概率论与数理统计(随机试验与样本空间)
概率论 随机试验与样本空间
考试有技巧，学习无捷径。 平时的学习要注重知识点的掌握，踏踏实实，这 才是方法中的方法。 古人云：“梅花香自苦寒来” “书山有路勤为径”。 相信自己，你会成为河南理工大的传说！
概率论与数理统计
第1章 概率论基础
1.1 随机试验与样本空间 2.2 随机事件及其概率 3.3 古典概型与几何概型 3.4 条件概率与乘法公式 3.5 全概率世纪30年代，前苏联的数学家柯尔莫戈洛夫 以勒贝格的测度论为基础，给出了概率论的公理化体系， 影响颇大。 柯 尔 莫 戈 洛 夫
【概率论简史】
我国的概率论研究起步较晚，从1957年开始，先驱者 是许宝騄先生。1957年暑期许老师在北大举办了一个概率 统计的讲习班，从此，我国对概率统计的研究有了较大的 发展，现在概率与数理统计是数学系各专业的必修课之一 ，也是工科，经济类学科学生的公共课。
许宝騄先生
王梓坤 院士
陈木法 院士
彭 实 戈 院 士
严加安 院士 马 志 明 院 士
关于数理统计 统计学的英文词 statistics 源出于拉丁文，是由 status（状态、国家）和statista（政治家）衍化而来 的,可见起源很早并和国家事务的管理需求有关。
在中国，周朝就设有统计官员18名，5个层次，5个级 别，其官职叫“司书”，东北师范大学校长史宁中先生请该 校历史教授考证：司书就是做统计的官员。
贝叶斯
皮尔逊
现代数理统计作为一门独立学科的奠基人是英国的数 学家费希尔(R.A.Fisher) 1946年，瑞典数学家克拉默(H.Cramer)发表了《统计 学的数学方法》，系统总结了数理统计的发展，标志着现 代数理统计学的成熟。
费希尔
克拉默
图是10马克的德国纸币，纸币上的这个人就是高斯。 而纸币上印有一个函数表达式、还画一个曲线的，这个 函数曲线是正态随机变量的概率密度函数曲线，正态分 布又叫“高斯分布”。没有高斯和正态分布，统计就没 有今天的辉煌。
浙大《概率论与数理统计(第四版)简明本》盛骤著 课后习题解答
{
2
}
------------------------------------------------------------------------------2．设 A，B，C 为三个事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与 C 不发生； （2）A 与 B 都发生，而 C 不发生； （3）A，B，C 中至少有一个发生； （4）A，B，C 都发生； （5）A，B，C 都不发生； （6）A，B，C 中不多于一个发生； （7）A，B，C 中不多于两个发生； （8）A，B，C 中至少有两个发生。 解 此题关键词： “与， ” “而” ， “都”表示事件的“交” ； “至少”表示事件的“并” ； “不多 于”表示“交”和“并”的联合运算。 （1） ABC 。
概率论与数理统计作业习题解答（浙大第四版）
第一章 概率的基本概念 习题解析 第 1、2 题 随机试验、 随机试验、样本空间、 样本空间、随机事件 ------------------------------------------------------------------------------1．写出下列随机试验的样本空间： （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分） 。 （2）生产产品直到有 10 件正品为止，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品” ，不合格的记上“次品” ，如连续 查出 2 个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。 （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。 解 （1）高该小班有 n 个人，每个人数学考试的分数的可能取值为 0，1，2，…，100，n 个人分数这和的可能取值为 0，1，2，…，100n，平均分数的可能取值为 样本空间为 S=
概率论与数理统计答案(汇总版)
概率论与数理统计答案(汇总版)篇一：概率论与数理统计教程答案(徐建豪版)习题1、写出下列随机试验的样本空间.（1）生产产品直到有4件正品为正，记录生产产品的总件数.（2）在单位园中任取一点记录其坐标.（3）同时掷三颗骰子，记录出现的点数之和.解：（1）??{4,5,6,7,8?}（2）??{()x2?y2?1}（3）??{3,4,5,6,7,8,9,10,?,18}2、同时掷两颗骰子，x、y分别表示第一、二两颗骰子出现的点数，设事件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，B表示“点数之差为零”，C表示“点数之积不超过20”，用样本的集合表示事件B?A，BC，B?C.解：B?A?{(),(),(),(),(),()}BC?