稳态输出信号与输入正弦信号的幅值比
A()G(j) 称为幅频特性，它反映了系统对不同频率的正
§5-8 根据闭环频率特性分析系统的时域响应
§5-1 频率特性及其与时域响应的关系
一、频率特性的基本概念
频率响应：在正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态 分量。
频率特性：系统频率响应与正弦输入信号之间的关系。 频域分析法：应用频率特性研究线性系统的经典方法。其
特点是根据系统的开环频率特性去判断闭环系统的性能。
按 L ()2 0 lgG (j)2 0 lg A ()线性分度，单位是分贝
( d B ) 。对数相频特性曲线的纵坐标按 ( ) 线性分度，单 位为度 ( ) 。由此构成的坐标系称为半对数坐标系。
仍以RC电路为例：
L()20lg 1 20lg120lg 122
122
() arctanarctan 1
如图，设初始 u o(0 ) 0 ， u i U m sint。 R
当输出阻抗足够大时有：
i(t)
C
u
i
Ri
uo
1
自动控制理论第五章
a G(s) A 2j
因为 G(j)G(j)ej() G(j)G(j)ej()
所以 C (t)AG (j)S(in t)
2019/11/13
第五章 频率响应
3
自动控制理论
图5-1
例:
E E 1 2((ss))1R 1 C ,E 1(Ss)S2A 2
20lg1 jT 20lg 1 1 jT
arg(1 jT) arg( 1 ) 1 jT
3. 积分、微分因子
1 1)积分因子 j
( j)1
L()20 lg
2019/11/13
图5-10
第五章 频率响应
10
自动控制理论
()90
2)微分因子 j
()20 lg
() a G 1 ( r j) g a G 2 r ( j) g a G n r ( j) g
例5-2 G(S)H(S)10 (10.1S) S(10.5S)
解 （1）幅频特性 10(1 j )
G( j)
j(1
10
j)
2
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图5-2
第五章 频率响应
4
自动控制理论
e2(t)
A S
1T22
i(n tarcTta) n
G(j) 1TA22 ()tg1T
图5-3
2019/11/13
第五章 频率响应
5
自动控制理论
二、由传递函数确定系统的频率响应
例5-1 G (s) S 1 2 (4 S 0 S 1 ) 1 3 (S 2 1 j( 3 S )0 S ( 1 )2 j3 ) 试绘制系统的幅频和相频特性曲线。
因为 G(j)G(j)ej() G(j)G(j)ej()
所以 C (t)AG (j)S(in t)
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第五章 频率响应
3
自动控制理论
图5-1
例:
E E 1 2((ss))1R 1 C ,E 1(Ss)S2A 2
20lg1 jT 20lg 1 1 jT
arg(1 jT) arg( 1 ) 1 jT
3. 积分、微分因子
1 1)积分因子 j
( j)1
L()20 lg
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图5-10
第五章 频率响应
10
自动控制理论
()90
2)微分因子 j
()20 lg
() a G 1 ( r j) g a G 2 r ( j) g a G n r ( j) g
例5-2 G(S)H(S)10 (10.1S) S(10.5S)
解 （1）幅频特性 10(1 j )
G( j)
j(1
10
j)
2
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图5-2
第五章 频率响应
4
自动控制理论
e2(t)
A S
1T22
i(n tarcTta) n
G(j) 1TA22 ()tg1T
图5-3
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第五章 频率响应
5
自动控制理论
二、由传递函数确定系统的频率响应
