四川省成都市2020-2021学年高二上学期期末调研考试数学文试题含答案

成都市2020～2021学年度上期期末高二年级调研考试

数学（文科）

本试卷分选择题和非选择题两部分。第Ⅰ卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.命题“00x ?>，00ln 1x x ≥-”的否定是（ ） A .0x ?>，ln 1x x <- B .0x ?≤，ln 1x x <- C .0x ?>，ln 1x x ≤-

D .00x ?>，00ln 1x x <-

2.若双曲线2

2

21y x b

-=（0b >）的一条渐近线方程为y x =，则该双曲线的离心率为（ ）

A .

54

B

C .

32

D .2

3.在空间直角坐标系Oxyz 中，点()2,1,1-在xOy 平面上的射影到坐标原点O 的距离为（ ）

A

B

C

D

4.如图是2021年至2025年我国5G 宏基站建设投资额预算（单位：亿元）的折线图，则以下结论不正确的是（ ）

A .5年比较，2023年投资额预算达到最大值

B .逐年比较，2022年投资额预算增幅最大

C .2021年至2023年，投资额预算逐年增加

D .2021年至2023年，投资额预算增幅逐年增加

5.若圆()2

2

1x a y -+=（0a >）与直线3

y x =

只有一个公共点，则a 的值为（ ）

A .1

B

C .2

D .6.如图是某次文艺比赛中七位评委为其中一位选手所打分数（满分为100分）的茎叶图.在去掉一个最高分和一个最低分后，所剩5个分数的方差为（ ）

A .

B .8

C .15

D .20

7.一个不透明盒子里装有标号为1，2，3，4，5的五张标签，现从中随机无放回地抽取两次，每次抽一张，则两次抽取的标签号数均为奇数的概率为（ ） A .

15

B .

310

C .

825

D .

25

8.已知两点()3,0A -，()3,0B .若动点M 满足2

2

MA MB d +=（0d >），则“18d ≥”是“动点M 的

轨迹是圆”的（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件

D .既不充分也不必要条件

9.甲乙两艘轮船都要在某一泊位停靠6小时，假定这两艘轮船在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为（ ） A .

7

16

B .

916

C .

116

D .

1516

10.为了解某地区的人口年龄分布情况，某机构从该地区年龄在[]20,80内的居民中随机抽取了100位进行调查，并将年龄按[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[]70,80分组，得到如图所示的频率分布直方图.则下列说法正确的是（ ） A .频率分布直方图中a 的值为0.017

B .这100位居民中有50位居民的年龄不低于60岁

C .估计这100位居民的平均年龄为53岁

D .该地区人口年龄分布在[)50,60的人数与分布在[)20,30的人数分别记为m ，n ，则9m n =一定成立

11.已知抛物线2

4x y =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，过点P 向抛物线的准线作垂线，垂足为N .若

30PNF ∠=?，则PNF △的面积为（ ）

A B .

12

C D

12.执行如图所示的程序语句，若输入m 的值为306，输出结果为17，则输入n 的值可能为（ ） A .98

B .102

C .105

D .119

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上. 13.一组数据8，7，3，7，6，9的极差为______.

14.已知命题p ：若x y <，则2

2

x y <；命题q ：m ?∈R ，直线10x my --=与椭圆2

212

x y +=恒有两个公共点.在命题Ⅱp ；Ⅱ()p q ∨?；Ⅱ()p q ?∧中，所有真命题的序号是______.

15.某公司从A ，B ，C ，D 四个女孩中选两位担任该公司的两个秘书职位.假定每个女孩是否被选中是等可能的，则事件“女孩A 或女孩B 被选中”的概率为______.

16.已知椭圆22

2:18x y C a +

=（a >的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上且位于第一象限，12F PF ∠的平分线交x 轴于点M ，若1

22FM MF =，则a 的取值范围为______. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）

已知双曲线22

22:1x y C a b

-=（0a >，0b >）

的两个焦点分别为()1F ，)2F ，且过点)

2M

.

（Ⅰ）求双曲线C 的虚轴长；

（Ⅱ）求与双曲线C 有相同渐近线，且过点()2,4P -的双曲线的标准方程. 18.（本小题满分12分）

已知圆E 经过点()6,0A -，()2,0B ，且圆心E 在直线y x =-上. （Ⅰ）求圆E 的一般方程；

（Ⅱ）若圆2

2

:4O x y +=和圆E 相交于点M ，N ，求线段MN 的长. 19.（本小题满分12分）

为统计某城市居民用水情况，利用随机抽取的100位居民某年的月均用水量（单位：t ）为样本组距绘制成了如图所示的频率分布直方图.将图中从左至右每个小长方形对应组的中间值i x （i x 为第i 组左右两个边界值的算术平均数，如100.5

0.252

x +=

=）

与高i y 表示的有序数对(),i i x y 作为样本数据，其中1,2,3,,9i =.

记Mo 表示i y 取最大值时所对应的i x 的值.