{(),(),(),()}B?C?{(),(),(),(),(),(),(),(),(),()}3、设某人向靶子射击3次，用Ai表示“第i次射击击中靶子”（i?1,2,3），试用语言描述下列事件.（1）A1?A2 （2）(A1?A2)A3 （3）A1A2?A2A2解：（1）第1，2次都没有中靶（2）第三次中靶且第1，2中至少有一次中靶（3）第二次中靶4．设某人向一把子射击三次，用Ai表示“第i次射击击中靶子”（i=1，2，3），使用符号及其运算的形式表示以下事件：（1）“至少有一次击中靶子”可表示为；（2）“恰有一次击中靶子”可表示为；（3）“至少有两次击中靶子”可表示为；（4）“三次全部击中靶子”可表示为；（5）“三次均未击中靶子”可表示为；（6）“只在最后一次击中靶子”可表示为 . 解：（1）A1?A2?A3;(2) A123?1A23?12A3;(3)A1A2?A1A3?A2A3; (4) A1A2A3; (5) 123(6) 12A35.证明下列各题（1）A?B?A （2）A?B?(A?B)?(AB)?(B?A)证明：（1）右边=A（??B）?A?AB=A且??B??A?B=左边（2）右边=（AB)?(AB)?(BA）=A或??B??A?B习题1.设A、B、C三事件，P(A)?P(B)?P(C)?14P(AC)?P(BC)?18,P(AB)?0，求A、B、C至少有一个发生的概率.解：?P(AB)?0?P(ABC)?0P(A?B?C).?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC) =3?11 4?2?8?122.已知p()? ，P(B)? ， P(B)?，求（1）P(AB)(2)P(A?B)，(3)P(A?B)， (4)P(AB).解：（1）?A?B,?AB?A?P(AB)?P(A)?（2）?A?B,?A?B?B?P(A?B)?P(B)?3.设P(A)=(A?B)= 互斥，求P(B).解：?A,B互斥，P(A?B)?P(A)?P(B), ，故P(B)?P(A?B)?P(A)4.设A、B是两事件且P(A)=,P(B)?（1）在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？解：由加法公式P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)=?P(A?B)（1）由于当A?B时A?B?B，P(A?B)达到最小，即P(A?B)?P(B)?，则此时P(AB)取到最大值，最大值为（2）当P(A?B)达到最大，即P(A?B)?P(?)?1，则此时P(AB)取到最小值，最小值为5.设P(A)?P(B)?P(C)?1115,P(AB)?P(BC)?P(AC)?,P(??)?, 4816求P(A?B?C). 解：P(ABC)?1?P(ABC)?1?P(??)?1?151?, 1616P(A?B?C).?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC) =3?1117?3 481616习题1.从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复）求取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率.解：设事件A={3张中至少有2张花色相同} 则A={3张中花色各不相同}3111C4C13C13C13P(A)?1?P(A)?1?? 3C52只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率.3解法一随机试验是从50只铆钉随机地取3个，共有C50种取法，而发生“某3C31一个部件强度太弱”这一事件只有C这一种取法，其概率为3?，而10C501960033个部件发生“强度太弱”这一事件是等可能的，故所求的概率为p??pi?i?110101 ?1960019603解法二样本空间的样本点的总数为C50，而发生“一个部件强度太弱”这13一事件必须将3只强度太弱的铆钉同时取来，并都装在一个部件上，共有C10C3种情况，故发生“一个部件强度太弱”的概率为13C10C31 p??31960C503.从1至9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，求取出的3个数之积能被10整除的概率.解法一设A表示“取出的3个数之积能被10整除”，， A1表示“取出的3个数中含有数字5”， A2表示“取出的3个数中含有数字偶数”P(A)?P(A1A2)?1?P(A1A2)?1?P(A1?A2)?1?P(A1)?P(A2）?P(A1A2)?8??5??4??11???9??9??9?解法二设Ak为“第k次取得数字，Bk为“第k次取得偶数”，5”k?1,2,3。
《概率统计教学资料》第1-3随机试验、样本空间和随机事件及概率节
有一个事件发生时，“指示灯不亮”，即D发生.
