【数学5份合集】北京市昌平区2019-2020学年数学高一上期末监测模拟试题
北京市清华大学附属中学2019-2020学年高一上学期数学期末考试卷带讲解
则方程 ，即 在 内有实数根，
若函数 在 内有零点．
则 ，解得 ，或 ．
（1） ， ． ．
对称轴： ．
① 时， ， ， （1） ，因此此时函数 在 内一定有零点． 满足条件．
② 时， ，由于 （1） ，因此函数 在 内不可能有零点，舍去．
综上可得：实数 的取值范围是 ， ．
【详解】因为 ，所以 ； ； ； .
故 最大.
故选：B.
【点睛】本题考查了根据实数范围比较实数大小，属于基础题.
5.“ ， ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由 可解得 或 ，即可判断.
【详解】若 ，则 ， ，
即 或 ，
则可得“ ， ”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：A.
6.下列区间包含函数 零点的为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
根据零点存在定理，分别判断选项区间的端点值的正负可得答案.
【详解】 ， ，
， ，
，又 为 上单调递增连续函数
故选：C .
7.函数 的定义域为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
2.下列函数在定义域内单调递增的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A， ，是二次函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于B， ，是正切函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于C， ，是指数函数，在定义域内单调递减，不符合题意；
高一数学上学期期末考试试题含解析
【分析】
先由奇函数的性质，得到 ，求出 ;再由二次函数的单调性,以及奇函数的性质，得到函数 在区间 上单调递减,进而可求出结果。
【详解】因为函数 是奇函数,
所以 ,即 ,解得: ；
因此
根据二次函数的性质，可得,当 时，函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增；
又因为 ,所以由奇函数的性质可得:函数 在区间 上单调递减;
，即至少遇到4个红灯的概率为0。33。
（3）设事件 为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件 .
则 。
【点睛】本题主要考查互斥事件的概率计算，以及概率的性质的应用，熟记概率计算公式,以及概率的性质即可，属于常考题型。
19。一商场对5年来春节期间服装类商品的优惠金额 (单位：万元）与销售额 （单位：万元）之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下表格.
【分析】
根据奇偶性的概念，判断函数 的奇偶性，再结合函数单调性，即可解所求不等式。
【详解】因为 的定义域为 ，
由 可得，函数 是奇函数；
根据幂函数单调性可得, 单调递增;所以函数 是增函数;
所以不等式 可化为 ，
因此 ，解得： 。
故选：D
【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式,熟记函数奇偶性的概念，会根据函数解析式判定单调性即可，属于常考题型.
【解析】
【分析】
（1）根据换元法，令 ，即可结合已知条件求出结果；
(2）根据指数函数单调性，即可得出单调区间.
【详解】(1)令 ,即 ，
代入 ，可得 ，
所以
（2)因为 ，根据指数函数单调性，可得：
函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 。
【点睛】本题主要考查求函数解析式,以及求指数型函数的单调区间,灵活运用换元法求解析式，熟记指数函数的单调性即可，属于常考题型.
2019-2020学年北京市昌平区高一(上)期末数学试卷及答案
2019-2020学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则（）A．A∪B＝U B．A∩B＝{1，2}C．∁U A＝{3，4，5}D．∁U B＝{4，5，6} 2．（5分）已知二次不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．3．（5分）下列各式正确的是（）A．π2•π3＝π6B．C．lg2+lg5＝1D．4．（5分）已知向量＝（2，﹣1），＝（﹣1，3），则|﹣|＝（）A．1B．C．D．55．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．D．log2a＜log2b6．（5分）为了丰富学生的寒假生活，某学校为了学生推荐了《论语》、《红楼梦》、《乡土中国》和《巴黎圣母院》4部名著．小明准备从中任意选择2部进行阅读，那么选择的2部名著中包括外国名著的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）＝mx2+x+1有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，y＝f（x）的图象如图所示，则下列关系正确的是（）A．f（1）＞f（﹣2）＞f（3）B．f（3）＞f（1）＞f（﹣2）C．f（1）＞f（3）＞f（﹣2）D．f（﹣2）＞f（1）＞f（3）9．（5分）设，是非零向量，则“，共线”是“|+|＝||+||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）“里氏震级”反映的地震释放出来的能量大小的一种度量．里氏震级M地震释放的能量E（单位：焦耳）之间的关系为：.1988年云南澜沧发生地震为里氏7.6级，2008年四川汶川发生的地震为里氏8级．若云南澜沧地震与四川地震释放的能量分别为E1，E2，则的值为（）A．10﹣0.6B．10﹣0.4C．100.4D．100.6二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≥0，￢p为．12．（5分）已知幂函数f（x）＝xα（α为常数）的图象经过点（4，2），则f（x）＝．13．（5分）在某社区举行的“讲文明，树新风”答题竞赛中，根据甲、乙两组选手的成绩，绘制的茎叶图如图所示，甲组成绩的25%分位数为；设甲、乙两组成的方差分别为s甲2，s乙2，那么s甲2 s乙2．（填“＞”或“＜”或“＝”）14．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ＝．15．（5分）已知函数，则f（0）＝；能说明“方程f （x）﹣a＝0有两个实根”为真命题的实数a的一个值为．16．（5分）若函数f（x）满足下面三个条件：①f（x）在其定义域上图象不间断；②f（x）是偶函数；③f（x）恰有3个零点．请写出一个满足上述条件的函数f（x）＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）17．（14分）某校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从2000名高一学生中随机抽取100名学生，收集了他们周平均锻炼时间（单位：小时），将数据按照[3，5），[5，7）[7，9），[9，11），[11，13]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）估计高一年级全体学生周平均锻炼时间不低于7小时的人数；（Ⅲ）假设同组中的每个数据可用该区间的中点值代替，试估计高一年级全体学生周平均锻炼时间的平均数落在哪一个区间．（只需写出结论）18．（14分）如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设＝．（Ⅰ）试用基底{，}，表示；（Ⅱ）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．19．（14分）为了解甲、乙两名运动员的射击成绩，从两人近一年的射击成绩中各随机抽取一个容量为20的样本，经过处理，得到两人击中环数的频数如图所示．（Ⅰ）试估计甲射击一次，击中环数不低于8环的概率；（Ⅱ）从上述两个样本中各随机抽取一次，求甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环的概率．20．（14分）为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池面积x（单位：平方米）之间的函数关系为（m为常数）．已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为0.5x（单位：万元）．记F（x）为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和．（Ⅰ）写出F（x）的解析式；（Ⅱ）当x为多少平方米时，F（x）取得最小值？最小值是多少万元？21．（14分）对于任意的有限集合P，Q定义：①；②P*Q＝{x|f p（x）•f Q（x）＝1}；③card（P）表示集合P的元素个数．已知集合A＝{x|x＝k，k∈N*，1≤k≤2020}，B＝{x|x＝2k，k∈N*，1≤k≤2020}．（Ⅰ）求f A（2019），f B（2019）的值；（Ⅱ）求card（A*B）的值；（Ⅲ）对于任意的有限集合M，设n＝card（M*A）+card（M*B），求n的最小值．2019-2020学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则（）A．A∪B＝U B．A∩B＝{1，2}C．∁U A＝{3，4，5}D．∁U B＝{4，5，6}【分析】直接根据交并补的定义即可求出．【解答】解：集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则A∪B＝{0，1，2，3}，A∩B＝{1，2}，∁U A＝{3，4，5，6}，∁U B＝{0，4，5，6}，故选：B．【点评】本题考查了集合的交并补的运算，属于基础题．2．（5分）已知二次不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】先分解因式，解出不等式即可求解结论．【解答】解：因为x2﹣2x﹣3≤0⇒（x﹣3）（x+1）≤0⇒﹣1≤x≤3；故选：A．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了因式分解的应用问题，是基础题目．3．（5分）下列各式正确的是（）A．π2•π3＝π6B．C．lg2+lg5＝1D．【分析】由已知结合指数与对数的运算性质及对数的换底公式分别检验各选项即可．【解答】解：根据指数的运算性质可知，π2•π3＝π5，A错误；根据分数指数幂可知，＝，B错误；由对数的运算性质可得，lg2+lg5＝lg10＝1，C正确；由对数的换底公式可得，＝log36≠ln2，D错误．故选：C．【点评】本题主要考查指数与对数的运算性质，对数的换底公式的简单应用，属于基础试题．4．（5分）已知向量＝（2，﹣1），＝（﹣1，3），则|﹣|＝（）A．1B．C．D．5【分析】根据向量的坐标即可求出的坐标，进而求出的值．【解答】解：∵，∴．故选：D．【点评】本题考查了向量坐标的减法运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．D．log2a＜log2b【分析】直接利用不等式的性质求出结果．【解答】解：对于A，D：当a＜b＜0时，不等式不成立．对于B：a＝0或b＝0，关系式没有意义．故错误．对于C：由于b＜a，且y＝（）x为单调递减函数，则：（）b＜（）b，故C正确．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6．（5分）为了丰富学生的寒假生活，某学校为了学生推荐了《论语》、《红楼梦》、《乡土中国》和《巴黎圣母院》4部名著．小明准备从中任意选择2部进行阅读，那么选择的2部名著中包括外国名著的概率为（）A．B．C．D．【分析】小明准备从中任意选择2部进行阅读，基本事件总数n＝＝6，选择的2部名著中包括外国名著包含的基本事件个数m＝＝3，由此能求出选择的2部名著中包括外国名著的概率．【解答】解：某学校为了学生推荐了《论语》、《红楼梦》、《乡土中国》和《巴黎圣母院》4部名著．小明准备从中任意选择2部进行阅读，基本事件总数n＝＝6，选择的2部名著中包括外国名著包含的基本事件个数m＝＝3，∴选择的2部名著中包括外国名著的概率为P＝．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考査古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）已知函数f（x）＝mx2+x+1有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】条件转化为方程mx2+x+1＝0有两个不等根，结合根的判别式列出不等式即可【解答】解：函数有两个零点等价于关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有两个不等根，则，解得m＜且m≠0，即m∈（﹣∞，0）∪（0，），故选：B．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，涉及二次函数根的判别式，属于中档题．8．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，y＝f（x）的图象如图所示，则下列关系正确的是（）A．f（1）＞f（﹣2）＞f（3）B．f（3）＞f（1）＞f（﹣2）C．f（1）＞f（3）＞f（﹣2）D．f（﹣2）＞f（1）＞f（3）【分析】根据题意，由偶函数的性质可得f（﹣2）＝f（2），由函数的图象分析函数的单调性，可得f（1）＞f（2）＞f（3），综合可得答案．【解答】解：根据题意，y＝f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣2）＝f（2），又由函数图象可得：f（x）在（0，+∞）上为减函数，即有f（1）＞f（2）＞f（3），则有f（1）＞f（﹣2）＞f（3），故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意偶函数的性质，属于基础题．9．（5分）设，是非零向量，则“，共线”是“|+|＝||+||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】“|+|＝||+||”⇒“，共线”，反之不成立，例如．【解答】解：“|+|＝||+||”⇒“，共线”，反之不成立，例如．∴，是非零向量，则“，共线”是“|+|＝||+||”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．（5分）“里氏震级”反映的地震释放出来的能量大小的一种度量．里氏震级M地震释放的能量E（单位：焦耳）之间的关系为：.1988年云南澜沧发生地震为里氏7.6级，2008年四川汶川发生的地震为里氏8级．若云南澜沧地震与四川地震释放的能量分别为E1，E2，则的值为（）A．10﹣0.6B．10﹣0.4C．100.4D．100.6【分析】分别把云南澜沧发生地震的里氏等级与四川汶川发生的地震的里氏等级代入，然后利用对数的运算性质求解的值．【解答】解：∵云南澜沧发生地震为里氏7.6级，∴7.6＝，即；①∵四川汶川发生的地震为里氏8级，∴，即．②①﹣②得：，即，∴．故选：A．【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查对数的运算性质，是基础题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≥0，￢p为∃x0∈R，x02+x0+1＜0．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，x2+x+1≥0，则￢p是：∃x0∈R，x02+x0+1＜0．故答案为：∃x0∈R，x02+x0+1＜0．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，注意量词的变化．12．（5分）已知幂函数f（x）＝xα（α为常数）的图象经过点（4，2），则f（x）＝（x ≥0）．【分析】把点的坐标代入幂函数解析式，求出α的值．【解答】解：幂函数f（x）＝xα的图象经过点（4，2），则4α＝2，解得α＝，所以f（x）＝（x≥0）．故答案为：（x≥0）．【点评】本题考查了幂函数的定义与解析式的求法问题，是基础题．13．（5分）在某社区举行的“讲文明，树新风”答题竞赛中，根据甲、乙两组选手的成绩，绘制的茎叶图如图所示，甲组成绩的25%分位数为70；设甲、乙两组成的方差分别为s甲2，s乙2，那么s甲2＞s乙2．（填“＞”或“＜”或“＝”）【分析】由茎叶图得甲组成绩从小到大排列，由25%×12＝3，得到甲组成绩的25%分位数为第3个数和第4个数的平均数，由茎叶图得甲组成绩相对分散，乙组成绩相对集中，从而s甲2＞s乙2．【解答】解：由茎叶图得甲组成绩从小到大为65，67，69，71，75，77，80，83，85，89，93，95，25%×12＝3，∴＝70，由茎叶图得甲组成绩相对分散，乙组成绩相对集中，∴s甲2＞s乙2．故答案为：70，＞．【点评】本题考查25%分位数的求法，考查方差的求法及应用，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ＝0．【分析】建坐标系，可得，，的坐标，由＝λ+μ可得关于λμ的方程组，解之相加可得．【解答】解：以向量，的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，可得＝（3，0），＝（0，4），可得＝（3，﹣4）∵＝λ+μ，∴，解之得λ＝1，μ＝﹣1，∴λ+μ＝0．故答案为：0．【点评】本题考查平面向量基本定理及其意义，建系是解决问题的关键，属中档题．15．（5分）已知函数，则f（0）＝1；能说明“方程f（x）﹣a＝0有两个实根”为真命题的实数a的一个值为1（答案不唯一）．【分析】直接把变量代入对应的解析式求出第一个空，结合图象求解第二个空．【解答】解：因为函数，则f（0）＝e0＝1；函数的大致图象为：故能说明“方程f（x）﹣a＝0有两个实根”为真命题的实数a的取值范围是（0，1]；故答案为：1，1（答案不唯一）．【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，以及数形结合思想的应用，属于基础题．16．（5分）若函数f（x）满足下面三个条件：①f（x）在其定义域上图象不间断；②f（x）是偶函数；③f（x）恰有3个零点．请写出一个满足上述条件的函数f（x）＝（x2﹣1）|x|．【分析】由题意同时满足3个条件的函数可得为f（x）＝（x2﹣1）|x|．【解答】解：由题意可得满足条件的函数f（x）＝（x2﹣1）|x|．故答案为：f（x）＝（x2﹣1）|x|．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，及函数的奇偶性的性质，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）17．（14分）某校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从2000名高一学生中随机抽取100名学生，收集了他们周平均锻炼时间（单位：小时），将数据按照[3，5），[5，7）[7，9），[9，11），[11，13]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）估计高一年级全体学生周平均锻炼时间不低于7小时的人数；（Ⅲ）假设同组中的每个数据可用该区间的中点值代替，试估计高一年级全体学生周平均锻炼时间的平均数落在哪一个区间．（只需写出结论）【分析】（Ⅰ）因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1，即为频率之和为1，解得a．（Ⅱ）先从抽取的100人中，算出周平均锻炼时间不低于7小时的人数所占比例，再估计高一年级全体学生周平均锻炼时间不低于7小时的人数2000×60%＝1200．（Ⅲ）每条的中点横坐标乘以面积，全加一起．【解答】解：（Ⅰ）因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1，所以（0.02+0.05+0.1+a+0.18）×2＝1，解得a＝0.15．（Ⅱ）抽取的100人中，周平均锻炼时间不低于7小时的人数所占比例为（a+0.1+0.05）×2＝0.6＝60%．因此估计高一年级全体学生周平均锻炼时间不低于7小时的人数所占比例也为60%．估计所求人数为2000×60%＝1200．（Ⅲ）4×0.02×2+6×0.18×2+8×0.15×2+10×0.1×2+12×0.05×2＝7.92，所以估计高一年级全体学生周平均锻炼时间的平均数落在[7，9）内．【点评】本题考查频率分布直方图中频率，平均数的求法，属于基础题．18．（14分）如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设＝．（Ⅰ）试用基底{，}，表示；（Ⅱ）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．【分析】（Ⅰ）根据题意，由平面向量的线性运算法则即可用基底{，}，表示；（Ⅱ）考虑三点共线时，＝+（1﹣λ），经检验═+，∵，∴E，G，F三点共线．【解答】解：（Ⅰ）由题，＝+＝+＝+＝，＝+＝+＝﹣＝﹣．（Ⅱ）＝+＝+＝+，＝（）+（+）＝+，∵，∴E，G，F三点共线．【点评】本题考查平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．19．（14分）为了解甲、乙两名运动员的射击成绩，从两人近一年的射击成绩中各随机抽取一个容量为20的样本，经过处理，得到两人击中环数的频数如图所示．（Ⅰ）试估计甲射击一次，击中环数不低于8环的概率；（Ⅱ）从上述两个样本中各随机抽取一次，求甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环的概率．【分析】（Ⅰ）由两人击中环数的频数折线图得甲2次击中7环，2次击中8环，10次击中9环，6次击中10环，由此能估计甲射击一次，击中环数不低于8环的概率．（Ⅱ）由两人击中环数的频数统计图得甲在20次射击有6次击中10环，乙在20次射击有8次击中10环，从上述两个样本中各随机抽取一次，利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环的概率．【解答】解：（Ⅰ）由两人击中环数的折线图得：甲2次击中7环，2次击中8环，10次击中9环，6次击中10环，∴估计甲射击一次，击中环数不低于8环的概率p＝1﹣＝．（Ⅱ）由两人击中环数的频数统计图得：甲在20次射击有6次击中10环，乙在20次射击有8次击中10环，从上述两个样本中各随机抽取一次，基本事件总数n＝20×20＝400，甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环包含的基本事件个数m＝6×12+14×8＝184，∴甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环的概率为：P＝＝．【点评】本题考查概率的求法，考査折线图、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20．（14分）为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池面积x（单位：平方米）之间的函数关系为（m为常数）．已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为0.5x（单位：万元）．记F（x）为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和．（Ⅰ）写出F（x）的解析式；（Ⅱ）当x为多少平方米时，F（x）取得最小值？最小值是多少万元？【分析】（Ⅰ）把x＝5，C（x）＝12代入C（x）＝，求得m值，可得C（x）的解析式，再由题意写出F（x）的解析式；（Ⅱ）分段求解（Ⅰ）中函数的最小值，取最小值得答案．【解答】解：（Ⅰ）当0≤x≤5时，C（x）＝，由题意，12＝，即m＝80．∴C（x）＝．则F（x）＝＝；（Ⅱ）当0≤x≤10时，F（x）＝160﹣7.5x（0≤x≤10），当x＝10时，F（x）min＝85；当x＞10时，F（x）＝＝40，当且仅当，即x＝40平方米时上式等号成立，故当x为40平方米时，F（x）取得最小值，最小值是40万元．【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题．21．（14分）对于任意的有限集合P，Q定义：①；②P*Q＝{x|f p（x）•f Q（x）＝1}；③card（P）表示集合P的元素个数．已知集合A＝{x|x＝k，k∈N*，1≤k≤2020}，B＝{x|x＝2k，k∈N*，1≤k≤2020}．（Ⅰ）求f A（2019），f B（2019）的值；（Ⅱ）求card（A*B）的值；（Ⅲ）对于任意的有限集合M，设n＝card（M*A）+card（M*B），求n的最小值．【分析】（Ⅰ）直接根据定义，写出f A（2019），f B（2019）．的值．（Ⅱ）card（A*B）＝{x|f A（x）•f B（x）＝1}，分两种情况当f A（x）＝2且f B（x）＝时，当f A（x）＝且f B（x）＝2时，x取值，即可得出答案．（Ⅲ）列举法写出A∪B，A∩B＝{2，4，6，…2020}，所以M中的元素a∈A∪B且a∉A ∩B，所以当集合M为A∪B的子集与集合A∩B的并集时，n的值最小．【解答】（Ⅰ）f A（2019）＝2，f B（2019）＝，（Ⅱ）card（A*B）＝{x|f A（x）•f B（x）＝1}当f A（x）＝2且f B（x）＝时，所以x∈A且x∉B，那么x取值为：1，3，5，…，2019，共有＝1010个，当f A（x）＝且f B（x）＝2时，所以x∉A且x∈B，那么x取值为：2022，2024，…4040，共有＝1010个，所以card（A*B）＝1010+1010＝2020个．（Ⅲ）A＝{1，2，3，4，…，2020}，B＝{2，4，6，…，2020，2022，…4040}，A∪B＝{1，2，3，…，2020，2022，…4040}，A∩B＝{2，4，6，…2020}共1010个元素所以M中的元素a∈A∪B且a∉A∩B，所以当集合M为A∪B的子集与集合A∩B的并集时，n＝card（M*A）+card（M*B）的值最小，最小值为1011．【点评】本题属于新定义题，结合集合的交集并集，即可分析出答案，属于中档题．。
北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测高一年级数学试卷(解析版)
北京市朝阳区2019-2020学年高一（上）期末数学试卷选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，那么A∪B等于（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2} 2．已知命题p：∀x＜﹣1，x2＞1，则￢p是（）A．∃x＜﹣1，x2≤1B．∀x≥﹣1，x2＞1C．∀x＜﹣1，x2＞1D．∃x≤﹣1，x2≤1 3．下列命题是真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则4．函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π5．已知函数f（x）在区间（0，+∞）上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f（x）只可能是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝sin x+2C．f（x）＝ln（x2﹣x+1）D．f（x）＝6．已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为（）A．E1＝32E2B．E1＝64E2C．E1＝1000E2D．E1＝1024E2 8．已知函数f（x）＝x+﹣a（a∈R），g（x）＝﹣x2+4x+3，在同一平面直角坐标系里，函数f（x）与g（x）的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜﹣3}B．{a|a＞﹣3}C．{a|a＝﹣3}D．{a|﹣3＜a＜4} 9．已知大于1的三个实数a，b，c满足（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，则a，b，c的大小关系不可能是（）A．a＝b＝c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c10．已知正整数x1，x2，…，x10满足当i＜j（i，j∈N*）时，x i＜x j，且x12+x22+…+x102≤2020，则x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为（）A．19B．20C．21D．22二.填空题：本大题共6小题，每空5分，共30分.11．（5分）计算sin330°＝．12．（5分）若集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）＝log2x，在x轴上取两点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），设线段AB的中点为C，过A，B，C作x轴的垂线，与函数f（x）的图象分别交于A1，B1，C1，则点C1在线段A1B1中点M的．（横线上填“上方”或者“下方”）14．（5分）给出下列命题：①函数是偶函数；②函数f（x）＝tan2x在上单调递增；③直线x＝是函数图象的一条对称轴；④将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos2x的图象．其中所有正确的命题的序号是．15．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是．若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，则实数a的取值范围是．16．（5分）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝A sin（ωx+φ），x∈[0，+∞）表示，其中A＞0，ω＞0．如图，平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为α，则点A的坐标是，从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B （x，y），动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为．三.解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（14分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1，m∈R}．（Ⅰ）求集合∁R A；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；18．（18分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求tan2α和f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若，求函数f（x）的最小值．19．（18分）已知函数f（x）＝（x≠a）．（Ⅰ）若2f（1）＝﹣f（﹣1），求a的值；（Ⅱ）若a＝2，用函数单调性定义证明f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ）设g（x）＝xf（x）﹣3，若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，求实数a的取值范围．20．（20分）已知函数f（x）＝log2（x+a）（a＞0）．