《线性代数》课后习题答案(陈维新)

第一章 行列式

习题1.1

1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。

因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有

3

)()3()3)(3(3

)()()3()3(3)()()3()3(212121212

2112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。

因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以

)

3(3)()3()3)(3()

3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(212121212

2112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。

如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )

3(33)(3)3()

3)(3()3)(3(3

322

22

212122

2

2

2121222222112211Q b

a b a a b b

a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+

--=

-+-+=

++。

综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(

p Q 是数域，这儿p 是一个素数。

（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=?∈?,，从而有

q ab

qb a p p 2)()(

2

2

2

++==。

由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。

如果0=a ，则2

qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。

如果0=b ，则有a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。

所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。 同样可得)()(p Q q Q ?。

（4）因为有无数个互异的素数，所以由（3）可知在Q 和?之间存在无穷多个不同的数域。

2. 解：（1）)1(-P 是数域，证明略（与上面类似）。

（2）)1(-Q 就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。 而=-=-?)1()1(C 复数域。

（3）)1(-Z 不是数域，这是因为他关于除法不封闭。例如

)1(2

1-?Z 。

3. 证明：（1）因为K F ,都是数域，所以K Q F Q ??,，从而K F Q ??。故K F ?含

有两个以上的复数。

任给三个数K F c K F b a ?∈≠?∈0,,，则有F c b a ∈,,且K c b a ∈,,。因为K F ,是数域，所以有F c

a a

b b a ∈±,,且K c

a a

b b a ∈±,

,。所以K F c

a a

b b a ?∈±,

,。

所以K F ?是数域。

（2）K F ?一般不是数域。例如)3(),2(Q K Q F ==，我们有K F ?∈3,2，但是K F ??=326。

习题1.2

2. 解：项651456423123a a a a a a 的符号为 =-+)

312645()234516()1(ττ

习题1.3

1．证明：根据行列式的定义111111111

=

121212()

12(1)

n n

n

j j j j j nj j j j a a a τ-∑

1

ij a =

1212()

(1)

n n

j j j j j j τ-∑

=0。

所以上式中(-1)的个数和(+1)的个数一样多，(-1)是由奇排列产生的，而(+1)是由偶排列产生的。同时根据行列式的定义这里包括了所有的n 阶排列，故可以得到全体n 阶排列中奇排列的个数与偶排列的个数一样多，各占一半。

2．解 (1) 1998

199920002001

20022003200420052006

32

C C -1998199912001200212004

2005

1

21

C C -1998112001112004

11

=0； （2）

1

001

022*********

--3241C C C C -+1000

02000

3604

008

-下三角形1268=96???；

（3）

1

110110110110

1

1

1

2131R R R R --1110

00

1101010111--24R 1

110

011101010

1

1

--32R R +1

110011100120

1

1

-

43R R +1

110011100120

3

上三角形1113=3???；

（4）222222a b c a a b b c a b c

c

c a b ------123

R R R ++2222a b c a b c a b c b b c a b c

c

c a b

++++++----

提取公因子

1

11()2222a b c b

b c a b c

c c a b

++----

2131

(2)(2)R b R R c R --1

11()0

00

0a b c b c a

c a b ++------=3

()a b c ++。

（5）722222

72222

2722222722

2

2

2

7

5

12

i

i C C

=+

∑15

222215

722215272215227215

2

2

2

7

12,3,4,5

i R R i -=1522220500000500000500

5

上三角形

5

15555535????=?。

3．解：（1）11

121321

222331

3233

x y x y x y x y x y x y x y x y x y 提取每行的公因子

1

231231

231

2

3

y y y x x x y y y y y y 性质4

0。

（2）左端

14,3,2

i i C C i --=2222

2123252123252123252123

25

a

a a a

b b b b

c c c c d

d d d ++++++++++++4332C C C C

--

2222

2122212221222122a a b b c c d d ++++=0=右端。

（3）1

2111

2

1122

11

2

11

11

1

1

n n n n n a a a a b a a a a b a a a a b -----+++

12,i R R i n

-= 121121

10000000

n n a a a b b b --

上三角形

121

n b b b - 。 （4）原式（先依次1221

1,,,C C C C C C n n n n ------ ）=。。。=??

