2018年中考数学总复习 中档题型突破专项训练

2018年中考数学总复习 中档题型突破专项训练
中档题型专训(一)
数与式的运算与求值
本专题主要考查实数的运算、整式与分式的化简与求值，纵观遵义近五年中考往往以计算题、化简求值题的形式出现，属基础题．复习时要熟练掌握实数的各种运算，并注意混合运算中的符号与运算顺序；在整式化简时要灵活运用乘法公式及运算律；在分式的化简时要灵活运用因式分解知识，分式的化简求值，还应注意整体思想和各种解题技巧．
,中考重难点突破)
实数的运算
【例1】(2017乐山中考)计算： 2sin 60°＋|1－3|＋2 0170
－27. 【解析】特殊角三角函数要牢记． 【答案】解：原式＝2×3
2
＋3－1＋1－3 3 ＝－ 3.
1．(2017达州中考)计算：
2 0170
－|1－2|＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－1
＋2cos 45°.
解：原式＝1－2＋1＋3＋2×22
＝5－2＋ 2 ＝5.
2．(2017泸州中考)计算：
(－3)2＋2 0170
－18×sin 45°. 解：原式＝9＋1－32×
22
＝10－3 ＝7.
3．(2017桂林中考)计算： (－2 017)0
－sin 30°＋8＋2－1
.
解：原式＝1－12＋22＋1
2
＝1＋2 2.
4．(2017兰州中考)计算：
(2－3)0
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12－2
－|－2|－2cos 60°.
解：原式＝1＋4－2－2×1
2
＝2.
整式的运算与求法
【例2】(2017怀化中考)先化简，再求值：
(2a －1)2
－2(a ＋1)(a －1)－a(a －2)，其中a ＝2＋1. 【解析】先利用公式及去括号法则化简，再代入求值．
【答案】解：原式＝4a 2－4a ＋1－2a 2＋2－a 2
＋2a ＝a 2
－2a ＋3，
当a ＝2＋1时，原式＝3＋22－22－2＋3＝4.
5．(2017常州中考)先化简，再求值： (x ＋2)(x －2)－x(x －1)，其中x ＝－2.
解：原式＝x 2－4－x 2
＋x ＝x －4，
当x ＝－2时，原式＝－6.
6．(2017长春中考)先化简，再求值：
3a(a 2＋2a ＋1)－2(a ＋1)2
，其中a ＝2.
解：原式＝3a 3＋6a 2＋3a －2a 2
－4a －2
＝3a 3＋4a 2
－a －2，
当a ＝2时，原式＝24＋16－2－2＝36. 7．(2017河南中考)先化简，再求值：
(2x ＋y)2＋(x －y)(x ＋y)－5x(x －y)，其中x ＝2＋1，y ＝2－1.
解：原式＝4x 2＋4xy ＋y 2＋x 2－y 2－5x 2
＋5xy ＝9xy ，
当x ＝2＋1，y ＝2－1时，
原式＝9(2＋1)(2－1)＝9×(2－1)＝9×1＝9.
8．已知(x －2＋3)2＋|y ＋2＋3|＝0，求(x ＋2y)2－(x －2y)2
的值．
解：∵(x－2＋3)2
＋|y ＋2＋3|＝0， ∴x ＝2－3，y ＝－2－3，
又∵(x＋2y)2－(x －2y)2
＝x 2＋4xy ＋4y 2－x 2＋4xy －4y 2
＝8xy ， 把x ＝2－3，y ＝－2－3代入得，
原式＝8×(2－3)×(－2－3)＝－8.
分式的化简求值
【例3】(2017鄂州中考)先化简，再求值：
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋3－3x x ＋1÷x 2
－x x ＋1，其中x 的值从不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧2－x≤3，2x －4＜1的整数解中选取． 【解析】先化简，再解不等式组．
【答案】解：原式＝(x 2
－1x ＋1＋3－3x x ＋1)÷x （x －1）
x ＋1
＝x 2
－3x ＋2x ＋1·x ＋1
x （x －1）
＝（x －1）（x －2）x ＋1·x ＋1
x （x －1）
＝
x －2x
， 解不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧2－x≤3，2x －4＜1，得－1≤x＜5
2，
∴不等式组的整数解有－1，0，1，2，
∵不等式有意义时x≠±1、0， ∴x ＝2，则原式＝0.
9．(2017常德中考)先化简，再求值：
⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋3x －3－13－x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2
－2x ＋1x 2－3x ＋2－2x －2，其中x ＝4. 解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2
－4x ＋3x －3＋1x －3·⎣⎢⎡⎦
⎥⎤（x －1）2
（x －1）（x －2）－2x －2 ＝（x －2）2
x －3·⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x －2－2x －2
＝（x －2）2
x －3·x －3x －2
＝x －2，
当x ＝4时，原式＝4－2＝2.
10．(2017东营中考)先化简，再求值：
⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1－a ＋1÷a 2
－4a ＋4a ＋1＋4a －2－a ，并从－1，0，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值．
解：原式＝3－（a －1）（a ＋1）a ＋1·a ＋1（a －2）2
＋4a －2－a ＝－（a ＋2）（a －2）（a －2）2
＋4a －2－a ＝－a －2a －2＋4a －2－a ＝
－（a －2）
a －2
－a
＝－a －1，
当a ＝0时，原式＝－0－1＝－1. 11．(2017聊城中考)先化简，再求值： 2－3x ＋y x －2y ÷9x 2
＋6xy ＋y 2
x 2－4y
2
，其中x ＝3，y ＝－4.
