数学物理方程PPT讲稿思维导图知识点归纳总结[PPT白板课件]
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数学物理方程课件
三、方程的化简
步骤：第一步：写出判别式 断方程的类型；
a122 a11a22 ，根据判别式判
第二步：根据方程（1）写如下方程
a11 ( dy 2 dy ) 2a12 a22 0 dx dx (2)
称为方程（1）的特征方
程。方程（2）可分解为两个一次方程
dy a12 dx a11 (3)
第二节一维齐次波动方程的cauchy问题
一、D’Alembert公式 考虑无界弦的自由振动（cauchy问题即初值问题）
utt a 2u xx , x , t 0, u ( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
解:(1)化标准形，然后求通解
数学物理方程
第一章方程的一般概念
第一节方程的基本概念
Hale Waihona Puke 定义：一个含有多元未知函数及其偏导数的方程，称为
偏微分方程。 一般形式：
F ( x1 , x2 ,, xn , u, ux , ux ,, uxn , ux x , ) 0
1 2 1 1
其中u 为多元未知函数，F是 x1 , x2 ,, xn , u u的有限个偏导数的已知函数。
波动方程
热传导方程
utt a2uxx f ( x, t )
ut a uxx f ( x, t )
2
位势方程
f ( x, y ) 0, Laplace方程 u xx u yy f ( x, y ) f ( x, y ) 0, Poisson方程
第二节二阶线性偏微分方程的分类
2 x at c1 x at dx 2 a 0 x at c x at dt 2
数学物理方程 ppt课件
由能量守恒定律 c ρdx du=dQ =[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt =-qx(x,t)dxdt
于是有 c ρut = -qx 由热传导定律 q(x,t) = -k ux(x,t) 代入前面的式子，得到 c ρut = k uxx ut = a2 uxx
a2 = k/(cρ)
ppt课件
于是有
T2 =T1=T ρuttdx=T[ux(x+dx,t)-ux(x,t)]
化简后得到
ρutt = T uxx utt = a2 uxx
uxxdx
a2 = T/ρ
6
波动方程
推广1
情况：受迫振动（考虑重力或外力）
分析：设单位长度所受到的横向外力 F(x,t)，则dx段的受力为Fdx
方程：ρutt = T问题：扩散问题中研究的是浓度u在空间的分布和在时间中的 变化。 分析：扩散现象遵循扩散定律，即q= - D▽ u，q是扩散流强 度，D是扩散系数，▽u是浓度梯度。对于三维扩散问题， 考察单位时间内小体积元dxdydz的净流入量。
z
dz
y
dy
dx
x
o
ppt课件
9
扩散方程
在x，y，z方向上，单位时间内净流入量为
分析：设弦平衡时沿x轴，考虑 弦上从x到x+dx的一段，其质 量为ρdx。设弦的横振动位移 为u(x,t)，则
α1
B
A
α2
C
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由牛顿第二定律
ρdxutt=T2sinα2- T1sinα1 0 = T2 cosα2- T1 cosα1
微振动条件
cosα1 = cosα2= 1 sinα1 = tanα1 = ux(x,t) sinα2= tanα2 = ux(x+dx,t)
大学数学物理方程课件
其中p(x)、q(x)和f(x)是已知函数，分别表示y'的导数、y的导数和f(x)的系数。
二阶线性常微分方程的解法
要点一
总结词
要点二
详细描述
求解二阶线性常微分方程的方法主要有分离变量法、常数 变易法、积分因子法等。
求解二阶线性常微分方程的方法有多种，其中分离变量法 是通过将方程中的未知函数和自变量分离，将方程转化为 两个一阶常微分方程进行求解；常数变易法是将方程中的 常数项视为变量，通过代换将其转化为一个等价的二阶线 性常微分方程进行求解；积分因子法则是通过引入一个积 分因子，将原方程转化为一个全微分方程进行求解。