?>=2,2,n if

n if

。

（5）原式（先依次12211,,,R R R R R R n n n n ------ ）=。。。=??

?>=2

,2,n if

n if 。

4．解：设展开后的正项个数为x 。则由行列式的定义有!2)!(n x x n x D -=--=。又因为

=D （利用n i R R i ,,3,2,1 =+）

2

2

1

021001

（下三角行列式）12-=n 。所以有

2

!

2

,!22

1

1

n x n x n n +=

-=--。

5．证明：（1）左端

123C C C ++提取公因子

1111111222

2222333

33

33

2a b c c a a b a b c c a a b a b c c a a b ++++++++++++2131

C C C C --

11111222

22333

3

3

2a b c b c a b c b c a b c b c ++--++--++--123

3

C ;(1)C C C C ++-2(-1)111

2

223

3

3

2a b c a b c a b c =右端。 （2）利用性质5展开。

6．解：（3）与上面3（3）类似可得。 7．解：利用行列式的初等变换及性质5。

8．解：11221

10000

000001111

1

n n a a a a a a -----

11,2,,1

i i

C C i n ++=-

1210000000000001

2

3

1n a a a n n

----- 下三角形

121(1)n

n na a a -- 。

9．证明：设原行列式=D 。则对

D 进行依次如下变换后

∑=+

??5

2

14323

14,10,100,10,10i i

C

C C C C C 所得的行列式

D ′第一列由题设中所给的5个数

字构成。从而由行列式的定义可知D ′可被23整除。又由行列式的性质知D ′D 1010=。因为23是素数，且10

10不可能被23整除，所以D 可以被23整除。

习题1.4

1．解：(1) 00

000

00

x a b c y d e z f g h k u l v

5按第行展开

00000x a b y v e z g

h

k

u

按第4列展开0

00

x a b vu y e

z

按第1列展开

0y xuv

e

z

=xyzuv ；

(2)

1111

2341

3412

4123

1

4,3,2

i i

R R

i

-

-

=

1111

1230

1131

1311

-

-

1

2,3,4

i

R R

i

-

=

1111

0121

0040

0400

-

-

-

按第1列展开

121

040

400

-

-

-

1.27(4)

-

习题第题3(31)

2

(1)(1)(4)(4)

-

----=16；

(3)方法一01000

00100

00010

a b c d e

e d c b a

按第1列展开

1000

0100

0010

a

d c b a

+51

1000

(1)

0100

0010

b c d e

e

+

-

第2个行列式按第4列展开241

100

(1)010

001

a e e

+

+-=22

a e

-；

方法二逐次均按第2行展开可得同样结果, 具体解法可参见下例。

(4)逐次按第2行展开

1

2

3

1

0001

0000

0000

0000

1000

n

n

a

a

a

a

a

-

=

1

3

2

01

00

10

n

a

a

a

a

==

1

231

1

1

n

n

a

a a a

a

-

=

2311

(1)

n n

a a a a a

-

-

；

(5)

123

111

221232

222

123

222

331233

110001

000

111

000

x x x

a b c

a b x x x c

x x x

a b x x x c

36

C

123

111

222231

222

123

222

333231

111000

000

111

000

x x x

a b c

a b c x x x

x x x

a b c x x x

-35

R

1

23

2

2

21

23

2222311112

2

2

3

3

3

2

3

1

111000000000111x x x x x x a b c x x x a b c a b c x x x 45

R 1

23

2

2

21

23

1112222312

2

2

3

3

3

2

3

1

111000000000111x x x x x x a b c a b c x x x a b c x x x -

=2123(,,)D x x x -=222313221()()()x x x x x x ----；

(6)

23

1

1111221441

8

8

x x x

--=(1,2,2,)D x -=(2)(2)(1)(22)(21)(21)x x x +-------

2

12(1)(4)

x x =--

； （7）换行后可得到范德蒙行列式； （8）先把第一行加到第三行，再提取第三行的公因式，换行后可得到范德蒙行列式。

2．解：(1)