解：原式＝2－3x ＋y x －2y ·（x ＋2y ）（x －2y ）
（3x ＋y ）2
＝2－x ＋2y
3x ＋y
＝2（3x ＋y ）－（x ＋2y ）
3x ＋y
＝6x ＋2y －x －2y
3x ＋y
＝
5x
3x ＋y
， 当x ＝3，y ＝－4时，
原式＝5×33×3＋（－4）＝159－4＝15
5
＝3.
12．(2017玉林中考)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1－3a －1÷
a －22a －2，然后给a 从1，2，3中选取一个合适的数代入求值．
解：原式＝（a ＋1）（a －1）－3a －1·2（a －1）
a －2
＝
（a ＋2）（a －2）a －1·2（a －1）a －2
＝2(a ＋2)
＝2a ＋4，
当a ＝3时，原式＝6＋4＝10.
13．(2017盐城中考)先化简，再求值： x ＋3x －2÷⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋2－5x －2，其中x ＝3＋ 3.
解：原式＝x ＋3x －2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2
－4
x －2－5x －2
＝x ＋3x －2÷x 2
－9x －2 ＝x ＋3x －2·x －2
（x ＋3）（x －3） ＝
1
x －3
， 当x ＝3＋3时，原式＝13＋3－3＝13＝3
3.
14．(2017荆州中考)先化简，再求值： x ＋1x －1－1x 2－1÷1
x ＋1
，其中x ＝2. 解：原式＝x ＋1x －1－1
（x －1）（x ＋1）·(x ＋1)
＝
x ＋1x －1－1
x －1
＝
x
x －1
， 当x ＝2时，原式＝22－1＝2
1
＝2.
中档题型专训(二)
方程(组)、不等式(组)的解法及其应用
本专题主要考查方程(组)、不等式(组)的解法以及方程(组)和不等式(组)的应用，遵义中考往往以解答题的形式出现，属中档题．复习时要熟练掌握方程(组)与不等式(组)的解法以及它们的应用，并会检验解答结果的正确与否．
,中考重难点突破)
方程(组)的解法
【例1】(2017广东中考模拟)已知二元一次方程组⎩
⎪⎨⎪
⎧2x ＋y ＝14，－3x ＋2y ＝21的解为x ＝a ，y ＝b ，
求a ＋b 的值．
【解析】根据二元一次方程组的特点，灵活选择代入消元法或加减消元法即可．
【答案】解：∵⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝14，－3x ＋2y ＝21，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12， ∴a ＝1，b ＝12，∴a ＋b ＝13.
1．(2017北京中考)关于x 的一元二次方程x 2
－(k ＋3)x ＋2k ＋2＝0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根小于1，求k 的取值范围．
解：(1)∵在方程x 2
－(k ＋3)x ＋2k ＋2＝0中，
Δ＝[－(k ＋3)]2
－4×1×(2k＋2) ＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2
≥0， ∴方程总有两个实数根；
(2)∵x 2
－(k ＋3)x ＋2k ＋2＝(x －2)(x －k －1)＝0， ∴x 1＝2，x 2＝k ＋1. ∵方程有一根小于1，
∴k ＋1＜1，解得k ＜0，∴k 的取值范围为k ＜0. 2．(2017陕西中考)解方程：x ＋3x －3－2
x ＋3＝1.
解：去分母，得(x ＋3)2
－2(x －3)＝(x －3)(x ＋3)，
去括号，得x 2＋6x ＋9－2x ＋6＝x 2
－9， 移项，系数化为1，得x ＝－6， 经检验，x ＝－6是原方程的解.
解不等式(组)
【例2】(2017黔东南中考)解不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x －3（x －2）≥4，①2x －15
＜x ＋12，②并把解集在数轴上表示
出来．
【解析】先解不等式组中的每一个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解，把它们的解集用一条数轴表示出来．
【答案】解：由①得：－2x≥－2，即x≤1，
由②得：4x －2＜5x ＋5，即x ＞－7，所以－7＜x≤1. 在数轴上表示为：
3．(2017枣庄中考)x 取哪些整数值时，不等式5x ＋2＞3(x －1)与12x ≤2－3
2x 都成立？
解：根据题意解不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧5x ＋2＞3（x －1），①12x ≤2－3
2x ，② 解不等式①，得x ＞－5
2，解不等式②，得x≤1，
∴－5
2
＜x≤1，故满足条件的整数有－2，－1，0，1.
方程(组)、不等式(组)的应用
【例3】(2017常德中考)收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．
请问：
(1)2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少； (2)2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？
【解析】(1)一般用增长后的量＝增长前的量×(1＋增长率)，2016年收到微信红包金额400(1＋x)元，在2016年的基础上再增长x ，就是2017年收到微信红包金额400(1＋x)(1
＋x)，由此可列出方程400(1＋x)2
＝484，求解即可；(2)设甜甜在2017年六一收到微信红包为y 元，则她妹妹收到微信红包为(2y ＋34)元，根据她们共收到微信红包484元列出方程并解答．
【答案】解：(1)设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是x ，
依题意得：400(1＋x)2
＝484，
解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝－2.1(舍去)．
答：2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是10%； (2)设甜甜在2017年六一收到微信红包为y 元． 依题意得：2y ＋34＋y ＝484，解得y ＝150， 所以484－150＝334(元)．
答：甜甜在2017年六一收到微信红包为150元，则她妹妹收到微信红包为334元．
4．(2017重庆中考)某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．
(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400 kg，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克；
(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100 kg，销售均价为30元/kg，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200 kg，销售均价为20元/kg，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m 的值．
解：(1)设该果农今年收获樱桃x kg，
根据题意得：400－x≤7x，解得x≥50.
答：该果农今年收获樱桃至少50 kg；
(2)由题意可得：
100(1－m%)×30＋200×(1＋2m%)×20(1－m%)＝100×30＋200×20，
令m%＝y，原方程可化为：
3 000(1－y)＋
4 000(1＋2y)(1－y)＝7 000，
整理可得：8y2－y＝0，解得y1＝0，y2＝0.125，
∴m1＝0(舍去)，m2＝12.5.