例5-1 G (s) S 1 2 (4 S 0 S 1 ) 1 3 (S 2 1 j( 3 S )0 S ( 1 )2 j3 ) 试绘制系统的幅频和相频特性曲线。
自动控制理论 ppt 详解
代数式 极坐标式 指数式
A( )
1
2T 2 1
∠G(jω)=－arctanTω
j
＝∞
0 ＝ 100 ＝5
＝0 1 ＝1
＝3 ＝2
2. 对数频率特性曲线（Bode 图）
由对数幅频曲线和对数相频曲线组成，是工程中广泛应用的一组曲线。
对数幅频曲线的横坐标采用对数分度lg(ω), 单位为弧度/秒（rad/s） 对数幅频曲线的纵坐标是对幅值 用 L()=20lgA(ω) 进行线性分度， 单位是分贝(dB) 。 对数相频特性图的纵坐标则对相 角进行线性分度，单位为度（o）, 仍用 ( )表示。
（红色线）
j 0
幅相曲线
L(ω)=-20lgω φ(ω)=-90o
L
20
0
1
两重积分 G( j ) ( j )2
（蓝色线）
1
0 0.1 -20
10 20 dB dec
0 -90
-180
40 dB dec
L 20 lg
1
G j 180
对于某一特定频率 ω下的G(jω)总可以用复平面上的一个向量与之对 应，该向量的长度为A(ω)，与正实轴的夹角为(ω)。
例：RC电路的幅相频率特性。
Uo ( j ) 1 1 G( j ) Ui ( j ) 1 RCj 1 Tj
ui
R C uo
G(jω)=R(ω)+jI(ω) =|G(jω)|∠G(jω) =A(ω)ejφ(ω)
§ 5.1 频率特性
§5.1.1 频率特性的基本概念
例：RC 电路如图所示，ui(t)=Asinωt, 求uo(t)=?
自动控制原理 第五章 频率特性) ppt课件
无法观察到这种稳态响应。从理论上讲，系统动态过程的稳态分 量（从全解的形式中理解）总可以分离出来。
系统微分方程的全解＝齐次通解+稳态特解 稳态特解就是稳态分量，即频率特性定义中要用到的量。
2019/11/12
PPT课件
19
19
（5）频率特性的求取
① 根据定义求取 对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态
数给定了，则系统的频率特性也完全确定。
② 系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率 当输入量频率改变，则输出、输入量的幅值之比A（）和
它们的相位移（）也随之改变。所以 A（）和（）都是 的函数。这是由于系统中的储能元件引起的。
2019/11/12
PPT课件
18
18
③ 频率特性是一种稳态响应，但表示的是系统动态特性 频率特性是在系统稳定的前提下求得的，对于不稳定系统则
b() d ()
2019/11/12
关于ω的奇PP次T课件幂多项式
13
13
G( j) arc tan( b ) arc tan( d )
a
c
G( j) arc tan( bc ad )
ac bd
tan(a b) tan a tan b 1 tan a tan b
uo
t t
8
8
RC网络的输入与输出的关系为：
T
duo dt
uo
ui
式中，T RC ，为时间常数。取拉氏变换并代入初始条件得
1
1 A
Uo (s)
Ts
1[Ui (s)
Tuo0
]
Ts[ 1s源自22 Tuo0
]
拉氏反变换得
系统微分方程的全解＝齐次通解+稳态特解 稳态特解就是稳态分量，即频率特性定义中要用到的量。
2019/11/12
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19
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（5）频率特性的求取
① 根据定义求取 对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态
数给定了，则系统的频率特性也完全确定。
② 系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率 当输入量频率改变，则输出、输入量的幅值之比A（）和
它们的相位移（）也随之改变。所以 A（）和（）都是 的函数。这是由于系统中的储能元件引起的。