0000

00

00000000

x y x y x x y y

x

按第1列展开

11

0000(1)

x

y x y x

x

+-

+1

00000(1)

0000

n y x

y y x x

y

+-

=1

(1)

n

n n

x y ++-；

(2)

1231

23123

1

2

3

111n n n n

a a a a a a a a a a a a a a a a +++

12,3,,i R R i n

-= 1231110010101

1

n a a a a +---

12

n

i

i C C

=+

∑

=1+1

n

i i a =∑；（此处有笔误）

(3)

1112121

22

21

2

111111111n n

n n n n

x y x y x y x y x y x y x y x y x y +++++++++

12,3,,i R R i n

-=

11

121211

212

2111

12

1111()()()()()()n n

n n n n

x y x y x y x x y x x y x x y x x y x x y x x y +++------

=11

12

112213111

2

111()()()

n

n n n

n

x y x y x y y y y x x x x x x y y y y +++---

，

据此当2n =时，原式=2121()()x x y y --；当2n >时，原式=0。 3．解：（1）将n D 按第n 列展开得:

n D =

00000000000

00

x y y y y z x z x x z

x

=1

000

(1)

0000

n z x z x y x z

+-

+00000

x y y y z

x x z x x

=1

1

1(1)

n n n yz

xD +---+。

（2）略（参考课本例中的叙述）。 4．解：（1）交换行、列后得到三角块行列式，然后利用例1.4.6的结果；或者直接利用Laplace 定理。

（2）左端先做变换3241,C C C C ++，再做变换2314,R R R R --，然后利用P30推论。

5．解：（1）7654329789437

4970053610000560000680

再分块

24

7

497536

132(1)4

3

00560

6

8

?-?

=3274564

3

5

3

6

8

??=4；

（2）

1221010220110

2

1

23C 1221001221010

2

1

23R 1221210

100120

2

1

=121292

12

1?=；

（3）利用初等变换。

附加：P30推论的证明：

证 (1) 将第r+1列与r 列交换, 由将新的r 列与r-1列交换, 如此继续, 直到将第r+1列交换到第1列, 这样共交换r 次; 再将第r+2列如上方法交换至第2列, 也交换了r 次, 如此继续直到将r+s 列交换至第s 列. 于是交换了rs 次后得到

111111111111

000

r s r rr r rs s s ss

a a c c a a c c

b b b b

=111111111111

(1)

000

rs r r rs r rr rs

s s ss

c c a a c c a a b b b b -

将所得行列式的第r +1行依次与第r 行, r -1行, ……, 第1行交换. 交换r 次后, r +1行交换至第1行. 类似地交换r 次后将r +2行交换至第2行, ……, 交换r 次后将第r+s 行交换至第s 行, 于是交换rs 次后得:

11111111111

1

0000(1)(1)

rs r rs rs

rs

s r s ss

r rr

b b b b

c c a a c c a a --

例1.4.51111111

1

r s r rr

s ss

a a

b b a a b b ?

(2), (3) 思路与(1)类似, 证明过程略去。

习题1.5

2．解：计算得 1

002

0011000

1

2

D λλ-=

14C C +100

00011004

1

2

λλ-2第行展开10(1)104

1

λλ

- =41λ-

根据克拉默法则, 当D 0≠时, 即14

λ≠

时, 原方程组只有零解。

习题1.6

1．证明：方法一 归化

1

2

311111

1111111

1111n n

a a D a a ++=

++

1,,1

i n

R R i n -=-

123000

00

01

1

1

1n n n n

a a a a a a a ---+

1

1

10

n n i

i i

i R R a a -=+

-

≠∑注意1

231

1

000

00010

1n n n n n n i i

a a a a a a a a a -=---++∑

=121

1(1)n

n i i

a a a a =+∑

=右端.

方法二 归纳法

当1n =时, 1D =111

11(1).a a a +=+

结论成立.