答：m的值为12.5.
5．(2017桂林中考)为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5 000万元，2017年投入基础教育经费7 200万元．
(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；
(2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1 500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3 500元，购买一台实物投影需2 000元，则最多可购买电脑多少台？
解：(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x.
根据题意得5 000(1＋x)2＝7 200，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)．
答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%；
(2)2018年投入基础教育经费为7 200×(1＋20%)＝8 640(万元)，
设购买电脑m台，则购买实物投影仪(1 500－m)台，
根据题意得：
3 500m＋2 000(1 500－m)≤86 400 000×5%，
解得m≤880.
答：2018年最多可购买电脑880台.
6．(2017安顺中考)某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，
商场决定此次进货的总资金不超过1 000元，求商场共有几种进货方案？
解：(1)设甲种玩具进价x 元/件，则乙种玩具进价为(40－x)元/件，
根据题意得：90x ＝150
40－x
，解得x ＝15，
经检验，x ＝15是原方程的解．∴40－x ＝25. ∴甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；
(2)设购进甲种玩具y 件，则购进乙种玩具(48－y)件，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧y ＜48－y ，15y ＋25（48－y ）≤1 000，解得20≤y＜24. ∵y 是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数， ∴y 取20，21，22，23，共有4种方案.
7.(2017广州中考)甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的4
3倍，甲队比乙队
多筑路20天．
(1)求乙队筑路的总公里数；
(2)若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5∶8，求乙队平均每天筑路多少公里．
解：(1)60×4
3
＝80(公里)．
答：乙队筑路的总公里数为80公里；
(2)设乙队平均每天筑路8x 公里，则甲队平均每天筑路5x 公里． 根据题意得：605x －80
8x
＝20，解得x ＝0.1，
经检验，x ＝0.1是原方程的解，∴8x ＝0.8. 答：乙队平均每天筑路0.8公里. 8．(2017益阳中考)我市南县大力发展农村旅游事业，全力打造“洞庭之心湿地公园”，其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘，游人如织．去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入20万元创办农家乐(餐饮＋住宿)，一年时间就收回投资的80%，其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元．
(1)求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元；
(2)今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售和网上销售项目．他在接受记者采访时说：“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回所有投资外，还将获得不少于10万元的纯利润．”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？
解：(1)设去年餐饮利润x 万元，住宿利润y 万元，
依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20×80%，x ＝2y ＋1，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝5， 答：去年餐饮利润11万元，住宿利润5万元；
(2)设今年土特产利润m 万元，
依题意，得16＋16×(1＋10%)＋m －20－11≥10， 解得m≥7.4.
答：今年土特产销售至少有7.4万元的利润.
9．(2017邵阳中考)某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个．
(1)求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数； (2)由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值．
解：(1)设每辆小客车的乘客座位数是x 个，大客车的乘客座位数是y 个，
根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝17，6y ＋5x ＝300，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18，
y ＝35.
答：每辆小客车的乘客座位数是18个，大客车的乘客座位数是35个；
(2)设租用a 辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，则18a ＋35(11－a)≥300＋30，
解得a≤34
17
，符合条件的a 最大整数为3，
答：租用小客车数量的最大值为3.
10．(2017山西中考)“春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子(去皮后则称为“小米”)，被誉为中华民族的哺育作物．我省有着“小杂粮王国”的美誉，谷子作为我省杂粮谷物中的大类，其种植面积已连续三年全国第一.2016年全国谷子种植面积为2 000万亩，年总产量为150万吨，我省谷子平均亩产量为160 kg ，国内其他地区谷子的平均亩产量为60 kg ，请解答下列问题：
(1)求我省2016年谷子的种植面积是多少万亩；
(2)2017年，若我省谷子的平均亩产量仍保持160 kg 不变，要使我省谷子的年总产量不低于52万吨，那么，今年我省至少应再多种植多少万亩的谷子？
解：(1)设我省2016年谷子的种植面积是x 万亩，其他地区谷子的种植面积是y 万亩，依题意有
⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2 000，1601 000x ＋160
1 000
y ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝300，
y ＝1 700， 答：我省2016年谷子的种植面积是300万亩； (2)设我省应种植z 万亩的谷子，依题意有
160
1 000
z ≥52，解得z≥325，325－300＝25(万亩)． 答：今年我省至少应再多种植25万亩的谷子
中档题型专训(三)
一次函数和反比例函数结合
纵观近5年遵义市中考试题，一次函数与反比例函数的综合是中考命题的重点内容．侧重考查用待定系数法确定反比例函数和一次函数解析式及解决相关问题．
,中考重难点突破)
利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式
【例1】(2017泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的斜边OA 在x 轴的正半轴上，∠OBA ＝90°，且tan ∠AOB ＝12，OB ＝25，反比例函数y ＝k
x 的图象经过点B.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若△AMB 与△AOB 关于直线AB 对称，一次函数y ＝mx ＋n 的图象过点M ，A ，求一次函数的解析式．
【解析】(1)过点B 作BD⊥OA 于点D ，设BD ＝a ，通过解Rt △OBD 得到OD ＝2BD.然后利用勾股定理列出关于a 的方程并解答即可；(2)欲求直线AM 的解析式，只需推知点A ，M 的坐标即可．通过解Rt △AOB 求得OA ＝5，则A(5，0)．根据对称的性质得到：OM ＝2OB ，结合B(4，2)求得M(8，4)．然后由待定系数法求一次函数解析式即可．
【答案】解：(1)过点B 作BD⊥OA 于点D ，设BD ＝a ，
∵tan ∠AOB ＝BD OD ＝1
2，
∴OD ＝2BD.