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③ 频率特性是一种稳态响应，但表示的是系统动态特性 频率特性是在系统稳定的前提下求得的，对于不稳定系统则
b() d ()
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关于ω的奇PP次T课件幂多项式
13
13
G( j) arc tan( b ) arc tan( d )
a
c
G( j) arc tan( bc ad )
ac bd
tan(a b) tan a tan b 1 tan a tan b
uo
t t
8
8
RC网络的输入与输出的关系为：
T
duo dt
uo
ui
式中，T RC ，为时间常数。取拉氏变换并代入初始条件得
1
1 A
Uo (s)
Ts
1[Ui (s)
Tuo0
]
Ts[ 1s源自22 Tuo0
]
拉氏反变换得
自动控制理论最新版精品课件第5章 频率法
5-1 频率特性的概念
一、频率特性的基本概念
➢频率响应：系统对正弦输入的稳态响应。
u1 U1 sint
在稳态情况下，输出电压 u2 U2 sinωt
1
•
U2
•
U1
jC
R 1
jC
1
1 j RC
1
1 jT
➢频率特性的定义：
该电路的频率特性
零初始条件的线性系统或环节，在正弦信号作用下， 稳态输出与输入的复数比。
➢与传递函数的关系：
G(j) G(s) s j
•
A() G(j)
U2
•
G( j )
A( )e j ( )
U1
1
1 (T )2
() G(j)
•
•
U 2 U1 arctan(T)
A(ω) 称幅频特性，φ(ω)称相频特性，G(jω) 称为幅相频率 特性。
二、频率特性的求取
➢已知系统的运动方程，输入正弦函数求其稳态解，取输出稳
特征点1: n 时
A,
An 1 2
n
2
特征点2: 令
dA d 0
1 0
0.3
0.5 0.707
r
n
谐振频率 r n 1 2 2 0.707
1
2
谐振峰值 Ar 2 1 2
0.5 0.3
0 0.707，出现谐振
0.707 阶跃响应既快又稳，比较理想（也称为“二阶最佳”）
G( j )
1
1
n
2 n2
2
2
2
n
2
j 1
2 n2
2 n
2 2
n
2
2019《自动控制理论教学课件》第五章 控制系统的频域分析.ppt
暂态分量
稳态分量
响应的稳态分量为： 1 uos U m sin t ( ) U m A( ) sin t ( ) 2 2 1 1 1 式中： A( ) 2 2 1 j 1
( ) arctan
1 s j 1 G (s ) G (j ) G (s ) s j e arctan 1 s 1 2 2 可见， A( )、 ( ) 分别为 G (j ) 的幅值 G (j )
和相角 G (j ) 。 设线性定常系统的传递函数为：
G (s ) C (s ) N (s ) N (s) R(s ) D(s ) (s p1 )(s p2 ) (s pn )
§5-8 根据闭环频率特性分析系统的时域响应
§5-1 频率特性及其与时域响应的关系
一、频率特性的基本概念
频率响应：在正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态 分量。 频率特性：系统频率响应与正弦输入信号之间的关系。 频域分析法：应用频率特性研究线性系统的经典方法。其 特点是根据系统的开环频率特性去判断闭环系统的性能。
第五章
线性系统的频域分析法
§5-1 频率特性及其与时域响应的关系 §5-2 典型环节的频率特性 §5-3 系统开环频率特性的极坐标图
§5-4 系统开环对数频率特性的绘制 §5-5 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性 §5-6 控制系统对数坐标图与稳态误差及瞬态 响应的关系
*§5-7 系统的闭环频率特性
L( ) dB
( )
L( )
0 20
40
( )
0.01 0.1
1
0 30 60 90 10 100
1 ，1 用描点法绘制出 ( ) 曲线如图，图中令：