当点M（x，y）在函数y＝g（x）图象上运动时，对应的点M'（3x，2y）在函数y＝f（x）图象上运动，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的相关函数．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜1；（Ⅱ）对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈（0，1）．当a＝1时，求|F（x）|的最大值2019-2020学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，那么A∪B等于（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}【分析】先分别求出集合A，B，再由并集定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}＝{x∈Z|0≤x≤2}＝{0，1，2}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知命题p：∀x＜﹣1，x2＞1，则￢p是（）A．∃x＜﹣1，x2≤1B．∀x≥﹣1，x2＞1C．∀x＜﹣1，x2＞1D．∃x≤﹣1，x2≤1【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定为：∃x＜﹣1，x2≤1，故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．3．（5分）下列命题是真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则【分析】利用不等式的基本性质，判断选项的正误即可．【解答】解：对于A，若a＞b＞0，则ac2＞bc2，c＝0时，A不成立；对于B，若a＞b，则a2＞b2，反例a＝0，b＝﹣2，所以B不成立；对于C，若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2，反例a＝﹣4，b＝﹣1，所以C不成立；对于D，若a＜b＜0，则，成立；故选：D．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，不等式的基本性质的应用，是基本知识的考查．4．（5分）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【分析】利用二倍角的余弦公式求得y＝cos2x，再根据y＝A cos（ωx+φ）的周期等于T ＝，可得结论．【解答】解：∵函数y＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，∴函数的周期为T＝＝π，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的余弦公式，利用了y＝A sin （ωx+φ）的周期等于T＝，属于基础题．5．（5分）已知函数f（x）在区间（0，+∞）上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f（x）只可能是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝sin x+2C．f（x）＝ln（x2﹣x+1）D．f（x）＝【分析】结合基本初等函数的性质分别求解选项中函数的值域即可判断．【解答】解：∵x＞0，根据幂函数的性质可知，y＝＞0，不符合题意，∵﹣1≤sin x≤1，∴2+sin x＞0恒成立，故选项B不符合题意，C：∵x2﹣x+1＝，而f（x）＝ln（x2﹣x+1），故值域中不恒为正数，符合题意，D：当x＞0时，f（x）＝2x﹣1＞0恒成立，不符合题意，故选：C．【点评】本题主要考查了基本初等函数的值域的求解，属于基础试题．6．（5分）已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先化简命题，再讨论充要性．【解答】解：由a，b，c∈R，知：∵a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，∴“a＝b＝c”⇒“a2+b2+c2＝ab+ac+bc”，“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”⇒“a，b，c不全相等”．“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为（）A．E1＝32E2B．E1＝64E2C．E1＝1000E2D．E1＝1024E2【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：根据题意得：lgE1＝4.8+1.5×9 ①，lgE2＝4.8+1.5×7 ②，①﹣②得lgE1﹣lgE2＝3，lg（）＝3，所以，即E1＝1000E2，故选：C．【点评】本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键．8．（5分）已知函数f（x）＝x+﹣a（a∈R），g（x）＝﹣x2+4x+3，在同一平面直角坐标系里，函数f（x）与g（x）的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜﹣3}B．{a|a＞﹣3}C．{a|a＝﹣3}D．{a|﹣3＜a＜4}【分析】作出函数f（x）与函数g（x）的图象，数形结合即可判断出a的取值范围【解答】解：在同一坐标系中作出函数f（x）与g（x）的示意图如图：因为f（x）＝x+﹣a≥2﹣a＝4﹣a（x＞0），当且仅当x＝2时取等号，而g（x）的对称轴为x＝2，最大值为7，根据条件可知0＜4﹣a＜7，解得﹣3＜a＜4，故选：D．【点评】本题考查函数图象交点问题，涉及对勾函数图象在第一象限的画法，二次函数最值等知识点，属于中档题．9．（5分）已知大于1的三个实数a，b，c满足（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，则a，b，c 的大小关系不可能是（）A．a＝b＝c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】因为三个实数a，b，c都大于1，所以lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，原等式可化为lgalg+lgblg＝0，分别分析选项的a，b，c的大小关系即可判断出结果．【解答】解：∵三个实数a，b，c都大于1，∴lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，∵（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，∴（lga）2﹣lgalgb+lgblgc﹣lgalgb＝0，∴lga（lga﹣lgb）+lgb（lgc﹣lga）＝0，∴lgalg+lgblg＝0，对于A选项：若a＝b＝c，则lg＝0，lg＝0，满足题意；对于B选项：若a＞b＞c，则，0＜＜1，∴lg＞0，lg＜0，满足题意；对于C选项：若b＞c＞a，则0＜＜1，＞1，∴lg＜0，lg＞0，满足题意；对于D选项：若b＞a＞c，则0＜＜1，0＜＜1，∴lg＜0，lg＜0，∴lgalg+lgblg ＜0，不满足题意；故选：D．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是中档题．10．（5分）已知正整数x1，x2，…，x10满足当i＜j（i，j∈N*）时，x i＜x j，且x12+x22+…+x102≤2020，则x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为（）A．19B．20C．21D．22【分析】要使x9﹣（x1+x2+x3+x4）取得最大值，结合题意，则需前8项最小，第9项最大，则第10项为第9项加1，由此建立不等式，求出第9项的最大值，进而得解．【解答】解：依题意，要使x9﹣（x1+x2+x3+x4）取得最大值，则x i＝i（i＝1，2，3，4，5，6，7，8），且x10＝x9+1，故，即，又2×292+2×29﹣1815＝﹣75＜0，2×302+2×30﹣1815＝45＞0，故x9的最大值为29，∴x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为29﹣（1+2+3+4）＝19．故选：A．【点评】本题考查代数式最大值的求法，考查逻辑推理能力及创新意识，属于中档题．二.填空题：本大题共6小题，每空5分，共30分.11．（5分）计算sin330°＝﹣．【分析】所求式子中的角变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．【解答】解：sin330°＝sin（360°﹣30°）＝﹣sin30°＝﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．12．（5分）若集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则实数a的取值范围是[﹣2，2]．【分析】根据集合A的意义，利用△≤0求出实数a的取值范围．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则不等式x2﹣ax+2＜0无解，所以△＝（﹣a）2﹣4×1×2≤0，解得﹣2≤a≤2，所以实数a的取值范围是[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．13．（5分）已知函数f（x）＝log2x，在x轴上取两点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），设线段AB的中点为C，过A，B，C作x轴的垂线，与函数f（x）的图象分别交于A1，B1，C1，则点C1在线段A1B1中点M的上方．（横线上填“上方”或者“下方”）【分析】求出点C1，M的纵坐标，作差后利用基本不等式即可比较大小，进而得出结论．【解答】解：依题意，A1（x1，log2x1），B1（x2，log2x2），则，则＝，故点C1在线段A1B1中点M的上方．故答案为：上方．【点评】本题考查对数运算及基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题．14．（5分）给出下列命题：①函数是偶函数；②函数f（x）＝tan2x在上单调递增；③直线x＝是函数图象的一条对称轴；④将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos2x的图象．其中所有正确的命题的序号是①②③．【分析】利用三函数的奇偶性、单调性、对称轴、图象的平移等性质直接求解．【解答】解：在①中，函数＝cos2x是偶函数，故①正确；在②中，∵y＝tan x在（﹣，）上单调递增，∴函数f（x）＝tan2x在上单调递增，故②正确；在③中，函数图象的对称轴方程为：2x+＝kπ+，k∈Z，即x＝，k＝0时，x＝，∴直线x＝是函数图象的一条对称轴，故③正确；在④中，将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos（2x+）的图象，故④错误．故答案为：①②③．【点评】本题考查命题真假的判断，考查三函数的奇偶性、单调性、对称轴、图象的平移等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是（﹣1，1）．若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，则实数a 的取值范围是{a|a≥0或a≤﹣1}．【分析】先求出对称点的坐标，再求出第二问的对立面，即可求解．【解答】解：因为点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是（﹣1，1）；A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，其对立面是A和A'中两个点的横纵坐标都满足不等式组，可得：且⇒a＜0且﹣1＜a＜2⇒﹣1＜a＜0故满足条件的a的取值范围是{a|a≥0或a≤﹣1}．故答案为：（﹣1，1），{a|a≥0或a≤﹣1}．【点评】本题主要考查对称点的求法以及二元一次不等式组和平面区域之间的关系，属于基础题．16．（5分）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝A sin（ωx+φ），x∈[0，+∞）表示，其中A＞0，ω＞0．如图，平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为α，则点A的坐标是A（r cosα，r sinα），从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t 秒转动到点B（x，y），动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为y＝r sin（ωt+α）．【分析】由任意角三角函数的定义，A（r cosα，r sinα），根据题意∠BOx＝ωt+α，进而可得点C的纵坐标y与时间t的函数关系式．【解答】解：由任意角三角函数的定义，A（r cosα，r sinα），若从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B（x，y），则∠BOx＝ωt+α，点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为y＝r sin（ωt+α）．故答案为：A（r cosα，r sinα），y＝r sin（ωt+α）．【点评】本题考查任意角三角函数的定义，三角函数解析式，属于中档题．三.解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（14分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1，m∈R}．（Ⅰ）求集合∁R A；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；【分析】（Ⅰ）容易求出A＝{x|﹣1≤x≤6}，然后进行补集的运算即可；（Ⅱ）根据A∪B＝A可得出B⊆A，从而可讨论B是否为空集：B＝∅时，m+1＞2m﹣1；B≠∅时，，解出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）A＝{x|﹣1≤x≤6}，∴∁R A＝{x|x＜﹣1或x＞6}，（Ⅱ）∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴①B＝∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；②B≠∅时，，解得，∴实数m的取值范围为．【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集、补集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18．（18分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求tan2α和f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若，求函数f（x）的最小值．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数的定义的应用和函数的关系式的应用求出结果．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅲ）利用函数的定义域的应用求出函数的值域和最小值．【解答】解：（Ⅰ）若点在角α的终边上，所以，，故，所以tan2α＝＝＝．f（α）＝＝2．（Ⅱ）由于函数f（x）＝sin2x﹣2＝．所以函数的最小正周期为．（Ⅲ）由于，所以，所以当x＝时，函数的最小值为．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的定义的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．（18分）已知函数f（x）＝（x≠a）．（Ⅰ）若2f（1）＝﹣f（﹣1），求a的值；（Ⅱ）若a＝2，用函数单调性定义证明f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ）设g（x）＝xf（x）﹣3，若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由已知，建立关于a的方程，解出即可；（Ⅱ）将a＝2代入，利用取值，作差，变形，判号，作结论的步骤证明即可；（Ⅲ）问题转化为h（x）＝2x2﹣3x+3a在（0，1）上有唯一零点，由二次函数的零点分布问题解决．【解答】解：（Ⅰ）由2f（1）＝﹣f（﹣1）得，，解得a＝﹣3；（Ⅱ）当a＝2时，，设x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，则，∵x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，（x1﹣2）（x2﹣2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ），若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，即h（x）＝2x2﹣3x+3a在（0，1）上有唯一零点（x＝a不是函数h（x）的零点），且二次函数h（x）＝2x2﹣3x+3a的对称轴为，若函数h（x）在（0，1）上有唯一零点，依题意，①当h（0）h（1）＜0时，3a（3a﹣1）＜0，解得；②当△＝0时，9﹣24a＝0，解得，则方程h（x）＝0的根为，符合题意；③当h（1）＝0时，解得，则此时h（x）＝2x2﹣3x+1的两个零点为，符合题意．综上所述，实数a的取值范围为．【点评】本题考查函数单调性的证明及二次函数的零点分布问题，考查推理论证及运算求解能力，属于中档题．20．（20分）已知函数f（x）＝log2（x+a）（a＞0）．当点M（x，y）在函数y＝g（x）图象上运动时，对应的点M'（3x，2y）在函数y＝f（x）图象上运动，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的相关函数．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜1；（Ⅱ）对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈（0，1）．当a＝1时，求|F（x）|的最大值【分析】（Ⅰ）利用对数函数的性质可得，解出即可；（Ⅱ）根据题意，求得，依题意，在（0，1）上恒成立，由此得解；（Ⅲ）结合（Ⅱ）可知，，则只需求出的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，则，解得﹣a＜x＜2﹣a，∴所求不等式的解集为（﹣a，2﹣a）；（Ⅱ）由题意，2y＝log2（3x+a），即f（x）的相关函数为，∵对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，∴当x∈（0，1）时，恒成立，由x+a＞0，3x+a＞0，a＞0得，∴在此条件下，即x∈（0，1）时，恒成立，即（x+a）2＜3x+a，即x2+（2a﹣3）x+a2﹣a＜0在（0，1）上恒成立，∴，解得0＜a≤1，故实数a的取值范围为（0，1]．（Ⅲ）当a＝1时，由（Ⅱ）知在区间（0，1）上，f（x）＜g（x），∴，令，则，令μ＝3x+1（1＜μ＜4），则，∴，当且仅当“”时取等号，∴|F（x）|的最大值为．【点评】本题考查对数函数的图象及性质，考查换元思想的运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．。
北京市东城区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷Word版含解析
北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x∈R|x2+2x=0}，N={2，0}，则M∩N=（）A．{0} B．{2} C．∅D．{﹣2，0，2}2．若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为（）A．B．C．6 D．73．设x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．34．二次函数f（x）=ax2+bx+1的最小值为f（1）=0，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．35．设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与．其中可作为该平面其他向量基底的是（）A．①②B．①③C．①④D．③④6．已知函数f（x）=|x﹣1|，则与y=f（x）相等的函数是（）A．g（x）=x﹣1 B．C．D．5，则（）7．已知，，c=log3A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b8．已知函数，若g（x）=f（x）﹣m为奇函数，则实数m的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．39．某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000元．设购买某商品的实际折扣率=，某人欲购买标价为2700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（ ） A ．55% B ．65% C ．75% D ．80%10．将函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则g （x ）图象的一条对称轴的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．11．若函数y=f （x ）的定义域为{x|﹣2≤x ≤3，且x ≠2}，值域为{y|﹣1≤y ≤2，且y ≠0}，则y=f （x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．关于x 的方程（a ＞0，且a ≠1）解的个数是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．不确定的二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．13．函数的定义域为 ．14．已知角α为第四象限角，且，则sin α= ；tan （π﹣α）= ．15．已知9a =3，lnx=a ，则x= ．16．已知向量||=2，||=3，|+|=，那么|﹣|= ．17．已知，且满足，则sin αcos α= ；sin α﹣cos α= ．18．已知函数若存在x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使f （x 1）=f （x 2）成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共4个小题，40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．已知全集U=R，集合A={x∈R|2x﹣3≥0}，B={x|1＜x＜2}，C={x∈N|1≤x＜a}．（Ⅰ）求A∪B；（Ⅱ）若C中恰有五个元素，求整数a的值；（Ⅲ）若A∩C=∅，求实数a的取值范围．20．已知函数与g（x）=cos（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到h（x）的图象，若h （x）的最小正周期为π，求ω的值和h（x）的单调递增区间．21．已知函数f（x）=kx2+2x为奇函数，函数g（x）=a f（x）﹣1（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）求g（x）在[﹣1，2]上的最小值．22．已知函数f（x），定义（Ⅰ）写出函数F（2x﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|x﹣a|）+F（2x﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（x）=cosx•F（x+sinx）的零点个数和值域．北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x∈R|x2+2x=0}，N={2，0}，则M∩N=（）A．{0} B．{2} C．∅D．{﹣2，0，2}【考点】交集及其运算．【分析】由题意求出集合M，由交集的运算求出M∩N．【解答】解：由题意知，M={x∈R|x2+2x=0}={﹣2，0}，又N={2，0}，则M∩N={0}，故选A．2．若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为（）A．B．C．6 D．7【考点】弧长公式．【分析】由已知利用弧长公式即可计算得解．【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，由已知可得：l=3，r=2，则由l=rα，可得：α==．故选：B．3．设x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．3【考点】平面向量的坐标运算．【分析】由⊥，求出x=3，从而=（3，3），由此能求出||．【解答】解：∵x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），⊥，∴=﹣3+x=0，解得x=3，∴=（3，3），∴||==3．故选：C．4．二次函数f（x）=ax2+bx+1的最小值为f（1）=0，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质即可求出a，b的值，问题得以解决．【解答】解：二次函数f（x）=ax2+bx+1的最小值为f（1）=0，∴=1，且a＞0，∴b=﹣2a，∴f（1）=a+b+1=0，解得a=1，b=﹣2，∴a﹣b=3，故选：D5．设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与．其中可作为该平面其他向量基底的是（）A．①②B．①③C．①④D．③④【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】要向量组可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底，这两个向量必不共线（平行），画出图形，利用图象分析向量之间是否共线后，可得答案．【解答】解：如下图所示：①与不共线，故①可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；②与共线，故②不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；③与不共线，故③可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；④与共线，故④不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；故选：B．6．已知函数f（x）=|x﹣1|，则与y=f（x）相等的函数是（）A．g（x）=x﹣1 B．C．D．【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相等函数．【解答】解：对于A，函数g（x）=x﹣1（x∈R），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的对应关系不同，不是相等函数；对于B，函数h（x）==|x﹣1|（x≠1），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的定义域不同，不是相等函数；对于C，函数s（x）==x﹣1（x≥1），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的定义域不同，对应关系不同，不是相等函数；对于D，函数t（x）==|x﹣1|（x∈R），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数．故选：D．7．已知，，c=log35，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数的运算性质及其对数函数的单调性即可得出．【解答】解： =，1＜=log34＜log35=c，∴c＞b＞a．故选：A．8．已知函数，若g（x）=f（x）﹣m为奇函数，则实数m的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【考点】函数奇偶性的判断．【分析】由函数的奇偶性易得g（﹣x）+g（x）=0，即2+﹣m+2﹣﹣m=0，解m的方程可得．【解答】解：∵函数，g（x）=f（x）﹣m为奇函数，∴g（﹣x）+g（x）=0，即2+﹣m+2﹣﹣m=0，∴m=2．故选C．9．某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000元．设购买某商品的实际折扣率=，某人欲购买标价为2700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（）A．55% B．65% C．75% D．80%【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】由已知中的折扣办法，将2700代入计算实际付款额可得实际折扣率．【解答】解：当购买标价为2700元的商品时，产品的八折后价格为：2700×0.8=2160，故实际付款：2160﹣400=1760，故购买某商品的实际折扣率为：≈65%，故选：B10．将函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数=cosx的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（x）=cos（x+）的图象，令x+=kπ，求得x=kπ﹣，k∈Z，则g（x）图象的一条对称轴的方程为x=，故选：D．11．若函数y=f（x）的定义域为{x|﹣2≤x≤3，且x≠2}，值域为{y|﹣1≤y≤2，且y≠0}，则y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的定义域和值域以及与函数图象之间的关系分别进行判断即可．【解答】解：A．当x=3时，y=0，∴A错误．B．函数的定义域和值域都满足条件，∴B正确．C．由函数的图象可知，在图象中出现了有2个函数值y和x对应的图象，∴C错误．D．函数值域中有两个值不存在，∴函数的值域不满足条件，∴D错误．故选：B．12．关于x的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）A．2 B．1 C．0 D．不确定的【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意a x=﹣x2+2x+a，﹣x2+2x+a＞0，令f（x）=a x，g（x）=﹣x2+2x+a，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：由题意a x=﹣x2+2x+a，﹣x2+2x+a＞0．