有限元方法
将连续的偏微分方程问题离散化为有限个单元，然后 利用变分原理求解。
偏微分方程的应用实例
热传导问题
描述热量在物体中的传播，如温度分布、热传导 速率等。
波动问题
描述波动现象，如声波、电磁波、水波等。
流体动力学问题
描述流体运动规律，如流体速度、压力、密度等。
总结与展望
07
本章小结
内容回顾
1
大学数学物理方程课件
目 录
• 引言 • 数学物理方程基础知识 • 一阶常微分方程 • 二阶线性常微分方程 • 高阶线性常微分方程 • 偏微分方程简介 • 总结与展望
01
引言
课程简介
课程名称
大学数学物理方程
适用对象
大学本科生，特别是物理、工程和数学专业的 学生
课程目标
培养学生掌握数学物理方程的基本概念、方法和应用，提高解决实际问题的能 力。
变量代换法
通过引入新变量简化方程，适用于难以直接 求解的复杂问题。
积分变换法
利用积分将微分方程转化为易于求解的初值 问题。
二阶线性常微分方程的解法
要点一
总结词
要点二
详细描述
求解二阶线性常微分方程的方法主要有分离变量法、常数 变易法、积分因子法等。
求解二阶线性常微分方程的方法有多种，其中分离变量法 是通过将方程中的未知函数和自变量分离，将方程转化为 两个一阶常微分方程进行求解；常数变易法是将方程中的 常数项视为变量，通过代换将其转化为一个等价的二阶线 性常微分方程进行求解；积分因子法则是通过引入一个积 分因子，将原方程转化为一个全微分方程进行求解。
有限元方法
将连续的偏微分方程问题离散化为有限个单元，然后 利用变分原理求解。
偏微分方程的应用实例
热传导问题
描述热量在物体中的传播，如温度分布、热传导 速率等。
波动问题
描述波动现象，如声波、电磁波、水波等。
流体动力学问题
描述流体运动规律，如流体速度、压力、密度等。
总结与展望
07
本章小结
内容回顾
1
大学数学物理方程课件
目 录
• 引言 • 数学物理方程基础知识 • 一阶常微分方程 • 二阶线性常微分方程 • 高阶线性常微分方程 • 偏微分方程简介 • 总结与展望
01
引言
课程简介
课程名称
大学数学物理方程
适用对象
大学本科生，特别是物理、工程和数学专业的 学生
课程目标
培养学生掌握数学物理方程的基本概念、方法和应用，提高解决实际问题的能 力。
变量代换法
通过引入新变量简化方程，适用于难以直接 求解的复杂问题。
积分变换法
利用积分将微分方程转化为易于求解的初值 问题。
方程教学ppt课件ppt课件
学习建议
熟练掌握方程的基本 概念和解法，是解决 复杂数学问题的关键 。
注意理解方程的几何 意义，将代数与几何 结合起来，加深对数 学的理解。
通过大量的练习和实 践，提高解决实际问 题的能力。
习题答案与解析
习题一答案：x = 2 解析：将方程中的常数项移至等号的
右边，得到 x = 2。 习题二答案：x = -3
04
多元一次方程组
多元一次方程组的定义
总结词
详细描述多元一次方程组的定义，包 括其数学表达形式和基本概念。
详细描述
多元一次方程组是由多个一次方程组 成的方程组，每个一次方程包含多个 未知数。这些未知数和方程中的其他 元素都是实数。
多元一次方程组的解法
总结词
介绍多元一次方程组的解法，包括消元法、 代入法、矩阵法等。
详细描述
解多元一次方程组的方法有多种，其中最常 用的是消元法和代入法。消元法是通过加减 消元或代入消元的方式，将多元一次方程组 转化为一元一次方程来求解。代入法则是通 过逐个求解每个未知数，再将其代入其他方 程中求解。此外，矩阵法也是求解多元一次 方程组的一种方法，通过矩阵的运算来求解
。
多元一次方程组的应用
方程教学 PPT 课件
目 录
• 方程的基本概念 • 一元一次方程 • 二元一次方程组 • 多元一次方程组 • 总结与回顾
01
方程的基本概念
方程的定义
总结词
方程是数学中表示数量关系的一 种基本工具。
详细描述
方程是数学中表示数量关系的一 种基本工具，它通过等号将等号 两边的数学表达式联系起来，表 示等号两边的数学量相等。
二元一次方程组的应用
总结词
二元一次方程组在日常生活和科学研究中有着广泛的应 用。
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第二十四章 圆
第二十五章 概率
九年级—下册 第二十六章 二次函数