【精品】自动控制原理-第五章-频域分析法幻灯片
系统开环传函的频率特性称为开环频率特性。
控制系统一般总是由若干环节组成的, 设其开环 传递函数为 ：
G(s)=G1(s)G2(s)…Gn(s)
系统的开环频率特性为：
G ( j) G 1 ( j) G 2 ( j) G n ( j)
或
A ( ) e j( ) A 1 ( ) e j 1 ( ) A 2 ( ) e j2 ( ) A n ( ) e jn ( )
在图中 T=0.5, 1/T=2 (rad/sec)
La() 0 2l0o gT
1/T 1/T
惯性环节的对数幅频特性曲线近似为两段直线。两直线 相交，交点处频率 1/T ，称为转折频率。
两直线实际上是对数幅频特性曲线的渐近线，故又称为 对数幅频特性渐近线。
用渐近线代替对数幅频特性曲线，最大误差发生在转折 频率处，即 1/T 处。
➢为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念， 即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐 标分贝数的变化量。
☆对数幅相频率曲线（尼柯尔斯图）
以角频率为参变量，横坐标是相位，单位采用角度；纵坐 标为幅值，单位采用分贝。
Bode图的优点
幅值的乘除简化为加减； 可以用叠加方法绘制Bode图； 可以用简便方法近似绘制Bode图； 扩大研究问题的范围； 便于用实验方法确定频率特性对应的传递函数。
对数幅频特性：
L ( ) 2 0 lg A ( )~ (lg )
对数相频特性:
()~(lg)
对数幅频特性曲线：横坐标 采用对数分度，取
10为底的对数 lo g 10 ，纵坐标采用线性分度用分贝数
(dB)表示。
对数相频特性曲线：横坐标为角频率仍采用对数分 度，纵坐标采用线性分度用角度表示。
控制系统一般总是由若干环节组成的, 设其开环 传递函数为 ：
G(s)=G1(s)G2(s)…Gn(s)
系统的开环频率特性为：
G ( j) G 1 ( j) G 2 ( j) G n ( j)
或
A ( ) e j( ) A 1 ( ) e j 1 ( ) A 2 ( ) e j2 ( ) A n ( ) e jn ( )
在图中 T=0.5, 1/T=2 (rad/sec)
La() 0 2l0o gT
1/T 1/T
惯性环节的对数幅频特性曲线近似为两段直线。两直线 相交，交点处频率 1/T ，称为转折频率。
两直线实际上是对数幅频特性曲线的渐近线，故又称为 对数幅频特性渐近线。
用渐近线代替对数幅频特性曲线，最大误差发生在转折 频率处，即 1/T 处。
➢为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念， 即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐 标分贝数的变化量。
☆对数幅相频率曲线（尼柯尔斯图）
以角频率为参变量，横坐标是相位，单位采用角度；纵坐 标为幅值，单位采用分贝。
Bode图的优点
幅值的乘除简化为加减； 可以用叠加方法绘制Bode图； 可以用简便方法近似绘制Bode图； 扩大研究问题的范围； 便于用实验方法确定频率特性对应的传递函数。
对数幅频特性：
L ( ) 2 0 lg A ( )~ (lg )
对数相频特性:
()~(lg)
对数幅频特性曲线：横坐标 采用对数分度，取
10为底的对数 lo g 10 ，纵坐标采用线性分度用分贝数
(dB)表示。
对数相频特性曲线：横坐标为角频率仍采用对数分 度，纵坐标采用线性分度用角度表示。
自动控制原理课件第五章
1 幅相频率特性
• • •
曲线或极坐标图。 在复平面，把频率特性的模和角同时表示出来的图就是 幅相曲线或极坐标图。 它是以 为参变量，以复平面上的矢量 G ( j ) 表示的一 种方法。 例 惯性环节幅相频率特性
G ( j ) k 1 jT k 1 T
2 2
•幅相频率特性曲线：又称奈奎斯特（Nyquist）
模从- 相角从-/2-3/2
-1
Im
ω
∞
Re
ω ω
0
系统开环对数频率特性例题2
系统开环对数频率特性
系统开环对数频率特性例题3
系统开环传函：
G (s)