∵∠ODB ＝90°，OB ＝25， ∴a 2＋(2a)2＝(25)2
， 解得a ＝±2(－2舍去)， ∴a ＝2.∴OD＝4，
∴B(4，2)，∴k ＝4×2＝8， ∴反比例函数解析式为y ＝8
x ；
(2)∵tan ∠AOB ＝1
2，OB ＝25，
∴AB ＝1
2
OB ＝5，
∴OA ＝OB 2
＋AB 2
＝（25）2
＋（5）2
＝5， ∴A(5，0)．
又∵△AMB 与△AOB 关于直线AB 对称，B (4，2)，
∴OM ＝2OB ，∴M(8，4)．
把点M ，A 的坐标分别代入y ＝mx ＋n ，得
⎩
⎪⎨⎪⎧5m ＋n ＝0，
8m ＋n ＝4，解得⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝43，n ＝－203
，
∴一次函数解析式为：y ＝43x －20
3
.
1．(2017绵阳中考)如图，设反比例函数的解析式为y ＝3k
x
(k ＞0)．
(1)若该反比例函数与正比例函数y ＝2x 的图象有一个交点的纵坐标为2，求k 的值； (2)若该反比例函数与过点M(－2，0)的直线l ：y ＝k x ＋b 的图象交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积为16
3
时，求直线l 的解析式．
解：(1)由题意A(1，2)，
把A(1，2)代入y ＝3k x ，得到3k ＝2，∴k ＝2
3；
(2)把M(－2，0)代入y ＝kx ＋b ，可得b ＝2k ，
∴y ＝kx ＋2k ，
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3k x ，y ＝kx ＋2k
消去y 得到x 2＋2x －3＝0，
解得x ＝－3或1，
∴B(－3，－k)，A(1，3k)， ∵△ABO 的面积为16
3，
∴12·2·3k ＋12·2·k ＝163， 解得k ＝43
，
∴直线l 的解析式为y ＝43x ＋8
3
.
与面积有关的问题
【例2】(2017遵义十一中二模)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝mx 与双曲线y ＝n
x
相交于A(－1，a)，B 两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，△AOC 的面积是1. (1)求m ，n 的值；
(2)求直线AC 的解析式．
【解析】(1)因为A(－1，a)，所以B 的横坐标为1，即C(1，0)．再由S △AOC ＝1，得A(－1，2)，再代入y ＝mx 与y ＝n
x
即可；(2)将A ，C 坐标代入即可．
【答案】解：(1)∵直线y ＝mx 与双曲线y ＝n
x 相交于A(－1，a)，B 两点，∴B 点横坐标
为1，即C(1，0)，
∵S △AOC ＝1
2
·|y A |·OC ＝1，
∴A(－1，2)，将A(－1，2)代入y ＝mx ，y ＝n
x ，
得m ＝－2，n ＝－2；
(2)设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝2，k ＋b ＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1. ∴直线AC 的解析式为y ＝－x ＋1.
2．(2017恩施中考)如图，∠AOB ＝90°，反比例函数y ＝－2
x (x ＜0)的图象过点A(－1，
a)，反比例函数y ＝k
x
(k ＞0，x ＞0)的图象过点B ，且AB∥x 轴．
(1)求a 和k 的值；
(2)过点B 作MN∥OA，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，交双曲线y ＝k
x 于另一点，求△OBC
的面积．
解：(1)∵反比例函数y ＝－2x (x ＜0)的图象过点A(－1，a)，∴a ＝－2
－1
＝2，∴A(－1，
2)，
过A 作AE⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ， ∴AE ＝2，OE ＝1，
∵AB ∥x 轴，∴BF ＝2， ∵∠AOB ＝90°，
∴∠EAO ＋∠AOE＝∠AOE＋∠BOF＝90°， ∴∠EAO ＝∠BOF，∴△AEO ∽△OFB ，
∴AE OF ＝OE
BF
，∴OF ＝4， ∴B(4，2)，∴k ＝4×2＝8； (2)∵直线OA 过A(－1，2)， ∴直线AO 的解析式为y ＝－2x ， ∵MN ∥OA ，
∴设直线MN 的解析式为y ＝－2x ＋b ， ∴2＝－2×4＋b ，∴b ＝10，
∴直线MN 的解析式为y ＝－2x ＋10， ∵直线MN 交x 轴于点M ，交y 轴于点N ， ∴M(5，0)，N(0，10)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋10，y ＝8x
，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，∴C(1，8)，
∴S △OBC ＝S △OMN －S △OCN －S △OBM ＝12×5×10－12×10×1－1
2×5×2 ＝15.
与最小(大)值有关的问题
【例3】一次函数y ＝mx ＋5的图象与反比例函数y ＝k
x (k≠0)在第一象限的图象交于
A(1，n)和B(4，1)两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为M.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△OAM 的面积S ；
(3)在y 轴上求一点P ，使PA ＋PB 最小． 【解析】(1)根据待定系数法分别求出反比例函数与一次函数解析式即可；(2)根据反比例函数的性质，xy ＝k 直接求出面积即可；(3)作点A 关于y 轴的对称点N ，连接BN 交y 轴于点P ，则点P 即为所求．
【答案】解：(1)将B(4，1)代入y ＝k x ，得1＝k
4
.
∴k ＝4，∴y ＝4
x
，
将B(4，1)代入y ＝mx ＋5，得1＝4m ＋5， ∴m ＝－1，∴y ＝－x ＋5；
(2)在y ＝4
x 中，令x ＝1，解得y ＝4，
∴A(1，4)，∴S ＝1
2
×1×4＝2；
(3)作点A 关于y 轴的对称点N ，则N(－1，4)， 连接BN 交y 轴于点P ，点P 即为所求． 设直线BN 的关系式为y ＝kx ＋b ，
由⎩
⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝1，
－k ＋b ＝4，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－35，
b ＝175
，
y ＝－35x ＋175，∴P ⎝
⎛⎭⎪⎫0，175.