令f（x）=a x，g（x）=﹣x2+2x+a，（1）当a＞1时，f（x）=a x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且f（0）=1，f（1）=a，g（x）=﹣x2+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，在[0，1]上，f（x）＜g（x），∵g（x）在x＜0及x＞1时分别有一个零点，而f（x）恒大于零，∴f（x）与g（x）的图象在x＜0及x＞1时分别有一个交点，∴方程有两个解；（2）当a＜1时，f（x）=a x在（﹣∞，+∞）上单调递减，且f（0）=1，f（1）=a，g（x）=﹣x2+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，f（0）＞g（0），f（1）＜g（1），∴在（0，1）上f（x）与g（x）有一个交点，又g（x）在x＞1时有一个零点，而f（x）恒大于零，∴f（x）与g（x）的图象在x＞1时还有一个交点，∴方程有两个解．综上所述，方程有两个解．故选：A．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．13．函数的定义域为（﹣∞，3] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列出不等式求出解集即可．【解答】解：函数，∴3﹣x≥0，解得x≤3，∴函数y的定义域是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]14．已知角α为第四象限角，且，则sinα= ﹣；tan（π﹣α）= 2．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得sinα和tan（π﹣α）的值．【解答】解：∵角α为第四象限角，且，则sinα=﹣=﹣，tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣=2，故答案为：﹣；2．15．已知9a=3，lnx=a，则x= ．【考点】对数的运算性质．【分析】由指数的运算性质化简等式右边，等式两边化为同底数的对数后可得x的值．【解答】解：由9a=3，∴32a=3，∴2a=1，∴a=，∴lnx==ln，∴x=故答案为：16．已知向量||=2，||=3，|+|=，那么|﹣|= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先由已知求出两个向量的数量积，然后求出|﹣|的平方，再开方求值．【解答】解：||=2，||=3，|+|=，所以|+|2=||2+||2+2=7，所以=﹣3，所以|﹣|2==4+9+6=19，那么|﹣|=；故答案为：．17．已知，且满足，则sinαcosα= ；sinα﹣cosα= ﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，直接由条件求得sinαcosα的值，可得α∈（π，），再根据sinα﹣cosα=﹣，计算求得结果．【解答】解：∵，且满足，∴+==8，∴sinαcosα=，∴sinα＜0，cosα＜0，且sinα＜cosα．∴sinα﹣cosα=﹣=﹣=﹣=﹣，故答案为：；﹣．18．已知函数若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．【考点】分段函数的应用．【分析】当x≥0时，2x﹣1≥0，故若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则当x＜0时，存在不小于0的函数值，进而得到答案．【解答】解：当x≥0时，2x﹣1≥0，当x＜0时，若a=0，则f（x）=2恒成立，满足条件；若a＞0，则f（x）＜2﹣3a，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＞0，则f（x）＜2﹣3a，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＜0，则f（x）＞2﹣3a，满足条件，综上可得：a∈（﹣∞，）；故答案为：（﹣∞，）三、解答题：本大题共4个小题，40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．已知全集U=R，集合A={x∈R|2x﹣3≥0}，B={x|1＜x＜2}，C={x∈N|1≤x＜a}．（Ⅰ）求A∪B；（Ⅱ）若C中恰有五个元素，求整数a的值；（Ⅲ）若A∩C=∅，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（Ⅰ）根据交集的定义计算即可，（Ⅱ）根据集合的元素特征，即可求出，（Ⅲ）根据交集的定义即可求出【解答】解：（Ⅰ）集合A={x∈R|2x﹣3≥0}=[，+∞），B={x|1＜x＜2}=（1，2），∴A∪B=（1，+∞），（Ⅱ）∵C={x∈N|1≤x＜a}，C中恰有五个元素，则整数a的值为6，（Ⅲ）∵C={x∈N|1≤x＜a}=[1，a），A∩C=∅，∴1≤a≤220．已知函数与g（x）=cos（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到h（x）的图象，若h （x）的最小正周期为π，求ω的值和h（x）的单调递增区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）根据f（）=g（），求得φ的值．（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到h（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性求得h（x）的增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵函数与g（x）=cos（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴sin﹣=cos（+φ），即 cos（+φ）=0，∴+φ=，∴φ=．（Ⅱ）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到h（x）=sin（ωx）﹣的图象，若h（x）的最小正周期为=π，∴ω=2，h（x）=sin（2x）﹣．令2kπ﹣≤2x≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得h（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．21．已知函数f（x）=kx2+2x为奇函数，函数g（x）=a f（x）﹣1（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）求g（x）在[﹣1，2]上的最小值．【考点】函数奇偶性的判断；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）函数f（x）=kx2+2x为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），即kx2﹣2x=﹣kx2﹣2x，即可求实数k的值；（Ⅱ）g（x）=a2x﹣1，分类讨论，求g（x）在[﹣1，2]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=kx2+2x为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即kx2﹣2x=﹣kx2﹣2x，∴k=0；（Ⅱ）g（x）=a2x﹣1，0＜a＜1，函数g（x）在[﹣1，2]上单调递减，x=2时g（x）在[﹣1，2]上的最小值为a4﹣1；a＞1，函数g（x）在[﹣1，2]上单调递增，x=﹣1时g（x）在[﹣1，2]上的最小值为a﹣2﹣1．22．已知函数f（x），定义（Ⅰ）写出函数F（2x﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|x﹣a|）+F（2x﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（x）=cosx•F（x+sinx）的零点个数和值域．【考点】分段函数的应用；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（Ⅰ）由新定义，讨论2x﹣1＞x，2x﹣1=x，2x﹣1＜x，解不等式即可得到所求函数F （2x﹣1）；（Ⅱ）讨论x＞1，x=1，x＜1，由F（2x﹣1），求得F（|x﹣a|），运用恒成立思想，即可得到a的值；（Ⅲ）由h（x）=0可得cosx=0或F（x+sinx）=0，结合新定义和三角函数的图象与性质，可得零点个数；由x+sinx＞x，x+sinx=x，x+sinx＜x，化简h（x），分别求得值域，即可得到所求h（x）在时的值域．【解答】解：（Ⅰ）定义，当2x﹣1＞x，可得x＞1，则F（2x﹣1）=1；当2x﹣1=x，可得x=1，则F（2x﹣1）=0；当2x﹣1＜x，可得x＜1，则F（2x﹣1）=﹣1；可得F（2x﹣1）=；（Ⅱ）当x＞1时，F（2x﹣1）=1，F（|x﹣a|）=﹣1，即有|x﹣a|＜x恒成立，即为a2≤2ax在x＞1恒成立，即有a2≤2a，解得0≤a≤2；当x=1时，F（2x﹣1）=0，F（|x﹣a|）=0，可得|1﹣a|=1，解得a=0或2；当x＜1时，F（2x﹣1）=﹣1，F（|x﹣a|）=1，即有|x﹣a|＞x恒成立，即为a2≥2ax在x＜1恒成立，即有a2≥2a，解得a≥2或a≤0；则a的值为0或2；（Ⅲ）当时，h（x）=cosx•F（x+sinx）=0，可得cosx=0或F（x+sinx）=0，即有x=；x+sinx=x，即sinx=0，解得x=π，则h（x）的零点个数为2；当x+sinx＞x，即≤x＜π时，h（x）=cosx∈（﹣1，]；当x+sinx=x，即x=π时，h（x）=0；当x+sinx＜x，即π＜x≤时，h（x）=﹣cosx∈[，1）．综上可得，h（x）的值域为（﹣1，1）．。
2019-2020学年北京市首师大附中高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年北京市首师大附中高一（上）期末数学试卷1.（单选题，5分）设θ∈R，则“θ= π6，是“sinθ= 12”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.（单选题，5分）已知向量a⃗，b⃗⃗在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a⃗，b⃗⃗的夹角为（）A.45°B.60°C.90°D.135°3.（单选题，5分）设θ为第三象限角，sinθ=−35，则sin2θ=（）A. −725B. 725C. −2425D. 24254.（单选题，5分）下列函数既是偶函数，又在（-∞，0）上单调递增的是（）A.y=2|x|B.y=x −23C.y= 1x-xD.y=ln（x2+1）5.（单选题，5分）已知f（x）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数，且在（-∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b= f(log123)，c=f（0.2-0.6），则a，b，c的大小关系是（）A.c＜a＜bB.c＜b＜aC.b ＜c ＜aD.a ＜b ＜c6.（单选题，5分）如图所示，函数y=cosx|tanx|（0≤x ＜ 3π2且x≠ π2）的图象是（ ）A.B.C.D.7.（单选题，5分）如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ-μ的值为（ ）A.3B.2C.1D.-38.（单选题，5分）已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期是π，将函数f （x ）的图象向左平移 π6 个单位长度后得到函数图象过点P （0，1），则函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ ） A.有一个对称中心（ π12 ，0） B.有一条对称轴x= π6C.在区间[- π12 ， 5π12 ]上单调递减 D.在区间[- π12 ， 5π12 ]上单调递增9.（单选题，5分）对于函数f （x ），若存在区间M=[a ，b]（a ＜b ）使得{y|y=f （x ），x∈M}=M ，则称区间M 为函数f （x ）的一个“稳定区间，给出下列四个函数： ① f （x ）=x x 2+1， ② f （x ）=x 3， ③ f （x ）=cos π2x ， ④ f （x ）=tanx其中存在“稳定区间”的函数有（ ） A. ① ② B. ② ③ C. ③ ④ D. ① ④10.（单选题，5分）如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE=CD ．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，下列判断正确的是（ ）A.满足λ+μ=2的点P 必为BC 的中点B.满足λ+μ=1的点P 有且只有一个C.λ+μ的最大值为3D.λ+μ的最小值不存在11.（填空题，5分）函数 f (x )=1log 2(3−x )的定义域为___ ．12.（填空题，5分）在△ABC 中，cosA= 35，cosB= 45，则cosC=___ ． 13.（填空题，5分）已知tan （3π+α）=2，则sin (α−3π)+cos (π−α)+sin(π2−α)−2cos(π2+α)−sin (−α)+cos (π+α)=___ ．14.（填空题，5分）若函数y=log a （2-ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为___ ．15.（填空题，5分）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg/L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为C= 20tt 2+4，则经过___ h 后池水中药品的浓度达到最大．16.（填空题，5分）已知函数f （x ）=sin π2x ，任取t∈R ，记函数f （x ）在区间[t ，t+1]上的最大值为M t ，最小值为m t ，记h （t ）=M t -m t ．则关于函数h （t ）有如下结论： ① 函数h （t ）为偶函数；② 函数h （t ）的值域为[1- √22 ，1]； ③ 函数h （t ）的周期为2；④ 函数h（t）的单调增区间为[2k +12，2k +32]，k∈Z．其中正确的结论有___ ．（填上所有正确的结论序号）17.（问答题，10分）已知不共线向量a⃗，b⃗⃗满足| a⃗ |=3，| b⃗⃗ |=2，（2 a⃗ -3 b⃗⃗）•（2 a⃗ + b⃗⃗）=20．（1）求a⃗• b⃗⃗；（2）是否存在实数λ，使λ a⃗ + b⃗⃗与a⃗ -2 b⃗⃗共线？（3）若（k a⃗ +2 b⃗⃗）⊥（a⃗ -k b⃗⃗），求实数k的值．18.（问答题，10分）已知函数f（x）=cosx（acosx-sinx）- √3（a∈R），且f （π3）=- √3．（1）求a的值；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）求f（x）在区间[0，π2]上的最小值及对应的x的值．19.（问答题，10分）如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D处，此时观测站测得B，D间的距离为21海里．（Ⅰ）求sin∠BDC的值；（Ⅱ）试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A？20.（问答题，10分）f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两数x1，x2，恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2），则称f（x）为定义在D 上的C函数．(x＜0)中哪些是各自定义域上的C函数，并说明理（1）试判断函数f1（x）=x2，f2(x)=1x由；（2）若f（x）是定义域为R的函数且最小正周期为T，试证明f（x）不是R上的C函数．。
高一上学期数学人教B版(2019)期末模拟测试卷B卷(含解析)
高一上学期数学人教B 版（2019）期末模拟测试卷B 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，若，则实数a 取值集合的真子集的个数为( )A.2B.3C.7D.82.已知函数是定义在R 上的偶函数，且在上单调递增，若关于x 的不等式，则不等式的解集为( )A. B.C. D.3.已知函数，若恒成立，则的最大值为( )A.4.若函数，在上单调递增，则a 的取值范围是( )A. B. C. D.5.已知函数的定义域为R ，对任意的，且，都有成立.若对任意恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. B.C. D.6.“幸福指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取10位市民，他们的幸福感指数分281{50}A x x x =-+={10}B x ax =-=B A ⊆()f x [)0,+∞()f x ][),22,-∞-+∞ ()232f x x >()(),22,-∞-+∞ ()2,2-()(),44,-∞-+∞ ()4,4-()()212e 1b x f x a x -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()0f x ≤ab ()2log 1,13(),3x x f x ax x x ⎧+-<≤⎪=⎨+>⎪⎩(1,)-+∞[]3,9-[)3,-+∞[]0,9(],9-∞()f x 1x 2x 12x x ≠()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦()()22326f x x a f x a a -+>--x ∈R ()1,4,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,4,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,10别为5，6，7，8，7，9，4，5，8，9，则下列说法错误的是( )A.该组数据的中位数为7B.该组数据的平均数为7.5C.该组数据的第60百分位数为7.5D.该组数据的极差为57.口袋中有2个红球和2个白球（形状和大小完全相同），从中随机不放回地依次摸出2个球，设事件“第1次摸出的是红球”，“第2次摸出的是红球”，“摸出的两个球均为红球”，“摸出的两个球颜色不同”则下列说法正确的是( )A.A 与B 互斥B.C 与D 互为对立C.D.A 与D 相互独立8.已知，若A.-2B.-1C.二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若非空实数集M 满足任意，都有， ，则称M 为“优集”.已知A ，B 是优集，则下列命题中正确的是( )A.是优集B.是优集C.若是优集，则或D.若是优集，则是优集10.已知函数是定义域为R 的偶函数，满足，当时，，则( )A.的最小值是的周期为4C. D.11.已知，，…，，为1，2，…，5，6的任意排列，设，.则( )A.任意交换，，的顺序，不影响X 的取值A =B =C =D =B C⊆0a ≠20212021()20a b a a b ++++=,x y M ∈x y M +∈x y M -∈A B A B A B A B ⊆B A⊆A B A B ()f x (2)(2)f x f x +=-02x ≤≤2()f x x x =-()f x ()f x (2025)2f =20271()1014i f i ==∑1x 2x 5x 6x {}{}{}123456min max ,,,max ,,X x x x x x x ={}{}{}123456max min ,,,min ,,Y x x x x x x =1x 2x 3xB.满足及的排列有20个C.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某中学高一､高二､高三的学生人数比例为，假设该中学高一､高二､高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.2，0.25，，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率不大于0.233，已知该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，则的取值范围是__________.13.已知函数，若恒成立，则实数k 的取值范围为__________.14.已知不等式对于恒成立，则实数a 的取值范围是_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.（1）求实数a 的值：（2）探究的单调性，并证明你的结论；（3）解关于x 的不等式.17.（15分）某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计解题思路，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.123x x x <<456x x x <<X =X >4:3:3(01)p p <<p ()()221f x x x kx x =-+-∈R ()0f x ≥4220x x a ⋅-+>(],0x ∈-∞()f x ()()42322x xf f +-⨯>(1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；(2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；(3)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差..记两组，则总体样本方差）18.（17分）为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化某条河上游水域的水质.省环保局于2022年年底在该河上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2023年2月底测得蒲草覆盖面积为，2023年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积y（单位：）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型（，）与可供选择.（1）分别求出两个函数模型的解析式；（2）若2022年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到？（参考数据：，）.19.（17分）多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有两个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.(1)甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得5分的概率；lg30.48≈[)60,70[)60,80[)70,80122()()222221122m ns s x w s x wm n m n⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++236m248m2m xy ka=0k>1a> 2(0)y mx n m=+>220m2810mlg20.30≈否也互不影响，求这2道多项选择题乙比丙总分刚好多得5分的概率.答案以及解析1.答案：C解析：由，得，解得或，所以.当时，，满足；当时，，因为，解得，所以实数a 取值集合的真子集的个数为，故选C.2.答案：B解析：令为偶函数，且在上递增，，结合题设知，在上，在上，令上递增，，若上，则有，在上，则有，综上，结合题设的性质，不等式的解集为.故选：B 3.答案：C解析：由，解得，令，解得，则，，不符合题意；当，则，，不符合题意；所以，则当时等号成立，4.答案：A解析：当时，单调递增且值域为，而在上单调递增，28150x x -+=(3)(5)0x x --=3x =5x ={3,5}A =0a =B =∅B A ⊆0a ≠1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭B ⊆=5=a ==110,,35⎫⎬⎭3217-=()3||g x x =()0,+∞(2)6g =(2)6f =(,2)(2,)-∞-+∞ ()()g x f x >()2,2-()()g x f x <3()2h x =)0,+∞(2)(2)(2)6h g f ===23()()3||3||2y h x g x x x x =-=-=(,2)(2,)-∞-+∞ 0y >()()()h x g x f x >>()2,2-0y <()()()h x g x f x <<()f x ()232f x x >()2,2-120a x --=12x a =-2e10bx --=x =2a ->,122b x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭120a x -->2e 10b x -->12a -<12,2b a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭120a x --<2e10bx --<12a -=24a =-()21124444ab a a a ⎛⎫=-=--+≤ ⎪⎝⎭a =1=13x -<≤2log (1)y x =+(,2]-∞()f x (1,)-+∞在，即；综上，.故选：A5.答案：C解析：不妨设，又，所以，即，所以在R上单调递增，所以对任意恒成立，即，即对任意恒成立，所以，解得或，故选：C.6.答案：B解析：首先对10位市民的幸福感指数按从小到大的顺序进行排序：4，5，5，6，7，7，8，8，9，9，该组数据的中位数为第五个和第六个数据的平均值7，因此A说法正确；，因此B说法不正确；，因此C说法正确；又该组数据最大为9，最小为4，因此极差为，因此D说法正确；故选：B.7.答案：D解析：令2个红球和2个白球分别为从中随机不放回地依次摸出2个球有：，共12种，事件A对应事件为，有6种，事件B对应事件为，有6种，23aa+≥⇒≥-)+∞ay xx=+309a<≤39a-≤≤12x x<()()()1212f x f x x x-->⎡⎤⎣⎦()()12f x f x-<()()12f x f x<()f x()()22326f x x a f x a a-+>--x∈R 22326x x a x a a-+>--224270x x a a-++>x∈R()()2244270a a∆=--+<4a<-a>()1,4,2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭7.5=945-=1,2,1,2R R W W(1,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,1),(2,2),(1,1),(1,2),(1,2),R R R W R W R R R W R W W R W R W W(2,1),(2,2),(2,1)W R W R W W(1,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,1),(2,2)R R R W R W R R R W R W(1,2),(2,1),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)R R R R W R W R W R W R事件C对应事件为，有2种，事件D对应事件为，有8种，综上，A与B不互斥，C与D互斥但不对立，，且事件对应事件为，有4种故故A、B、C错，D对故选：D8.答案：A，则，所以由，得，即，亦即.当且，即时，等式显然成立.当时，则有，所以.当时，有，即.因为函数是实数集上的增函数，所以由，得，则.这与矛盾，所以不成立.当时，有，即.因为函数是实数集上的增函数，所以由，得，则，这与矛盾，所以不成立.综上可知，.故选A.9.答案：ACD解析：对于A中，任取，，因为集合A，B是优集，则，，则，，，则，所以A正确；对于B中，取，，则或，令，，则，所以B不正确；对于C中，任取，，可得，因为是优集，则，，若，则，此时；若，则(1,2),(2,1)R R R R(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,1),(1,2),R W R W R W R W W R W R(2,1),(2,2)W R W RC B⊆1(),2P A P=AD(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)R W R W R W R W()P AD=()()()P A P D P AD=k=b ak=20212021()20a b a a b++++=20212021()20a ak a a ak++++=20212021[(1)1](2)0a k a k++++=20202021(1)1(2)0a k k⎡⎤++++=⎣⎦2021(1)10k++=20k+=2k=-2021(1)10k++≠2020a=0≠202020212(1)1kak+=->++20k+<2021(1)10k++>20212021(1)(1)k+>-2021y x=20212021(1)(1)k+>-11k+>-20k+>20k+<2021(1)10k++> 20k+>2021(1)10k++<20212021(1)(1)k+<-2021y x=20212021(1)(1)k+<-11k+<-20k+<20k+>2021(1)10k++<2k=-x A B∈ y A B∈ x y A+∈x y B+∈x y A B+∈ x y A-∈x y B-∈x y A B-∈{|2,}A x x k k==∈Z{|3,}B x x m m==∈Z{|2A B x x k==3,}x k k=∈Z 3x=2y=5x y A B+=∉x A∈y B∈,x y A B∈ A Bx y A B+∈x y A B-∈ x y B+∈()x x y y B=+-∈A B⊆x y A+∈，此时，所以C 正确；对于D 中，是优集，可得，则为优集；或，则为优集，所以是优集，所以D 正确.故选：ACD.10.答案：ABD解析：由于，所以的图象关于直线对称，由于是定义在R 上的偶函数，所以的图象关于y 轴对称，所以是周期为4的周期函数，故B 正确.当时，的图象开口向上，对称轴为直线，，，，的周期性、图象的对称性可知，的最小值是，故C 错误.因为，，，，所以，所以，故D 正确.故选ABD.11.答案：ABD解析：对于A ，注意到当，，被确定后，，，的取值也被固定，因此满足条件的条件组数即满足条件的，，的组数，即从1，2，…，5，6中任选3个数的数目，即.注意到任意交换，，的顺序，不影响X ，Y 的取值，任意交换，，的顺序，不影响X ，Y 的取值，A 正确，B 正确；因此不妨设及.注意到，整体交换，，和，，也不影响X ，Y 的取值，因此不妨设，即，，将满足以上条件的排列列举如下：()y x y x A =+-∈B A ⊆A B A B ⊆A B A = B A ⊆A B B = A B (2)(2)f x f x +=-()f x 2x =()f x ()f x ()f x 02x ≤≤2()f x x x =-12x =(0)0f =(2)2f =12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭max ()(2)2f x f ==min 1()2f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()f x ()f x 2(2025)(50641(1)110)f f f =⨯+==-=(1)0f =(2)2f =(3)(1)(1)0f f f =-==(4)(0)0f f ==(1)(2)(3)(4)2f f f f +++=202712024()2(1)(2)(3)101202010144i f i f f f ==⨯+++=+++=∑1x 2x 3x 4x 5x 6x 1x 2x 3x 36C 20=1x 2x 3x 4x 5x 6x 123x x x <<456x x x <<1x 2x 3x 4x 5x 6x 14x x <4Y x ={}36min ,X x x =12.答案：解析：若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率为，解得.