-1 -1 0.05 0.1 1 2 10 100 -2 -90°
20 lg 40 20 lg 1 0 . 05 20 lg
L( )
为横坐标，
为纵坐标。
5-3 典型环节及开环频率特性 一、典型环节的频率特性p177
•要求掌握以下各环节幅相频率特性及对数频率 特性。
比例环节、微分环节、 积分环节、 惯性环 节、 振荡环节、 一阶微分环节、 二阶微分 环节、 延时环节。 非最小相位环节 开环传函中包含右半平 面 的零点或极点。
比例 G( s ) k , G( j ) k , 积分 ( s ) , G ( j ) G , s j 微分
1 1
k, 0
1
, 90
G( s ) s, G( j ) j ,
, 90
惯性环节（对比一阶微分环节）
G( s) 1 Ts 1 1 1 T
s
G ( j ) e
j
cos j sin
自动控制理论5-4频域：奈氏判据
自动控制理论5-4频 域：奈氏判据
目录
• 引言 • 奈氏判据的基本原理 • 奈氏判据的应用 • 实例分析 • 结论
01
引言
目的和背景
目的
理解并掌握奈氏判据在自动控制理论中的应用，掌握如何使用奈氏判据判断系统 的稳定性。
背景
随着工业自动化水平的提高，自动控制系统在各个领域得到广泛应用。为了确保 系统的稳定运行，需要借助自动控制理论对系统进行分析。频域分析是自动控制 理论的重要分支，而奈氏判据则是频域分析中的一种重要方法。
05
结论
奈氏判据的重要性和意义
1 2 3
确定系统的稳定性
通过奈氏判据，可以确定一个线性时不变系统的 稳定性，这对于控制系统的设计和分析至关重要。
预测系统行为
奈氏判据提供了一种方法，用于预测系统在不同 频率下的行为，这对于理解系统的动态特性和性 能至关重要。
优化系统设计
通过使用奈氏判据，可以在设计阶段优化控制系 统的性能，从而提高系统的可靠性和稳定性。
复杂系统
在实际的工程应用中，控制系统往往比较复杂，由多个环节和元件组成，其传递函数也较为复杂。
奈氏判据应用
对于复杂系统，需要先进行简化或分解，然后对每个子系统分别应用奈氏判据进行稳定性分析。如果 所有子系统都稳定，则整个系统稳定；否则，整个系统不稳定。
实际应用中的奈氏判据
实际应用
在工业控制、航空航天、交通运输等领域，控制系统发挥着至关重要的作用。
基于奈氏曲线的几何特性，通过观察曲线在实轴上的投影，可以判断系统的稳定性。具体 来说，如果曲线没有穿越实轴，则系统是稳定的；如果曲线穿越实轴且在穿越点附近存在 无穷大的斜率，则系统是不稳定的。
应用范围
奈氏判据适用于线性时不变系统的频域分析，对于具有开环极点的系统尤为适用。
目录
• 引言 • 奈氏判据的基本原理 • 奈氏判据的应用 • 实例分析 • 结论
01
引言
目的和背景
目的
理解并掌握奈氏判据在自动控制理论中的应用，掌握如何使用奈氏判据判断系统 的稳定性。
背景
随着工业自动化水平的提高，自动控制系统在各个领域得到广泛应用。为了确保 系统的稳定运行，需要借助自动控制理论对系统进行分析。频域分析是自动控制 理论的重要分支，而奈氏判据则是频域分析中的一种重要方法。
05
结论
奈氏判据的重要性和意义
1 2 3
确定系统的稳定性
通过奈氏判据，可以确定一个线性时不变系统的 稳定性，这对于控制系统的设计和分析至关重要。
预测系统行为
奈氏判据提供了一种方法，用于预测系统在不同 频率下的行为，这对于理解系统的动态特性和性 能至关重要。
优化系统设计
通过使用奈氏判据，可以在设计阶段优化控制系 统的性能，从而提高系统的可靠性和稳定性。
复杂系统
在实际的工程应用中，控制系统往往比较复杂，由多个环节和元件组成，其传递函数也较为复杂。
奈氏判据应用
对于复杂系统，需要先进行简化或分解，然后对每个子系统分别应用奈氏判据进行稳定性分析。如果 所有子系统都稳定，则整个系统稳定；否则，整个系统不稳定。
实际应用中的奈氏判据
实际应用
在工业控制、航空航天、交通运输等领域，控制系统发挥着至关重要的作用。
基于奈氏曲线的几何特性，通过观察曲线在实轴上的投影，可以判断系统的稳定性。具体 来说，如果曲线没有穿越实轴，则系统是稳定的；如果曲线穿越实轴且在穿越点附近存在 无穷大的斜率，则系统是不稳定的。
应用范围