假设1n -时结论成立, 即有1n D -=1

1211

1(1).n n i i

a a a a --=+

∑

则当n 时, 将 n D 的第n 列看成1+0,1+0,……,1+n a , 故n D 可表示为2个行列式之和, 而第2个行列式按第n 列展开可算出为1n n a D -从而

1

2

311111

11111111

111n n

a a D a a ++=

++

=1

2

3

11111111

11111111

a a a +++

+1n n a D - 而1

2

3

11111

11111111

1

1

1

a a a +++

1,2,,1

i n

R R i n -=- 1

23000000

0001

1

1

1

a a a

=121n a a a - . 所以n D =121n a a a - +1n n a D -=121n a a a - +n a 1

1211

1(1)n n i i

a a a a --=+

∑

=121

1(1)n

n i i

a a a a =+∑

=右端.

方法三 递推

由证明(二)可知n D 与1n D -存在以下递推关系:n D =121n a a a - +1n n a D - 所以n D =121n a a a - +1n n a D -=1121

1(

)n

n n i n

i

D a a a a a -=+

∑

= =121

1

(1)n

n i i

a a a a

=+

∑

=右端. 方法四 加边法

1

2

3

11111

11111111

1

11n n a a D a a ++=

++

=1

2

1

10001111111111

1

1n

n a a a ++++

1

2,3,,1

i C C i n -=+

121

1111001001

0n

a a a ---

1

12

1n i

i i

R R a +=+

∑

1

12110001001001

0n

i i

n

a a a a =+

∑

=121

1(1)n

n i i

a a a a =+∑

=右端。

2．证明：（1）注意当把行列式按第n 列展开时，得到的递推公式中有三项，故归纳法第一

步应验证n=1，2时均成立。而归纳法第二步应假设当)3(≥

3．解：（2）先把除第一列外的所有列都加到第一列，然后提出第一列的公因子；再依次

n n R R R R R R ----13221,,, ；然后按第一列展开，再依次1,1>-i C C i ；最后按最

后一列展开。

4．解：通过倍加行变换易知f(x)的次数最大为1；又因为如果ij a 全取零，则有f(x)=0。所以选(D)。

5．看自己或别人的作业。

6．解：方法一：利用课本中例1.4.3的方法。

方法二：设),,,,()(21x x x x D x f n =。则有f(x)中1-n x 的系数为n D 。又因为 ∏∏--=

?

?

)()()(j i

i

x x

x x x f （范德蒙行列式）

，所以f(x)中1

-n x 的系数为。。。

所以可得 =n D 。

第二章 线性方程组

习题2.1

2．证明. 因||0A ≠,说明11

12

1...

n a a a 不全为零,故当某个10k a ≠,通过适当的行互换,

可使得1k a 位于左上角,用11k a -来乘第一行,然后将其余行减去第一行的适当倍数,矩阵A 可以化为:'

'

12

11

1

...

0n a a A ??????

?????????

?

,由于||0A ≠,此时必有1||0A ≠,故可以对1A 重复对A 的讨论, 此时A 可经初等行变换化为'

'

'

12131'

'232'

31 0

1 0

01 (00)

...1n n n a a a a a a ??

????

?????????

?

, 然后再将第n 行的'in a -倍加到

第i 行(1,2,...,1i n =-),再将第1n -行的'(1)i n a --倍加到第i 行(1,2,...,2i n =-),这样继续下去,一直到将第2行的'

12a -倍加到第1行,此时A 就化为1

00010

01?????

???????

, 故所证结论成立。

3．证明：以行互换ij R 为例: 列互换可以同样证明.

若121

2(1)12

11

22

...j i

i i in i i in

R R j j jn j i j i jn in i a a a i a a a A j a a a j a a a a a a +-???

?

?????

??

?????=????

→????

---????

?????

??

?

121122i j j j jn

R R j i j i jn in i a a a j a a a a a a +?

?

???

?

?????→?

?

---??

????

12(1)12...j ii

j j jn

R R i i in i a a a j a a a +-?

?

??????????

→??---??

???

?

12(1)12

...ji

j j jn

R i i in i a a a j a a a -??

???

?

?????→???????

?

