数学分析函数的导数

x 于是x 0为 f ( x)的极小值点
2.极值点:“增减区间的分界点”
极大 •
定理：(极值判定1)
•
f C[a, b], x0 (a, b)
极小
(i)
若在( x0 , x0 )内, ( x0 , x0 )内,
f ( x) 0 f ( x) 0
f ( x0 )是严格极大值;
(ii)
若在( x0 , x0 )内, ( x0 , x0 )内,
[a, x1 ]上严增,[ x1 , b]上严增.
在[a,b]上严增.
有限个点类似
• a x1 b
定理3： f C[a,b],(a,b)可导,则 f在[a,b]严增
21
f ( x) 0,x (a,b); 在(a, b)的任意子开区间内
,
f
( x)不恒为零.
( 2 可表述为: (c, d ) (a, b), (c, d ), 使 f ( ) 0 )
(充分性) f ( x) 0 , x (a,b),
对x1 , x2 [a, b]且( x1 x2 ), 可得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) 0, f .
2.严格单调性
定理1： f C[a,b], 在(a,b)可导,若 f ( x) 0, x (a,b),
严格增, 故当x 0时,( x) (0) 0. 即 e x 1 x.
(ii) 设k n时成立, 即 e x 1 x xn .
1!
n!
(iii) 考察k n 1时 :
( x) e x [1 x xn xn1 ]
1!
n! (n 1)!
( x) e x [1 x xn ] 0, ( x)严格增.
2008/11/19
§3.6 利用导数研究函数
一、单调性
1.单调性 f C[a,b], 在(a,b)可导,则
f 在[a,b]上递增 ( 减 ) f ( x) 0 ( 0), x (a,b).
证明： (必要性 ) f , 对x (a,b),以及使得 x h (a,b)的h,
总有 : f ( x h) f ( x) 0, f ( x) 0 , x (a,b). h
证明： (必要性)
f 严增 , f ( x) 0 x (a,b) 1成立.
若2不成立, (c,d ) (a,b),使 f ( x) 0, x (c,d ). f 在(c,d )上恒为常数,与 f 严格增矛盾, 2成立.
(充分性)
1成立, f 在[a,b]增.
若有x1, x2 [a,b], x1 x2 ,使 f ( x1 ) f ( x2 ),
x 0 极小点, f (0) 0; x 4 极大点, f (4) 2 3 4.
问题: 如果 x0为 f ( x)的极小值点，是否必存 在 x0的某邻域，在此邻域内， f ( x)在 x0的左 侧下降，而在 x0的右侧上升?
例
f
(
x)
2
x2(2
sin
1 ), x
x0
2,
x0
当x 0时，f ( x) f (0) x2(2 sin 1 ) 0
f f
( (
x) x)
0 0
f ( x0 )是严格极小值.
(iii) 若在x0两侧 f 不变号, f ( x0 )不是极值.
例3. 设 f ( x) 3 6x2 x3 ,求极值.
解：
f
(
x)
1
(6x
2
x3
2
)3
(12
x
3
x2
)
4 x
3
3 x 3 (6 x)2
列表: x
04 6
y
y
则f 在[a,b]上严格递增.
证明： (类似上面 )
y x3 , 在[1,1]严格增,
y x3
但 f ( x) 3x2 x0 0.
定理2： f C[a, b], 在(a, b)内除有限个点外,
f ( x) 0,则 f在[a,b]上严格增.
证明： 仅以一点为例: x1处之外, f ( x) 0.
,
故当x 时,
2
sin x x
f (x)
f ( ) 2 . 2
(2) 求证e x 1 x xn 对x 0, n N 成立.
1!
n!
证明： (归纳法) (i) e x 1 x (k 1).
设( x) e x x 1, 可见当x 0时,( x) e x 1 0,
则 f ( x) c, x ( x1 , x2 ).
f ( x) 0, x ( x1 , x2 ), 与2矛盾.
f 严格增.
3.应用
例1
求
y
(
x
1)e 2
arctan
x的单调区间.
解：
y
arctan x
e2
(x
1)
1
1 x
2
arctan x
e2
x 1
2 x
x
2
e
2
arctan
f (x) x (0,1)时, f ( x) f (0) 0. f ( x) , f ( x) f (0) 0, 即f ( x) 0.
方法 ① 变形, 选辅助函数; ② 可逐次使用;
二、极值
1.必要条件
设 f ( x)在x0可导, 且 x0为极值点,则 f ( x0 ) 0. (费马)
1.
证明：sin x x显然, 只需证: 2 sin x .
x
令f
(
x
)
sin x
x
,
0 x
2
1 , x 0
有f ( x) C[0, ].
2
而f
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( x)
x cos
x sin x2
x
cos x x2 (x
tan
x)
0, x
0,
2
.
f ( x)在区间[0, ]上严格递减.
2
而f
2
2
1!
n!
( x) (0) 0. 证毕.
(3) 证明当x (0,1)时, e2x 1 x . 1 x
证明：令f ( x) (1 x)e2x ( x 1), x (0,1). f (0) 0,
f ( x) e2x (1 x) 2e2x 1 (1 2x)e2x 1,
f ( x) 2e2x (1 2x) 2e2x 4xe2x 0.
x
令 y 0,得驻点 x1 0, x2 1.
x
1 0
•
•
y 0 0
(,1] 增 [1,0] 减
y
[0,) 增
例2.证明不等式:
原理:
f
( x)
0
x
x
x0 x0
, ,
f ( x) f ( x0 ). f ( x) f ( x0 ).
(1)
求证
:
在
0,
2
上
,
2
sin x
x