第三章测量平差原理

S1
1
A
C
已知点：A、B
观测值如图
3
S2
2 B
r=3
条件平差的函数模型举例 (3)
C
D
L3 L4
L6
已知点：A、B
L1
A
L2
L5
B
观测值： L1- L6
r=2
条件平差的函数模型举例
答案：
(1)
h2 h2 0
h1 h2 h4 H A H B 0
(3)
L1 L2 L3 180o 0
L4 L5 L6 180o 0
测定其位置，
n
得y1, y2 yn ,则：
~
~
i yi , (i 1,2 n)
y
y
vi i
yi
“最佳拟合”
o
i
v1
vi2 ( i yi )2 min
令：V
v2
则：V TV (B X Y )T (B X Y ) min
vn
V:改正数向量
平差中： V T PV min P:权阵
多余观测 多余必要观测的观测
例如： 多次观测一段距离（只须观测一次）； 测三角形内角，观测三个角（只须两个）
必要观测 唯一地确定某个模型（几何或物理模型）
所必须的最少观测
几个数 必要观测数：t ，多余观测数：r， 观测数：n
则 n=t+r
r又称自由度
条件方程： 一个几何模型若有多余观测值，则观测值的正确值与
3.2 最小二乘平差原理
3.3 测量平差的数学模型
什么叫测量平差？ 在多余观测的基础上，依据一定的数学模型
和某种平差原则，对观测结果进行合理的调整 （加改正数消除闭合差），从而得到一组最可靠 的结果并评定精度。
平差任务： （1）消除不符值，求出最或然值； （2）评定精度
Survey adjustment
观测值
L LV
n1 n1 n1
平差值
条件平差的数学模型 列条件方程的原则： （1）足数：条件方程的个数等于多余观测数 （2）线性无关：方程式之间线性无关（一个
方程式不能由其他方程式线性组合得到） （3）形式简单
列方程依据：角度、边长、高差等几何关系
条件平差的函数模型举例 (1)
r=2
条件平差的函数模型举例 (2)
最小二乘原理
“最佳”地拟合于各观测点的估计曲线，使各 观测点到该曲线的偏差的平方和达到最小，这种 方法叫最小二乘法。
针对偶然误差的测量平差中，利用最小二乘 法求得的估计量是最优估计量，具有以下性质：
（1）一致性；（2）无偏性；（3）有效性
数学模型 ：用数学关系描述几何模型的几何关系和内在 联系 。
误差方程为V=B x l
间接平差就是在V T PV min 准则下，
求误差方程的待定参数 x
观测方程（或误差方程）选取参数的原则：
（1）所选取的t个待估参数必须相互独立； （2）参数与观测值的函数关系容易表示
列方程依据：角度、边长、高差等几何关系
观测方程 L B X d ，平差时，
n1 nt t1 n1
n1 nt t1 n1
D
nn
2 0
Q
nn
P 2
1
0 nn
间接平差的数学模型
观测三角形内角，选择t=2个独立
参数A和B为平差参数，设为X1 、X2 则n=3个观测方程为：
L1 X1
L2 X2
L3 X1 X2 180o
间接平差的数学模型
观测方程 L B X d 对应的
n1 nt t1 n1
(2)
1 2 3 180o 0
S1
S AB
0
sin 2 sin 3
S2
S AB
0
sin 1 sin 3
间接平差的数学模型
间接平差： 选定t个独立的参数，将每个 观测值分别表示成这t个独立参数的函数， 组成观测方程，这种以观测方程为函数模 型的平差方法就是间接平差。
其数学模型为：
L B X d
n1 n1 n1
n1 nt t1 n1
间接平差的函数模型举例
(1)
X
A
L1
L2
L3
观测值：L1、L2、L3
参数：
X
B
间接平差的函数模型举例 (2)
间接平差的函数模型举例
答案：
(2)
(1)
L1 X
L2 X
L3 X
h1 X1 H A
h2 X1 H B
h3 X 2 H A
h4 X 2 H B
个角度、三个边。 C32C31 C31C32 C33
必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观 测必然可用这t个元素表示，即形成r个条件。
n3 t 2 rnt 1
~ ~~
180
实际上： 180
180
h1
B n6 t3 rnt3
A
h6
h2
其数学模型为：
A V W 0
rn n1 r1 r1
D
nn
02Q
2 0
P 1
nn
条件平差的数学模型
A L
rn n1
A0
r 1
0
r 1
1 2 3 180o 0
A( L
rn n1
V )
n1
A0
r1
0
r1
AV A L
rn n1 rn n1
A0
r1
Fra Baidu bibliotek
0
r1
A V W 0
rn n1 r1 r1
D
nn
~
~
~
h1 h2 h6 0 h1 h2 h6 0
D h5 h4
h3
~
~
~
h2 h3 h4 0 h2 h3 h4 0
~
~
~
h6 h4 h5 0 h6 h4 h5 0
C
匀速直线运动的质点在时刻的位置y表示为：
~
方程形式为：
~~
~
y
y
~
~
实际上： y
~
~
为了求
与
, 在1，
2，
h5 X1 X 2
L1 L2 L3 180 W 0
必要观测、多余观测
确定平面三角形的形状
观测三个内角的任意两个即可,称其必要
元素个数为2，必要元素有 C32种选择
确定平面三角形的形状与大小
6个元素中必须有选择地观测三个内角与 s1
s2
三条边的三个元素，因此，其必要元素
个数为3。任意2个角度+1个边、2个边+1 s3
函数模型 ：几何关系，描述观测量之间或观测量与待定 量之间的数学函数关系式 。
随机模型 ：内在联系，是描述观测量及其相互间的统计 相关性质。实际上，测量平差中所谓的随机模型，就是 观测值向量的权阵。
函数模型
数学模型
随机模型： D
02Q
2 0
P
1
条件平差的数学模型
条件平差： 观测值个数是n，必要观测 次数是t，多余观测数是r=n-t，产生r个条 件方程，以r个条件方程为函数模型的平差 方法，就是条件平差。
02Q
2 0
P 1
nn
1 2 3 180o 0
A 1 1 1
13
V
31
v1
v2
v3
T
L
31
1
2
3
T
条件平差的数学模型
条件平差就是求在满足r个条件方程下， 的VV值T P，V并 评min定精度
系数阵
改正数
闭合差（不符值）
A V W 0
rn n1 r1
D
nn
02Q
2 0
P 1
nn
本章阐述平差的基本概念，指出：平差数学模型不同，平 差方法就不同，但其解是相同的。平差问题是由多余观测 产生的，各类数学模型共同特点是方程数少于未知数个数， 所以没有唯一解，只能求特定条件下的特解。这实际上是 参数估计问题。平差采用的特定条件是最小二乘准则，其 解符合最优估值的条件。
3.1 测量平差概述
一般对参数 X 都要取近似值X o t1
令 X = X o x 代入上式，并令
t1 t1 t1
l L Lo= L(B Xo+ d)
n1 n1 n1 n1 nt t1 n1
L o = B X o + d 为观测值的近似值，
n1 nt t1 n1
所以 l 是观测值与近似值的差 n1
而 V = L L 由此得误差方程：V = B x l
几何模型中的已知值之间必然产生相应的函数关系，这样 的约束函数关系式在测量平差中称为条件方程。
^^ ^
L1 L2 L3 180 0
闭合差： 以观测值代入条件方程，由于存在观测误差，条件式
将不能满足。测量平差中将代入后所得值称为闭合差。测 量平差任务之一，所谓消除不符值，就是合理的调整观测 值，对观测值加改正数，达到消除闭合差的目的。可见消 除不符值就是消除闭合差。