因为该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，所以.故p 的取值范围是.13.答案：解析：由题意得，当时，由恒成立，得，解得；当时，由上单调递增，所以，解得；当时，由恒成立，得，即，所以.综上，实数k 的取值范围是.故答案为：14.答案：解析：不等式对于恒成立，即不等式对于恒成立，令，则，所以不等式对于恒成立，所以恒成立，令，函数在上单调递减，所以，即[0.2,0.26]4330.20.250.1550.30.233433433433p p ⨯+⨯+⨯=+≤++++++0.26p ≤0.2p ≥[]0.2,0.26[]1,1-()221,111,11x kx x x f x kx x ⎧--≥≤-=⎨-+-<<⎩或1x ≥()2210x f x kx --≥=2k x ≤-2y =11x x-≥1k ≤1x ≤-()2210x f x kx --≥=],1-∞-121x x -≤-1k ≥-11x -<<()0f x ≥()()1010f f -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩1010k k +≥⎧⎨-+≥⎩11k -≤≤[]1,1-[]1,1-()1,-+∞4220xxa ⋅-+>(],0x ∈-∞()22220x x a ⋅-+>(],0x ∈-∞2x t =(]0,1t ∈220at t -+>(]0,1t ∈22212t a t t -⎛⎫>=-+ ⎪⎝⎭(]0,1∈m =[)1,∈+∞221224y m m m ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭[)1,+∞()2max21m m-+=-，所以，即实数a 的取值范围是.故答案：为2max 1121t t ⎡⎤⎛⎫-+=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1a >-()1,-+∞()1,-+∞16.答案：（1）（2）增函数，证明见解析（3）解析：（1）因为函数的图像关于点中心对称，所以该函数向下平行一个单位，得到的函数的图像关于点中心对称，即函数的图像关于点中心对称，因此函数是奇函数，于是有，即因为，所以符合题意；（2）因为设，是任意两个实数，且，因为，所以，因此，所以函数（3）因为函数的图像关于点中心对称，所以，即，所以由，因为函数所以，或，解得，或，因此原不等式的解集为.2a =()(),01,-∞+∞ ()f x a =-x ∈R ()0,1()0,0()2121x g x a =--+()0,0()2121x g x a =--+()2010211g a a =--=⇒=+()1g x =()()222221*********x x x x g x g x -⨯+-+=-+-=-=+++()1g x =a =1x 2x 12x x <()()121222222121x x f x f x -=--+=++12x x <1222x x <()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<()2f x =(f x ()0,1()()2f x f x +-=()()2f x f x -=-()()()()()4232242232232x x x x x f f f f f ⎡⎤+-⨯>⇒>--⨯=--⨯⎣⎦()2f x =()()()42322122022x x x x x --⨯⇒-->⇒>>21x <1x >0x <()(),01,-∞+∞17.答案：(1)平均数为71，众数为75；(2)88；(3)平均数为76，方差为12.解析：（1）一至六组的频率分别为0.10，0.15，0.15，0.30，0.25，0.05，平均数.由图可知，众数为75.以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分.（2）前4组的频率之和为，前5组的频率之和为，第分位数落在第5组，设为x ，则，解得.“防溺水达人”的成绩至少为88分.（3）)的频率为0.15，)的频率为0.30，的频率与的频率之依题意有，，解得，所以内的平均成绩为76，方差为12.18.答案：（1）；（2）至少到2024年2月底蒲草覆盖面积能达到解析：（1）若选择模型（，），则解得.若选择模型，则解得，450.10550.15650.15750.30850.25950.0571=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=0.100.150.150.300.700.90+++=<0.700.250.950.90+=>90%()0.70800.0250.90x +-⨯=88x =[60,70[70,80=)70,80[)60,8012736733=⨯+76=()222212299(6773)767333s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-⎣⎦⎣⎦2212s =[)70,8081443xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭21213255y x =+2810m x y ka =0k >1a >2336,48,ka ka ⎧=⎨=⎩a ==81443x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭2(0)y mx n m =+>436,948,m n m n +=⎧⎨+=⎩1205m =>n =故函数模型为（2）把代入，可得，把代入，因为26.4与20相差比较大，故选择模型更合适.，可得，两边取对数可得，即，所以，至少要到2024年2月底蒲草覆盖面积能达到.解析：(1)甲同学所有可能的选择答案有11种：，，，，，，，，，，，其中正确选项只有一个，样本空间，共11个基本事件，所以他猜对本题得5分的概率为(2)由题意得乙得0分的概率为乙比丙刚好多得5分的情况包含：事件B ：乙得10分，丙得5分，则事件C ：乙得7分，丙得2分，则AB AC AD 2125y x =+0x =81443x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭8120.254y ==0x =2125y x =+13226.45y ==81443x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭48103x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭4403x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭4lg lg 403x ≥lg 402lg 2120.3113.3342lg 2lg 320.30.48lg 3x +⨯+≥=≈≈-⨯-14x ≥2810m BC BD CD ABC ABD ACD ABD ABCD {},,,,,,,,,,AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD ABD ABCD Ω=P =11124--=1162--=()111111226336P B ⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭()1111111124422323P C ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭事件D ：乙得5分，丙得0分，则所以乙比丙总分刚好多得5分的概率()111111244233P D ⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭()111361236P P B C D =++=++=。
北京市昌平区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷Word版含答案
北京市昌平区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷考生注意事项：1.本试卷共4页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟． 2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 要求的.1. 已知集合{}0,1,2,3,4U =，{}0,1,2,3A =，{0,2,4}B =,那么()U AB ð等于A ．{}1B ．{}0,1C ．{1,3}D ．{0,1,2,3}2. 已知向量(1,2),(2,3)m ==-a b , 且//a b ，那么实数m 的值是 A ．1-B ．1C ．4D ．7 3. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A .若点A 的纵坐标是45，那么sin α的值是A.35 B. 45 C. 34 D. 434. 已知函数()226=+-xf x x 的零点为0x ，那么0x 所在的区间是 A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)5.已知函数f (x ) 是定义在[4,0)(0,4]-上的奇函数，当0x >时，f (x ) 的图象如图所示，那么f (x ) 的值域是A ．(4,6]-B ．[6,6]-C ．(4,4)(4,6]- D ．[6,4)(4,6]--6. 已知函数sin 2=y x 的图象为C ，为了得到函数2sin(2)3π=+y x 的图象，只要把C 上所有的点 A ．向左平行移动23π个单位长度 B. 向右平行移动23π个单位长度C. 向左平行移动3π个单位长度D. 向右平行移动3π个单位长度7. 已知132a =，133-=b ，21log 3c =，那么a ，b ，c 的大小关系是 A ．c a b << B ．c b a << C ．a b c << D ．b a c <<8. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足()(4)f x f x =- ，且在区间[0,2]上是增函数，那么 A ．(6)(4)(1)<<f f f B ．(4)(6)(1)<<f f fC ．(1)(6)(4)<<f f fD ． (6)(1)(4)<<f f f 9. 甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示. 假设某人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计）.如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是A. 40万元B. 60万元C.120万元D. 140万元10. 已知定义在R 上的函数()f x ，若对于任意12,x x ∈R ，且12x x ≠，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，那么函数()f x 称为“Ω函数”. 给出下列函数：①()cos f x x =；②()2xf x =；③()||f x x x =；④2()ln(1)f x x =+.其中“Ω函数”的个数是A.1B. 2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分. 11. 已知函数()af x x =的图象经过点1(3,)27，那么实数a 的值等于____________. 12. 已知3sin()5απ-=，且(0,)2πα∈，那么tan α=________.13. 已知函数 4, 3,()8, 3.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩ 如果0()16f x =，那么实数0x 的值是 .14. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,||2πω><ϕ)的部分图象 如图所示，那么ω=________，ϕ= .15.如图，在66⨯的方格中，已知向量,,a b c 的起点和终点均在 格点，且满足向量(,)x y x y =+∈R c a b ，那么x y +=_______.16.已知函数()f x 的定义域为D ，若同时满足以下两个条件： ① 函数()f x 在D 内是单调递减函数；② 存在区间[,]a b D ⊆，使函数()f x 在[,]a b 内的值域是[,]--b a . 那么称函数()f x 为“W 函数”.已知函数()=f x k 为“W 函数”.（1）当0=k 时，-b a 的值是 ； （2）实数k 的取值范围是 .三、解答题（共5个小题，共70分） 17. (本小题满分13分)已知向量(2,1),(1,)x =-=a b . （Ⅰ）若⊥()a a +b ，求b 的值；（II ）若2(4,7)+=-a b ，求向量a 与b 夹角的大小.a已知函数()sin(2)6π=-f x x . （I ）求函数()f x 的最小正周期；(II) 求函数()f x 的单调递增区间；（III ）当20,3π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，求函数()f x 的最小值，并求出使()y f x =取得最小值时相应的x 值．19. (本小题满分14分)已知函数1122()log (3)log (3)=++-f x x x .(Ⅰ) 求(1)f 的值；(Ⅱ) 判断函数()f x 的奇偶性，并加以证明； (Ⅲ)若(2)0>f x ，求实数x 的取值范围.20.（本小题满分14分）据市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格P （元）和时间t (∈t N )（天）的关系如图所示.（I ） 求销售价格P （元）和时间t （天）的函数关系式； （II ）若日销售量Q (件)与时间t （天）的函数关系式是40(030,=-+≤≤Q t t ∈t N )，问该产品投放市场第几天时，日销售额y （元）最高，且最高为多少元？已知函数()f x ，对于任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+, 当0>x 时，()0f x <，且1(1)2f =-.( I ) 求(0),(3)f f 的值；(II) 当810x -≤≤时，求函数()f x 的最大值和最小值；(III) 设函数2()()2()g x f x m f x =--，判断函数g (x )最多有几个零点，并求出此时实数m 的取值范围.北京市昌平区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 11. 3- 12.3413. 2-14. 2,6π 15. 3 16. 1，1(,0]4-（注：第14、16题第一问2分，第二问3分）.三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17. (本小题满分13分)（I ）依题意(3,1)x +=-+a b ，由()⊥+a a b 可得，610x +-=, 解得7x =,即(1,7)=b ,所以 =b …………6分 (II) 依题意2(4,7)x +(4,2-1)-a b ==，可得3x=-，所以 cos ,⋅<>=a ba b a b = 因为 [],0<>∈π，a b ，所以 a 与b 的夹角大小是4π. …………13分18.（本小题满分14分）解：（I ）22π==πT . ……………………………3分 （II ）222.262k x k k Z πππ-+π≤-≤+π,∈ 222.33k x k k Z π2π-+π≤≤+π,∈ 63k x k k Z ππ-+π≤≤+π,∈. 所以 函数()f x 的单调递增区间是[,63ππ-+π+π]k k （∈k Z ）.……………………………8分（III ）203π≤≤x ,4023π≤≤x , 72666πππ-≤-≤x .……………………………10分所以函数()f x 的最小值是12-， ……………………………12分此时20,3x x π==或. ……………………………14分19. (本小题满分14分)解: ( Ⅰ ) 1212(1)log 2log 43=+=-f……………………………3分 ( Ⅱ ) 函数()f x 是偶函数. ……………………………4分证明：由30,30,+>⎧⎨->⎩x x 解得3,3.>-⎧⎨<⎩x x所以 33-<<x ,所以 函数()f x 的定义域为{|33}-<<x x . ………………………………6分 因为 1212()log (3())log (3())-=+-+--f x x x ………………………………7分1122log (3)log (3)=-++x x ()f x =，所以 函数1122()log (3)log (3)=++-f x x x 是偶函数. …………………………9分( Ⅲ ) 由(2)0>f x 可得 21122log (9(2))log 1->x …………………………10分得 23239(2)1-<<⎧⎨-<⎩x x ， …………………………12分解得，32-<<x ，或32<<x . …………………………14分 20.（本小题满分14分）解：（I ）①当020,t t ≤<∈N 时，设,P at b =+ 将(0,20),(20,40) 代入，得20,4020,b a b =⎧⎨=+⎩ 解得1,20.a b =⎧⎨=⎩所以20(020,).P t t t =+≤<∈N ………………….3分 ②当2030,t t ≤≤∈N 时，设,P at b =+ 将(20,40),(30,30) 代入，解得1,60.a b =-⎧⎨=⎩所以 60(2030,),P t t t =-+≤≤∈N ………………….6分综上所述20(020,),60(2030,).t t t P t t t +≤<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩N N ………………….7分（II ）依题意，有,y P Q =⋅得(20)(40)(020,),(60)(40)(2030,).t t t t y t t t t +-+≤<∈⎧=⎨-+-+≤≤∈⎩N N ………………….9分化简得2220800(020,),1002400(2030,).t t t t y t t t t ⎧-++≤<∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩N N整理得 22(10)900(020,),(50)100(2030,).t t t y t t t ⎧--+≤<∈⎪=⎨--≤≤∈⎪⎩N N ………………….11分① 当020,t t ≤<∈N 时，由2(10)900y t =--+可得，当10t =时，y 有最大值900元. ………12分 ② 当2030,t t ≤≤∈N 时，由2(50)100y t =--可得，当20t =时，y 有最大值800元. …….13分 因为 900800>，所以在第10天时，日销售额最大，最大值为900元. ………………….14分21. (本小题满分15分）解：（I ）令0x y ==得(0)(0)(0)f f f =+，得(0)0f =. ………………….1分 令1,x y ==得(2)2(1)1f f ==-， ………………….2分令2,1x y ==得3(3)(2)(1).2f f f =+=- …………………3分(II)任取12,,x x ∈R 且12x x <，210x x ->，因为()()()f x y f x f y +-=，即()()[()]()f x y f x f x y x f y +-=+-=， 则2121()()()f x f x f x x -=-. …………………4分 由已知0x >时，()0f x <且210x x ->，则21()0f x x -<， 所以 21()()0f x f x -<，21()()f x f x <，所以 函数()f x 在R 上是减函数， ………………….6分 故 ()f x 在[8,10]-单调递减.所以max min ()(8),()(10)f x f f x f =-=，又3(10)2(5)2[(2)(3)]2(1)52f f f f ==+=--=-， ………………….7分 由(0)(11)(1)(1)0f f f f =-=+-=，得1(1)2f -= ， 1(8)2(4)4(2)8(1)842f f f f -=-=-=-=⨯=， 故max min ()4,()5f x f x ==-. ………………….9分 (III) 令,y x =-代入()()()f x y f x f y +=+， 得()()(0)0f x f x f +-==，所以()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数. ………………….10分2()()2()g x f x m f x =--2()2()f x m f x =-+-2()()()f x m f x f x =-+-+-2(2)f x x m =-- ………………….11分令()0g x =即2(2)00f x x m f --==（）， 因为 函数()f x 在R 上是减函数， ………………….12分 所以 220x x m --=，即22m x x =-， ………………….13分 所以 当()1,0m ∈- 时，函数()g x 最多有4个零点. ………………….15分【其它正确解法相应给分】。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
【附5套中考模拟试卷】北京市昌平区2019-2020学年中考数学模拟试题(2)含解析
北京市昌平区2019-2020学年中考数学模拟试题（2）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．去年某市7月1日到7日的每一天最高气温变化如折线图所示，则关于这组数据的描述正确的是( )A．最低温度是32℃B．众数是35℃C．中位数是34℃D．平均数是33℃2．《九章算术》是中国古代数学专著，《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”这是一道行程问题，意思是说：走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步；走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人？如果走路慢的人先走100步，设走路快的人要走 x 步才能追上走路慢的人，那么，下面所列方程正确的是()A．x x10060100-=B．x x10010060-=C．x x10060100+=D．x x10010060+=3．某一公司共有51名员工（包括经理），经理的工资高于其他员工的工资，今年经理的工资从去年的200000元增加到225000元，而其他员工的工资同去年一样，这样，这家公司所有员工今年工资的平均数和中位数与去年相比将会（）A．平均数和中位数不变B．平均数增加，中位数不变C．平均数不变，中位数增加D．平均数和中位数都增大4．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．若x＞y，则下列式子错误的是（）A．x﹣3＞y﹣3 B．﹣3x＞﹣3y C．x+3＞y+3 D．x y > 336．在圆锥、圆柱、球、正方体这四个几何体中，主视图不可能．．．是多边形的是（）A．圆锥B．圆柱C．球D．正方体7．小带和小路两个人开车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，小带和小路两人车离开A城的距离y(km)与行驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示．有下列结论；①A，B两城相距300 km；②小路的车比小带的车晚出发1 h，却早到1 h；③小路的车出发后2.5 h追上小带的车；④当小带和小路的车相距50 km 时，t ＝54或t ＝154.其中正确的结论有( )A ．①②③④B ．①②④C ．①②D ．②③④8．如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为( )A ．B ．C ．D ．9．在银行存款准备金不变的情况下，银行的可贷款总量与存款准备金率成反比例关系．当存款准备金率为7.5%时，某银行可贷款总量为400亿元，如果存款准备金率上调到8%时，该银行可贷款总量将减少多少亿（ ） A ．20B ．25C ．30D ．3510．如图，将含60°角的直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B 经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．2πB ．3π C ．4π D ．π11．已知方程x 2﹣x ﹣2=0的两个实数根为x 1、x 2，则代数式x 1+x 2+x 1x 2的值为（ ） A ．﹣3B ．1C ．3D ．﹣112．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．若点（a ，b ）在一次函数y=2x-3的图象上，则代数式4a-2b-3的值是__________14．已知点P （a ，b ）在反比例函数y=2x的图象上，则ab=_____． 15．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，cosA=35，BE=4，则tan ∠DBE 的值是_____．16．钓鱼岛周围海域面积约为170000平方千米，170000用科学记数法表示为______．17．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点O ，则tan ∠AOD=________.18．分解因式：244m m ++＝___________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，⊙O 的半径为4，B 为⊙O 外一点，连结OB ，且OB ＝6.过点B 作⊙O 的切线BD ，切点为点D ，延长BO 交⊙O 于点A ，过点A 作切线BD 的垂线，垂足为点C ． (1)求证：AD 平分∠BAC ； (2)求AC 的长．20．（6分）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面．若这个输水管道有水部分的水面宽16cm AB =，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．21．（6分）如图，一次函数y=kx+b 的图象与二次函数y=﹣x 2+c 的图象相交于A （﹣1，2），B （2，n ）两点．（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使二次函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围；（3）设二次函数y=﹣x 2+c 的图象与y 轴相交于点C ，连接AC ，BC ，求△ABC 的面积．22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．（1）求证：AE=BF；（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；（3）若AE=1，EB=2，求DG的长．23．（8分）如图，四边形AOBC是正方形，点C的坐标是（42，0）．正方形AOBC的边长为，点A的坐标是．将正方形AOBC绕点O顺时针旋转45°，点A，B，C旋转后的对应点为A′，B′，C′，求点A′的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；动点P从点O出发，沿折线OACB 方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q从点O出发，沿折线OBCA方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t秒，当它们相遇时同时停止运动，当△OPQ为等腰三角形时，求出t的值（直接写出结果即可）．24．（10分）为了解某校九年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．学生立定跳远测试成绩的频数分布表分组频数1.2≤x＜1.6 a1.6≤x＜2.0 122.0≤x＜2.4 b2.4≤x＜2.8 10请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：表中a=，b=，样本成绩的中位数落在范围内；请把频数分布直方图补充完整；该校九年级共有1000名学生，估计该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有多少人？25．（10分）已知，平面直角坐标系中的点A（a，1），t＝ab﹣a2﹣b2（a，b是实数）（1）若关于x的反比例函数y＝2ax过点A，求t的取值范围．（2）若关于x的一次函数y＝bx过点A，求t的取值范围．（3）若关于x的二次函数y＝x2+bx+b2过点A，求t的取值范围．26．（12分）如图1，反比例函数kyx（x＞0）的图象经过点A（231），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．（1）求k的值；（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．27．（12分）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形DEBF是矩形；（2）若AF平分∠DAB，AE=3，BF=4，求▱ABCD的面积．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】分析：将数据从小到大排列，由中位数及众数、平均数的定义，可得出答案．详解：由折线统计图知这7天的气温从低到高排列为：31、32、33、33、33、34、35，所以最低气温为31℃，众数为33℃，中位数为33℃，平均数是313233334357++⨯++=33℃．故选D．点睛：本题考查了众数、中位数的知识，解答本题的关键是由折线统计图得到最高气温的7个数据．2．B【解析】解：设走路快的人要走x 步才能追上走路慢的人，根据题意得：10010060x x-=．故选B．点睛：本题考查了一元一次方程的应用．找准等量关系，列方程是关键．3．B【解析】 【分析】本题考查统计的有关知识，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 【详解】解：设这家公司除经理外50名员工的工资和为a 元，则这家公司所有员工去年工资的平均数是20000051a +元，今年工资的平均数是22500051a +元，显然2000002250005151a a ++＜；由于这51个数据按从小到大的顺序排列的次序完全没有变化，所以中位数不变． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了平均数，中位数的概念，要掌握这些基本概念才能熟练解题．同时注意到个别数据对平均数的影响较大，而对中位数和众数没影响． 4．B 【解析】由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A 、C 、D 都不是中心对称图形，只有B 是中心对称图形. 故选B. 5．B 【解析】根据不等式的性质在不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变即可得出答案：A 、不等式两边都减3，不等号的方向不变，正确；B 、乘以一个负数，不等号的方向改变，错误；C 、不等式两边都加3，不等号的方向不变，正确；D 、不等式两边都除以一个正数，不等号的方向不变，正确． 故选B ． 6．C 【解析】【分析】根据各几何体的主视图可能出现的情况进行讨论即可作出判断. 【详解】A. 圆锥的主视图可以是三角形也可能是圆，故不符合题意；B. 圆柱的主视图可能是长方形也可能是圆，故不符合题意；C. 球的主视图只能是圆，故符合题意；D. 正方体的主视图是正方形或长方形（中间有一竖），故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了简单几何体的三视图——主视图，明确主视图是从物体正面看得到的图形是关键. 7．C【解析】【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得小带、小路两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．【详解】由图象可知A，B两城市之间的距离为300 km，小带行驶的时间为5 h，而小路是在小带出发1 h后出发的，且用时3 h，即比小带早到1 h，∴①②都正确；设小带车离开A城的距离y与t的关系式为y小带＝kt，把(5，300)代入可求得k＝60，∴y小带＝60t，设小路车离开A城的距离y与t的关系式为y小路＝mt＋n，把(1，0)和(4，300)代入可得0 4300 m nm n+=⎧⎨+=⎩解得100100 mn=⎧⎨=-⎩∴y小路＝100t－100，令y小带＝y小路，可得60t＝100t－100，解得t＝2.5，即小带和小路两直线的交点横坐标为t＝2.5，此时小路出发时间为1.5 h，即小路车出发1.5 h后追上甲车，∴③不正确；令|y小带－y小路|＝50，可得|60t－100t＋100|＝50，即|100－40t|＝50，当100－40t＝50时，可解得t＝54，当100－40t＝－50时，可解得t ＝154， 又当t ＝56时，y 小带＝50，此时小路还没出发， 当t ＝256时，小路到达B 城，y 小带＝250.综上可知当t 的值为54或154或56或256时，两车相距50 km ，∴④不正确． 故选C. 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t 是甲车所用的时间． 8．C 【解析】看到的棱用实线体现.故选C. 9．B 【解析】设可贷款总量为y ，存款准备金率为x ，比例常数为k ，则由题意可得：ky x=，4007.5%30k =⨯=， ∴30y x=， ∴当8%x =时，303758%y ==（亿）， ∵400-375=25，∴该行可贷款总量减少了25亿. 故选B. 10．A 【解析】 试题解析：如图，∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1，∴BC=ACtan60°，AB=2∴S △ABC =12 根据旋转的性质知△ABC ≌△AB′C′，则S △ABC =S △AB′C′，AB=AB′． ∴S 阴影=S 扇形ABB′+S △AB′C′-S △ABC=2452360π⨯=2π． 故选A ．考点：1.扇形面积的计算；2.旋转的性质． 11．D 【解析】分析：根据一元二次方程根与系数的关系求出x 1＋x 2和x 1x 2的值，然后代入x 1＋x 2＋x 1x 2计算即可. 详解：由题意得，a=1,b=-1,c=-2, ∴121==11b x x a -+=--,122==21c x x a -⋅=-, ∴x 1＋x 2＋x 1x 2=1+(-2)=-1. 故选D.点睛：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x 1,x 2为方程的两个根，则x 1,x 2与系数的关系式：12bx x a +=-，12c x x a⋅= . 12．D 【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知： A 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确； B 不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确； C 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确； D 即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确. 故选D.考点：轴对称图形和中心对称图形识别二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．1 【解析】 【分析】根据题意，将点（a ，b ）代入函数解析式即可求得2a-b 的值，变形即可求得所求式子的值． 【详解】∵点（a ，b ）在一次函数y=2x-1的图象上， ∴b=2a-1， ∴2a-b=1， ∴4a-2b=6，。