, 这相当于A 中交换第i 行和第j 行, 所以结论成立。

习题2.2

1． 解：A 中一定存在不为零的1r -阶子式,否则秩()1A r <-,与题设秩（A ）＝r 矛盾. 由

秩（A ）＝r 知，A 中至少存在一个r 阶子式不为零, 这表明A 中的r 阶子式只要有一个不为零即可,其余可以等于零,也可以不等于零. A 中一定不存在不为零的1r +阶子式,

否则A 的秩至少是1r +, 这也与题设秩（A ）＝r 矛盾。

2． 提示：利用矩阵的行秩和向量的极大无关组证明。 3． 略。

4． 思路：可将矩阵写成一个列向量和一个行向量的乘积，从而由秩1≤；进而因为矩阵不等于零，所以秩〉0。 5． 略。

习题2.3

略。

习题2.4

2．证明：(Ⅰ)的增广矩阵为A =11121121

2222

1,11,21,11

2

n n n n n n n n n nn

n a a a b a a a b a a a b a a a b ----?????????

???????

, 因为系数矩阵的秩不超过增广矩阵的秩, 所以有秩(A )≥秩(A ).

观察可知, 矩阵B 其实就是在增广矩阵A 下面加了一行, 所以秩(B )≥秩(A ). 由题意知, 秩(A )=秩(B ), 据此可得秩(A )≥秩(A ). 综上知秩(A )=秩(A ), 故(Ⅰ)有解。 3．解：将增广矩阵只用初等行变换化为阶梯形矩阵.

12

311

11

1111

111

n n b b b b b --??

??-????-??????

-??-????

11

n n R R R -+++?????

→ 1

2

3

1

12111

1111

10

n n b b b b b b b --??

??

-????-????

??-??

+++???

?

当120n b b b +++≠ 时, 秩(A )≠秩(A ), 所以线性方程组无解;

当120n b b b +++= 时, 秩(A )=秩(A )<未知量个数, 所以线性方程组有无穷多解. 原方程组同解于 12123234311,,,.

n n n x x b x x b x x b x x b ---

=??

-=??

-

=???-

=??

故通解为11231223111,,,.n n n n n x b b b b t x b b b t x b t x t ----=+++++??

=++++??

??=+?

=?? 其中t 为任意常数。

4．证明：该线性方程组的增广矩阵A =11

1,11,21

2,12,31

3,1

3,1

,1

n n n n

n n n n n nn a a a a a a a a a a a a ----??

????

??????????

, 由题意0ij D a =≠知

秩(A )=n . 但是系数矩阵A 是一个(1)n n ?-的矩阵, 所以秩(A )1n ≤-<秩(A ). 据此秩(A )≠秩(A ), 所以该线性方程组无解。

第三章 矩阵

习题3.1

4．解：（1） 由矩阵乘法运可得：

111

11211221222

221

2

n n

n n n n n nn a a a a a a D A a a a λλλλλλλλλ??

?

???=

??

?

???

；1112121121222

211

22

n n n

n n n nn

a a a a a na AD a a a λλλλλλλλλ???

???=

???

???

。 （2）与D 乘法可换的矩阵A 满足D A AD =。故D A 与A D 的元素对应相等，利用（１）

的结果，有i ij j ij a a λλ=，从而()0i j ij a λλ-=。由于j i λλ≠（i j ≠），可得：当i j ≠时，0ij a =，即A 为对角矩阵。

5．证明：（1）数学归纳法：当2n =时，计算得2

1

101

210

110120

10

1????

?

???

=???

?????????

，故结论成立． 假设当n k =时，结论成立，即有2

1

1010

11010

100

1k

k k C k ????

???

?

=????

???????

?

， 则当1n k =+时，

1

2

2

1101

1101

1011010

110110

100

10

10

01k k k k C k k C k k +????

++??

??????????==+????????

??????????

???

???

． 因22

1(1)(1)22

k k k k k k C k k C +-++=+==所以1

2

11

101

10

110110

100

1k k k C k ++??

+??

??

??=+??????????

?

?

， 即当1n k =+时，结果成立．由归纳法原理知，对任意大于2得正整数n 有

????

?

????

?=????

?

?????10

0101

10

110011

2n C n n n

． （2）当1n =时，结果显然成立．当2n =时, 直接计算得2B E =. 假设当n k =时，结果成立，即,,

k

E B B ?=?

