函数的单调性(课件)

解: 当x2 10即x 1或x 1时, f (x) x2 1
当x2 10即1 x 1时, f (x) x2 1
y
x2 1 x 1
f
(x)
x2
1
1 x 1
4
x2 1 x 1 2
画出f(x)的图
形如右所示:
-5
0
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5x
7
放大
y
4 2
-5
0
5x
由f(x的 ) 图象可 : 知 f(x的 ) 单调递增区间 [-分 1,0别 []1,,为 ). f(x的 ) 单调递减区间 (分 ,别 1],[0为,1].
f(x)+g(x)为增函数.
f(x).g(x)为增函数. (f(x)>0,g(x)>0)
-f(x) 为减函数.
1 为减函 (f(数 x)0) f(x)
f(x)为增.函(f数 (x)0)
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练习(判断正误):
1. f (x) x x为[0， ）上的增函数. (∨)
2. f (x) x3在[0,)上不具有单调性. (×)
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函数的增减性(f(x)的定义域为I):
1.定义:
增函数: 如果对于属于定义域I内某个区间上的 任意两个自变量的值x1, x2,当x1 < x2时, 都有f(x1) < f(x2).那么就说f(x)在这个区 间上是增函数.
减函数: 如果对于属于定义域I内某个区间上 的任意两个自变量的值x1, x2,当x1< x2 时,都有f(x1)> f(x2).那么就说f(x)在这 个区间上是减函数.
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Байду номын сангаас
例4。求下列函数的单调区间
1）：f(x)=
1
x2 x 1
2): f(x)=
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作业:
1。讨论f(x)= x 3 -x+1的单调性，并给予证明
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例1.已知函数f(x)= x 2 1 -ax,
1+） 当）a上 是1单时调，减求函证数：f(x)在区间[0，
2),当0 a 1时，试证函数f(x)在区间 [0，+ ）上不是单调函数
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4.利用函数的运算性质判断函数的单调性.
若f(x), g(x)为增函数,则有:
3.若f (x)为增函数, g(x)为增函数.
则f (x) • g(x)为增函数.
(×)
4.若f (x)为减函数, f (x) g(x)为增函数.
则g ( x)为增函数.
(∨)
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例3.通过图象判定f(x)=|x2-1|的单调区间.
分析:像这种含有绝对值的函数不好直接判断函数的性 质,可考虑去掉绝对值.这里可利用绝对值的定义通 过分段讨论去掉绝对值.
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2.图象特征:
在单调区间上增函数图象从左至右逐渐上升, 减函数图象从左至右逐渐下降.
3.判定方法:
判定或证明y=f(x)在定义域内某个区间I1上具有 某种单调性时应按照定义,第一步:假设x1, x2是I1 上的任意两个实数并令x1< x2;第二步:判断f(x1)与 f(x2)的大小关系(可通过作差等方法).