3．(2017株洲中考)如图所示，Rt △PAB 的直角顶点P(3，4)在函数y ＝k
x (x ＞0)的图象
上，顶点A ，B 在函数y ＝t
x (x ＞0，0＜t ＜k)的图象上，PA ∥y 轴，连接OP ，OA ，记△OPA
的面积为S △OPA ，△PAB 的面积为S △PAB ，设w ＝S △OPA －S △PA B .
(1)求k 的值以及w 关于t 的解析式；
(2)若用w max 和w min 分别表示函数w 的最大值和最小值，令T ＝w max ＋a 2
－a ，其中a 为实数，求T min .
解：(1)∵点P(3，4)，∴在y ＝t x 中，当x ＝3时，y ＝t 3，即点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，t 3， 当y ＝4时，x ＝t 4，即点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4，4，
则S △PAB ＝12·PA ·PB ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4－t 3⎝ ⎛⎭⎪⎫
3－t 4，
延长PA 交x 轴于点C ，
则PC⊥x 轴，
又S △OPA ＝S △OPC －S △OAC ＝12×3×4－12
t
＝6－12
t ，
∴w ＝6－12t －12⎝ ⎛⎭⎪⎫4－t 3⎝ ⎛⎭⎪⎫
3－t 4
＝－124t 2＋12t ；
(2)∵w＝－124t 2＋12t
＝－124(t －6)2
＋32，
∴w max ＝32
，
则T ＝w max ＋a 2
－a ＝a 2
－a ＋32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋5
4
，
∴当a ＝12时，T min ＝5
4
.
与平移有关的问题
【例4】(2017遵义二中三模)如图，直线y ＝12x 与双曲线y ＝k
x (k>0，x>0)交于点A ，将
直线y ＝12x 向上平移4个单位长度后与y 轴交于点C ，与双曲线y ＝k
x (k>0，x>0)交于点B ，
若OA ＝3BC ，求k 的值．
【解析】分别过点A ，B 作AD⊥x 轴，BE ⊥x 轴，CF ⊥BE 于点F ，设A ⎝
⎛⎭⎪⎫3x ，32x ，可得
B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ，12x ＋4.
【答案】
解：∵将直线y ＝1
2x 向上平移4个单位长度后，与y 轴交于点C ，
∴平移后直线的解析式为y ＝1
2
x ＋4，
分别过点A ，B 作AD⊥x 轴，BE ⊥x 轴，CF ⊥BE 于点F ， 设A ⎝
⎛⎭⎪⎫3x ，32x ， ∵OA ＝3BC ，BC ∥OA ，CF ∥x 轴，∴△BCF ∽△AOD ，∴CF ＝1
3
OD ，
又∵点B 在直线y ＝12x ＋4上，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ＋4， ∵点A ，B 在双曲线y ＝k
x
(x>0)上，
∴3x ×32x ＝x×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4，解得x 1＝1，x 2＝0(舍去)， ∴k ＝3×1×32×1＝92
.
4．(2017贵阳中考)如图，直线y ＝2x ＋6与反比例函数y ＝k
x (k ＞0)的图象交于点A(1，
m)，与x 轴交于点B ，平行于x 轴的直线y ＝n(0＜n ＜6)交反比例函数的图象于点M ，交AB 于点N ，连接BM.
(1)求m 的值和反比例函数的解析式；
(2)直线y ＝n 沿y 轴方向平移，当n 为何值时，△BMN 的面积最大？ 解：(1)∵直线y ＝2x ＋6经过点A(1，m)， ∴m ＝2×1＋6＝8，∴A(1，8)， ∵反比例函数经过点A(1，8)，
∴8＝k
1
，∴k ＝8，
∴反比例函数的解析式为y ＝8
x
；
(2)由题意，设点M ，N 的坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8n ，n ，N ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫n －62，n ，
∵0＜n ＜6，∴n －6
2＜0，
∴S △BMN ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫|n －6
2|＋|8n |×n
＝12×⎝
⎛⎭⎪⎫
－n －62＋8n ×n ＝－114(n －3)2
＋254
，
∴n ＝3时，△BMN 的面积最大.
中档题型专训(四)
三角形、四边形中的相关证明及计算
纵观近5年遵义市中考题，三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合起来考查；四边形中要特别关注平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定，以及运用其性质解决有关计算的问题．
,中考重难点突破)
三角形的有关计算及证明
【例1】(2017荆门中考)已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，∠C ＝90°，OB ＝25，OC ＝20，若点M 是边OC 上的一个动点(与点O ，C 不重合)，过点M 作MN∥OB 交BC 于点N.
(1)求点C 的坐标；
(2)当△MCN 的周长与四边形OMNB 的周长相等时，求CM 的长； (3)在OB 上是否存在点Q ，使得△MNQ 为等腰直角三角形？若存在，请求出此时MN 的长；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)如图①，过C 作CH⊥OB 于H ，根据勾股定理得到BC ＝OB 2
－OC 2
＝252
－20
2
＝15，根据三角形的面积公式得到CH ＝OC·BC OB ＝20×15
25＝12，由勾股定理得到OH ＝
OC 2
－CH 2
＝16，于是得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到
CM CN ＝OC BC ＝2015＝4
3
，设CM ＝x ，则CN ＝34x ，根据已知条件列方程即可得到结论；(3)如图②，由(2)知，当CM ＝x ，则C N ＝
3
4x ，MN ＝5
4x ，①当∠NMQ 1＝90°，MN ＝MQ 1时，②当∠MNQ 2＝90°，MN ＝NQ 2时；③当∠MQN＝
90°，MQ ＝NQ 时，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【答案】解：(1)如图，过C 作CH⊥OB 于H ， ∵∠C ＝90°，OB ＝25，OC ＝20，
∴BC ＝OB 2
－OC 2
＝252
－202
＝15.
