高等数学——第十章2

收敛则，必有 证: un S n S n 1
lim un lim S n lim S n1 S S 0
n n n
注意
1. 则级数 发散; 发散
1 2 3 n 1 n 例如 ( 1) 2 3 4 n1
2.

则级数
不一定收敛;
n
如果 q 1 ,
a aq aq 2 aq n
当q 1时, sn na 级数发散 0 , n为偶数 当q 1时, 级数变为a a a a a , n为奇数 lim sn不存在 级数发散 n
当q 1时, 收敛 综上， 级数 aq n 0 当q 1时, 发散

1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , 2 2 3 3 4 n n1 n1
1 lim sn lim (1 ) 1, n n n1
级数收敛, 和为 1.
三、基本性质
性质1. 若级数
乘以常数 k 所得级数
例如, 取 un ( 1)2n , vn ( 1)2 n1 ,
收敛 n 1 0 , n为偶数 a a a a a , n为奇数
( un vn )

例3. 判断 解：因为调和级数
级数的敛散性。
性质3. 在级数中任意加上，去掉或改变有限项, 不会 影响级数的敛散性. 性质4．(级数收敛的必要条件)设级数
n
aq n a aq aq 2 aq n
n 0

a aq n sn , 1 q 1 q
例 2 判别无穷级数
1 1 1 1 n( n 1) 1 2 2 3 n ( n 1) 的收敛性. n 1 1 1 1 解 un , n( n 1) n n 1 1 1 1 1 sn 1 2 2 3 3 4 n ( n 1)
n
级数发散 .
1 . 便有 0 ( n ) 这是不可能的 2
n
n
第十章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念与性质
一、问题的提出
二、级数的概念 三、基本性质
一Baidu Nhomakorabea问题的提出
1.计算圆的面积 正六边形的面积 a1 正十二边形的面积 a1 a 2
R
A a1 a2 an 即 A a1 a2 an
正 3 2 形的面积 a1 a 2 a n
n 1

有极限 s , 即 lim sn s 则称无穷级数
这时极限 s 叫做级数
u
n 1

u
n 1

n 收敛,
n 的和.并写成
s u1 u2 un
如果 s n 没有极限,则称无穷级数
u
n 1

n 发散.
即，常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在)
sn u1 u2 un ui i 1 { sn } 部分和数列 s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 ,, sn u1 u2 un ,
2. 级数的收敛与发散:
当 n 无限增大时,如果级数
n
un 的部分和数列{ s n }
n
sn u1 u2 un ui
i 1
n
当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. sn s时 误差为 rn 显然
s u1 u2 un
sn u1 u2 un ui
i 1
n
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aq n a aq aq 2 aq n (a 0) 的收敛性.
n

3 3 3 3 1 n 2. 0. 3 0.3333 10 100 1000 10 3
二、级数的概念
1. 级数的定义: 设有数列{un }，则
一般项
u
n1

n
u1 u2 u3 un
称(常数项)无穷级数
n
级数的部分和
1 1 1 1 例4. 调和级数 1 2 3 n n 1 n 有 lim un 0, 但级数发散。 n 收敛，则 1 1 1 1 证：s2 n sn (1 ) (1 ) 2 2n 2 n 1 1 1 n 1 , n1 n 2 2n 2 n 2 假设调和级数收敛, 其和为s . 于是 lim( s2 n sn ) lim s2 n lim sn s s 0,
n 1

其和为 S ，即
n 1
n 1
n 1
( un vn ) un vn
n 1 n 1


说明:(1)收敛级数可逐项相加或减 . (2)若两级数中一个收敛一个发散 ,则 ( un vn ) n 1 (用反证法可证) 必发散 . (3)若二级数都发散 , 不一定发散.
收敛于 S , S un , 则各项 即
n 1

也收敛 , 其和为 kS .即
k un k uk ,
n 1 k 1

n
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
性质2.
设有两个收敛级数 S un , vn


则级数
( un vn ) 也收敛,
n 0

解
如果q 1
sn a aq aq 2 aq n1
a aq n a (1 q n ) , 1 q 1 q 1 q
a 当q 1时, lim q 0 lim sn n 1 q 级数收敛 n lim q n lim sn 级数发散 当q 1时, n n