二面角及其度量2

二面角及其度量（2）导学案

姓名班级时间2012.2.17 制作人：朱效利审核人：朱效利

一、学习目标：学习目标：

了解并掌握二面角的定义及其度量方式，会用向量法求二面角；

培养观察、分析与推理、从特殊到一般的探究能力和空间想象能力；

二、重难点：

1、重点：利用空间向量计算二面角的大小

2、难点：求两个面的法向量及判断二面角大小与两个面的法向量的夹角的关系

三、学习指导：

知识链接

1、二面角的定义：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角;

2、二面角的度量：在二面角α-l-β的棱上任取一点O,在两个半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，

则叫做二面角α-l-β的平面角；

3、二面角的范围：；

阅读教材109页第6行到109页例1上面，回答以下问题：

4、设二面角α-l-β的平面角大小为θ，n1⊥α,n2⊥β,则cosθ= 。

问题：＜n1,n2＞与θ的关系如何？

四、课内探究：

1、已知直角梯形ABCD，∠DAB=∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1

求平面SAB与SCD的夹角的正切 S

B C

A D

将二面角转化为两个面的法向量所成的角或其补角。

设12,,m m αβ⊥⊥ 则12,m m <> 与该二面角相等或互补。

此方法的运用适宜于：

①在空间直角坐标系下，平面,αβ的法向量便于确定；

②二面角的大小便于定性（锐角、钝角），

如上例，从图中便直观获得平面SAB 与SCD 的夹角为锐角；

③具体求解过程中，现求12,m m 所成锐角1212||,cos ||||

m m m m θθ⋅= ， 若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为πθ-。

变式训练

在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱C 1D 1 ，B 1C 1的中点，求平面EFC 与底面ABCD 所成二面角的正切值。 D 1 E C 1 F A 1 B 1

D C

A B

当堂检测：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC ，CC1上的点，CF=AB=2CE,AB:AD:AA1=1:2:4,求平面A1ED与底面FED所成二面角的正弦值。

A1 D1

B1 C1

A F D

B E C

课后拓展：

1、ABCD是边长为2的正方形，MA和PB都与平面ABCD垂直，且PB=2MA=2，设平面PMD 与平面ABCD所成二面角为α，求sinα的值。 P

M

A B

D C

2、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=1,C C1=3,求下列两个平面所成角：（1）平面A1BC与平面ABCD；

（2）平面C1AB与平面ABCD；

（3）平面D1AB与平面A A1B1B.