第二十七章 相似
第二十八章 锐角三角形
第二十九章 投影与视图
物理科目
第一章 物体的运动Fra bibliotek第二章 声现象
第三章 光现象
第四章 透镜及其应用
第五章 质量与密度
第六章 力和运动
第七章 压强与浮力
第八章 功和机械能
第九章 简单机械
原理：CaCO3+2HCl=CaCl2+H2O+CO2↑
装置：发生装置 固-液常温型
制法
收集装置 向上排空气法
验满：将燃烧的木条放在集气瓶口，熄灭，则满
检验：若能使澄清石灰水变浑浊，则是CO2
九年级—全一册 第一章 常见的酸和碱
酸和碱
酸：盐酸、稀硝酸、稀硫酸等；酸碱指示剂，与金属特 殊反应，氧化性等；酸性氧化物CO2、SO2、NO2等 碱：氢氧化钠、氢氧化钾、氢氧化钙等：酸碱指示剂， 与酸性氧化物反应；碱性氧化物Na2O、K2O、CaO等 溶液酸碱性：酸碱指示剂，酸碱性强弱
无理数 负 正有 有理 理数 数(无限不循环 ) 小数
第十四章 一次函数
第十五章 整式的乘除与因式分解
八年级—下册 第十六章 分式
第十七章 反比例函数
第十八章 勾股定理
第十九章 四边形
第二十章 数据分析
九年级—上册 第二十一章 二次根式
第二十二章 一元二次方程
第二十三章 旋转
二氧化碳
性质
物理性质：无色无味气体，能溶于水，密度比空气大， 固态的CO2称为干冰，干冰易升华，同时吸收大量的热
1、不燃烧不支持燃烧不供给呼吸 化学性质： 2、与水反应 CO2+H2O=H2CO3
第7讲数学物理方程PPT课件
X n (x)
Bn
sin
n
10
x
Tn 100n2 2Tn 0 Tn Cn cos10nt Dn sin10nt
(4)求通解
un X nTn
(C ncos10nt
Dn
sin10nt) sin
n
10
x
u
un
n 1
(C n
n 1
cos10nt
Dn
sin10nt) sin
n
10
x
(5)确定常量
X 0
2） 0 X (x) Ax B
AB0
X 0
3） 0 令 2 ， 为非零实数 X (x) Acos x B sin x
（8）
A0
B sin l 0
n (n 1, 2,3, )
l
n2
l2
2
n
n2
l2
2
(n 1, 2,3, )
XXnn( x)
sinBnnslin
xn
l
x
u( x, t ) t
t0
Dn
n1
n a sin
l
n
l
x
(x)
l sin2 n xdx
l
1 cos 2n
/l
dx
l
0
l
0
2
2
l n
sin
0
l
x sin m
l
xdx 1 2
l 0
cos
n
l
m
x
cos
n
l
m
x
dx
0
l(x)sin m
0
l
xdx
l 0
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u |x0 0, 或： u(a,t) 0 (2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
u
TY
0
x xa
u 0 x xa
ux (a,t) 0
(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。
STY
u x
xa
k u
xa
或
u x
解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应 的微小变动。
在研究物理现象时，对定解条件是通过测量得到的， 而测量不免有误差。
如果定解条件的细小误差便导致了解的极大变化，那 么所考察的定解问题，实际上就不能正确的反映所想要 确定的物理现象。这样，在数学上就不能保证所获得的 解是实际所需要的解的近似。
1、定义 (续)
定义3: 设任意函数f(x)在x = 0点连续, 则
d (x)f (x)dx f (0) -
f(x)称为检验函数.
d -函数的图示:
d (x)
1 x
0
d (x,y)
y
1
x
0
四、 d -函数
则 lim n
fn
( x)
d
( x)
单位电量点电荷的电荷密度, 单位光通量点光源的发光度,
fn(x)可以是Nrect(Nx), Nsinc(Nx), NGaus(Nx),
单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率 二维圆域函数等等.