2019-2020学年北京市清华附中高一(上)9月月考数学试卷
2019-2020学年北京市清华附中高一（上）9月月考数学试卷试题数：19，总分：01.（单选题，0分）命题p：∀x∈N，x3≥1，则￢p为（）A.∀x∈N，x3＜1B.∀x∉N，x3≥1C.∃x∉N，x3≥1D.∃x∈N，x3＜12.（单选题，0分）已知a，b∈R，ab=0，则下列等式一定成立的是（）A.a2+b2=0B.|a+b|=|a-b|C.a（a-b）=0D.|a|+|b|=03.（单选题，0分）已知a，b，c∈R，且a＞b＞c，则下列不等式一定成立的是（）A.ab＞bcB.b（a-b）＞c（a-b）C.a2＞b2D.a-b＞b-c4.（单选题，0分）已知全集U=R，集合A={x|x2-2x-3＞0}，集合B={x||x|≤2}．则如图的阴影部分表示的集合为（）A.[-1，2）B.（-2，3]C.（2，3]D.[-1，3]5.（单选题，0分）已知a，b∈R，则“a＞b”是“a+2＞b+1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.（单选题，0分）已知集合A={1，2，3}，B=（-∞，t]，若A⊄B，则实数t的取值范围是（）A.（1，+∞）B.（3，+∞）C.（-∞，1）D.（-∞，3）7.（单选题，0分）已知实数x＞1，则9x−1+x的最小值为（）A.4B.6C.7D.108.（单选题，0分）已知集合A={（x，y）|x≤10，y≤10，x，y∈N}，B⊆A，且对于集合B中任意两个元素（x1，y1），（x2，y2），均有（x1-x2）（y1-y2）≤0，则集合B中元素的个数最多为（）A.21B.19C.11D.109.（填空题，0分）集合{1，2}的真子集的个数为___ ．10.（填空题，0分）写出能说明命题“若a＞b＞c，则a+b＞c”为假命题的一组的整数值：a=___ ；b=___ ；c=___ ．11.（填空题，0分）已知sgn（x）= {1，x＞00，x=0−1，x＜0，则方程x2-x•sgn（x）-6=0的根为___ ．12.（填空题，0分）若关于x的方程2x−ax+2=1的根均为负数，则实数a的取值范围是___ ．13.（填空题，0分）在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13，且获得一等奖的人数不能少于2人，有下列四个结论：① 最多可以购买4分一等奖奖品② 最多可以购买16份二等奖奖品③ 购买奖品至少要花费100元④ 共有20种不同的购买奖品方案其中正确结论的序号为___ ．14.（填空题，0分）已知集合A={1，2，3，x}中的最大值与最小值的差等于集合A中所有元素之和，则x=___ ．15.（问答题，0分）解下列关于x的不等式：（1）x2-2x-3≤0；（2）-x2+4x-5＞0；（3）x2-ax+a-1≤0．16.（问答题，0分）已知集合A={1，2，a}，B={a2，a+1}．（Ⅰ）当a=-1时，求A∪B；（Ⅱ）是否存在实数a，使得A∩B={0}，说明你的理由；（Ⅲ）记C={y|y=x2，x∈A}若B∪C中恰好有3个元素，求所有满足条件的实数a的值．（直接写出答案即可）17.（问答题，0分）已知集合A={x|x2-ax+a-2＜0}．（Ⅰ）当a=2时，求集合A中的所有正整数元素；（Ⅱ）求证：对于任意的a∈R，A≠∅；（Ⅲ）若0∈A，求证：[0，2]⊄A．18.（问答题，0分）已知x+y=1，x，y∈R．（Ⅰ）若x，y∈R*，求√x+√y的最大值；（Ⅱ）若x，y∈R*，求1x +4y的最小值；（Ⅲ）求x（1-3y）的最小值．19.（问答题，0分）已知抛物线G：y=ax2+bx+c（ab≠0）的顶点为P，与y轴的交点为Q，则直线PQ称为抛物线G的伴随直线．（Ⅰ）求抛物线y=x2-2x+1的伴随直线的表达式；（Ⅱ）已知抛物线y=ax2+bx+c的伴随直线为y=2x+4，且该抛物线与x轴有两个不同的公共点，求a的取值范围；（Ⅲ）已知A（-3，4），B（0，4），若抛物线y=ax2+bx+c的伴随直线为y=ax+b，且该抛物线与线段AB恰有1个公共点，求a的取值范围．（直接写出答案即可）2019-2020学年北京市清华附中高一（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：19，总分：01.（单选题，0分）命题p：∀x∈N，x3≥1，则￢p为（）A.∀x∈N，x3＜1B.∀x∉N，x3≥1C.∃x∉N，x3≥1D.∃x∈N，x3＜1【正确答案】：D【解析】：根据全称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案．【解答】：解：∵命题p：∀x∈N，x3≥1，∴￢p：∃x∈N，x3＜1，故选：D．【点评】：本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全（特）称命题的否定方法是解答的关键．2.（单选题，0分）已知a，b∈R，ab=0，则下列等式一定成立的是（）A.a2+b2=0B.|a+b|=|a-b|C.a（a-b）=0D.|a|+|b|=0【正确答案】：B【解析】：由ab=0可得a=0，b≠0；a=0，b=0；a≠0，b=0，三种情况，进行判断即可．【解答】：解：由ab=0可得a=0，b≠0；a=0，b=0；a≠0，b=0，A：当a=0，b≠0时，A不成立；B：三种情况B都成立，故B正确；C当a≠0，b=0时，C不正确；D当a=0，b≠0时，D不正确．故选：B．【点评】：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．3.（单选题，0分）已知a，b，c∈R，且a＞b＞c，则下列不等式一定成立的是（）A.ab＞bcB.b（a-b）＞c（a-b）C.a2＞b2D.a-b＞b-c【正确答案】：B【解析】：对于ACD，可以举反例，对于B用不等式的基本性质证明即可．【解答】：解：当b=0时，ab=bc，故A不成立；若a＞b，b＞c，则a-b＞0，即b（a-b）＞b（a-b），故B成立；若a=1，b=-2，则a2＜b2，故C不成立；若a=3，b=2，c=-2，则a-b＜b-c，故D不成立．故B为真命题故选：B．【点评】：本题以不等式的性质为载体考查了命题的真假判断与应用，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键．4.（单选题，0分）已知全集U=R，集合A={x|x2-2x-3＞0}，集合B={x||x|≤2}．则如图的阴影部分表示的集合为（）A.[-1，2）B.（-2，3]C.（2，3]D.[-1，3]【正确答案】：C【解析】：图中阴影部分表示的集合为C U（A∪B），由此能求出结果．【解答】：解：∵全集U=R，集合A={x|x2-2x-3＞0}，B={x||x|≤2}．∴A={x|x＞3或x＜-1}，B={x|-2≤x≤2}，∴A∪B={x|x≤2或x＞3}，∴图中阴影部分表示的集合为：C U（A∪B）={x|2＜x≤3}=（2，3]．故选：C．【点评】：本题考查集合的求法，考查维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.（单选题，0分）已知a，b∈R，则“a＞b”是“a+2＞b+1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【正确答案】：A【解析】：根据充分条件，必要条件的定义以及不等式性质即可求解．【解答】：解：因为a＞b，所以a＞b-1，即有a+2＞b+1，当a+2＞b+1，即a＞b-1，不一定推出a＞b，比如：a=b=1，满足a＞b-1，但是a＞b不成立，因此“a＞b”是“a+2＞b+1”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】：本题主要考查不等式性质的应用，以及充分条件，必要条件定义的理解和应用，属于容易题．6.（单选题，0分）已知集合A={1，2，3}，B=（-∞，t]，若A⊄B，则实数t的取值范围是（）A.（1，+∞）B.（3，+∞）C.（-∞，1）D.（-∞，3）【正确答案】：D【解析】：根据集合的关系即可求解．【解答】：解：因为A⊄B，所以t＜3．故选：D．【点评】：本题主要考查集合的包含关系的理解和应用，属于容易题．7.（单选题，0分）已知实数x＞1，则9x−1+x的最小值为（）A.4B.6C.7D.10【正确答案】：C【解析】：由9x−1+x = 9x−1+x−1+1≥2√(x−1)•9x−1+1即可求解最小值．【解答】：解：∵x＞1，则9x−1+x = 9x−1+x−1+1≥2√(x−1)•9x−1+1 =7，当且仅当x-1= 9x−1即x=4时取等号，故选：C．【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．8.（单选题，0分）已知集合A={（x，y）|x≤10，y≤10，x，y∈N}，B⊆A，且对于集合B中任意两个元素（x1，y1），（x2，y2），均有（x1-x2）（y1-y2）≤0，则集合B中元素的个数最多为（）A.21B.19C.11D.10【正确答案】：A【解析】：根据题意知集合A表示的是第一象限内的11×11=121个点，又因为B⊆A，B中任意两个元素（x1，y1），（x2，y2），均有（x1-x2）（y1-y2）≤0，则在第一象限内y随着x的增大而减小或相等，根据规律一一列举即可得到结果．【解答】：解：因为A={（x，y）|x≤10，y≤10，x，y∈N}，所以集合A表示的是第一象限内的11×11=121个点，又因为B⊆A，且对于B中任意两个元素（x1，y1），（x2，y2），均有（x1-x2）（y1-y2）≤0，所以 {x 1−x 2＞0y 1−y 2≤0 或 {x 1−x 2＜0y 1−y 2≥0， 则在第一象限内或坐标轴的非负半轴，y 随着x 的增大而减小或相等，设M ，N 为集合B 中的元素，若点M （0，10），则N （1，9）或N （1，10），根据规律可得：（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），（10，0），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），（6，5），（7，4），（8，3），（9，2），（10，1），综上可得，B 中的元素最多有21个．故选：A ．【点评】：本题考查集合的元素的个数的求法，考查不等式求函数的单调性，利用单调性解决集合问题．9.（填空题，0分）集合{1，2}的真子集的个数为___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：若集合A 中有n 个元素，则集合A 有2n -1个真子集．【解答】：解：集合{1，2}的真子集一共有：22-1=3个．故答案为：3．【点评】：本题考查集合的真子集个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意真子集定义的合理运用．10.（填空题，0分）写出能说明命题“若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”为假命题的一组的整数值：a=___ ；b=___ ；c=___ ．【正确答案】：[1]-1; [2]-2; [3]-3【解析】：由题意可得若a ＞b ＞c ，则a+b≤c ，可取c ＜0，b ＜0，a ＜0．【解答】：解：若命题“若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”为假命题，即有a ＞b ＞c ，a+b≤c ，则c ＜0，可取c=-3，b=-2，a=-1，故答案为：-1，-2，-3．【点评】：本题考查命题的真假判断，主要是不等式的性质，考查推理能力，属于基础题．11.（填空题，0分）已知sgn（x）= {1，x＞00，x=0−1，x＜0，则方程x2-x•sgn（x）-6=0的根为___ ．【正确答案】：[1]-3，3【解析】：对x分类把sgn（x）代入方程x2-x•sgn（x）-6=0，分别求解得答案．【解答】：解：当x=0时，方程x2-x•sgn（x）-6=0化为-6=0，此式显然不成立；当x＞0时，方程x2-x•sgn（x）-6=0化为x2-x-6=0，解得x=3；当x＜0时，方程x2-x•sgn（x）-6=0化为x2+x-6=0，解得x=-3．∴方程x2-x•sgn（x）-6=0的根为-3，3．故答案为：-3，3．【点评】：本题考查函数零点与方程根的关系，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，是基础题．12.（填空题，0分）若关于x的方程2x−ax+2=1的根均为负数，则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-4）∪（-4，-2）【解析】：由已知方程求得x，再由x＜0且x≠-2，可得a的取值范围．【解答】：解：由2x−ax+2=1，得2x-a=x+2，即x=a+2，∵关于x的方程2x−ax+2=1的根均为负数，∴a+2＜0，即a＜-2，又x+2=a+4≠0，∴a≠-4．∴实数a的取值范围是（-∞，-4）∪（-4，-2）．故答案为：（-∞，-4）∪（-4，-2）．【点评】：本题考查函数零点与方程根的关系，是基础题．13.（填空题，0分）在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13，且获得一等奖的人数不能少于2人，有下列四个结论：① 最多可以购买4分一等奖奖品② 最多可以购买16份二等奖奖品③ 购买奖品至少要花费100元④ 共有20种不同的购买奖品方案其中正确结论的序号为___ ．【正确答案】：[1] ① ② ③【解析】：设出获得一、二等奖的人数分别为x，y，即可根据题意可得x≥2，3x≤y，20x+10y≤200，即可推出各结论的真假．【解答】：解：设获得一、二等奖的人数分别为x，y，（x，y∈N*），由题意可得，x≥2，3x≤y，20x+10y≤200，解得2≤x≤4，6≤y≤16．所以，最多可以购买4分一等奖奖品，最多可以购买16份二等奖奖品，① ② 正确；购买奖品至少要花费2×20+6×10=100元，③ 正确；当x=2时，y∈{6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，共有11种；当x=3时，y∈{9，10，11，12，13，14}，共有6种；当x=4时，y=12，只有1种，故共有18种，④ 不正确．故答案为：① ② ③ ．【点评】：本题主要考查简单线性规划中的整解问题的求解，意在考查学生的推理能力和阅读理解能力，属于中档题．14.（填空题，0分）已知集合A={1，2，3，x}中的最大值与最小值的差等于集合A中所有元素之和，则x=___ ．【正确答案】：[1]- 32【解析】：根据题意分类讨论x为最大值或最小值或既不最大也不最小，即可解出．，【解答】：解：若集合A={1，2，3，x}中元素的最小值为x，则3-x=1+2+3+x，解得x=- 32满足题意；若集合A={1，2，3，x}中元素的最大值为x，则x-1=1+2+3+x，此时无解；若集合A={1，2，3，x}中元素x既不是最大值，也不是最小值，则3-1=1+2+3+x，解得x=-4，不满足题意．．综上，x=- 32．故答案为：- 32【点评】：本题主要考查集合的性质的应用，属于容易题．15.（问答题，0分）解下列关于x的不等式：（1）x2-2x-3≤0；（2）-x2+4x-5＞0；（3）x2-ax+a-1≤0．【正确答案】：【解析】：（1）不等式化为（x-3）（x+1）≤0，求出解集即可；（2）不等式化为x2-4x+5＜0，利用△＜0得出不等式的解集为∅；（3）不等式化为（x-1）（x-a+1）≤0，利用分类讨论法求出不等式的解集．【解答】：解：（1）不等式x2-2x-3≤0化为（x-3）（x+1）≤0，解得-1≤x≤3，所以不等式的解集为{x|-1≤x≤3}；（2）不等式-x2+4x-5＞0可化为x2-4x+5＜0，且△=（-4）2-4×1×5=-4＜0，所以原不等式的解集为∅；（3）不等式x2-ax+a-1≤0可化为（x-1）（x-a+1）≤0，且不等式对应的方程实数根为1和a-1；当a=2时，1=a-1，不等式化为（x-1）2≤0，不等式的解集为{2}；当a＞2时，1＜a-1，解不等式得1≤x≤a-1，不等式的解集为{x|1≤x≤a-1}；当a＜2时，1＞a-1，解不等式得a-1≤x≤1，不等式的解集为{x|a-1≤x≤1}；综上知，a=2时，不等式的解集为{2}；a＞2时，不等式的解集为{x|1≤x≤a-1}；a＜2时，不等式的解集为{x|a-1≤x≤1}．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．16.（问答题，0分）已知集合A={1，2，a}，B={a2，a+1}．（Ⅰ）当a=-1时，求A∪B；（Ⅱ）是否存在实数a，使得A∩B={0}，说明你的理由；（Ⅲ）记C={y|y=x2，x∈A}若B∪C中恰好有3个元素，求所有满足条件的实数a的值．（直接写出答案即可）【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据并集的运算即可求出；（Ⅱ）A∩B={0}，则0∈A，代入验证即可；（Ⅲ）分类讨论，a+1=1，a+1=4，a+1=a，即可求出．【解答】：解：（Ⅰ）当a=-1时，A={1，2，-1}，B={1，0}，则A∪B={-1，0，1，2}；（Ⅱ）A∩B={0}，∴0∈A，∴a=0，当a=0时，B={0，1}，此时A∩B={0，1}，不满足A∩B={0}，故不存在实数a，使得A∩B={0}；（Ⅲ）C={y|y=x2，x∈A}={1，4，a2}，∵B∪C中恰好有3个元素，∴a+1=1，即a=0，此时满足，a+1=4，即a=3，则C={1，4，9}，B={4，9}，此时满足，a+1=a，此时无解，综上所述a的值为0，3．【点评】：本题考查了集合的运算，考查交集并集的定义，是一道基础题．17.（问答题，0分）已知集合A={x|x2-ax+a-2＜0}．（Ⅰ）当a=2时，求集合A中的所有正整数元素；（Ⅱ）求证：对于任意的a∈R，A≠∅；（Ⅲ）若0∈A，求证：[0，2]⊄A．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）当a=2时，整理可得A={x|0＜x＜2}，即可得出集合A中的所有正整数的元素为1；（Ⅱ）利用根的判别式得出方程x2-ax+a-2＜0有解，则A≠∅成立；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知△＞0，方程有两根，设A={x|x1＜x＜x2}，又有0∈A，则x1x2＜0，再根据两根之积小于0，得出a＜2，当x=2时，解得a＞2，两者矛盾，则2∉A，可得[0，2]⊄A 成立．【解答】：解：（Ⅰ）已知集合A={x|x2-ax+a-2＜0}，当a=2时，A={x|x2-2x＜0}={x|0＜x＜2}，所以集合A中的所有正整数的元素为1；（Ⅱ）证明：对于任意的a∈R，A={x|x2-ax+a-2＜0}，△=（-a）2-4（a-2）=a2-4a+8=（a-2）2+4＞0，所以x2-ax+a-2＜0有解，所以A≠∅成立；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知△＞0，方程有两根，设A={x|x1＜x＜x2}，又有0∈A，则x1＜0＜x2，x1x2＜0，又x1x2=a-2，即a＜2，①当x=2时，22-2a+a-2＜0，解得a＞2，与① 矛盾，则2∉A，可得[0，2]⊄A成立．【点评】：本题主要考查了集合间的基本关系，考查一元二次不等式的解与参数的关系，属于中档题．18.（问答题，0分）已知x+y=1，x，y∈R．（Ⅰ）若x，y∈R*，求√x+√y的最大值；（Ⅱ）若x，y∈R*，求1x +4y的最小值；（Ⅲ）求x（1-3y）的最小值．【正确答案】：【解析】：（I）（√x+√y）2=x+y+2 √xy =1+2 √xy，然后利用基本不等式即可求解；（Ⅱ）1x +4y= x+yx+4x+4yy=5 +yx+4xy，然后利用基本不等式即可求解；（Ⅲ）由x（1-3y）=（1-y）（1-3y）=3y2-4y+1，然后结合二次函数的性质可求．【解答】：解：（I）因为x+y=1，x，y∈R*，所以（√x+√y）2=x+y+2 √xy =1+2 √xy≤1+x+y=2，当且仅当x=y时取等号，此时√x+√y取得最大值√2；（Ⅱ）∵x，y∈R*，x+y=1，∴ 1 x +4y= x+yx+4x+4yy=5 +yx+4xy≥5+2√yx•4xy=9，当且仅当yx=4xy且x+y=1即x= 13，y=23时取等号，此时取得最小值9；（Ⅲ）∵x（1-3y）=（1-y）（1-3y）=3y2-4y+1，结合二次函数的性质可知，当y= 23时取得最小值−13．【点评】：本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在求解最值中的应用，解题的关键是应用条件的配凑．19.（问答题，0分）已知抛物线G：y=ax2+bx+c（ab≠0）的顶点为P，与y轴的交点为Q，则直线PQ称为抛物线G的伴随直线．（Ⅰ）求抛物线y=x2-2x+1的伴随直线的表达式；（Ⅱ）已知抛物线y=ax2+bx+c的伴随直线为y=2x+4，且该抛物线与x轴有两个不同的公共点，求a的取值范围；（Ⅲ）已知A（-3，4），B（0，4），若抛物线y=ax2+bx+c的伴随直线为y=ax+b，且该抛物线与线段AB恰有1个公共点，求a的取值范围．（直接写出答案即可）【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意求出顶点P坐标和与y轴的交点Q，进而求出伴随直线的表达式；（Ⅱ）将抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标求出，进而求出伴随直线，由题意可得a，b，c 的关系，再由抛物线与x 轴有两个解可得a 的取值范围；（Ⅲ）将抛物线的顶点坐标和与y 轴的交点坐标求出，进而求出伴随直线，由题意可得a ，b ，c 的关系，再由该抛物线与线段AB 恰有1个公共点可得a 的范围．【解答】：解：（Ⅰ）抛物线y=x 2-2x+1的顶点P （1，0），与y 轴的交点Q （0，1）， 由题意可得抛物线y=x 2-2x+1的伴随直线的表达式为：x+y=1，即抛物线y=x 2-2x+1的伴随直线的表达式为x+y-1=0；（Ⅱ）抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标P （- b 2a ， 4ac−b 24a ），与y 轴的交点Q （0，c ），所以抛物线y=ax 2+bx+c 的伴随直线为y=2x+4，由题意可得 4ac−b 24a =2•（- b 2a）+4，c=4， 所以可得b=4，又因为该抛物线与x 轴有两个不同的公共点，所以△=b 2-4ac ＞0，即b 2-16a ＞0，可得42＞16a ，解得a ＜1且a≠0，所以a 的取值范围（-∞，0）∪（0，+∞）；（Ⅲ）因为抛物线y=ax 2+bx+c 的伴随直线为y=ax+b ，顶点P （- b 2a ，4ac−b 24a ），与y 轴的交点Q （0，c ）， {4ac−b 24a =−b 2a •a +b b =c ，解得b=c=2a ，所以抛物线的方程为：f （x ）=ax 2+2ax+2a ，对称轴x=-1，又因为A （-3，4），B （0，4），且该抛物线与线段AB 恰有1个公共点，可得线段AB 的方程为：y=4（-3≤x≤0），所以 {a ＞0f (−3)≥4f (0)＜4或 {a ＞0f (−1)=4 ， 解得 45 ≤a ＜2或a=4，所以a 的取值范围{x| 45 ≤a ＜2或a=4}【点评】：本题考查求伴随直线的方程抛物线的性质，属于中档题．。
2019-2020学年高一数学上学期期末联考试题及答案(新人教A版第60套)