故D A (BC )
_____________
或D A(B C) A (BC )
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25
例如 将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做7 遍,观察正面出现的次数及频率.
123 4 5 6 7
试验 序号
n5
n 50
n 500
nH
23
例： 设有3个事件A, B, C ，试用事件的运算关系 表示以下事件:
(1) 只有A发生 ABC (2) 至少有一个发生 A B C
(3) 恰好有一个发生 ABC ABC ABC (4)三个都不发生 ABC
(5) 至少有一个不发生 A B C 或= ABC
最多有一件事发生
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4.事件的交（积）(A B,或AB)
“事件A,B都发生” 也是一个事件.
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5.事件的差（B-A）
B A {x | x B,且x A}
B发生且A不发生
B
A
差积转化公式 B A BA B AB (其中AB B)
6.事件的互不相容 若A与B不能同时发生，即AB=φ， A B
注： 1o 必然事件S与不可能事件互逆;
2o 互斥与互逆的关系;
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事件运算定律（4种）
(1)交换律
A B B A.
AB BA.
(2)结合律 (A B) C A (B C). (AB)C A(BC).
(3)分配律 A(B C) AB AC.
A (BC) (A B)(A C).
概率论 (Probability theory) ——研究和揭示随机现象的统计规律性的科学。
概率论与数理统计复习资料
自考04183概率论与数理统计(经管类)笔记-自考概率论与数理统§1.1 随机事件1.随机现象：确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等；不确定现象：随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等；其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。
结论：随机现象是不确定现象之一。
2.随机试验和样本空间随机试验举例：E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。
E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。
E3：记录110报警台一天接到的报警次数。
E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。
E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。
E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。
随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。
样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。
所有样本点的集合称为样本空间，记作。
举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。
3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。
只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。
必然事件：一定发生的事件，记作不可能事件：永远不能发生的事件，记作4.随机事件的关系和运算由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。
（1）事件的包含和相等包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作，或。
性质：例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇数点”，则。
注：与集合包含的区别。
相等：若且，则称事件A与事件B相等，记作A＝B。
（2）和事件概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作或A＋B。
1.1-1.2 随机试验 样本空间、随机事件
S4 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
E5: 记录某公共汽车站某日
上午某时刻的等车人数.
S5 {0, 1, 2, }.
E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命.
S6 : {t | t 0}
E7: 考察某地区一昼夜最高和最低气温.
S7 {( x , y ) T0 x y T1 }.
概率论的基本概念
第一节 随机试验
重点： 概率论的主要研究对象； 随机试验的概念
一、自然界所观察到的两类现象
1. 确定性现象
在一定条件下必然发生的现象 称为确定性现象. 实例
“太阳从东边升起”,
“水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,
特征
2. 随机现象
实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币, 观察正反两面 发生的情况”. 结果有可能：发生正面、反面.
的结果有一定的规律性——称为统计规律性.
定义 在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复 试验中其结果又具有统计规律性的现象，称为随机现象.
特征
说明
研究对象 ——概率论就是研究随机现象统计规律性的一
门数学学科.
研究方法 ——将随机试验的结果数量化.
样本空间(集合)、概率、随机变量(函数)等.
二、随机试验（Experiment ）
数。
E 4 ：抛一枚骰子，观察出现的点数。
E 5 ：记录某城市 120 急救
电话台一昼夜接到的呼唤次数。
在一批灯光中任意抽 E6 ： 取一只，测试它的寿命。
E 7 ：记录某地一昼夜的最高气温和最低气温。
定义： 随机试验是指具有以下三个特征的试验：
1. 可以在相同的条件下重复地进行; 可重复性 2. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试 可知性 验的所有可能结果;
随机试验与样本空间PPT
概率的概念形成于16世纪，与用投掷骰子的方法进行赌博有密切的关系．
1
1654年，一个名叫德梅尔（De Mere，法）的赌徒就“两个赌徒约定赌若干局，且谁先赢c局便算赢家，若在一赌徒胜a局（a<c），另一赌徒胜b局（b<c）时便终止赌博，问应如何分赌本”为题求教于数学家帕斯卡（Pascal，法，1623-1662），帕斯卡与费玛（Fermat，法，1601-1665）通信讨论了这一问题，并用组合的方法给出了正确的解答．
概率论与数理统计
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第1章 概率论基础
1.2 随机事件及其概率
1.1 随机试验与样本空间
1.3 古典概型与几何概型
1.4 条件概率与乘法公式
1.5 全概率公式和贝叶斯公式
独立性
貳
壹
叁
肆
伍
陆
第1章 概率论基础
概率论是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现象）规律性的一门数学学科，20世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民经济及工程技术等各个领域．本章介绍随机事件与概率、古典概型与几何概型、条件概率与乘法公式等概率论中最基本、最重要的概念和概率计算方法．
随机试验通常用大写字母E表示．
1.1.1 随机试验
随机试验
说明 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行的 “调查”、“观察”或 “测量” 等.