等等.
物理系统已无法分
辨更窄的函数
§1-2 脉冲函数 d -Function
C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 不含初始条件，只含边界条件条件
注意：初始条件必须写完整，也就是要把整个体系所有点的初始态都写出来。
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
第一类边界条件：直接规定了所研究的物理量
在边界上的数值，即
三 类
u f (t) S
边
第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边
在数学上对解的存在性进行证明的必要性
从自然现象归结出偏微分方程时，总要经过一些近似的过 程，并提出一些附加的要求。
对于比较复杂的自然现象，有时也很难断定所给的定解条 件是否过多，或者互相矛盾。
解的唯一性：是研究在已给的定解条件下，方程的解是否 只有一个。
从物理意义上来看，这又是一个不成问题的问题，因为在客 观上，决不会在相同的条件，存在两种不同的物理过。但是， 如果所给的定解条件不够，那就不足以保证解的唯一性。
界
界外法线方向上方向导数的数值，即
条 件
u f (t)
n S
第三类边界条件：规定了所研究的物理量及其 外法向导数的线性组合在边界的数值，即
(u u ) f (t)
n S
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
S
kH1
k
三、定解问题的概念
1、定解问题
把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解 条件结合在一起，就构成了一个定解问题。 (1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。
其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的 条件。
1、初始条件——描述系统的初始状态
A、 波动方程的初始条件
u |t0 (x)
u t
t0
(x)
系统各点的初位移 系统各点的初速度
B、热传导方程的初始条件 初始时刻的温度分布：u(M ,t) |t0 (M )
u
xa
0
B、热传导方程的边界条件 (1) 给定温度在边界上的值
u |s f S——给定区域v 的边界
(2) 绝热状态 (3)热交换状态
u 0
n s
牛顿冷却定律： w k u H (u T )
s
n
s
H热传递系数，T周围介质的温度
u n
u
S
uT1
如果定解问题的解是稳定的，那么就可断言，只要定 解条件的误差在一定的限制之间，我们所得的解就必然 近似于所需要的解。
2、叠加原理
线性方程的解具有叠加特性
Lui fi
fi f
ui u
Lui 0 ui u
Lu f Lu 0
几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原 因单独产生的效果的累加。(物理上)
2u / 0
泊松方程
2u 0
拉普拉斯方程
二、定解条件的推导
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史，即个性。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态 的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上 的约束情况的条件。
定解问题的适定性（判断定解问题是否提的正确）
一个偏微分方程的定解问题，如果它对所考察的物理现象的 描述基本上是正确的，那么，它的解通常应该是存在的，唯 一确定的，而且是稳定的。
解的存在性：是研究在一定的定解条件下，方程是否有解。
从物理意义上来看，对于合理的提出问题，解的存在似乎 不成问题，因为自然现象本身给出了问题的答案。
3、微分方程的解
古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成 为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。
通解： 解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意 常数的解。
特解： 通过定解条件确定了解中的任意常数后得到的解。 形式解：未经过验证的解为形式解。
4、求解方法
分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法
四、 脉冲函数 d -Function
1、定义
定义1.
d
( x)
0, ,
x 0 x0
d (x)dx 1
-
定义2. 基于函数系列的极限
若存在函数系列满足:
lnim fn (x) 0, x 0
的密度,
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例6、静电势
确定所要研究的物理量： 电势u
根据物理规律建立微分方程：
S
E
dSˆ
1
0
V
dV
E
0
u E
对方程进行化简：
E (u) u 2u / 0
u
TY
0
x xa
u 0 x xa
ux (a,t) 0
(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。
STY
u x
xa
k u
xa
或
u x
解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应 的微小变动。
在研究物理现象时，对定解条件是通过测量得到的， 而测量不免有误差。
如果定解条件的细小误差便导致了解的极大变化，那 么所考察的定解问题，实际上就不能正确的反映所想要 确定的物理现象。这样，在数学上就不能保证所获得的 解是实际所需要的解的近似。
1、定义 (续)
定义3: 设任意函数f(x)在x = 0点连续, 则
d (x)f (x)dx f (0) -
f(x)称为检验函数.
d -函数的图示:
d (x)
1 x
0
d (x,y)
y
1
x
0
四、 d -函数
则 lim n
fn
( x)
d
( x)
单位电量点电荷的电荷密度, 单位光通量点光源的发光度,
fn(x)可以是Nrect(Nx), Nsinc(Nx), NGaus(Nx),
单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率 二维圆域函数等等.