2019-2020 学年度第一学期期末联考高一数学试题第 I 卷（选择题）一、选择题（本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分．每题只有一个正确答案）1．若 A={0,1,2 } , B = { x 1? x 2} , 则A?B（）{ } { 0,1,2 }{}{1,2 }A ． 1B ．C ． 0,1D ．2． sin15 o cos15o 值为（）A ．1B ．1C．3 D． 324243． 函数 f ( x)1lg(1 x) 的定义域是 ()1 xA ．( － ，－ 1)B ．(1，＋ )C ．(－1，1)∪(1，＋ )D ．(－ ，＋ )4．已知点 P( x,3) 是角终边上一点，且 cos4），则 x 的值为（B ． 55D ． 4A ． 5C ． 45．已知 a0.7 0.8 ,blog 2 0.8, c1.10.8 ，则 a,b, c 的大小关系是（）A ． a b cB ． b a cC ． a c bD ． b c a6．设函数 y ＝ x 3 与 y( 1 )x 2 的图像的交点为 ( x 0，y 0) ，则 x 0 所在的区间是 ()2A ．(0，1)B．(1 ，2) C ．(2 ， 3) D ．(3 ，4)7．在自然界中，存在着大批的周期函数，比方声波，若两个声波随时间的变化规律分别为：y 1 3sin 100 t , y 2 3cos 100 t ，则这两个声波合成后即yy 1 y 2 的振幅为（）A ． 3B ． 6C ． 3 2 D． 6 28．以下函数中，不拥有奇偶性的函数是 ( )A ． yexexB ． y lg1 x1 xC ． ycos2xD ． y sin x cos x9．若 yAsin( x)( A0,0,| |) 的最小值为2，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为2 ，且图像过点（20， 1），则其分析式是（）A ． y 2sin( x )6B． y 2sin( x )3C ． y2sin( x) 2 6xD ． y 2sin( )2 310．如右图，点 P 在半径为 1的半圆上运动， AB 是直径， P当 P 沿半圆弧从 A 到 B 运动时，点 P 经过的行程 x 与 APBxB O A的面积 y 的函数y f ( x) 的图像是以下图中的（）yy11 12OC π2πx OD第 II卷（非选择题）π2πx二、填空题（本大题共 5 小题，每题 5 分，共25 分．将答案填在题后横线上）11．(log29)(log 3 4)．12．把函数y＝ 3sin2 x的图象向左平移个单位获得图像的函数分析是．13．已知tan 2 ，则 cos26．14．若函数f x 知足 f ( x 1) f ( x) ，且当x1,1 时， f x x ，则 f 2 f 3f4．15．函数f ( x)| cos x | cos x 具备的性质有．（将全部切合题意的序号都填上）（ 1）f (x)是偶函数；（ 2）f (x)是周期函数，且最小正周期为；（ 3）f (x)在[, ] 上是增添的；2（ 4）f (x)的最大值为2．三、解答题（本大题共 6 小题，共75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知会合M ={x 1 < x < 2}，会合Nx 3x 4 ．2（ 1）求AèB；P ={}（ 2）设会合x a < x < a + 2，若 P 腿(A B) ，务实数 a 的取值范围．117．（本小题满分12 分）已知tan2, tan，此中0,0．3（ 1）求tan() 的值；（ 2）求角的值．18．（本小题满分12 分）已知函数 f (x) sin( x)sin( x) ．32（ 1）求f (x)的最小正周期；3，求 g(x) 在区间[0,] 上的值域．（ 2）若g (x) f ( x)4219．（此题满分12 分）辽宁号航母纪念章从2012 年10 月5 日起开始上市．经过市场检查，获得该纪念章每 1 枚的市场价y(单位 : 元) 与上市时间x(单位 : 天 ) 的数据以下:上市时间x 天41036市场价y 元905190(1) 依据上表数据联合散点图，从以下函数中选用一个适合的函数描绘辽宁号航母纪念章的市场价y与上市时间x 的变化关系并说明原因: ①y ax b ；②y ax 2bx c ；③y a log b x ．(2)利用你选用的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价钱．20． ( 本小题满分13 分)已知函数 f (x)cx1, 0 x c，知足 f (c)9 x．2 c 21, c ≤ x128(1)求常数 c 的值；(2)解对于 x 的不等式 f (x)21．821． ( 本小题满分14 分 ) 已知函数mf( )|x|1( x0)．x x（ 1）当m 2时，判断f (x)在(,0) 的单一性，并用定义证明．（ 2）若对随意x R ，不等式 f (2x)0 恒建立，求 m 的取值范围；（ 3）议论f (x)零点的个数．2019-2020 学年度第一学期期末 考高一数学参照答案参照答案： 一、1．A2．B 3 ．C4．D5．B 6 ．B 7 ．C 8 ．D 9 ．C10．A 二、填空11． 4 12． 13 ．3 14． 115．（ 1）（ 3）（4）56三、解答{ x 1 < x < 4}16．解：（ 1） A? B⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分 （ 2）由（1） A ? B {x 1 < x < 4 }， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分ì?a 3 1?1＃a2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分í?2 ? 4?a +1tantan217．解：（ 1） tan()37⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分1 tan tan1 ( 2) 131tantan2（ 2） tan(31⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分)tan tan111( 2)1 3因 tan2 0,tan0 ，3因此， 022因此2，2故4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分18．解：f (x)( 1 sin x3cos x)cos x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分221 sin x cos x3cos 2 x221sin 2x3(1 cos 2x) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分441sin(2 x3) 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分24（ 1）因此T 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分21（2）g (x)) ，sin(2 x23因 0 ≤ x ≤2 ，因此3 ≤ 2x3 ≤ ，3因此3≤ sin(2 x)≤1，233≤ 1sin(2 x) ≤ 1，423 2因此 g(x) 在区 [0,] 上的 域 [3 ,1] ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分24 219．解 :(1) ∵跟着 x 的增添， y 的 先减后增，而所 的三个函数中y ax b 和 ya logb x 然都是 函数，不 足 意，∴ yax 2 bx c ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分(2) 把点 (4 ， 90) ， (10 ， 51) ， (36 ， 90) 代入 yax 2 bx c 中，16a 4b c90得 100a 10bc 51⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分1296a 36b c 90解得 a 110， c 126⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分， b1 4 1∴ yx 2 10x 126 (x 20)2 26 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分44∴当 x 20 ， y 有最小 y min 26 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分答： 宁号航母 念章市 价最低 的上市天数 20 天，最低的价钱 26 元．⋯⋯⋯⋯12 分20．解： (1)∵ f ( c)9 ，即 c c1 9 ，2 8 28解得 c1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分．21 x 1, 0 x 1(2) 由 (1) 得 f ( x)21, 1≤ x2 ，2 4x12由 f ( x)2，适当 0x12 x1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分1，解得4 ；822当1≤ x 1 ，解得 1≤ x5 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分228∴不等式 f ( x)2 1的解集 { x | 2 x 5} ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分8 4821．分析：（ 1）当 m2 ，且 x0 ， f ( x)x 2 1 是 减的．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分x明： x 1x 2 0 ，f (x 1)f (x 2 )x 12 1 ( x 22 1)x 1x 2(x 2 x 1 ) (2 2x 1)x 2( x 2 x 1 )2( x 2 x 1)x 1x 2( x 22 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分x 1 )(1 ) x 1 x 2又 x 1 x 2 0 ，因此 x 2 x 1 0 ， x 1x 2 0 ，因此 ( x 2 x 1 )(1 2 0)x 1x 2 因此故当f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 ，即 f (x 1) f (x 2 ) ，m 2 ， f ( x) x2在 ( ,0) 上 减的． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分1 x（ 2）由 f (2 x ) 0 得 | 2x | m x1 0 ，形 (2 x )22x22x(2 x ) 2m 0 ，即 m而 2x(2 x )2(2 x 1)21 ，12 41当 2x即 x1 (2 x (2 x )2 )max ，2 14因此 m⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分．4（ 3）由 f (x)0 可得 x | x | xm 0( x 0) ， m x | x | x(x 0)令 g( x)x x | x |x 2 x, xx 2x, x 0作 y g (x) 的 像及直y m ，由 像可得：当 m1 1f ( x) 有 1 个零点．或 m，4 4当 m10 或 m1或 m， f (x) 有 2 个零点；41 14当 0mm0 ， f ( x) 有 3 个零点．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分或44。
高中数学-高一上学期期末调研测试数学试题 Word版含解析72
2018-2019学年高一上学期期末调研测试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，求得集合，集合，根据集合的交集的运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，集合，集合，根据集合的交集的运算，可得，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中首先求解集合，再利用集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：，，，，根据样本的频数分布估计，大于或等于的数据约占A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】找到大于或等于的频数，除以总数即可.【详解】由题意知，大于或等于的数据共有：则约占：本题正确选项：【点睛】考查统计中频数与总数的关系，属于基础题.3.秦九韶算法是中国古代求多项式的值的优秀算法，若，当时，用秦九韶算法求A. 1B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】通过将多项式化成秦九韶算法的形式，代入可得.【详解】由题意得：则：本题正确选项：【点睛】本题考查秦九韶算法的基本形式，属于基础题.4.下列四组函数中，不表示同一函数的是A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】D【解析】【分析】根据相同函数对定义域和解析式的要求，依次判断各个选项.【详解】相同函数要求：函数定义域相同，解析式相同三个选项均满足要求，因此是同一函数选项：定义域为；定义域为，因此不是同一函数本题正确选项：【点睛】本题考查相同函数的概念，关键在于明确相同函数要求定义域和解析式相同，从而可以判断结果.5.执行如图所示程序框图，当输入的x为2019时，输出的A. 28B. 10C. 4D. 2【答案】C【解析】【分析】的变化遵循以为公差递减的等差数列的变化规律，到时结束，得到，然后代入解析式，输出结果.【详解】时，每次赋值均为可看作是以为首项，为公差的等差数列当时输出，所以，即即：，本题正确选项：【点睛】本题结合等差数列考查程序框图问题，关键是找到程序框图所遵循的规律.6.函数的单调递增区间为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合对数真数大于零，求出定义域；再求出在定义域内的单调递减区间，得到最终结果.【详解】或在定义域内单调递减根据复合函数单调性可知，只需单调递减即可结合定义域可得单调递增区间为：本题正确选项：【点睛】本题考查求解复合函数的单调区间，复合函数单调性遵循“同增异减”原则，易错点在于忽略了函数自身的定义域要求.7.在一不透明袋子中装着标号为1，2，3，4，5，6的六个质地、大小、颜色无差别小球，现从袋子中有放回地随机摸出两个小球，并记录标号，则两标号之和为9的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】确定所有可能的基本事件总数，再列出标号和为的所有基本事件，根据古典概型可求得概率. 【详解】有放回的摸出两个小球共有：种情况用表示两次取出的数字编号标号之和为有：，，，四种情况所以，概率本题正确选项：【点睛】本题考查古典概型的相关知识，对于基本事件个数较少的情况，往往采用列举法来求解，属于基础题.8.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是A. 336B. 510C. 1326D. 3603 【答案】B【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.9.设，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将化成对数的形式，然后根据真数相同，底数不同的对数的大小关系，得到结果.【详解】由题意得：又本题正确选项：【点睛】本题考查对数大小比较问题，关键在于将对数化为同底或者同真数的对数，然后利用对数函数图像来比较.10.设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A. 是奇函数B. 是奇函数C. 是偶函数D. 是偶函数【答案】D【解析】试题分析：根据题意，A.错误，令定义域为，由：，所以是非奇非偶函数；B错误，令定义域为，由：即：，所以是偶函数；C.错误.令定义域为，由：，所以为非奇非偶函数；D.正确.令定义域为，由，即，所以为偶函数，正确.综上，答案为D.考点：1.函数的奇偶性；2.奇偶函数的定义域.11.已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，若对任意，都有恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的性质，可知函数在上是减函数，根据不等式在上恒成立，可得：在上恒成立，可得的范围.【详解】为偶函数且在上是增函数在上是减函数对任意都有恒成立等价于当时，取得两个最值本题正确选项：【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.12.设，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不同的范围，求解出的值域，从而得到的值域，同理可得的值域，再根据取整运算得到可能的取值.【详解】由题意得：，①当时，则，此时，，，则②当时，，，，.③当时，则，此时，，，则综上所述：的值域为本题正确选项：【点睛】本题考查新定义运算的问题，解题关键在于能够明确新定义运算的本质，易错点在于忽略与的彼此取值影响，单纯的考虑与整体的值域，造成求解错误.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的定义域是_______________【答案】【解析】由题要使函数有意义须满足14.小明通过做游戏的方式来确定接下来两小时的活动，他随机地往边长为1的正方形内扔一颗豆子，若豆子到各边的距离都大于，则去看电影；若豆子到正方形中心的距离大于，则去打篮球；否则，就在家写作业则小明接下来两小时不在家写作业的概率为______豆子大小可忽略不计【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，求出写作业所对应的区域面积，利用得到结果.【详解】由题意可知，当豆子落在下图中的空白部分时，小明在家写作业大正方形面积；阴影正方形面积空白区域面积：根据几何概型可知，小明不在家写作业的概率为：本题正确结果：【点睛】本题考查几何概型中的面积型，属于基础题.15.若函数为偶函数，则______．【答案】1【解析】【分析】为定义域上的偶函数，所以利用特殊值求出的值.【详解】是定义在上的偶函数即解得：本题正确结果：【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解参数值，对于定义域明确的函数，常常采用赋值法来进行求解，相较于定义法，计算量要更小.16.已知函数，若存在实数a，b，c，满足，其中，则abc的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据解析式，画出的图像，可知函数与每段的交点位置，由此可得，再求出的范围后，可确定整体的取值范围.【详解】由解析式可知图像如下图所示：由图像可知：又且时，可知即又本题正确结果：【点睛】本题考查函数图像及方程根的问题，关键在于能够通过函数图像得到的关系.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设集合，不等式的解集为B．当时，求集合A，B；当时，求实数a的取值范围．【答案】（1）A={x|-1<x<0},B={Xx|-2<x<4}；（2）a≤2.【解析】【分析】（1）直接代入集合即可得，解不等式得；（2）分别讨论和两种情况，得到关于的不等式组，求得取值范围.【详解】（1）当时，（2）若，则有：①当，即，即时，符合题意，②当，即，即时，有解得：综合①②得：【点睛】本题考查了解二次不等式、集合间的包含关系及空集的定义，属基础题．易错点在于忽略了的情况.18.在平面直角坐标系中，记满足，的点形成区域A，若点的横、纵坐标均在集合2，3，4，中随机选择，求点落在区域A内的概率；若点在区域A中均匀出现，求方程有两个不同实数根的概率；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用列举法确定基本事件，即可求点落在区域内的概率；（2）以面积为测度，求方程有两个实数根的概率．【详解】根据题意，点的横、纵坐标在集合中随机选择，共有个基本事件，并且是等可能的其中落在，的区域内有，，，，，，，，共个基本事件所以点落在区域内的概率为（2），表示如图的正方形区域，易得面积为若方程有两个不同实数根，即，解得为如图所示直线下方的阴影部分，其面积为则方程有两个不同实数根的概率【点睛】本题考查概率的计算，要明确基本事件可数时为古典概型，基本事件个数不可数时为几何概型，属于中档题．19.计算：；若a，b分别是方程的两个实根，求的值．【答案】（1）；（2）12.【解析】【分析】（1）利用指数与对数运算性质即可得出；（2）根据题意，是方程的两个实根，由韦达定理得，，利用对数换底公式及其运算性质即可得出．【详解】（1）原式（2）根据题意，是方程的两个实根由韦达定理得，原式【点睛】本题考查了指数与对数运算性质、对数换底公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20.下面给出了2010年亚洲某些国家的国民平均寿命单位：岁．国家平均寿命国家平均寿命国家平均寿命阿曼阿富汗59 巴基斯坦巴林阿联酋马来西亚朝鲜东帝汶孟加拉国韩国柬埔寨塞浦路斯老挝卡塔尔沙特阿拉伯蒙古科威特哈萨克斯坦缅甸菲律宾印度尼西亚日本黎巴嫩土库曼斯坦65吉尔吉斯斯泰国尼泊尔68坦乌兹别克斯约旦土耳其坦越南75 伊拉克也门中国以色列文莱伊朗74 新加坡叙利亚印度根据这40个国家的样本数据，得到如图所示的频率分布直方图，其中样本数据的分组区间为：，，，，，请根据上述所提供的数据，求出频率分布直方图中的a，b；请根据统计思想，利用中的频率分布直方图估计亚洲人民的平均寿命及国民寿命的中位数保留一位小数．【答案】（1），；（2）平均寿命71.8，中位数71.4.【解析】【分析】（1）根据表中数据，亚洲这个国家中，国民平均寿命在的频数是，频率是，由此能求出，同理可求；（2）由频率分布直方图能估计亚洲人民的平均寿命及国民寿命的中位数．【详解】（1）根据表中数据，亚洲这个国家中国民平均寿命在的频数是，频率是国民平均寿命在的频数是，频率是，计算得，由频率分布直方图可知，各个小矩形的面积各个区间内的频率转换为分数分别是：，，，，，以上所有样本国家的国民平均寿命约为：前三组频率和为中位数为根据统计思想，估计亚洲人民的平均寿命大约为岁，寿命的中位数约为岁【点睛】本题考查实数值、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前五年平均每台设备每年的维护费用大致如表：年份年 1 2 3 4 5维护费万元Ⅰ求y关于t的线性回归方程；Ⅱ若该设备的价格是每台5万元，甲认为应该使用满五年换一次设备，而乙则认为应该使用满十年换一次设备，你认为甲和乙谁更有道理？并说明理由．参考公式：，【答案】（Ⅰ）；（2）甲更有道理.【解析】【分析】（Ⅰ）分别求出相关系数，求出回归方程即可；（Ⅱ）代入的值，比较函数值的大小，判断即可．【详解】（Ⅰ），，，，，所以回归方程为（Ⅱ）若满五年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用为：（万元）若满十年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用大概为：（万元）所以甲更有道理【点睛】本题考查了求回归方程问题，考查函数求值，是一道常规题．22.已知，．求在上的最小值；若关于x的方程有正实数根，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）通过讨论的范围，结合二次函数的性质求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可；（2）得到，令，问题转化为在有实根，求出的范围即可．【详解】（1）当时，在上单调递减故最小值当时，是关于的二次函数，对称轴为当时，，此时在上单调递减故最小值当时，对称轴当，即时，在单调递减，在单调递增故最小值当时，即时，在上单调递减故最小值综上所述：（2）由题意化简得令，则方程变形为，根据题意，原方程有正实数根即关于的一元二次方程有大于的实数根而方程在有实根令，在上的值域为故【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性，最值问题，考查分类讨论思想，转化思想．关键是通过换元的方式将问题转化为二次函数在区间内有实根的问题，可以用二次函数成像处理，也可以利用分离变量的方式得到结果.。
2019-2020学年高一上学期期末质量检测数学试题附解答
2019-2020学年高一上学期期末质量检测数学试题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知集合，，则A. B. C.D.【答案】A【解析】解：集合，，，故A正确，D错误；，故B和C都错误．故选：A．先分别求出集合A和B，再求出和，由此能求出结果．本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2.下列四组函数，表示同一函数的是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】解：，，所以两个函数的对应法则不一致，所以A 不是同一函数．B.的定义域为R，而的定义域为，所以定义域不同，所以B 不是同一函数．C.由，解得或，由，解得，两个函数的定义域不一致，所以C不是同一函数．D.的定义域为R，而的定义域为R，且，所以定义域和对应法则相同，所以D是同一函数．故选：D．分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递増的函数为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由于在区间上单调递减，故排除A；由于不是奇函数，故排除B；由于既是奇函数又在区间上单调递増，故它满足条件；由于是偶函数，不是奇函数，故排除D，故选：C．由题意利用函数的奇偶性和单调性，得出结论．本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．4.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是A. 如图是棱台B. 如图是圆台C. 如图是棱锥D. 如图不是棱柱【答案】C【解析】解：对于学习A，不是由棱锥截来的，所以A不是棱台，故A错误；对于学习B，上、下两个面不平行，所以不是圆台；对于学习C，是棱锥．对于学习D，前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以D是棱柱．故选：C．利用几何体的结构特征进行分析判断．本题考查几何体的结构特征，解题时要认真审题，注意熟练掌握几何体的基本概念和性质．5.函数的图象过定点A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由函数图象的平移公式，我们可得：将函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，即可得到函数的图象．又函数的图象恒过点，由平移向量公式，易得函数的图象恒过点，故选：D．由对数函数恒过定点，再根据函数平移变换的公式，结合平移向量公式即可得到到正确结论．本题考查对数函数的单调性与特殊点，记住结论：函数的图象恒过点6.经过点，且与直线垂直的直线方程是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：直线的斜率为，与之垂直的直线斜率为2，所求直线方程为，化为一般式可得故选：A．由垂直关系可得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可．本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．7.在四面体的四个面中，是直角三角形的面至多有个．A. 0个B. 1个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】解：如图，底面ABC，是为直角的直角三角形，则四面体的四个面中，是直角三角形的面最多，有4个．故选：D．由题意画出图形得答案．本题考查棱锥的结构特征，正确画出图形是关键，是中档题．8.直线的倾斜角为A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：直线的斜率为，设倾斜角为，可得，由，且，可得，故选：B．求出直线的斜率，由直线的倾斜角与斜率的关系，计算即可得到所求值．本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，考查运算能力，属于基础题．9.函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：，又在单调递增，，函数的图象应在x轴的上方，又，图象过原点，综上只有A符合．故选：A．，又在单调递增，，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．10.已知函数是R上的奇函数，且满足，当时，，则方程解的个数是A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】B【解析】解：函数是R上的奇函数，，由，可得，的周期．作出在同一坐标系中画和图象，从图象不难看出，其交点个数7个，故选：B．根据函数是R上的奇函数，，且满足，求解的周期，当时，，作出图象，解的个数，即为图象的交点个数数形结合可得答案．本题考查了指数和对数的图象画法和交点个数问题属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.已知幂函数的图象过点，则这个函数解析式为______．【答案】【解析】解：设，幂函数的图象过点，．这个函数解析式为．故答案为：．根据幂函数的概念设，将点的坐标代入即可求得值，从而求得函数解析式．本题主要考查了待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题．12.已知正方体中，直线与所成的角是______，【答案】【解析】解：，是直线与所成的角，，，，直线与所成的角是．故答案为：．由，得是直线与所成的角，由此能求出直线与所成的角．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.已知的三个顶点，，，则的面积为______．【答案】5【解析】解：由，，设AB的直线方程为，则，解得：，．AB的直线方程为．到直线AB的距离．AB的距离．则的面积．故答案为：5．根据，，求出AB的直线方程，和AB的距离，利用点到直线的距离就是AB为底的高，即可得的面积．本题此解法用了点与直线的性质，两点之间的距离公式属于基础题．14.已知一个正方形的所有项点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的表面积为______，【答案】【解析】解：设正方体的棱长为a，球的半径为R，则正方体的表面积为，得，所以，，则，因此，这个球的表面积为．故答案为：．先由正方体的表面积计算出正方体的棱长a，然后利用求出球体的半径R，最后利用球体的表面积公式可得出答案．本题考查球体的表面积的计算，解本题的关键在于弄清楚正方体的外接球的半径为棱长之间的关系，考查了计算能力，属于中等题．15.已知函数，若，则该函数的最大值为______．【答案】2【解析】解：画出函数的图象，如图示：，函数在递减，函数最大值，故答案为：2．先求出函数的图象，得到函数的单调性，从而求出函数的最大值．本题考查了函数的单调性问题，考查了函数的最值问题，是一道基础题．三、解答题（本大题共6小题，共50.0分）16.计算下列各式的值．【答案】解：原式．原式．【解析】利用指数运算法则即可得出；利用对数的运算法则即可得出．本题考查了指数与对数运算法则，属于基础题．17.已知直线：，：，它们相交于点A．判断直线和是否垂直？请给出理由；求过点A且与直线：平行的直线方程．【答案】解：直线的斜率，直线的斜率，由方程组解得点A坐标为，直线的斜率为，所求直线方程为：化为一般式得：．【解析】先求出两直线的斜率，发现斜率之积等于，故可得两直线垂直．先求出交点A的坐标，再根据斜率等于直线的斜率，点斜式写出直线的方程，并化为一般式．本题考查判断两直线垂直的方法，当两直线平行时，它们的斜率间的关系；用点斜式求直线方程．18.已知函数．作出函数的大致图象，并根据图象写出函数的单调区间；求函数在上的最大值与最小值．【答案】解：．图象如图：由图象知函数的单调减区间是，．单调增区间是，；结合图象可知最小值为，最大值为．【解析】写出分段函数解析式，结合二次函数的图象作图，由图象得函数的单调区间；直接由图象得到函数在上的最大值与最小值．本题考查了分段函数的图象，考查了由图象判断函数的单调性，并由函数单调性求函数的最值，是基础题．19.直线l过点，圆C的圆心为．Ⅰ若圆C的半径为2，直线l截圆C所得的弦长也为2，求直线l的方程；Ⅱ若直线l的斜率为1，且直线l与圆C相切；若圆C的方程．【答案】解：Ⅰ设直线l的方程为，则圆C的半径为2，直线l截圆C所得的弦长为2，圆心到直线l的距离为，即，解得，即直线l的方程为；Ⅱ直线l的斜率为1，直线l的方程为，直线l与圆C相切，，圆C的方程为．【解析】Ⅰ设直线l的方程为，根据圆C的半径为2，直线l截圆C所得的弦长为2，利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求直线l的方程；Ⅱ根据直线l与圆C相切，利用点到直线的距离公式，可得圆C的半径r，从而可得圆C的方程．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查圆的性质，属于中档题．20.四棱锥中，底面ABCD是正方形，面ABCD垂足为点A，，点M是PD的中点求证：平面ACM求证：平面PAC：求四面体的体积．【答案】证明：连接AC，BD，记AC与BD的交点为O，连接MO．点O，M分别是BD，PD的中点，．又面ACM，面ACM，面分面ABCD，，底面ABCD是正方形，，又，面分，且，分【解析】连接AC，BD，记AC与BD的交点为O，连接证明，然后证明面ACM．证明，，然后证明面PAC．通过，然后求解即可．本题考查直线与平面垂直以及直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的他就的求法，考查计算能力．21.已知是定义在上的奇函数，且，若a，，时，有成立．判断在上的单调性解不等式若对所有的恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：在上单调递增分任取，，且，则．为奇函数，由已知得，又，，即，在上单调递增分不等式，由可得：，解得，不等式的解集为：分，且在上单调递增，在上，．问题转化为，即，对成立分设，若，则，对恒成立若，则为关于a的一次函数，若对恒成立，必须有，且，即，结合相应各函数图象，得或分综上所述，实数m的取值范围是分【解析】利用函数的单调性的定义以及函数的奇偶性，判断证明即可．利用函数的单调性以及函数的定义域，列出不等式组，求解即可．通过，且在上单调递增，问题转化为，即，对成立，设，通过若，若，若对恒成立，列出不等式组求解即可．本题考查函数恒成立体积的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．。