奈氏判据适用于线性时不变系统的频域分析，对于具有开环极点的系统尤为适用。
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3 4 5
根据频率特性的概念，系统的稳态输出为：
y() 1 ( j) sin[ 4 t 23.1 ( j)]
3
5
1 6 sin[ 4 t 23.1 53.1]
3
5
2sin( 4 t 30) 5
二、频率特性与时域响应的关系
⒈ 频率特性，传递函数，微分方程三种系统描述之间关系
1 j 1 2 2
有：
Re
G(j
)
1 2
2
Im2
G(j)
1 2
2
表明RC 网络的幅相
曲线是以 ( 1 , j0)为圆心，
半径为
1
2 的半圆，如右
2 图所示。
j 1
2 Re G(j)
0
Im G(j)
0
② 对数频率特性曲线：又称伯德(Bode)图，由对数幅频曲线
和对数相频曲线组成。对数频率特性曲线的横坐标按 lg
可见，A()、() 分别为 G(j) 的幅值 G(j)
和相角 G(j) 。
设线性定常系统的传递函数为：
C(s) N (s)
N (s)
G(s)
R(s) D(s) (s p1)(s p2 ) (s pn )
为方便起见设系统无重极点，则：
C(s) G(s)R(s)
N (s)
R(s)
(s p1)(s p2 ) (s pn )
s p
微分方程
传递函数
系统
p j
s j
频率特性
⒉ 频率特性为什么能反映系统动态特性？
物理上：正弦输入与阶跃输入不同，由于是强迫振荡 所以能反映系统动态特性。
数学上： G(j) G(s) ，G(j) 中的时间常数等反映 s j 了系统结构。
三、频率特性的几何表示法
① 幅相频率特性曲线：又称极坐标图或幅相曲线
i 1
式中：
b1
G(s)
(s
Um
j)(s
j)
( cos0
s sin0 ) (s
j)
s j
G( j) Um e j0 G( j) e jG(j) Um e j0
2 j
2 j
b2
G(s) (s
Um
j)(s
j)
( cos0
s sin0 ) (s
j)
s j
G(j) Um e j0 G(j) e jG(j) Um e j0
(对数)分度，单位是 rad s；对数幅频特性曲线的纵坐标
按 L() 20lg G(j) 20lgA() 线性分度，单位是分贝
(dB) 。对数相频特性曲线的纵坐标按 ()线性分度，单
已知某闭环系统的传递函数为： (s) C(s) 30
R(s) 5s 3
当输入为 r(t) 1 sin( 4 t 23.1) 时，试用频率特性的概念 35
求其稳态输出。
解： ( j) 30 5 j 3
( j) 30
6
25 2 9 4
5
( j) arctan 5 53.1
如图，设初始 uo (0) 0，ui Um sint。
R
当输出阻抗足够大时有：
i(t)
C
ui Ri uo
uo
1 C
ห้องสมุดไป่ตู้ idt
消去 i
duo dt
uo
ui
ui (t)
( RC)
uo (t)
对上式进行拉氏变换得： UO (s) 1 UI (s) s 1
U
O
(s
)
1 s
1
U
I
(s)
1 s
A() G(j) ，() G(j)
通常，把 G(j) G(j) e j()称为系统的频率特性。它 反映了在正弦输入信号作用下，系统稳态响应与输入正弦信
号之间的关系。系统稳态输出信号与输入正弦信号的幅值比
A() G(j) 称为幅频特性，它反映了系统对不同频率的正
弦输入信号的衰减(放大)特性。系统稳态输出信号对正弦输 入信号的相移 () G(j) 称为系统的相频特性，它表示系 统输出对于不同频率正弦输入信号的相移特性。
设：r(t) Um sin (t 0 ) Um sint cos0 Um cos t sin0
则：R(s)
Um
s2 2
(
cos0
s
sin0 )
C(s)
N (s)
(s p1)(s p2 )
(s
pn
)
Um
s2 2
(
cos 0
s
sin0
)
n
c(t) aie pit b1e jt b2e jt
§5-8 根据闭环频率特性分析系统的时域响应
§5-1 频率特性及其与时域响应的关系
一、频率特性的基本概念
频率响应：在正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态 分量。