（Ⅰ）根据频率分布直方图求Mo 的值；

（Ⅱ）求程序框图的输出结果i 的值，令1n i =-，记11

0.75n

n k

k Me x y

+==+-

∑.若Me Mo <，则称样本数

据符合“左偏分布”；否则不符合“左偏分布”.请问本题的样本数据是否符合“左偏分布”？

20.（本小题满分12分）

为做好传染病的防治工作，某部门收集了所辖5个地区一个月中的就诊人数x （单位：人）和参与治疗的

医务人员人数y （单位：人），相关数据如下表：

（Ⅰ）研究发现y 与x 之间具有线性相关关系.试根据表中统计数据，求出y 关于x 的线性回归方程

y bx a =+；

（Ⅱ）若该部门将所辖5个地区按参与治疗的医务人员人数不超过5人和超过5人的标准分别划分为“甲类区域”和“乙类区域”.现采用分层抽样的方法在甲乙两类区域参与治疗的所有医务人员中共抽取14人进行培训，求所抽取的“甲类区域”的医务人员来自不同地区的概率.

参考数据：

()

5

2

1

50i

i x x =-=∑，5

1

563i i i x y x y =-=∑.

参考公式：()()()

1

1

2

2

21

1

n

n

i

i

i i

i i n

n

i

i

i i x x y y x y nx y

b x x x

nx

====---=

=

--∑∑∑∑，a y bx =-.

21.（本小题满分12分）

如图，在圆2

2

:4O x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足. （Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程；

（Ⅱ）过点()2,0E 的直线l 与动点M 的轨迹相交于A ，B 两点，求OAB △面积的最大值.

22.（本小题满分12分）

如图，已知直线:1l x =-，点()1,0F .H 为直线l 上任意一点，过点H 且与l 垂直的直线交线段HF 的垂直平分线于点M ，记动点M 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；

（Ⅱ）若N 为线段HF 与曲线C 的交点，且HF NF λ=，其中λ∈R .求2HF λ-的值.

2020～2021学年度上期期末高二年级调研考试

数学（文科）参考答案及评分意见

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：（每小题5分，共60分）

1.A ；

2.B ；

3.C ；

4.D ；

5.C ；

6.B ；

7.B ；

8.B ；

9.A ；10.C ；11.C ；12.D .

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：（每小题5分，共20分） 13.6； 14.Ⅱ； 15.

5

6

； 16.()3,+∞. 三、解答题：（共70分）

17.解：（Ⅰ）由题意，易知22MF =，12F F =212MF F F ⊥.

在21Rt MF F △中，14MF ==.

由双曲线的定义可知，122MF MF a -=，22a ∴=，即1a =.

Ⅱ双曲线C 的两个焦点分别为()1F ，)

2

F ，

Ⅱ半焦距c =

又

222a b c +=，b ∴=

故双曲线C 的虚轴长为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C 的方程为2

2

12

y x -=.

设与双曲线C 有相同渐近线的双曲线的方程为2

2

2

y x λ-=（0λ≠）. 将点()2,4P -的坐标代上述方程，得4λ=-.

故所求双曲线的标准方程为22

184

y x -=. 18.解：（Ⅰ）由圆E 经过点()6,0A -，()2,0B ，得圆心E 在直线2x =-上. 又Ⅱ圆心E 在直线y x =-上，Ⅱ圆心E 的坐标为()2,2-.

设圆E 的半径为r ，则r EB ==

=.

故圆E 的方程为()()2

2

2220x y ++-=.

化成一般方程为22

44120x y x y ++--=.

（Ⅱ）圆O 与圆E 的方程联立，得到方程组2

22

2

4140,420.

x x y x y y ?+-=???++-?-=①

②

Ⅱ—Ⅱ，得20x y --=，即为直线MN 的方程.

原点O 到直线MN 的距离

d =

=

=

又圆O 的半径为2，∴由勾股定理，得2

MN

==.

故MN =

19.解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，得i y 的最大值为50.50y =，该值所对应小长方形左右两个边界值分别为2和2.5.

Ⅱ对应组的中间值52 2.5

2.252

x +=

=，即Mo 的值为2.25. （Ⅱ）执行程序框图，输入10.08y =，得00.50.080.040.5S =+?=≤；

输入20.16y =，得0.040.50.160.120.5S =+?=≤；

输入30.30y =，得0.120.50.300.270.5S =+?=≤；

输入40.44y =，得0.270.50.440.490.5S =+?=≤；

输入50.50y =，得0.490.50.500.740.5S =+?=>. 故输出结果i 的值为5.

514n ∴=-=，

4

151

1

0.750.750.75 2.250.98 2.02n

n k k h h Me x y x y +===+-=+-=+-=∑∑.

而 2.25Mo =，即有Me Mo <. Ⅱ本题样本数据符合“左偏分布”. 20.解：（Ⅰ）由题意，得5x =，7y =.