∵S △OBC ＝12OB ·CH ＝1
2OC ·BC，
∴CH ＝OC ·BC OB ＝20×15
25
＝12，
∴OH ＝OC 2
－CH 2
＝16，∴C(16，－12)；
(2)∵MN∥OB，∴△CNM ∽△CBO ，
∴CM CN ＝OC BC ＝2015＝43， ∴设CM ＝x ，则CN ＝3
4
x.
∵△MCN 的周长与四边形OMNB 的周长相等， ∴CM ＋CN ＋MN ＝O M ＋MN ＋BN ＋OB ， 即x ＋34x ＋MN ＝20－x ＋MN ＋15－3
4x ＋25，
解得x ＝1207，∴CM ＝1207
；
(3)由(2)知，当CM ＝x ，则CN ＝34x ，MN ＝5
4x ，
①当∠NMQ 1＝90°，MN ＝MQ 1时，如图①， ∵△OMQ 1∽△OBC ，∴MQ 1BC ＝OM
OB .
又∵MN＝MQ 1，
∴54x
15＝20－x 25，∴x ＝24037， ∴MN ＝54x ＝54×24037＝30037
；
,图①)
,图②)
②当∠MNQ 2＝90°，MN ＝NQ 2时，如图①， 此时，四边形MNQ 2Q 1是正方形， ∴NQ 2＝MQ 1＝MN ，∴MN ＝300
37
；
③当∠MQN＝90°，MQ ＝NQ 时，如图②， 过M 作MG⊥OB 于G ， ∵MN ＝2MQ ，MQ ＝2MG ，
∴MN ＝2MG ，∴MG ＝5
8x.
又∵△OMG∽△OBC，∴MG BC ＝OM
OB
，
∴58x
15＝20－x 25，∴x ＝48049，∴MN ＝54x ＝60049. ∴综上所述，符合条件的MN 的长为3007或60049
.
1．(2017北辰校级模拟)已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC.
(1)如图①，已知∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC.
①∠DAO的度数是______；
②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；
(2)设∠AOB＝α，∠BOC＝β.
①当α，β满足什么关系时，OA＋OB＋OC有最小值？请在图②中画出符合条件的图形，并说明理由；
②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA＋OB＋OC的最小值．
解：(1)①90°；
②线段OA，OB，OC之间的数量关系是
OA2＋OB2＝OC2.
如图①，连接OD.
∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△ADC≌△BOC，∠OCD＝60°.
∴CD＝OC，∠ADC＝∠BOC＝120°，AD＝OB.
∴△OCD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD，∠COD＝∠CDO＝60°，
∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，∴∠AOC＝90°，
∴∠AOD＝30°，∠ADO＝60°.∴∠DAO＝90°.
在Rt△ADO中，∠DAO＝90°，
∴OA2＋AD2＝OD2.∴OA2＋OB2＝OC2.
,图①),图②)
(2)①当α＝β＝120°时，OA＋OB＋OC有最小值．作图如图②，
将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，连接OO′.
∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′＝∠ACA′＝60°.
∴O′C＝OC，O′A′＝OA，A′C＝AC，
∠A′O′C＝∠AOC.
∴△OC O′是等边三角形．
∴OC＝O′C＝OO′，∠COO′＝∠CO′O＝60°.
∵∠AOB＝∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝∠A′O′C＝120°，
∴∠BOO′＝∠OO′A′＝180°，
∴B，O，O′，A′四点共线，
∴OA ＋OB ＋OC ＝O′A′＋OB ＋OO′＝BA′时值最小；
②当等边△ABC 的边长为1时，OA ＋OB ＋OC 的最小值A′B＝ 3.
四边形的有关计算及证明
【例2】(2017广东中考模拟)如图，等边△ABO 放置在平面直角坐标系中，OA ＝4，动点P ，Q 同时从O ，B 两点出发，分别沿OA ，BO 方向匀速运动，它们的速度均为每秒1个单位长度，当点P 到达点A 时，P ，Q 两点停止运动，设点P 的运动时间为x(s )(0＜x ＜4)，解答下列问题：
(1)求点Q 的坐标；(用含x 的代数式表示)
(2)设△OPQ 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式；当x 为何值时，S 有最大值？最大值是多少？
(3)是否存在某个时刻x ，使△OPQ 的面积为
33
4
个平方单位？若存在，求出相应的x 值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)过点Q 作QD⊥OA 于点D ，解直角三角形QOD ，分别求出OD ，QD 和x 的关系式，即可得到点Q 的坐标；(2)由三角形面积公式可得s 与x 之间的二次函数关系式，然后利用配方法求得其最大值即可；(3)存在某个时刻x 的值，使△OPQ 的面积为33
4个平方单位，
由(2)可知把y ＝33
4
代入求出对应的x 值即可．
【答案】解：(1)过点Q 作QD⊥OA 于点D ， ∵△ABO 是等边三角形，∴∠AOB ＝60°，
∵动点Q 从B 点出发，速度为每秒1个单位长度， ∴BQ ＝x ，∴OQ ＝4－x ，
在Rt △QOD 中，OD ＝OQ·cos 60°＝(4－x)×12＝2－1
2x ，
QD ＝OQ·sin 60°＝(4－x)×
32＝23－3
2
x ， ∴点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1
2
x ，23－32x ；
(2)∵动点P 从O 点出发，速度为每秒1个单位长度， ∴OP ＝x ，∴S ＝12OP ·QD ＝12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫
23－32x
＝－
34x 2＋3x ＝－34(x －2)2