频率特性：系统频率响应与正弦输入信号之间的关系。 频域分析法：应用频率特性研究线性系统的经典方法。其
特点是根据系统的开环频率特性去判断闭环系统的性能。
第五章 线性系统的频域分析法
§5-1 频率特性及其与时域响应的关系 §5-2 典型环节的频率特性
§5-3 系统开环频率特性的极坐标图
§5-4 系统开环对数频率特性的绘制 §5-5 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性 §5-6 控制系统对数坐标图与稳态误差及瞬态
响应的关系
*§5-7 系统的闭环频率特性
1 sint ()
1 2 2
暂态分量
稳态分量
1
2 2
响应的稳态分量为：
uos Um
1
1
2 2
sint
()
Um
A() sint
()
式中：A() 1 1 1 22 1 j
G(s)
( )
1
arctan
s j
G(j)
1
1
j
G(s)
1 s
s j
1
earctan
1 22
G(j) X () jY () —— 实数和虚数的形式 G(j) e j() —— 复指数形式
幅频特性为 的偶函数，相频特性为 的奇函数，因
此， 从 0 和 0 的幅相曲线关于实轴对称，
一般只绘制 0 的幅相曲线。小箭头指示
时幅相曲线的变化方向。
对于RC 网络：
G(j) 1 1 j
1
U m s2
2
U m 1 22
s
1
1
1
U
m
2
2
s2
2
U 1
m 2
2
s2
s
2
拉氏反变换得：
uo (t)
U m 1 2 2
et
Um
1 2 2
sint
U 1
m 2
2
cos t
U m 1 2 2
et
Um
1 2 2
1
2 2
sin t
1 cost 1 2 2
U m 1 2 2
et
Um
2j
2j
cs (t)
lim c(t)
t
b1e
jt
b2e
jt
G( j) e jG(j) Um e j0 e jt G(j) e jG(j) Um e j0 e jt
2 j
2j
Um
G(j)
e jG(j )+0 t
e jG(j )+0 t 2j
Um G(j) sinG(j) t 0
根据频率特性的概念，系统的稳态输出为：
y() 1 ( j) sin[ 4 t 23.1 ( j)]
3
5
1 6 sin[ 4 t 23.1 53.1]
3
5
2sin( 4 t 30) 5
二、频率特性与时域响应的关系
⒈ 频率特性，传递函数，微分方程三种系统描述之间关系
1 j 1 2 2
有：
Re
G(j
)
1 2
2
Im2
G(j)
1 2
2
表明RC 网络的幅相
曲线是以 ( 1 , j0)为圆心，
半径为
1
2 的半圆，如右
2 图所示。
j 1
2 Re G(j)
0
Im G(j)
0
② 对数频率特性曲线：又称伯德(Bode)图，由对数幅频曲线
和对数相频曲线组成。对数频率特性曲线的横坐标按 lg
可见，A()、() 分别为 G(j) 的幅值 G(j)
和相角 G(j) 。
设线性定常系统的传递函数为：
C(s) N (s)
N (s)
G(s)
R(s) D(s) (s p1)(s p2 ) (s pn )
为方便起见设系统无重极点，则：
C(s) G(s)R(s)
N (s)
R(s)
(s p1)(s p2 ) (s pn )
s p
微分方程
传递函数
系统
p j
s j
频率特性
⒉ 频率特性为什么能反映系统动态特性？
物理上：正弦输入与阶跃输入不同，由于是强迫振荡 所以能反映系统动态特性。
数学上： G(j) G(s) ，G(j) 中的时间常数等反映 s j 了系统结构。
三、频率特性的几何表示法
① 幅相频率特性曲线：又称极坐标图或幅相曲线
i 1
式中：
b1
G(s)
(s
Um
j)(s
j)
( cos0
s sin0 ) (s
j)
s j
G( j) Um e j0 G( j) e jG(j) Um e j0
2 j
2 j
b2
G(s) (s
Um
j)(s
j)
( cos0
s sin0 ) (s
j)
s j
G(j) Um e j0 G(j) e jG(j) Um e j0
(对数)分度，单位是 rad s；对数幅频特性曲线的纵坐标
