导数+不等式,终结压轴题

利用导数证明不等式的两种通法
利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证明不等式主要有两种通法，即函数类不等式证明和常 数类不等式证明。下面就有关的两种通法用列举的方式归纳和总结。 一、函数类不等式证明
函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式 f ( x) g (x)（ f ( x) g( x) ）的问题转化为证明 f (x) g (x) 0
（ f ( x) g( x) 0），进而构造辅助函数h(x) f (x) g(x) ，然后利用导数证明函数h( x) 的单调性或证明函数h( x)
的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。
例 1 已知 x (0, ) ，求证： sinx x tan x
2
分析：欲证sinx x tan x ，只需证函数 f (x) sinx x和 g(x) x tan x 在 (0, ) 上单调递减即可。
2
证明：令 f (x) sinx x ，其中x (0, )
2
则 f / (x) cosx 1 ，而 x (0, ) cosx 1 cosx 1 0
2
所以 f (x) sinx x在 (0, ) 上单调递减，即 f (x) sinx x f (0) 0 所以sinx x ；
2
令 g(x) x tan x
，其中 x (0, ) 则 g / ( x)
2
1 1 cos2
x
tan2
x
0
，所以 g (x)
x
tan x
在(0, )
2
上单调递减，
即 g(x) x tan x g(0) 0 所以 x tan x 。综上所述，sinx x tan x
评注：证明函数类不等式时，构造辅助函数比较容易，只需将不等式的其中一边变为0，然后另一边的函数作为辅助函 数，并利用导数证明其单调性或其最值，进而构造我们所需的不等式的结构即可。根据不等式的对称性，本例也可以
构造辅助函数为在 (0, ) 上是单调递增的函数（如：利用 h( x) x s inx在 (0, ) 上是单调递增来证明不等式
2
2
sinx x ），另外不等式证明时，区间端点值也可以不是我们所需要的最恰当的值（比如此例中的 f (0)也可以不是 0，
而是便于放大的正数也可以）。因此例可变式为证明如下不等式问题：
已知 x(0, ) ，求证：sinx 1 x tan x 1
2
证明这个变式题可采用两种方法： 第一种证法：运用本例完全相同的方法证明每个不等式以后再放缩或放大，即证明不等式
sinx x 以后，根据sinx 1 sinx x 来证明不等式sinx 1 x ；
第二种证法：直接构造辅助函数 f (x) sinx 1 x 和 g( x) x tan x 1，其中x (0, )
2
然后证明各自的单调性后再放缩或放大（如：f (x) sinx 1 x f (0) 1 0）
例 2 求证： ln(x 1) x
分析：令 f ( x) ln(x 1) x ，经过求导易知， f ( x) 在其定义域(1,) 上不单调，但可以利用最值证明不等式。
证明：令 f ( x) ln(x 1) x 函数 f(x)的定义域是(1,) ,
f ' (x)= 1 1 .令 f ' (x)=0，解得x=0，当-1
1 x
时, f ' (x)>0,当 x>0 时, f ' (x)<0，又 f(0)=0，
1

故当且仅当x=0 时，f(x)取得最大值，最大值是0 所以 f (x) ln(x 1) x f (0) 0 即 ln(x 1) x
二、常数类不等式证明 常数类不等式证明的通法可概括为：证明常数类不等式的问题等价转化为证明不等式
f (a) f (b)的问题，在根据a,b 的不等式关系和函数 f (x) 的单调性证明不等式。
例 3 已知m n 0,a,b R 且(a 1)(b 1) 0
求证： (an bn )m (am bm )n
分析：
(an bn )m (am bm )n ln(an bn )m ln(am bm )n m ln(an bn ) n ln(am bm )
ln(an bn ) ln(am bm )
n
m
f (n) f (m)
f
(x)
ln(ax x
bx
)
在（0，
）上是减函数
m>n>0
证明：
令 f ( x) ln(ax bx ) x
(x 0)
x 则 f / ( x)
ax ln a bx lnb
ax bx x2
ln(a x b )x
x(a
xln
a
b
lx nb) x2
(a xb )lnx( (ax bx )
a
bx
)
x
a xln
ax ax bx
bxln
x2 (ax bx )
bx ax bx
a xln
ax bx ax bx
bxln
x2 (ax bx )
ax bx ax bx 0
所以， f (x) ln(ax bx) 在（0， ）上是减函数又因为m n 0 ，所以 f (n) f (m) x
即 ln(an bn ) ln(am bm )
n
m
m ln(an bn ) n ln(am bm ) 即(an bn )m (am bm )n ln(an bn )m ln(am bm )n
评注：利用导数证明常数类不等式的关键是经过适当的变形，将不等式证明的问题转化为函数单调性证明问题，其中 关键是构造辅助函数，如何构造辅助函数也是这种通法运用的难点和关键所在。通过本例，不难发现，构造辅助函数
ln(an bn ) ln(am bm)
关键在于不等式转化为左右两边是相同结构的式子（本例经过转化后的不等式
的两边都是
n
m
2