由参考数据

()

5

2

1

50i

i x x =-=∑，5

1

563i i i x y x y =-=∑.

得63

1.2650

b =

=. 又5x =，7y =，75 1.260.7a y bx ∴=-=-?=.

故所求线性回归方程为 1.260.7y x =+.

（Ⅱ）依题意B 地和E 地属于“甲类区域”，两地共计5名医务人员参与治疗，总共有35位医务人员参与治疗，所以应从“甲类区域”的5名医务人员抽取5

14235

?

=名. 记B 地三名医务人员分别为1B ，2B ，3B ，E 地两名医务人员分别为1E ，2E .

则所抽两名医务人员所有可能结果为()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，()11,B E ，()12,B E ，()21,B E ，()22,B E ，

()31,B E ，()31,B E ，()32,B E ，()12,E E ，共计10种.

这两名医务人员分别来自不同地区的结果有()11,B E ，()12,B E ，()21,B E ，()22,B E ，()31,B E ，()32,B E ，共计6种.

故所抽取的“甲类区域”的医务人员来自不同地区的概率为3

5

. 21.解：（Ⅰ）设(),M x y ，(),P P P x y ，则(),0P D x .

M 为线段PD 的中点，02

P P x x y y =??

∴?+=??，即P x x =，2P y y =.

又点P 在圆2

2

:4O x y +=上，()

2

2

24x y ∴+=，即2

214

x y +=.

故点M 的轨迹方程为2

214

x y +=. （Ⅱ）解法一：

Ⅱ直线l 过点()0,2E ，设:2l y kx =+（0k ≠）.设()11,A x y ，()22,B x y .

由22214

y kx x y =+???+=??，消去y ，得()221416120k x kx +++=，

由()(

)2

2

1648140k k

?=-+>，得2

430k

->，即234

k >

. 则1221614k x x k -+=

+，122

12

14x x k

=+.

2

14AB k ∴===+. 又原点O 到直线l

的距离为d =

，

故OAB △

面积12S AB d =?=.

设2

43t k =-，则0t >.

1S ==≤，当且仅当4t =，即27

4k =时等号成立.

此时2

73

44

k =

>，符合题意. OAB ∴△面积的最大值为1.

解法二：

Ⅱ直线l 过点()0,2E ，设:2l y kx =+（0k ≠）.

由22

214

y kx x y =+???+=??，消去y ，得()221416120k x kx +++=， 由()(

)2

2

1648140k k

?=-+>，得2

430k

->，即234

k >

.

设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221614k x x k -+=

+，12

2

12

14x x k =+.

AB ∴===. 又原点O 到直线l

的距离为d =

，

故OAB △

面积12S AB d =?=.

2

2

22

2

44114k k +-=≤

=+，当且仅当227

4

k =

时等号成立. 此时2

73

44

k =

>，符合题意. OAB ∴△面积的最大值为1.

22.解：（Ⅰ）根据线段垂直平分线的性质，知MH MF =. Ⅱ动点M 的轨迹是以()1,0F 为焦点，1x =-为准线的抛物线.

故曲线C 的方程为2

4y x =. （Ⅱ）解法一：

由题意，直线HF 的斜率一定存在.设点(),N N N x y . Ⅱ若直线HF 的斜率为0，则2422HF λ-=-=.

Ⅱ若直线HF 的斜率不为0，设直线():1HF y k x =-，且由题意知()0,1N x ∈.

由()214y k x y x

?=-??

=??，消去y ，得()2222

240k x k x k -++=.

0k ≠，()21610k ?=+>，

则N x = 又()1,2H k --，2HF k ∴=.

2

11N

HF x NF

λ

∴=

=

=

-.

(

)

22

12HF λ∴-=-=.即2HF λ-的值为2.

解法二：

设点(),N N N x y ，()1,H H y -.

当0H y =，即()1,0H -时，易得2

2HF HF NF

-=.

当0H y ≠时，设直线:1HF x my =+（0m ≠）.

由214x my y x

=+??=?，消去x ，得2440y my --=. 在直线:1HF x my =+中，由1H y =

-，得2

H y m

=-. Ⅱ0m <，则0N y >.

2N

y m

∴=

=+

222H H N y HF

y λ

∴-=?-=()22=-=.

Ⅱ若0m >，则0N y <.

2N y m ∴=

=-

222H H N y HF y m

λ∴-=

?-=-

()22m m m

=-?-=.

综上所述，2HF λ-的值为2.

解法三：

如图，易知直线:1l x =-为抛物线C 的准线，过点N 作NN l '⊥，交直线l 于点N '，记点()1,0-为F '，则有HN N HF F ''△△∽.

HN N N HF F F

'∴

=

' 又2F F '=，且根据抛物线的定义知N N NF '=，

2

HN N N NF

HF F F '∴

==

' 则有2HF NF HN ?=

故2222222HF HF HF NF HF HN

NF

HF HF NF NF NF NF

λ-?--=

-====.