按 L() 20lg G(j) 20lgA() 线性分度，单位是分贝
(dB) 。对数相频特性曲线的纵坐标按 ()线性分度，单
已知某闭环系统的传递函数为： (s) C(s) 30
R(s) 5s 3
当输入为 r(t) 1 sin( 4 t 23.1) 时，试用频率特性的概念 35
求其稳态输出。
解： ( j) 30 5 j 3
( j) 30
6
25 2 9 4
5
( j) arctan 5 53.1
如图，设初始 uo (0) 0，ui Um sint。
R
当输出阻抗足够大时有：
i(t)
C
ui Ri uo
uo
1 C
ห้องสมุดไป่ตู้ idt
消去 i
duo dt
uo
ui
ui (t)
( RC)
uo (t)
对上式进行拉氏变换得： UO (s) 1 UI (s) s 1
U
O
(s
)
1 s
1
U
I
(s)
1 s
A() G(j) ，() G(j)
通常，把 G(j) G(j) e j()称为系统的频率特性。它 反映了在正弦输入信号作用下，系统稳态响应与输入正弦信
号之间的关系。系统稳态输出信号与输入正弦信号的幅值比
A() G(j) 称为幅频特性，它反映了系统对不同频率的正
弦输入信号的衰减(放大)特性。系统稳态输出信号对正弦输 入信号的相移 () G(j) 称为系统的相频特性，它表示系 统输出对于不同频率正弦输入信号的相移特性。
设：r(t) Um sin (t 0 ) Um sint cos0 Um cos t sin0
则：R(s)
Um
s2 2
(
cos0
s
sin0 )
C(s)
N (s)
(s p1)(s p2 )
(s
pn
)
Um
s2 2
(
cos 0
s
sin0
)
n
c(t) aie pit b1e jt b2e jt
§5-8 根据闭环频率特性分析系统的时域响应
§5-1 频率特性及其与时域响应的关系
一、频率特性的基本概念
频率响应：在正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态 分量。
频率特性：系统频率响应与正弦输入信号之间的关系。 频域分析法：应用频率特性研究线性系统的经典方法。其
特点是根据系统的开环频率特性去判断闭环系统的性能。
第五章 线性系统的频域分析法
§5-1 频率特性及其与时域响应的关系 §5-2 典型环节的频率特性
§5-3 系统开环频率特性的极坐标图
§5-4 系统开环对数频率特性的绘制 §5-5 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性 §5-6 控制系统对数坐标图与稳态误差及瞬态
响应的关系
*§5-7 系统的闭环频率特性
1 sint ()
1 2 2
暂态分量
稳态分量
1
2 2
响应的稳态分量为：
uos Um
1
1
2 2
sint
()
Um
A() sint
()
式中：A() 1 1 1 22 1 j
G(s)
( )
1
arctan
s j
G(j)
1
1
j
G(s)
1 s
s j
1
earctan
1 22
G(j) X () jY () —— 实数和虚数的形式 G(j) e j() —— 复指数形式
幅频特性为 的偶函数，相频特性为 的奇函数，因
此， 从 0 和 0 的幅相曲线关于实轴对称，
一般只绘制 0 的幅相曲线。小箭头指示
时幅相曲线的变化方向。
对于RC 网络：
G(j) 1 1 j
1
U m s2
2
U m 1 22
s
1
1
1
U
m
2
2
s2
2
U 1
m 2
2
s2
s
2
拉氏反变换得：
uo (t)
U m 1 2 2
et
Um
1 2 2
sint
U 1
m 2
2
cos t
U m 1 2 2
et
Um
1 2 2
1
2 2
sin t
1 cost 1 2 2
U m 1 2 2
et
Um
2j
2j
cs (t)
lim c(t)
t
b1e
jt
b2e
jt
G( j) e jG(j) Um e j0 e jt G(j) e jG(j) Um e j0 e jt
2 j
2j
Um
G(j)
e jG(j )+0 t
e jG(j )+0 t 2j
Um G(j) sinG(j) t 0