流体力学中的三大基本方程

3.4.1---欧拉运动微分方程
理论依据：是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用，它建 立了理想流体的密度、速度、压力与外力之间的关系。
1775年由欧拉推出流体力学中心问题是流速问题，流体流速 与其所受到外力间的关系式即是运动方程。
推导过程：
⑴取微小六面控制体 ⑵推导依据： 牛顿第二定律or动量定理：
流体力学中的三大基本方程
刘颖杰
1 连续性微分方程
理论依据：质量守恒定律在微元体中的应用 数学描述：
[单位时间流出的质量]-[单位时间流入的质量]+[单位时间 质量的累积or增量]=0
•公式推导： （1）单位时间内流入、流出微元体流体总质量变化
假定流体连续地 充满整个流场，从中
任取出以 ox，y，z
p
p x
dx 2
pN
p
p x
dx 2
X方向上质点所受表面力合力：
（pM pN）dydz
p x
dxdydz
③ 流体质点加速度 a 的计算方法：
（x，y，z，t）x f（t） y f（' t）y f （ '' t）
流速的全导数应是：
a
d
dt
t
x
x
y
y
z
z
当地加速度：流场中某处流体运动速度对时间 的偏导数，反映了流体速度在固定位置处的时 间变化特性 迁移加速度：流场由于流出、流进某一微小区 域而表现出的速度变化率。
x
y
y
y
z
y
z
fy
1
p y
(2y x2
2y
y2
2y )
z 2
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
1
p z
(2z x2
2z
y2
2z )
z 2
1. 含有四个未知量（x， y，完z整, P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始 条件）→特解。
fz
1
p z
dz
dt
推导得： d 1 dp gdz
Or
gdz 1 dp d 0
——伯努利方程微分形式。
说明： 流体质点在微小控制体dxdydz范围内，沿任意方向流线流动时的能量平衡关
系式。
①适用范围：理想流体、稳定流体、质量 力只有重力且在微小控制体dxdydz范围内 沿某一根流线；
vx
1 2
vx
x
dxdydz
vx
1 2
vx
x
dxdydz
vx
x
dxdydz
同理可得在单位时间内沿y，z方向流出与流入控制体的质
量差为
vy dxdydz 和 y
vz dxdydz
z
故单位时间内流出与流入微元体流体质量总变化为：
x（x）
（
y
y）
z（z） dxdydz
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：
（ dt）dxdydz dxdydz dtdxdydz
t
t
单位时间内，微元体质量增量：
dtdxdydz/ dt dxdydz
t
t
（微团密度在单位时间内的变率与微团体积的乘积）
⑶根据连续性条件：
t
（
x
x）
（
y
y）
（
z
z）
0
矢量形式：
• 0
t
——三维连续性微分方程
⑴适用条件： 不可压缩和可压缩流体 理想和实际流体 稳态及非稳态流动
a 流体质点加速度 在三个坐标轴上的分量表示成：
ax
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
ay
d y
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
az
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程： 得x方向上的运动微分方程：
dx
dt
dxdydz
p x
dxdydz
fxdxdydz
单位体积流体的运动微分方程：
⑵不可压缩性流体的连续性微分方程：
x y z 0 or div 0
x y z
说明流体体变形率为零，即流体不可压缩。或流入 体积流量与流出体积流量相等。
⑶稳定流动时：所有流体物性参数均不随时间而变， 0
t
（
x
x）
（
y
y）
（
z
z）
0
div() 0
⑷二维平面流动： x y 0
x y
2.理想流体的运动方程
即作用力之合力=动量随时间的变化速率
F
ma
m
d
dt
d（m）
dt
⑶分析受力： ① 质量力：
dxdydzf
单位质量力：f fxi f y j fzk
X方向上所受质量力为： f xdxdydz
② 表面力： 理想流体，没有粘性，所以表面力只有压力
X方向上作用于垂直x轴方向两个面的压力分别为：
pM
p
r i
p
r j
p
r k
x y Z
适用条件：理想流体，不可压缩流体和可压缩流体
（5）连续性微分方程和运动方程在求解速度场中的应用
这里以不可压缩粘性流体稳定等温流动为例： 连续性方程：
x y z 0
x y z
运动方程：
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
fx
1
p x
(
2x
x2
2x
y2
2x
z 2
)
y
t
x
y
②物理意义：揭示了沿某一根流线运动着 的流体质点速度，位移和压强、密度四者 之间的微分关系。
即描述流体流动的
完整方程组+单值性条件→描述某一特定流动。
3. 伯努利方程 (Bernoulli)
伯努利（D.Bernouli 1700－1782）方程的提出和意义
理想流体稳定流动的伯努利微分方程
由理想流体欧拉运动微分方程
fx
1
p x
dx
dt
fy
1
p y
d y
dt
是稳定流动，vx,vy,vz，p都只是坐标函数，与时间 无关，方程转换去除t项
dx
dt
p x
fx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p yfydz来自dtztx
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
向量形式：
dr
r f
1
gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
gradp
在x方向的分速度为
vx
1 2
vx x
dx
通过控制体后表面中心点N的质点在x方向的分速度为
vx
1 2
vx x
dx
因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分布。 所以单位时间内沿x轴方向
流入控制体的质量为
vx
1 2
vx
x
dxdydz
流出控制体的质量为
vx
1 2
vx
x
dxdydz
于是，单位时间内在x方向流出与流入控制体的质量差为
点为中心的微小六面 体空间作为控制体如 右图。控制体的边长 为dx，dy，dz，分别 平行于直角坐标轴x，
y，z。设控制体中心点处流速的三个分量为 vx，vy，,液vz体密
度为 。将 各流速分量按泰勒级数展开，并略去高阶微量
，可得到该时刻通过控制体六个表面中心点的流体质点
的运动速度。例如：通过控制体前表面中心点M的质点