?k 为偶数；

k 为奇数；

．我们要证明当1n k =+时，结

果也成立，即可完成证明． 第一种情况：k 为奇数，则

1

k k

B

B B BB +===

1421

421

000320320100

4

30

4

30

1E ??

????

??????

----==?????

?????????

????

．

第二种情况：k 为偶数，则

1

k k

B

B B EB B +===．

综上：1

,,

k E B

B +?=??k+1为偶数；

k+1为奇数；

即当1n k =+时，结论成立．

6． 解：（1）先计算出4,3,2,1=n 时的结果。然后归纳出应该有

cos sin cos sin sin cos sin cos n

n n n n ???

??

??

?--????

=?

??

?????

，接下来用数学归纳法证明这一归纳出的结

果。

当n =1时，结论显然成立． 假设当n k =时，结论成立，即cos sin cos sin sin cos sin cos k

k k k k ?

??

??

??

?--????

=?

???????

．

则当1n k =+时，

1

cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos k k

k k k k ?????

??

??

??

????

?????+-----??

????????

==?

??

??

??

??

???

????????

cos cos sin sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos cos()sin()cos(1)sin(1).

sin()

sin()sin(1)sin(1)k k k k k k k k k k k k k k k k ?????????????????????

??????

?---??

=?

?

+-+??

+-++-+????

==?

??

?++++????

结论成立． 7．记住结论。

8．证明：因为A 与所有n 阶方阵乘法可换，故与ij E 乘法可换, 利用第7题结果有

ij ij AE E A =，即121

20000

0000000000

0000

00

000

0i i j j jn ni

j

a a i a

a a a ????????

????????=?????????

????????

?

,,1,2,0

ii jj ij a a i j n a =???=?

=? ．设11

a λ=，则0000

,0

A E λλλλ??????==??????

即A 为数量矩阵． 10．证明：设1111

n m m n a a A a a ???

?=??????

，11

11

m n nm b b B b b ??

??

=?

?????

，则 tr 1111122111()n n AB a b a b a b =+++

2112222222n n a b a b a b ++++

112211

m

n

m m m m m n nm ji

ij j i a b a b a b a

b ==++++=

∑∑

同理可得 tr 11()n m

ji

ij j i BA b

a ===

∑∑

由于 11

11

m n

n

m

ji

ij ji

ij j i j i a

b b

a =====

∑∑∑∑，可得tr ()AB =tr ()BA ．

11．证明：假如存在n 阶方阵满足AB BA E -=，则

A B B A E =+?tr ()AB =tr ()BA E +=tr ()BA n +．

由于0n ≠，可得tr ()AB ≠tr ()BA ，这与10题所得结果矛盾． 所以假设不成立．即不存在n 阶方阵A ，B 满足AB BA E -=． 15．证明：因A ，B 都是对称矩阵, 故()T T T AB B A BA ==, 从而

A B 为对称矩阵()T

AB AB BA AB ?=?=.

16．证明：设1111

n m m n a a A a a ???

?=??????

，则11

11m T

n

m n a a A a a ??

??=?

?????

． 由T T A A O A A =?的主对角线上元素为零

2

2

2

120,1,2,i i m i a a a i n ?++=?= , 由ij a 为实数知

120,0,0,1,2,i i m i a a a i n ?===?=

A O ?=.

证法二：利用二次型。

习题3.2

4．思路：注意到矩阵多项式的运算和一般多项式的运算一样就可以了。

证明：计算21()()k k E A E A A A E A --++++=- , 由题意可知k A O =, 所以

2

1

()()k k

E A E A A A

E A E --++++=-= .根据定理3.2.1的推论可知E A -可

逆且其逆为21k E A A A -++++ . 5．证明：计算

()n E J -1()1n E J n -

-=2

2

111

1

n n n E J E E J J n n --+

--

=2

11()1

1

1

n n n n n E J J E nE J J n n n -

+

=-

----

计算11111

111111

11

111()1

1111

1111

1

1

11

111n n n n nE J J O n n ----????

????----?

???