北京市西城区2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷一、选择题1.已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，那么A∩B＝（）A. {﹣1，1}【答案】CB. {﹣2，0}C. {﹣2，0，2}D. {﹣2，﹣1，0，1}【解析】【分析】利用交集直接求解．【详解】∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，A∩B＝{﹣2，0，2}．故选：C．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．x y 02.方程组的解集是（）y 2x22A.{(1，﹣1),(﹣1，1)} C.{(2，﹣2),（﹣2，2)}B.{(1，1),(﹣1，﹣1)} D.{(2，2),(﹣2，﹣2)}【答案】A【解析】【分析】求出方程组的解，注意方程组的解是一对有序实数．x y 0x 1x 1【详解】方程组的解为或，y 2y 1y 1x22其解集为{(1,1),(1,1)}．故选：A．【点睛】本题考查集合的表示，二元二次方程组的解是一对有序实数，表示时用小括号括起来，表示有序，即代表元可表示为(x,y)，一个解可表示为(1,1)．13.函数y＝x的定义域是（）x 1A. [0，1)B. (1，+∞)C. (0，1)∪(1,+∞)D. [0，1)∪(1,+∞)【答案】D 【解析】 【分析】x 0由偶次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，可得到不等式组 x 1 0，解出即可求得定义域．x 0【详解】依题意， x 1 0，解得x ≥0 且x ≠1，即函数的定义域为[0，1)∪(1，+∞)，故选：D ．【点睛】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题． 4.下列四个函数中，在(0，+∞)上单调递减的是（ ） y l og xA. y ＝x +1 【答案】DB. y ＝x ﹣1 C. y ＝2xD.2 12【解析】 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝x +1，为一次函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意；对于B ，y ＝x ﹣1，为二次函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意； 2 对于C ，y ＝2 ，为指数函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意；x y l og x对于D ，，为对数函数，在 (0，+∞)上单调递减，符合题意；1 2故选：D ．【点睛】本题考查函数的单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题． 5.设a ＝log 2 A. a ＜b ＜c 【答案】A0.4，b ＝0.4 ，c ＝2 ，则a ，b ，c 的大小关系为（）20.4B. a ＜c ＜bC. b ＜a ＜cD. b ＜c ＜a【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解，要借助于中间值0 和 1 比较．【详解】∵log 0.4＜log 1＝0，∴a＜0，22∵0.4 ＝0.16，∴b＝0.16，2∵2 ＞2 ＝1，∴c＞1，0.40∴a＜b＜c，故选：A．【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．b0c d06.若a，，则一定有（）A.ac b d ac bdB.C.ad bcD.ad bc【答案】B【解析】d0c d0，由于a b0试题分析：根据c，有bd,ac bd，故选B.，两式相乘有ac考点：不等式的性质.a,b R ，则a b a b7.设“”的（）”是“A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】b试题分析：因为a成立，a,b的符号是不确定的，所以不能推出a b成立，反之也不行，所以是既不充分也不必要条件，故选D．考点：充分必要条件的判断．8.某种药物的含量在病人血液中以每小时 20%的比例递减．现医生为某病人注射了 2000mg 该药物，那么 x 小时后病人血液中这种药物的含量为（ ）A. 2000(1﹣0.2x )mgB. 2000(1﹣0.2)x mgD. 2000•0.2x mgC. 2000(1﹣0.2 )mgx 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数模型求得函数 y 与 x 的关系式．【详解】由题意知，该种药物在血液中以每小时 20%的比例递减，给某病人注射了该药物 2000mg ，经过 x 个小时后，药物在病人血液中的量为 y ＝2000× (1﹣20%) ＝2000×0.8 (mg )， x x 即 y 与 x 的关系式为 y ＝2000×0.8． x 故选：B ．【点睛】本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题． r r9.如图，向量a b 等于（）u r u u r A. 3 ﹣ u r u u r e 3eu r u u r 3e eu r u u r e 3eD.e eB. C.12121212【答案】B 【解析】 【分析】r r根据向量减法法则，表示出a b，然后根据加法法则与数乘运算得出结论． u r u u rr r a b e 3e，【详解】 ＝ 12故选：B ．【点睛】本题考查向量的线性运算，掌握线性运算法则是解题基础．本题属于基础题．10.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1） 所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调 整后y 与x 的函数图象，给出下列四种说法，①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2） 对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图 （3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C 【解析】 【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．【详解】由图可知，点A 纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图 (2)降低了成本，但票价保持不变，即②对；图(3)成本保持不变，但提高了票价，即③对； 故选：C ．【点睛】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．二、填空题11.已知方程x ﹣4x+1＝0 的两根为x 和 x ，则x +x ＝_____． 222 1 2 1 2【答案】14 【解析】 分析】利用韦达定理代入即可．【详解】方程x ﹣4x+1＝0 的两根为x 和x ， 2 1 2x +x ＝4，x x ＝1， 1 2 1 2x +x ＝ (x +x ) ﹣2x x ＝16﹣2＝14， 2 2 2 1 2 1 2 1 2故答案为：14．【点睛】考查韦达定理的应用，基础题．r r r r r12.已知向量a ＝(1,﹣2)，b ＝(﹣3,m )，其中 m ∈R ．若a ，b 共线，则|b |＝_____．【答案】3 5 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示求出 m ，再由模的坐标运算计算出模．r r【详解】∵ ， 共线，∴m －6＝0，m ＝6，a br∴ b (3) 6 3 5 ． 22 故答案为：3 5 ．【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，考查向量的模，属于基础题． a 1b 913.已知函数 f (x )＝log 3x ．若正数 a ，b 满足，则 f (a )﹣f (b )＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】直接代入函数式计算．a 1f (b) l og a l og b l og l og 2 【详解】 f (a) ． b 93 3 3 3 故答案为： ．2 【点睛】本题考查对数的运算，掌握对数运算法则是解题基础．本题属于基础题．x 2,x 0f x 14.函数 的零点个数是_____；满足 f (x 0 )＞1 的 x 的取值范围是_____． x 2 3,x 0【答案】 (1). 2 (2). （﹣1，0）∪（2，+∞）【解析】 【分析】(x) 0 直接解方程 f 求出零点即可知零点个数，注意分段函数分段求解．解不等式 f (x )＞1 也同样由函数 0 解析式去求解．0 f (x) x3 0 0 ， 3 ，当 x 时， f(x) x 2 0, x 2 ，共 2 个零点，即 【详解】 x 时， 2 x 零点个数为 2；0 f (x) x3 1 x 0 ( ) 2 1, 1 时， f x x ，即 1 0 ，x当 x ∴ f 时， ， 2 ，当 x 2 x (x ) 1 (1,0) U (2, ) 的 的取值范围是 x． 0 0故答案为：2；(1,0)U (2, )．【点睛】本题考查分段函数，已知分段函数值求自变量的值，解不等式都要分段求解，注意各段的取值范 围即可．15.已知集合 A ＝{x |x ﹣x ﹣6≥0}，B ＝{x |x ＞c }，其中 c ∈R ．①集合∁ A ＝_____；②若∀x ∈R ，都有 x ∈A 或 2 Rx ∈B ，则 c 的取值范围是_____． 【答案】 (1). {x |﹣2＜x ＜3}(2). （﹣∞，﹣2]【解析】 【分析】①先求出集合 A ，再利用补集的定义求出∁ A ；R ②由对∀x ∈R ，都有 x ∈A 或 x ∈B ，所以 A ∪B ＝R ，从而求出 c 的取值范围． 【详解】①∵集合 A ＝{x |x ﹣x ﹣6≥0}＝{x |x ≤﹣2 或 x ≥3}， 2 ∴∁ A ＝{x |﹣2＜x ＜3}； R②∵对∀x ∈R ，都有 x ∈A 或 x ∈B ，∴A ∪B ＝R ， ∵集合 A ＝{x |x ≤﹣2 或 x ≥3}，B ＝{x |x ＞c }， ∴c ≤﹣2，∴c 的取值范围是： (﹣∞，﹣2]， 故答案为：{x |﹣2＜x ＜3}； (﹣∞，﹣2]．【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属 于基础题．16.给定函数 y ＝f (x )，设集合 A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得 x +y ＝0 成立，1x1则称函数f(x)具有性质P．给出下列三个函数：①；②y ；③y＝lgx．其中，具有性质的函Pyx2数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0 成立，即具有性质P；对②，A＝R，B＝(0，+∞)，当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；对③，A＝(0，+∞)，B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0 成立，即具有性质P；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题17.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5 人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5 人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．3【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）5【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5 人中男生人数和女生人数．(Ⅰ)记这5人中3名男生为B，B，B，2 名女生为G，G，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1 名女1 2 3 1 2生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19232012832053，女生人数为52．(Ⅰ)记这5人中的3名男生为B，B，B，2 名女生为G，G，1 2 3 1 2则样本空间为：Ω＝{(B，B)，(B，B)，(B，G)，(B，G)，(B，B)，(B，G)，(B，G)，(B，G)，(B，G)，1 2 1 3 1 1 1 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 2(G ，G )}，1 2 样本空间中，共包含 10 个样本点． 设事件 A 为“抽取的 2 人中恰有 1 名女生”，则 A ＝{ (B ，G )， (B ，G )， (B ，G )， (B ，G )， (B ，G )， (B ，G )}， 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 63P A事件 A 共包含 6 个样本点． 从而 10 5 3所以抽取的 2 人中恰有 1 名女生的概率为 ．5【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．x 3f x l og8 2 的图象为曲线 C ，函 数 g x 18.在直角坐标系 xOy 中，记函数 的图象为曲线x13C ． 2（Ⅰ）比较 f （2）和 1 的大小，并说明理由；（Ⅱ）当曲线 C 在直线 y ＝1 的下方时，求 x 的取值范围； 1 （Ⅲ）证明：曲线 C 和 C 没有交点．1 2 【答案】（Ⅰ）f (2)＞1，理由见解析；（Ⅱ）(log 5,3)；（Ⅲ）证明见解析 2 【解析】 【分析】 (Ⅰ)因为 f2l og 8 2 l og 4 ，求出 f (2)的值，结合函数的单调性判断 f (2)和 1 的大小．2332 1 (Ⅰ)因为“曲线 C 在直线 y ＝1 的下方”等价于“f (x )＜1”，推出log 8 ．求解即可．x3(Ⅰ)求出两个函数的定义域，然后判断曲线C 和 C 没有交点．1 2 f 2 l og 8 2 l og 4 【详解】解： (Ⅰ)因为，2 33又函数 y ＝log x 是 (0，+∞)上的增函数， 3 所以 f (2)＝log 4＞log 3＝1．3 3 (Ⅰ)因为“曲线 C 在直线 y ＝1 的下方”等价于“f (x )＜1”，log 8 2 1 所以．x 3因为 函数 y ＝log x 是 (0，+∞)上的增函数，3 所以 0＜8﹣2 ＜3， x 即 5＜2＜8， x 所以 x 的取值范围是 (log 5，3)．2(Ⅰ)因为f(x)有意义当且仅当8﹣2 ＞0，x解得x＜3．所以f(x)的定义域为D＝(﹣∞，3)．1g(x)有意义当且仅当x﹣3≥0，解得x≥3．所以g(x)的定义域为D＝[3，+∞)．2因为D∩D＝，1 2所以曲线C和C没有交点．1 2【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1 次中靶环数大于7的概率；（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）3【答案】（Ⅰ）0.06；（Ⅱ）；（Ⅲ）甲8【解析】【分析】(I)由频率分布图中频率之和为1，可计算出a；(I I)事件“甲恰有1次中靶环数大于7”表示第一次中靶环数大于7，第二次中靶环数不大于7，和第一次中靶环数不大于7，第二次中靶环数大于1，由相互独立事件的概率公式可计算概率；(I I I)估计两人中靶环数的均值差不多都是8，甲5 个数据分布均值两侧，而乙6个数据偏差较大，甲较稳定．a1(0.190.450.290.01)0.06【详解】(I)由题意；(II)记事件 A 甲中射击一次中靶环数大于 7，则 P (A) 0.45 0.29 0.01 0.75，甲射击 2 次，恰有 1 次中靶数大于 7 的概率为：3P P(AA) P(AA) P(A)P(A) P(A)P(A)0.750.25 0.250.75； 8(III)甲稳定．【点睛】本题考查频率分布图，考查相互独立事件同时发生的概率，考查用样本数据特征估计总体的样本 数据特征，属于基础题．x 1, 20.已知函数． f x x21 （Ⅰ）证明：f (x )为偶函数；（Ⅱ）用定义证明：f (x )是(1，+∞)上的减函数； （Ⅲ）当 x ∈[﹣4，﹣2]时，求 f (x )的值域．1,1 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）3【解析】 【分析】(I)用偶函数定义证明； (II)用减函数定义证明；(III)根据偶函数性质得函数在[4,2] 上的单调性，可得最大值和最小值，得值域． 【详解】(I)函数定义域是{x |x 1},x 1 x 1 f (x )f (x) , (x ) 1 x 12 2 (x) ∴ f 是偶函数；1 x 1 1 x 11 x x (II)当 x 时， f x，设， 1 x 1 x 1 1 2 x2 2 11xx(x ) f (x )则 f ， 2 1 1 2x11 x21 (x 1)(x 1)121 x x x 1 0, x1 0, x x 0，∵，∴ 121221f (x ) f (x ) 0 f (x ) f (x ) ，∴ ，即 1 2 1 2在(1,)上是减函数；(x) ∴ f(III)由 (I) (II)知函数 f(x) [4,2] 在 上是增函数， 4 1 1 2 1 (x)f (4)f (x) f (2) ， 1， ∴ f (43 (2) 1min2 max 2 1[ ,1] ∴所求值域为 ． 3【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性的定义是解题基础．21.设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C （单位：万元）与生产量 x （单位：千件）183x 5,0 x 6 8 间的函数关系是C ＝3+x ；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是Sx . 14, x 6（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量 x 的函数； （Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？182x 2,0 x 6 y x 8 11 x , x 6【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）确定 5 千件时，利润最大． 【解析】 【分析】(I)用销售收入减去生产成本即得利润； (II)分段求出利润函数的最大值可得生产产量．183x5 (3 x),0 x6 S C 8 y (万元)，则 y【详解】(I)设利润是 x ， 14 (3 x), x 6 182x 2,0 x 6 y x 8 11 x , x 6∴ ； 18 9 0 x 6时， 2 2 2[(8 x) ]18 y x (II)， x 8 8 x9 由“对勾函数”知，当8 x，即 x 6 5时， 6 ， y 8 xm ax 6 11 5 当 x ∴ x时， y x 是减函数， x 时， y， m ax5时， 6 ，ym ax∴生产量为 5 千件时，利润最大．【点睛】本题考查分段函数模型的应用，解题关键是列出函数解析式．属于基础题．x , x P f x 22.设函数 其中 P ，M 是非空数集．记 f (P ）＝{y |y ＝f (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝f (x )，x ∈M }． x , x M（Ⅰ）若 P ＝[0，3]，M ＝(﹣∞，﹣1)，求 f (P )∪f (M )；（Ⅱ）若 P ∩M ＝∅，且 f (x )是定义在 R 上 增函数，求集合 P ，M ； （Ⅲ）判断命题“若 P ∪M ≠R ，则 f (P )∪f (M )≠R ”的真假，并加以证明．的【答案】（Ⅰ）[0，+∞）；（Ⅱ）P ＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M ＝{0}；（Ⅲ）真命题，证明见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)求出 f (P )＝[0，3]，f (M )＝ (1，+∞)，由此能过求出 f (P )∪f (M )．(Ⅰ)由 f (x )是定义在 R 上的增函数，且 f (0)＝0，得到当 x ＜0 时，f (x )＜0， (﹣∞，0)⊆P ． 同理可证 (0， +∞)⊆P ． 由此能求出 P ，M ．(Ⅰ)假设存在非空数集 P ，M ，且 P ∪M ≠R ，但 f (P )∪f (M )＝R ．证明 0∈P ∪M ．推导出 f (﹣x )＝﹣x ，且 0 0 f (﹣x )＝﹣ (﹣x )＝x ，由此能证明命题“若 P ∪M ≠R ，则 f (P )∪f (M )≠R ”是真命题． 0 0 0 【详解】(Ⅰ)因为 P ＝[0，3]，M ＝(﹣∞，﹣1)， 所以 f (P )＝[0，3]，f (M )＝(1，+∞)， 所以 f (P )∪f (M )＝[0，+∞)．(Ⅰ)因为 f (x )是定义在 R 上的增函数，且 f (0)＝0， 所以当 x ＜0 时，f (x )＜0，所以(﹣∞，0)⊆P ． 同理可证(0，+∞)⊆P ． 因为 P ∩M ＝∅，所以 P ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，M ＝{0}． (Ⅰ)该命题为真命题．证明如下：假设存在非空数集 P ，M ，且 P ∪M ≠R ，但 f (P )∪f (M )＝R ． 首先证明 0∈P ∪M ．否则，若 0∉P ∪M ，则 0∉P ，且 0∉M ， 则 0∉f (P )，且 0∉f (M )，即 0∉f (P )∪f (M )，这与 f (P )∪f (M )＝R 矛盾． 若∃x ∉P ∪M ，且 x ≠0，则 x ∉P ，且 x ∉M ， 00 0 0所以 x ∉f (P)，且﹣x ∉f (M)． 0 0 因为 f (P)∪f (M)＝R ， 所以﹣x ∈f (P)，且 x ∈f (M)． 0 0 所以﹣x ∈P ，且﹣x ∈M ． 0 0所以 f ( x )＝﹣x ，且 f ( x )＝﹣(﹣x )＝x ， - - 0 0 0 0 0根据函数的定义，必有﹣x ＝x ，即 x ＝0，这与 x ≠0 矛盾． 0 0 0 0 综上，该命题为真命题．【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等 基础知识，考查运算求解能力，是中档题．所以 x ∉f (P)，且﹣x ∉f (M)． 0 0 因为 f (P)∪f (M)＝R ， 所以﹣x ∈f (P)，且 x ∈f (M)． 0 0 所以﹣x ∈P ，且﹣x ∈M ． 0 0所以 f ( x )＝﹣x ，且 f ( x )＝﹣(﹣x )＝x ， - - 0 0 0 0 0根据函数的定义，必有﹣x ＝x ，即 x ＝0，这与 x ≠0 矛盾． 0 0 0 0 综上，该命题为真命题．【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等 基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
高一上学期数学北师大版(2019)期末模拟测试卷B卷(含解析)
高一上学期数学北师大版（2019）期末模拟测试卷B 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数为偶函数，若函数的零点个数为奇数，则( )A.1B.2C.3D.02.已知集合，且，则( )A.-1B.1C.-3D.33.已知函数，若，，使得，则实数a 的取值范围是( ).A. B.C. D.4.某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”，“论语组”，“春秋组”，“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是( )A.诗经组中位数为3，众数为2B.论语组平均数为3，方差为1C.春秋组平均数为3，众数为2D.礼记组中位数为3，极差为45.下列说法正确的是( )①已知，，那么事件“”有可能不发生；②随机试验的频率与概率相等；③如果一个事件发生的概率为99.9999%，那么说明此事件必然发生；④只有不确定事件有概率；⑤若事件A 发生的概率为，则()21f x +()()11225x x g x f x --=++-()1f ={}{}21,5,,1,23A a B a ==+B A ⊆a =()f x x =()2xg x a =+[]12,3x ∃∈[]22,3x ∀∈()()12f x g x ≥11,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦(],0-∞1,3⎛⎤-∞⎥⎝⎦(],4-∞-a b >b c >a c >()P A ()01P A ≤≤A.⑤B.③⑤C.③④⑤D.②③④⑤6.已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数( )A.-1B.-1或2C.2D.37.已知连续函数对任意实数x 恒有，当时，，则以下说法中正确的是( )①；②是R 上的奇函数；③在上的最大值是6④不等式的解集为A.①③ B.①② C.①②③ D.①②③④8.某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以减少对空气的污染已知过滤过程中废气的污染物数量P （单位：）与过滤时间t （单位：h ）的关系为（是正常数）若经过过滤后消除了的污染物，则污染物减少大约需要( )（参考数据：）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是( )A.考生参赛成绩的平均分约为72.8分()()21mf x m m x =--()f x ()0,x ∈+∞m =()f x ()()()f x y f x f y +=+0x >()0,(1)2f x f <=-(0)0f =()f x ()f x [3,3]-2(3)2()(3)4f x f x f x -<+2|13x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭mg /L ()0ektP t P -=0,P k 10h 20%50%2log 5 2.322≈30h31h32h33hB.考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分C.分数在区间内的频率为0.2D.用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人10.已知实数x ，y ，z 满足，，，则下列结论正确的是( )A.C. D.11.设为定义在R上的奇函数，当时，（b 为常数），则下列说法正确的是( )A. B.C.在上是单调减函数D.函数仅有一个零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m 的取值范围是________.13.已知函数，，若对任意的，总存在，使14.已知函数，则实数a 的取值范围是________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.（13分）对于给定的非空集合M ，定义集合，，当时，则称M 具有“对称性”，而，称为M 的对称集合(1)试判断集合，是否具有“对称性”，如果有，求出其对称集合；如果没有，请说明理由；(2)若集合，且集合A 具有“对称性”，求t 的最小值；(3)已知，且，记，若集合B 具有“对称性”，[)60,70[)70,8023x =34y =45z =y <2>y z<x y +>()f x 0x ≥()22xf x x b =++()3f b =-()313f -=()f x (),0-∞()f x 0m >m x m -<<2230x x --<2()43f x x x =-+()52g x mx m =+-[]11,4x ∈[]21,4x ∈12()(f x g x =()23f x x =()()31162f a f a +<-{},,M z z x y x M y M +==+∈∈{},,M z z x y x M y M -==-∈∈M M +-=∅M +M -{3,4}S ={0,1,7}T ={1,2,}A t =⊆N 02023m ≤≤m ∈N {,1,2,,2024}B m m m =++求m 的最小值.16.（15分）已知函数的图像关于点中心对称.（1）求实数a 的值；（2）探究的单调性，并证明你的结论；（3）解关于x 的不等式.17.（15分）某地区对初中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组（满分150分）：，，，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)求第七组的频率；(2)用样本数据估计该地的500名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)现从500名学生中利用分层抽样的方法从，的两组中抽取5个人进一步做调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率.18.（17分）已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若的定义域为R ，求实数m 的取值范围；（3）若的值域为R ，求实数m 的取值范围.19.（17分）已知（1）求a 的值，指出的单调性（单调性无需证明）；()f x ()f x a =-∈R ()0,1()f x ()()42322x xf f +-⨯>[)65,75[)75,85[)85,95[)95,105[)105,115[)115,125[)125,135[)135,145[)95,105[)105,115()()()1222log 111f x m x m x ⎡⎤=-+++⎣⎦0m =()f x ()f x ()f x ()f x =（2）若函数的图象通过平移得到，求函数的值域；（3）若存在区间，使得函数在上的值域为，求t 的取值范围．()f x [,]()m n m n <()y f x t =+[,]m n 2,2m n⎡⎤⎣⎦()g x =()g x答案以及解析1.答案：A解析：当时，且，所以成立，当时，得或，即不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A 2.答案：B解析：由于函数是定义在R 上的减函数，所以，函数在区间上为减函数，函数上为减函数，且有，即，解得.故选：B.3.答案：B，又因为，于是等价于，可得所以的解集为.故选：B4.答案：B解析：对于A ，数据为：1，2，2，2，2，4，6，7，8，9时，满足中位数为3，众数为2，但不满足每位选手的失分不超过6分，故A 错误；对于B ，假设有一位同学失7分，则方差，与方差为1矛盾，假设不成立，故B 正确；对于C ，数据为：1，2，2，2，2，2，2，3，5，9时，满足平均数为3，众数为2，但是不满足每位选手失分不超过6分，故C 错误；对于D ，数据为：3，3，3，3，3，3，3，3，7，7，满足中位数为3，极差为4，但最大值超1a b >>10a ->10b ->()()110a b -->()()110a b -->1010a b ->⎧⎨->⎩1010a b -<⎧⎨-<⎩1a b >>1a b >>()()110a b -->()()232,1,1a x x f x a x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩()232y a x =-+(],1-∞y =)1,+∞()1232a a ⋅-+≥230021a a a a-<⎧⎪>⎨⎪-≥⎩1a ≤<31,2⎫⎪⎭3333=1a a a --+-=-a <<>10a -<()()()3130x a x a --+->⎡⎤⎣⎦()3301a x x a -⎡⎤--<⎢⎥-⎣⎦3x <<()()()3130x a x a --+->⎡⎤⎣⎦331a x x a ⎧-⎫<<⎨⎬-⎩⎭22(73) 1.610s -≥=过6分，故D 错误.故选：B.5.答案：A解析：对于①，如果，，那么“”是必然事件；对于②，随机试验多次重复发生时，频率会越来越靠近概率，但不一定等于概率；对于③，如果一事件发生的概率为，那么只能说明此事件发生的可能性非常大，不代表一定发生，所以不能说是必然事件；对于④，确定事件也有概率；对于⑤，若事件A 发生的概率为，则.故⑤正确.故选A 6.答案：C解析：由函数，可得，解得或，当时，函数在上单调递增，符合题意；当时，函数在上单调递减，不符合题意，所以实数m 的值为2.故选：C.7.答案：C解析：由题意．函数对任意实数x 恒有，令，可得，①正确；令，可得，可得是奇函数，②正确；设任意的，且，令，所以，所以当时，单调递减，因为这是奇函数，所以当时，也是单调递减，，令可得，所以，；，在上的最大值是6，③正确；由不等式可得，即，，，则，，解得：；④不对；故选：C.8.