“抛一枚硬币观察哪一面朝上”：
定义1.1 随机试验的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为 = { }，其中 表示基本结果，又称为样本点．
【例1.1】下面给出几个随机试验的样本空间．
研究随机现象首先要了解它的样本空间．
概率论与数理统计第二章
4. 条件概率的计算
1) 用定义计算:
P( A | B) P( AB) , P(B)
P(B)>0
2)从加入条件后改变了的情况去算
例：A={掷出2点}，B={掷出偶数点}
掷骰子
P(A|B）= 1 3
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数
在缩减样本空间 中A所含样本点
个数
27
例8 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少?
实际上,这个假定并不完 全成立，有关问题的实际概 率比表中给出的还要大 .
当人数超过23时，打赌 说至少有两人同生日是有利 的.
18
例3 某城市的电话号码由5个数字组成，每个 数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求 电话号码由五个不同数字组成的概率.
解：
a
A150 105
=0.3024
问：
b
P( A) =1-0.524=0.476
即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.
这个概率随着球迷人数的增加而迅速增加.
17
人数 至少有两人同
生日的概率
20
0.411
21
0.444
22
0.476
23
0.507
24
0.538
30
0.706
40
0.891
50
0.970
60
0.994
所有这些概率都是在假 定一个人的生日在 365天的 任何一天是等可能的前提下 计算出来的.
25
3. 条件概率的性质 设B是一事件，且P(B)>0,则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;
概率论与数理统计教程第四版课后答案-文档资料
1 i j k n
,A 若事件 A 1,A 2, n 互不相容，则
P A A A P A P A P A 4 1 2 n 1 2 n
m m n m n
其中 pq1 。
6
第一章
一、几种概率
1、统计概率
2、古典概率
随机事件及其概率
M P( A) N
随机事件 A 所占的几何度量 （ A ） 3、几何概率 P 试验的总的几何度量 P (AB ) P (A| B ) 4、条件概率 P (B )
( m ) C p q 5、贝努利概率 P n n
3.事件运算的性质
(1). A A ,
A A , A A ;
B C AB AC , (2). A
(3). A B AB , AB A B .
i 1 n n
Ai Ai ,
i 1
i 1
Ai Ai .
i 1
n
n
3
(三) 概率的定义 概率的定义 事件 A 发生的可能性大小 概率的统计定义
第一章
一、基本内容
随机事件及其概率小结
(一)随机试验与样本空间 1.随机试验 具有下列特点的试验称为随机试验 ( 试验 ): （1）试验在相同的条件下可重复进行； 并且可能的结果不止一个； （2）试验前知道试验的所有可能结果， （3）试验前不知道那一个结果会出现。 2.样本空间与样本点
样本空间 随机试验的所有可能的结果所组成的集合， 记作Ω； 样本点 样本空间Ω中的每个元素， 即试验的每一可能的结果， 记作ω。
概率论与数理统计ppt课件
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
*
例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从袋中不放回摸两球， 记A={恰是一红一黄}，求P(A)． 解：
（注：当L>m或L<0时，记 ）
例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件， 记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)． 解：
*
第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
*
第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归
解： 设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3 A={ 这人通过考核 }，
亦可：
*
例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。
利用乘法公式
与 不相容
（1）若为放回抽样：
（2）若为不放回抽样：
解： 设 Ai={第i次取到红牌}，i=1,2 B={取2张恰是一红一黑}
①
②
①
1 2 N
①
②
1 2 N
……
考研数学概率论与数理统计笔记知识点(全)
三 二二维连续型随机变量量（积分积出来的就是连续的）
1.定义：概率密度积分（二二重积分）
2.联合概率密度
1）性质：1.非非负性；2.规范性
2）应用用：求P，就是求二二重积分
在f（x，y）的连续点上，分布求二二阶倒数就是概率密度
步骤：1）画图（为了了解不不等式）
2）讨论
3）代入入（注意端点）
第三章 多维随机变量量及其分布
知识点：一一 二二维随机变量量及其分布函数 二二 二二维离散型随机变量量 三 二二维连续型随机变量量 四 二二维随 机变量量函数的分布
一一 二二维随机变量量及其分布函数
1.二二维随机变量量就是一一个（X，Y）向量量
要注意是一一维的（是用用一一个变量量表示）
4.离散+连续（一一定是使用用全概率公式的）
定义：X为离散型，Y为连续型，且相互独立立
六 全概率公式与⻉贝叶斯公式（关键在于完备事件组）
