实系数一元二次方程 教案

实系数一元二次方程

一、教学目标：

1、理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数集中解实系数一元二次方程。

2、掌握当0∆<时，实系数一元二次方程根与系数的关系

3、培养类比推理的思想方法及探索精神。 二、教学重点：在复数集内解实系数一元二次方程。 三、教学难点：共轭虚根的应用 四、教学过程： （一）复习旧知：

1、师问：我们初中学习了解一元二次方程2

0ax bx c ++=(a b c R ∈、、且0)a ≠，对这个方程，我们有哪些认识？

生答：①当2

40b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实根：22b x a

a

=-±

；

②当2

40b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实根； ③当240b ac ∆=-<时，方程无实根。

根与系数的关系：设方程的两个根为12,x x ，则有12b x x a

+=-

，12c x x a

=

2、上一节课学习了“复数的平方根与立方根”，大家知道-1的平方根是:i ±. 师问：一元二次方程2

10x +=在复数范围内有没有解？ 师问：在复数范围内如何解一元二次方程2

10x x ++=？ 引出本节课的课题：实系数一元二次方程 （二）讲授新课

1、实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况： （1）回忆求解实数范围内一元二次方程的过程

设一元二次方程2

0(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且.

因为0a ≠，所以原方程可变形为 2

b c x x a

a

+

=-

，

配方得 2

2

()(

)22b b c x a

a

a

+

=-

，

即 2

2

2

4()24b b ac x a

a

-+

=

.

（1）当2

40b ac ∆=->时，原方程有两个不相等的实数根22b x a

a

=-

±

；

（2）当2

40b ac ∆=-=时，原方程有两个相等的实数根2b x a

=-

；

2、师问：当2

40b ac ∆=-<时，你能有上述过程及上节课的知识推倒出方程的根的情况吗？ 生：当

2

2

404b ac a

-<，由上一堂课的教学内容知，

2

2

44b ac a

-的平方根为

2i a

±

， 即i a

b a

c a

b x 2422

-±

=+

，

此时原方程有两个不相等的虚数根：22b x i a

a

=-

±

为一对共轭虚数根

3、师问：2

40b ac ∆=-<根与系数的关系成立吗？（类比，猜想） 带领学生证明根与系数的关系：12b x x a

+=-

，12c x x a

=

（证明）

结论：（1）实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解：当0∆≥时，有两个实根；当

0∆<时，有一对共轭虚根.

（2）韦达定理仍然适用。

例1：在复数集中解方程：（1）210x x ++= （2） 2

2450x x -+= 学生练习：（1）2

50x += （2）2

230x x ++=

小结：强化巩固在复数范围内解实系数一元二次方程 变式：在复数集中解方程：2350()x x m m R -+=∈ 小结：渗透含参问题分类讨论的思想方法。

例2：已知实系数一元二次方程2

20x ax b ++=的一个根为23i -，求,a b 的值． 小结：共轭虚根及根与系数关系的应用

例3：已知12,x x 是实系数方程2

0x x p ++=的两根，且满足12||3x x -=，求实数p 的值。

小结：法一：题目中没有讲明根的虚实，需对根的情况分类讨论

法二：利用复数性质22||||z z =转化，在利用根与系数的关系，可避免对根的情况讨论。

思考题：已知关于x 的实系数方程2

2

30x kx k k ++-=有一个模为2的根，求实数k 的值

（三）课堂小结： （四）回家作业 练习册配套作业