＋3(0＜x ＜4)， ∵a ＝－
3
4
＜0， ∴当x ＝2时，S 有最大值，最大值为3；
(3)存在某个时刻x 的值，使△OPQ 的面积为33
4个平方单位，理由如下：
假设存在某个时刻，使△OPQ 的面积为33
4个平方单位，
由(2)可知－
34x 2＋3x ＝334
， 解得x ＝1或x ＝3，∵0＜x ＜4，
∴x ＝1或x ＝3都合题意，即当x ＝1 s 或3 s 时，能使△OPQ 的面积为33
4
个平方单位．
2．(2017常州中考)如图①，在四边形ABCD 中，如果对角线AC 和BD 相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．
(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中，__矩形__一定是等角线四边形；(填写图形名称)
②若M ，N ，P ，Q 分别是等角线四边形ABCD 四边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，当对角线AC ，BD 还要满足__AC⊥BD __时，四边形MNPQ 是正方形；
(2)如图②，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，D 为平面内一点．
①若四边形ABCD 是等角线四边形，且AD ＝BD ，则四边形ABCD 的面积是________； ②设点E 是以C 为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED 是等角线四边形，写出四边形ABED 面积的最大值，并说明理由．
解：(1)①矩形； ②AC ⊥BD ；
(2)①3＋221；
图③
②如图③中，设AE 与BD 相交于点Q ，连接CE ， 作DH⊥AE 于H ，BG ⊥AE 于G. 则DH≤DQ，BG ≤BQ ，
∵四边形ABED 是等角线四边形，∴AE ＝BD ， ∵S 四边形ABED ＝S △ABE ＋S △ADE ＝12·AE ·DH ＋1
2
·AE ·BG
＝12·AE ·(GB ＋DH)≤1
2·AE ·(B Q ＋QD)， 即S 四边形ABED ≤1
2
AE ·BD ，
∴当G ，H 重合时，即BD⊥AE 时，等号成立， ∵AE ＝BD ，∴S 四边形ABED ≤12
AE 2
，
即线段AE 最大时，四边形ABED 的面积最大， ∵AE≤AC＋CE ，∴AE ≤5＋1， ∴AE ≤6，∴AE 的最大值为6， ∴当A ，C ，E 共线时，取等号，
∴四边形ABED 的面积的最大值为12
×62
＝18.
3．(2017海南中考)如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 在AD 边上运动，且不与点A 和点D 重合，连接CE ，过点C 作CF⊥CE 交AB 的延长线于点F ，EF 交BC 于点G.
(1)求证：△CDE≌△CBF； (2)当DE ＝1
2
时，求CG 的长；
(3)连接AG ，在点E 运动过程中，四边形CEAG 能否为平行四边形？若能，求出此时DE 的长；若不能，说明理由．
解：(1)在正方形ABCD 中，DC ＝BC ， ∠D ＝∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴∠CBF ＝180°－∠ABC＝90°， ∠DCE ＋∠ECB＝∠DCB＝90°， ∵CF ⊥CE ，∴∠ECF ＝90°，
∴∠ECB ＋∠BCF＝∠ECF＝90°，∴∠DCE ＝∠BCF，
在△CDE 和△CBF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠D ＝∠CBF，DC ＝BC ，∠DCE ＝∠BCF，
∴△CDE ≌△CBF ；
(2)在正方形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴△GBF ∽△EAF ，∴BG AE ＝BF
AF ，
由(1)知，△CDE≌△CBF，
∴BF ＝DE ＝1
2
，∵正方形的边长为1，
∴AF ＝AB ＋BF ＝32，AE ＝AD －DE ＝1
2，
∴BG 12＝1
232
，∴BG ＝16，∴CG ＝BC －BG ＝56； (3)不能．
理由：若四边形CEAG 是平行四边形，则必须满足A E∥CG，AE ＝CG ， ∴AD －AE ＝BC －CG ，∴DE ＝BG ， 由(1)知，△CDE ≌△CBF ， ∴DE ＝BF ，CE ＝CF ，
∴△GBF 和△ECF 是等腰直角三角形， ∴∠G FB ＝45°，∠CFE ＝45°， ∴∠CFA ＝∠GFB＋∠CFE＝90°，
此时点F 与点B 重合，点D 与点E 重合，与题目条件不符， ∴点E 在运动过程中，四边形CEAG 不能是平行四边形．
中档题型专训(五)
圆的有关计算、证明与探究
圆的有关计算与证明是遵义中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系．
与圆的有关性质
【例1】如图，已知OA ，OB 是⊙O 的两条半径，C ，D 为OA ，OB 上的两点，且AC ＝BD.求证：AD ＝BC.
【解析】首先证明OC ＝OD ，再证明△OCB≌△ODA，进而得到AD ＝BC. 【答案】证明：∵OA，OB 是⊙O 的两条半径， ∴AO ＝BO.
∵AC ＝BD ，∴OC ＝OD ，
在△ODA 和△OCB 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AO ＝BO ，∠O ＝∠O，OD ＝OC ，
∴△ODA ≌△OCB(SAS )，
∴AD ＝BC.
1．(2017玉林一模)如图，AB 是半圆O 上的直径，E 是BC ︵
的中点，OE 交弦BC 于点D ，过点C 作⊙O 的切线交OE 的延长线于点F ，已知BC ＝8，DE ＝2.
(1)求⊙O 的半径； (2)求CF 的长．
解：(1)设⊙O 的半径为x ， ∵E 点是BC ︵
的中点，O 点是圆心， ∴OD ⊥BC ，DC ＝1
2
BC ＝4，
在Rt △ODC 中，OD ＝x －2，
∴OD 2＋DC 2＝OC 2
，
∴(x －2)2＋42＝x 2
，
∴x ＝5，即⊙O 的半径为5； (2)∵FC 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥CF.
又∵E 是BC ︵
的中点．
∴OD ⊥BC ，∴OC 2
＝OD·OF，即52
＝3·OF， ∴OF ＝253
.
在Rt △OCF 中，OC 2＋CF 2＝OF 2
，∴CF ＝203
.
圆的切线的性质与判定
【例2】(2017遵义二中一模)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，D 为⊙O 上的一点，CD ＝CB ，延长CD 交BA 的延长线于点E.
(1)求证：CD 为⊙O 的切线；
(2)若BD 的弦心距OF ＝1，∠ABD ＝30°，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 【解析】(1)证∠ODC＝∠ABC＝90°；(2)在Rt △OBF 中，∠ABD ＝30°，OF ＝1，可求得BD 的长，∠BOD 的度数，又由S 阴影＝S 扇形OBD －S △BOD ，即可求解．
【答案】解：(1)连接OD ，
∵BC 是⊙O 的切线，∴∠ABC ＝90°. ∵CD ＝CB ，∴∠CBD ＝∠CDB. ∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB，
∴∠ODC ＝∠ABC＝90°，即OD ⊥CD. ∵点D 在⊙O 上，∴CD 为⊙O 的切线； (2)在Rt △OBF 中，
∵∠ABD ＝30°，OF ＝1，
∴∠BOF ＝60°，OB ＝2，BF ＝ 3. ∵OF ⊥BD ，
∴BD ＝2BF ＝23，∠BOD ＝2∠BOF＝120°. ∴S 阴影＝S 扇形OBD －S △BOD
＝120π×22
360－12×23×1＝43
π－ 3.
2．(2017南宁中考)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为H ，连接AC ，过BD ︵
上一
点E 作EG∥AC 交CD 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点F ，且EG ＝FG ，连接CE.
(1)求证：△ECF∽△GCE； (2)求证：EG 是⊙O 的切线；
(3)延长AB 交GE 的延长线于点M ，若tan G ＝3
4，AH ＝33，求EM 的值．
解：(1)∵AC∥EG， ∴∠G ＝∠ACG. ∵AB ⊥CD ， ∴AD ︵＝AC ︵，
∴∠CEF ＝∠ACD， ∴∠G ＝∠CEF. ∵∠ECF ＝∠ECG， ∴△ECF ∽△GCE ； (2)连接OE. ∵GF ＝GE ，
∴∠GFE ＝∠GEF＝∠AFH. ∵OA ＝OE ，
∴∠OAE ＝∠OEA.
∵∠AFH ＋∠FAH＝90°， ∴∠GEF ＋∠AEO＝90°， ∴∠GEO ＝90°， ∴GE ⊥OE.
又∵OE 为⊙O 半径， ∴EG 是⊙O 的切线，
(3)连接OC.设⊙O 的半径为r.
在Rt △AHC 中，tan ∠ACH ＝tan G ＝AH HC ＝3
4，
∵AH ＝33， ∴HC ＝43， 在Rt △HOC 中，
∵OC ＝r ，OH ＝r －33，HC ＝43，
∴(r －33)2＋(43)2＝r 2
， ∴r ＝2536.
∵GM ∥AC ， ∴∠CAH ＝∠M. ∵∠OEM ＝∠AHC， ∴△AHC ∽△MEO ，
∴AH EM ＝HC OE ， ∴
33EM ＝43
253
6
， ∴EM ＝2538
.
圆与相似及三角函数综合
【例3】(2017无锡中考)如图，以原点O 为圆心，3为半径的圆与x 轴分别交于A ，
B 两点(点B 在点A 的右边)，P 是半径OB 上一点，过P 且垂直于AB 的直线与⊙O 分别交于
C ，
D 两点(点C 在点D 的上方)，直线AC ，DB 交于点E.若AC∶CE＝1∶2.
(1)求点P 的坐标；
(2)求过点A 和点E ，且顶点在直线CD 上的抛物线的函数解析式．
【解析】(1)如图，作EF⊥y 轴于F ，DC 的延长线交EF 于H.设C(m ，n)，则P(m ，0)，PA ＝m ＋3，PB ＝3－m.首先证明△ACP∽△ECH，推出AC CE ＝PC CH ＝AP HE ＝1
2，推出CH ＝2n ，EH ＝2m
＋6，再证明△DPB∽△DHE，推出PB EH ＝DP DH ＝n 4n ＝14，可得3－m 2m ＋6＝1
4，求出m 即可解决问题；(2)
由题意设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋3)(x －5)，求出E 点坐标代入即可解决问题．
【答案】解：(1)如图，作EF⊥y 轴于F ，DC 的延长线交EF 于H.设C(m ，n)，则P(m ，0)，PA ＝m ＋3，PB ＝3－m.
∵EH ∥AP ，∴△ACP ∽△ECH ，
∴AC CE ＝PC CH ＝AP HE ＝12
， ∴CH ＝2n ，EH ＝2m ＋6， ∵CD ⊥AB ，∴PC ＝PD ＝n ， ∵PB ∥HE ，∴△DPB ∽△DHE ， ∴PB EH ＝DP DH ＝n 4n ＝14， ∴
3－m 2m ＋6＝1
4
，∴m ＝1，∴P(1，0)； (2)由(1)可知，PA ＝4，HE ＝8，EF ＝9， 连接OC ，在Rt △OCP 中，
PC ＝OC 2
－OP 2
＝22，
∴CH ＝2PC ＝42，PH ＝62，
∴E(9，62)，∵抛物线的对称轴为直线CD ，
∴(－3，0)和(5，0)在抛物线上，设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋3)(x －5)，。