1.完备事件组：互斥是对立立的前提条件
2.全概率公式：由因到果（推导，画图）（全部路路径）
3.⻉贝叶斯公式：由果到因（推导，画图）（所占的比比例例）
Note：关键是1.完备事件组必须完备；2.要画图3注意抽签原理理
题型一一：概率的基本计算
1.事件决定概率，但是概率推不不出事件
3.边缘概率密度
1）具体就是边缘分布函数求导（详⻅见笔记）
Note：注意边缘的公式，在求时，注意取值范围，以及上下限（一一根直线传过去）（类似于 二二重积分的先积部分——后积先定限，限内画条线）
2）G是从几几何看出来的，不不要死记公式，要结合图像（G为非非零区域）
Note：1.在写公式之前要先保证分⺟母不不为0，即要先确定范围
概率论与数理统计教程第四版课后答案
如果在独立试验序列中事件 A 的概率为 p (0< p <1)，则在 n
次试验中事件 A 恰好发生 m 次的概率
Pn
m
C
m n
pm
q
!
其中 p q 1 。
6
第一章 随机事件及其概率
一、几种概率
1、统计概率 2、古典概率 3、几何概率
P( A) M N
1.18. 设P (A) = 0.5， P (B)=0.7 ，则 （1）在怎样的条件下P (AB)最大？ （2）在怎样的条件下P (AB)最小？
解 PA B P( A) P(B) P( AB) P( AB) P( A) P(B) PA B
当A B时，P (AB)最大 P( AB) P( A) 0.5 当A B 时，P (AB)最小
8. 3个球随机的投入4个盒子中，求下列事件的概率： （1）A是任意3个盒子中各有1个球； （2）B是任意1个盒子中有3个球； （3）C是任意1个盒子中有2个球，其它任意1个盒子中有1个球。
解
（1）P( A)
C
3 4
3!
43
3
0.375
8
（2）P ( B )
C
1 4
1 0.0625
43 16
（3）P(C )
P( A1 A2 ) P( A1 A2 )
（1）A是任取的3件产品中恰有2件等级相同的产品； （2）B是任取的3件产品至少有2件等级相同的产品。
解
（1）
P( A)
C 92 C 111
C
2 7
C113
C 42 C116
C
3 20
51 76
0.671
（2）
P(B)
概率论与数理统计习题参考答案
概率论与数理统计参考答案（附习题）第一章 随机事件及其概率1. 写出下列随机试验的样本空间：（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度.解： 所求的样本空间如下（1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x 2+y 2<1}（3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0}2. 设A 、B 、C 为三个事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 和C 不发生；（2）A 与B 都发生，而C 不发生； （3）A 、B 、C 都发生； （4）A 、B 、C 都不发生； （5）A 、B 、C 不都发生；（6）A 、B 、C 至少有一个发生； （7）A 、B 、C 不多于一个发生； （8）A 、B 、C 至少有两个发生. 解： 所求的事件表示如下(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)A B CA B C A B C A B CA B C AB CA B B C A CA BB CC A3．在某小学的学生中任选一名，若事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示该生是三年级学生，事件C 表示该学生是运动员，则 （1）事件AB 表示什么？（2）在什么条件下ABC =C 成立？ （3）在什么条件下关系式C B ⊂是正确的？ （4）在什么条件下A B =成立？解： 所求的事件表示如下（1）事件AB 表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC =C 成立.（3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B ⊂是正确的. （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝0.7，P (A －B )＝0.3，试求()P AB解 由于 A -B = A – AB , P (A )=0.7 所以P (A -B ) = P (A -AB ) = P (A ) -P (AB ) = 0.3, 所以 P (AB )=0.4, 故 ()P AB = 1-0.4 = 0.6.5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝14，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)=18求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,⊂=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 1111500044488=++---+=6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率：A ＝{两球颜色相同}，B ＝{两球颜色不同}.解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为22a b A A +，有利于B的事件数为1111112ab b a a b A A A A A A +=, 则 2211222()()a b a ba b a bA A A A P A PB A A +++==7. 