答案：B解析：依题意，经过10h 过滤后还剩余的污染物，则，解得染物减少用时t 小时，于是，即，则，即，a b >b c >a c >99.9999%10000.8k P P e -=50%2kte =10524t⎛⎫= ⎪⎝⎭()P A ()01P A ≤≤()()21mf x m m x =--211m m --=2m =1m =-2m =()2f x x =()0,x ∈+∞1m =-()1f x x -=()0,x ∈+∞()f x ()()()f x y f x f y +=+0x y ==(0)0f =x y =-(0)()()0f f x f x =+-=()f x 12,0x x >12x x <2112,,y x x x x x y x =-=∴+=()()()21210f x f x f x x -=-<0x >()f x 0x <(1)2f =- 1.y =(1)()2f x f x +=-(2)4f =-(3)6f =-(3)(3)6f f -=-=()f x ∴[3,3]-2(3)2()(3)4f x f x f x -<+2(3)()()(3)4f x f x f x f x <+++2(3)(23)f x f x x <+4+4(2)f =- 2(3)(23)(2)f x f x x f ∴<++-2(3)(52)f x f x <-2352x x ∴>-x <1x >80%10ke =000.5ktP P e-=()10102tke=两边取对数得，解得，所以污染物减少大约需要31h ，故选：B.，A 错误；对于B ，由频率分布直方图知，分数在内的频率为0.7，在内的频率为0.9，因此第75百分位数位于内，第75百分位数为，B 正确；对于C ，分数在区间内的频率为，C 正确；对于D ，区间应抽取人，D 错误.故选：BC 10.答案：BD解析：因为，，，所以，，，对于A 选项：因为，则，即，所以错误；对于B 选项：，故B 选项正确；对于C 选项：，所以，又，所以，即，所以，故C 选项错误；对于D 选项：因为，，所以11.答案：AD解析：对于A 中，因为为定义在R 上的奇函数，且当时，，可得，解得，所以，则2101031log 520.322t =≈≈-25log 104=50%450.05550.15650.2750.3850.2950.172.5=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=[40,80)[40,90)(80,90)0.750.78082.50.02-+=[)60,700.02100.2⨯=[)70,802000.360⨯=23x =34y =45z =2log 3x =3log 4y =4log 5z =3443>3433log 4log 3>33log 44>3log 4y =>23422log 3log 4log 5log 5log 42xyz =⋅⋅=>=34lg 4lg 5log 4log 5lg 3lg 4y z -=-=-=lg 3lg 4lg 5<<<22lg 3lg 5lg15lg 3lg 522+⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22522lg 4lg16lg15lg 4222⎛⎫⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2lg 4lg 3lg 50->0y z ->y z >2log 31x =>3log 41y =>23log 3log 4x y +=+>==()f x 0x ≥()22xf x x b =++()0020f b =+=1b =-()221xf x x =+-，所以A 正确；对于B 中，由，所以B 不正确；对于C 中，当时，，因为函数和都是增函数，所以在是单调递增函数，又因为为在R 上的奇函数，所以在也是递增函数，所以C 不正确；对于D 中，由，且在和是单调递增函数，所以函数为定义在R 上仅有一个零点，所以D 正确.故选：AD.12.答案：解析：不等式，解得，依题意，，则，此时，所以m 的取值范围是.故答案为：13.答案：解析：因为，所以函数的对称轴为，对任意的，记，记.由题意知，当时不成立，当时，在上是增函数，所以，记，由题意知，，所以，解得.当时，在上是减函数，所以，记，由题意知，，所以，解得.综上所述，实数m 的取值范围是.故答案为：14.答案：解析：的定义域为，又，上单调递增，所以在上单调递增，由，得，解得，即实数a 的取值范围是.故答案为：.()()111(221)3f f -=-=-+-=-()()333(2231)13f f -=-=-+⨯-=-0x ≥()221xf x x =+-2x y =21y x =-()f x (0,)+∞()f x ()f x (,0)-∞()00f =()f x (,0)-∞(0,)+∞()f x 3m ≥2230(1)(3)0x x x x --<⇔+-<13x -<<((,)1,3)m m --Ü3m ≥31m -≤-<-3m ≥3m ≥(,3][6,)-∞-+∞ ()22()4321f x x x x =-+=--()f x 2x =[]11,4x ∈()[]1,3f x ∈-[]1,3A =-0m =0m >()52g x mx m =+-[]1,4[]()5,25g x m m ∈-+[]5,25B m m =-+B A ⊇15253mm -≥-+≥⎧⎨⎩6m ≥0m <()52g x mx m =+-[]1,4[]()25,5g x m m ∈+-[]25,5C m m =+-C A ⊇25153m m +≤--≥⎧⎨⎩3m ≤-(,3][6,)-∞-+∞ (,3][6,)-∞-+∞ 1,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭()23f x x =+[)0,+∞23y x =y =)0,+∞()f x [)0,+∞()()31162f a f a +<-031162a a ≤+<-133a -≤<1,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭1,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭15.答案：(1)没有；理由见解析(2)7(3)675解析：(1)①对集合，，，，所以具有“对称”性质，且对称集合为，；②对集合，，，，所以，不具有对称性(2)，于是2、3、4、、、，0、1、、因为，所以，，又，所以.(3)，因为，所以，解得，故.16.答案：（1）（2）增函数，证明见解析（3）解析：（1）因为函数的图像关于点中心对称，所以该函数向下平行一个单位，得到的函数的图像关于点中心对称，即函数的图像关于点中心对称，因此函数是奇函数，于是有，即因为，所以符合题意；{3,4}S ={6,8,7}S +={0,1}S -=S S +-=∅ {3,4}S ={6,8,7}S +={0,1}S -={0,1,7}T ={0,2,14,1,7,8}T +={0,1,6,7}T -=T T +-≠∅ {0,1,7}T ={1,2,}A t =⊆N 1t +2t +2t A +∈1t -2t A --∈A A +-=∅ 24t ->t ∈N min 7t ={2,21,22,,4048}B m m m +=++ {0,1,2,,2024}B m -=- B B +-=∅ 20242m m -<m >∈N min 675m =2a =()(),01,-∞+∞ ()f x a =-∈R ()0,1()0,0()2121xg x a =--+()0,0()2121xg x a =--+()2010211g a a =--=⇒=+()1g x =-()()222221120212121x x x xg x g x -⨯+-+=-+-=-=+++()1g x =2=（2）因为，所以设，是任意两个实数，且，，因为，所以，因此，所以函数（3）因为函数的图像关于点中心对称，所以，即，所以由，因为函数所以，或，解得，或，因此原不等式的解集为.17.答案：(1)0.080(2)102分解析：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：；（2）用样本数据估计该地500名学生这次考试成绩的平均分为：（分）；（3）由频率分布直方图可知的频数为的频数为，所以两组人数比值为，按照分层抽样抽取5人，则在，分别抽取3人和2人，记这组三人的编号为A ，B ，C ，这组两人的编号为a ，b ，2a =()2f x =-1x 2x 12x x <()()()()1212211222222221212121x x x x x x f x f x --=--+=++++12x x <1222x x <()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<()2f x =(f x ()0,1()()2f x f x +-=()()2f x f x -=-()()()()()4232242232232x x x x x f f f f f ⎡⎤+-⨯>⇒>--⨯=--⨯⎣⎦()2f x =()()()42322122022x x x x x --⨯⇒-->⇒>>21x <1x >0x <()(),01,-∞+∞ ()10.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004100.080-++++++⨯=700.00410800.01210900.016101000.03010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+1100.02010⨯⨯+1200.006101300.008101400.00410102⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=[)95,105[)5000.03010150,105,115⨯⨯=5000.02010100⨯⨯=3:2[)95,105[)105,115[)95,105[)105,115故从5人随机抽取2名，共10种情况，为：，，，，，，，，，设事件“从5个人中随机抽取两人，抽取到的两人不在同一组”则，共6种情况.故.18.答案：（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）（3）.解析：（1）因为当时，函数，令，由，可得，在区间上单调递增，在区间上单调递减.又函数为减函数，根据复合函数单调性“同增异减”的判断法则，可得在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）要使的定义域为R ，只需真数对一切实数x 恒成立.①当，即时，若，，显然，只有，不符合题意，；若，则对一切实数x 都成立，满足题意.(),A B (),A C (),C B (),A a (),A b (),B a (),B b (),C a (),C b (),a b M =()()()()()(){},,,,,,,,,,,M A a A b B a B b C a C b =()610P M ==12⎫⎪⎪⎭12⎛ ⎝(]5,1,3⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦0m =()()212log 11f x x x ⎡⎤=-++⎣⎦()()211u x x x =-++()0u x ＞x ∈()u x ∴12⎫⎪⎪⎭12⎛ ⎝ ()12log y u x =∴()()212log 1f x x x =-++12⎫⎪⎪⎭12⎛ ⎝()f x ()(()221)110u x m x m x =-+++>210m -=1m =±1m =()21u x x =+x >()0x >1m ∴≠1m =-()10u x =>1m ∴=-②当时，对一切实数x 恒成立的充要条件是：解得或综上，实数m 的取值范围是.（3）要使的值域为R ，只需真数的值域包含.①当，即时，若，则，显然的值域包含，满足题意；若，则，不符合题意，.②当时，必有即解得综上，实数m 的取值范围是.19.答案：（1），在R 上单调递增，（2）（3）解析：（1）因为所以，210m -≠()0u x >()22211,10,5Δ(1)410,1,3m m m m m m m ⎧><-⎧->⎪⎪⎨⎨=+--<><-⎪⎪⎩⎩或即或1m <-m >(]5,1,3⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭ ()f x ()()()22111u x m x m x =-+++()0,+∞210m -=1m =±1m =()21u x x =+()u x ()0,+∞1m ∴=1m =-()1u x =1m ∴≠-210m -≠()22210,Δ(1)410m m m ⎧->⎪⎨=+--≥⎪⎩11,51,3m m m ><-⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩或1m <≤51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦1a =-()f x (0,2)()2,1-()f x =()()f x f x -+=2021x x a ++=+，所以，整理得，得，所以所以在R 上单调递增；（2）由（1）得因为函数的图象通过平移得到，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以函数的值域为；（3）由（1）得令因为函数在上的值域为，所以，所以，因为，所以关于x 的方程有两个不相等的正实根，所以，解得，即t 的取值范围为．221x x a +=+2021x x a ++=+1220x x a a +⋅++=()()1212x x a +=-+1a =-21212()12121x x x x f x +--===-++()f x ()1f x =-()11112122()222121x x x x x x b b b b g x b ----+-⋅⋅====-+++()g x =()f x 2b =12()221x g x -=-+120x ->1211x -+>122021x --<-<+1202221x -<-<+()g x (0,2)21()121x x y f x t t t -=+=+=+-+()1h x t =+()1x t =+()y f x t =+[,]m n 2,2m n ⎡⎤⎣⎦2()12212()1221m m n n h m t h n t ⎧=+-=⎪⎪+⎨⎪=+-=⎪⎩+()()2222102210m m n n t t t t ⎧-⋅-+=⎪⎨⎪-⋅-+=⎩022m n <<210x tx t --+=2Δ4(1)0010t t t t ⎧=-->⎪>⎨⎪->⎩21t <<()2,1-。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题 1．在三棱锥中，平面，，，点M 为内切圆的圆心，若，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A.B.C.D.2．在三棱锥A BCD -中，AB ⊥面,4,BCD AB AD BC CD ====A BCD -的外接球表面积是（ ） A．BC ．5πD ．20π3．已知函数32()(6)1f x x mx m x =++++既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,2)-B ．(,3)(6,)-∞-+∞ C ．(3,6)- D ．(,1)(2,)-∞-+∞4．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形5．已知()22f x x bx c =-++，不等式()0f x >的解集是()1,3-，若对于任意[]1,0x ∈-，不等式()4f x t +≤恒成立，则t 的取值范围（ ）A.(],2-∞B.(],2-∞-C.(],4-∞-D.(],4-∞6．已知||4a =，||2b =，()()3b a b a a b +⋅-=⋅，则向量a 与向量b 的夹角等于( ) A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π 7．已知12F F ，是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（） AB ．4CD8．在区间[]0,2上随机地取一个数x ,则事件“121-1log 2x ≤+≤（）1”发生的概率为( ) A ．34B ．23C ．13D ．149．将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的，，有，则ϕ=（ ）A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 10．已知，则的值是（ ）A ．1B ．3C ．D ．11．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题：（1）若数列{}n a 是递增数列，则数列n S 也是递增数列；（2）数列n S 是递增数列的充要条件是数列{}n a 的各项均为正数；（3）若{}n a 是等差数列（公差0d ≠），则120k S S S ⋅=的充要条件是120k a a a ⋅⋯=；（4）若{}n a 是等比数列，则1202),(k S S S k k ⋅=≥∈N 的充要条件是10n n a a ++=．其中，正确命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个12．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x ∈R 恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是 A ．,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦二、填空题13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为2a ，则c bb c+的最大值为______.14．设02x π≤<sin cos x x =-，则x 的取值范围是________. 15．已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若13n n S n T n +=+，则241524a ab b b b +=++______. 16．已知圆C 的圆心在直线30x y -=，与y 轴相切，且被直线0x y -=截得的弦长为C 的标准方程为________. 三、解答题17．等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设 31323log log ......log nn b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18．已知函数()22cos 12f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中0>ω，x ∈R ）的最小正周期为2π. （1）求ω的值； （2）如果0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，且()85fα=，求cos α的值.19．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ,,,,AB AD AB DC E F ⊥分别为,PC DC 的中点,222PA DC AB AD ====.(1)证明:平面PAD 平面EBF(2)求三棱锥P BED -的体积.20．已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=-，*n ∈N . （1）求证数列{}1n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：112n T <….21．已知函数()cos sin 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()21x x +-∈R . （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并分别写出相应的x 的值. 22．已知向量()1,xm a -=，(),1xn a =-，其中0a >，且1a ≠，设函数()f x m n =⋅，且()8029f =. （1）求a 的值；（2）当[]0,1x ∈时，是否存在实数λ使()()222xx g x a a f x λ-=+-的最小值为2-？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 【参考答案】*** 一、选择题13．14．5[,]44ππ15．3416．22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++= 三、解答题 17．（1）13n na = （2）21nn -+ 18．（1）12ω=（2）cos α= 19．（1）见证明；（2）13P BDE V -=20．（1）21nn a =+；（2）证明略.21．（1）π（2）略22．（1）3；（2）存在实数2λ=使()g x 的最小值为2-.2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题 1．已知函数f （x ），若函数y ＝f （x ）﹣m 有两个不同的零点，则m 的取值范围（ ） A.（﹣1，1）B.（﹣1，1]C.（﹣1，+∞）D.[﹣1，+∞）2．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，2)B.13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.(－∞，2]D.13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．我国魏晋时期的数学家刘徽，创立了用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积的方法，称为“割圆术”，为圆周率的研究提供了科学的方法.在半径为1的圆内任取一点，则该点取自圆内接正十二边形外的概率为 AB．1-C ．3πD ．31π-4．若三棱锥P ABC -中，PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，且1PA =，2PB =，3PC =，则该三棱锥外接球的表面积为（） A ．72π B ．14π C ．28π D ．56π5．将函数()f x 4cos x 2π⎛⎫=⎪⎝⎭和直线()g x x ?1=的所有交点从左到右依次记为123,,,...n A A A A ，若P点坐标为(0，则12|......|n PA PA PA ++=（ ） A ．0B ．2C ．6D ．106．数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心,重心,垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线,已知△ABC 的顶点B(-1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC 的欧拉线方程为（ ） A.2x-4y-3=0 B.2x+4y+3=0 C.4x-2y-3=0 D.2x+4y-3=07．已知正四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 上，且该正四棱锥的各个棱长均为2，则球O 的表面积为( ) A ．4πB ．6πC ．8πD ．16π8．设,,x y z 为大于1的正数，且235log log log x y z ==，则12x ，13y ，15z 中最小的是（ ）A.12x B.13yC.15zD.三个数相等9．函数log ||()||a x x f x x =（01a <<）图象的大致形状是( )A ．B ．C ．D ．10．两灯塔与海洋观察站的距离都等于，灯塔在北偏东，在南偏东，则之间的距离为A ．B ．C ．D ．11．已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．12．若函数为偶函数，则a=（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知12sin 313a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 6a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________. 14．已知函数()()()2256f x x xxx =+-+，则()f x 的最小值为____.15．已知0,1a a >≠，若函数2()log ()a f x x ax =-在[3,4]是增函数，则a 的取值范围是_______.16．已知在数列{}n a 中，11a =，()11n n na n a +=+，则数列{}n a 的通项公式______． 三、解答题17．在ABC △中，1cos 3A =，且ABC △的边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C. （1）求2sin 2()cos2B CB C +++的值；（2）若a =ABC △周长的最大值. 18．选修4-5：不等式选讲已知实数,,a b c 满足0,0,0a b c >>>，且1abc =. （1）证明： ()()()1118a b c +++≥；（2）证明：111a b c≤++.19．已知函数()222cos f x x x +. （1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （2）求()f x 在区间[]0,π上的零点20．为响应国家“精准扶贫、精准脱贫”的号召，某贫困县在精准推进上下实功，在在精准落实上见实效现从全县扶贫对象中随机抽取16人对扶贫工作的满意度进行调查，以茎叶图中记录了他们对扶贫工作满意度的分数(满分100分)如图所示，已知图中的平均数与中位数相同.现将满意度分为“基本满意”(分数低于平均分)、“满意”(分数不低于平均分且低于95分)和“很满意”(分数不低于95分)三个级别.(1)求茎叶图中数据的平均数和a 的值;(2)从“满意”和“很满意”的人中随机抽取2人，求至少有1人是“很满意”的概率. 21．已知函数()()0y f x x =≠的图象关于y 轴对称，当0x >时，()2log f x x =. （1）求()1f ，()2f -的值；（2）在图中所给直角坐标系中作出函数()f x 的草图，并直接写出函数()f x 的单调区间；（3）直接写出函数()f x 的表达式. 22．已知点，，动点满足，记M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过坐标原点O 的直线l 交C 于P 、Q 两点，点P 在第一象限，轴，垂足为H ．连结QH 并延长交C 于点R ．（i ）设O 到直线QH 的距离为d ．求d 的取值范围; （ii ）求面积的最大值及此时直线l 的方程．【参考答案】***一、选择题13．1213 14．94-15．13a << 16．n a n = 三、解答题17．（1）193-+（2） 18．（1）略（2）略.19．（1）T π=，递增区间：,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）零点是5,26ππ20．（1）平均数为88；4a =（2）11()14P A =21．（1）0,1 ； （2）图象略，减区间(],1-∞-和(]0,1 ，增区间为[)1,0-和[)1,+∞；（3）()()22log ,0log ,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩.22．(1) 224x y +=；(2) （i ）（ii ）面积最大值为，直线l 的方程为.2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（） （结果精确到0.1．参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771．） A.2.6天B.2.2天C.2.4天D.2.8天2．设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,且6C π=，12a b +=，面积的最大值为（）A ．6B ．8C ．7D ．93．下列命题：①若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行； ②若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行； ③若两条直线都与同一平面平行，则这两条直线互相平行；④若两条直线都与同一平面垂直，则这两条直线互相平行.其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④4．在直角梯形ABCD 中，AB AD DC AB AD DC 2AB 4⊥===，，，，E F 、分别为AB BC 、的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P （如图所示）．若AP AF ED λμ=+，其中，λμR ∈、，则λμ-的值是（ ）A B CD ．345．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,3,4,5ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．17πB ．25πC ．34πD ．50π6．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ）A ．2B ．C ．6D ．7．若是的重心，a ，b ，c 分别是角的对边，若3G G GC 0a b c A +B +=，则角（ ）A.90B.60C.45D.308．在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意,R a b ∈，a b *为唯一确定的实数，且具有性质： （1）对任意R a ∈，0a a *=； （2）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*. 则函数1()()xxf x e e =*的最小值为 A ．2 B ．3C ．6D ．89．设是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A． B ．，则C．，则D ．，则10．函数()()lg 72f x x g x x ==-与图象交点的横坐标所在区间是( ) A ．（1，2） B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（1，5）11．设，则a ，b ，c 之间的关系是（ ） A．B ．C ．D ．12．已知2()sin ()4f x x π=+，若1(lg5),(lg )5a f b f ==，则（ ）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．1a b +=D ．1a b -=二、填空题13．设()f x 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(]2,1-上的图象，则()()20182019f f +=__________．14．02003(4cos 122)sin12-=-__________． 15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若()8,1=4,2n nn S n N n *=⎧∈⎨≥⎩，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________．16．在四面体ABCD中，BD AC ==2AB BC AD ===，AD BC ⊥，则四面体ABCD 的外接球的体积为_____________________________。