????-==----????????????----????

据此()n E J -11()()1

1

n n n E J E nE J J E n n -

=--=--,根据定理3.2.1的推论可知

n E J -可逆且其逆为11

n E J n --.

6．证明：因为1110m m m m a A a A a A a E O --++++= 所以有

1

2

110()m m m m A a A

a A

a a E ---+++=- . 由题意可知00a ≠, 所以可在等式两边同

乘上0

1a -

, 由此可得1

2

110

1()m m m m A a A

a A

a E a ----

+++= , 整理得

1

2

110

1[()]m m m m A a A

a A

a E a ----

+++= ,根据定理 3.2.1的推论可知A 可逆且

1

1

2

110

1()m m m m A

a A

a A

a a ----=-

+++ .

7．证明：(1) 由题意24A A E O +-=可得1

[()]4

A A E E +=, 根据定理3.2.1的推论可

知A 可逆并且1

1()4

A

A E -=

+.

(2) 由题意24A A E O +-=可得222A A E E +-=, 而这个等式可化为

()(2)

2A E A E E -+

=, 即有1

()[(2)]2

A E A E E -+=, 同样根据定理3.2.1的推论

可知A E -可逆并且1

1()(2)2

A E A E --=

+.

8．思路：注意题设实际上是给出了矩阵多项式0)(2=-=A A A f 。所以一般情况下，

A E -2如果可逆，其逆矩阵也应该是一个矩阵多项式。所以我们可以假设其逆矩阵为

bE aA +（待定系数法），从而由逆矩阵定义知应该有E bE aA A E =+-))(2(，即

E bE A b a aA

=+-+-2)2(2

。在注意到题设是0)(2

=-=A A A f ，所以我们有

bE A b a bE A b a aA bE A b a aA E 2)(2)2(2)2(2

+-=+-+-=+-+-=，所以有

12,0==-b b a ，即2

1==b a 。

证明：因为A A =2，所以E E A A E ==+- 2

)2(。所以。。。

9．证明：(1)1

1

13

A

A

--==

;

(2)由于*

AA A E =, 所以*

1

1

3A A A

A

--==, 由此可得*13133A A A --==

12793=?

=;

(3)3

2(2)8324A A -=-=-?=-;

(4)1

131

31

1(3)3(3)

(33)

81

A A

A ----===?=

;

(5)由(2)中分析可知*13A A -=, 所以

*1

11

1

114(3)433

3

A A

A A

A

-----=-=-

3

1

1(3)

2793

A

-=-=-?=-;

(6) 由(2)中分析可知*13A A -=, 则*1111

1

11()(3)()

33

A A A A -----==

=

。

10．证明：,A B 都可逆, 所以有*

*

,AA A E BB B E ==, 由此可知

*

1

*1,A A

A B

B B

--

=

=, 从而得到**11

B A A B B A --=.

另一方面, 由于,A B 都可逆且均为n 阶方阵, 所以A B 也可逆, 所以有

*

1

()()AB AB AB -=, 而1

11

()

AB AB A B B A ---=.

综合上述可得*11

*

*

()AB A B B A B A --==.

11．略。

12．证明：假设A 是可逆矩阵, 那么在等式2A A =两边都左乘A 的逆矩阵1A -可得A E =, 这与题设中A E ≠矛盾! 所以A 不可逆.

13．证明：根据题意可知存在非零的n ×t 矩阵B 使AB=O, B 是非零矩阵所以必存在某一列

上的元素不全为零, 不妨设这一列为12i i ni a a a ???????????? . 由于A B O =, 所以A 12i i ni a a a ???????????? 000??????=?????? , 据此可知

12i i ni a a a ??

??????????

是线性方程组A X O =的一个非零解. 由于A X O =有非零解, 所以A =0.

14．略。

15．解：(A) 可逆的充要条件是0A ≠而不是A O ≠, 设100

0A O ??

=≠?

???

, 但A 不是可逆矩阵, 所以选项(A)是错误的.

(B) 设,A E B E ==-, 显然,A B 都是可逆的, 但是A B O +=不是可逆矩阵, 所以

选项(B)是错误的.