等等.
物理系统已无法分
辨更窄的函数
§1-2 脉冲函数 d -Function
C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 不含初始条件，只含边界条件条件
注意：初始条件必须写完整，也就是要把整个体系所有点的初始态都写出来。
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
第一类边界条件：直接规定了所研究的物理量
在边界上的数值，即
三 类
u f (t) S
边
第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边
在数学上对解的存在性进行证明的必要性
从自然现象归结出偏微分方程时，总要经过一些近似的过 程，并提出一些附加的要求。
对于比较复杂的自然现象，有时也很难断定所给的定解条 件是否过多，或者互相矛盾。
解的唯一性：是研究在已给的定解条件下，方程的解是否 只有一个。
从物理意义上来看，这又是一个不成问题的问题，因为在客 观上，决不会在相同的条件，存在两种不同的物理过。但是， 如果所给的定解条件不够，那就不足以保证解的唯一性。
界
界外法线方向上方向导数的数值，即
条 件
u f (t)
n S
第三类边界条件：规定了所研究的物理量及其 外法向导数的线性组合在边界的数值，即
(u u ) f (t)
n S
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
S
kH1
k
三、定解问题的概念
1、定解问题
把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解 条件结合在一起，就构成了一个定解问题。 (1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。
其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的 条件。
1、初始条件——描述系统的初始状态
A、 波动方程的初始条件
u |t0 (x)
u t
t0
(x)
系统各点的初位移 系统各点的初速度
B、热传导方程的初始条件 初始时刻的温度分布：u(M ,t) |t0 (M )
u
xa
0
B、热传导方程的边界条件 (1) 给定温度在边界上的值
u |s f S——给定区域v 的边界
(2) 绝热状态 (3)热交换状态
u 0
n s
牛顿冷却定律： w k u H (u T )
s
n
s
H热传递系数，T周围介质的温度
u n
u
S
uT1
如果定解问题的解是稳定的，那么就可断言，只要定 解条件的误差在一定的限制之间，我们所得的解就必然 近似于所需要的解。
2、叠加原理
线性方程的解具有叠加特性
Lui fi
fi f
ui u
Lui 0 ui u
Lu f Lu 0
几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原 因单独产生的效果的累加。(物理上)
2u / 0
泊松方程
2u 0
拉普拉斯方程
二、定解条件的推导
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史，即个性。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态 的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上 的约束情况的条件。
定解问题的适定性（判断定解问题是否提的正确）
一个偏微分方程的定解问题，如果它对所考察的物理现象的 描述基本上是正确的，那么，它的解通常应该是存在的，唯 一确定的，而且是稳定的。
解的存在性：是研究在一定的定解条件下，方程是否有解。
从物理意义上来看，对于合理的提出问题，解的存在似乎 不成问题，因为自然现象本身给出了问题的答案。
3、微分方程的解
古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成 为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。
通解： 解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意 常数的解。
特解： 通过定解条件确定了解中的任意常数后得到的解。 形式解：未经过验证的解为形式解。
4、求解方法
分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法
四、 脉冲函数 d -Function
1、定义
定义1.
d
( x)
0, ,
x 0 x0
d (x)dx 1
-
定义2. 基于函数系列的极限
若存在函数系列满足:
lnim fn (x) 0, x 0
的密度,
总有一款PPT 适合您
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例6、静电势
确定所要研究的物理量： 电势u
根据物理规律建立微分方程：
S
E
dSˆ
1
0
V
dV
E
0
u E
对方程进行化简：
E (u) u 2u / 0