若10件产品中有件正品，3件次品,（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率； （2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解 （1）设A={取得三件次品} 则333333101016()()120720或者====C A P A P A C A . （2）设B={取到三个次品}, 则33327()101000==P A .8. 某旅行社100名导游中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，9人会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求：（1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率； （2）此人只会讲法语的概率.解 设 A={此人会讲英语}, B={此人会讲日语}, C={此人会讲法语}根据题意, 可得(1) 32923()()()100100100=-=-=P ABC P AB P ABC(2) ()()()P ABC P AB P ABC =-()01()P A B P A B =+-=-+ 1()()()P A P B P AB =--+433532541100100100100=--+=9. 罐中有12颗围棋子，其中8颗白子4颗黑子，若从中任取3颗，求： （1） 取到的都是白子的概率；（2） 取到两颗白子，一颗黑子的概率；（3） 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率； （4） 取到三颗棋子颜色相同的概率. 解(1) 设A={取到的都是白子} 则3831214()0.25555===C P A C .(2) 设B={取到两颗白子, 一颗黑子}2184312()0.509==C C P B C . (3) 设C={取三颗子中至少的一颗黑子} ()1()0.74=-=P C P A . (4) 设D={取到三颗子颜色相同}3384312()0.273+==C C P D C .10. （1）500人中，至少有一个的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日计算)？（2）6个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解(1) 设A = {至少有一个人生日在7月1日}, 则500500364()1()10.746365=-=-=P A P A (2)设所求的概率为P(B)412612611()0.007312⨯⨯==C C P B11. 将C ，C ，E ，E ，I ，N ，S 7个字母随意排成一行，试求恰好排成SCIENCE的概率p.解 由于两个C ，两个E 共有2222A A 种排法，而基本事件总数为77A ，因此有2222770.000794A A p A ==12. 从5副不同的手套中任取款4只，求这4只都不配对的概率.解 要4只都不配对，我们先取出4双，再从每一双中任取一只，共有⋅4452C 中取法. 设A={4只手套都不配对}，则有⋅==445410280()210C P A C13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第i 只零件是不合格的概率为=+11i p i，i=1，2，3，若以x 表示零件中合格品的个数，则P(x =2)为多少？解 设A i = {第i 个零件不合格}，i=1,2,3, 则1()1i i P A p i==+ 所以 ()11i i i P A p i=-=+ 123123123(2)()()()P x P A A A P A A A P A A A ==++由于零件制造相互独立，有：123123()()()()P A A A P A P A P A =，123123()()()()P A A A P A P A P A = 123123()()()()P A A A P A P A P A =11112111311,(2)23423423424P x ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=所以14. 假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率p.解 设A={目标出现在射程内}，B={射击击中目标}，B i ={第i 次击中目标}, i=1,2.则 P(A)=0.7, P(B i|A)=0.6 另外 B=B 1+B 2，由全概率公式12()()()()()(|)()(()|)P B P AB P AB P AB P A P B A P A P B B A =+===+ 另外, 由于两次射击是独立的, 故P(B 1B 2|A)= P(B 1|A) P(B 2|A) = 0.36 由加法公式P((B 1+B 2)|A)= P(B 1|A)+ P(B 2|A)－P(B 1B 2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84因此P(B)= P(A)P((B 1+B 2)|A)=0.7×0.84 = 0.58815. 设某种产品50件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为0.35，有1，2，3，4件次品的概率分别为0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取10件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率.解 设A i ={一批产品中有i 件次品}，i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取10件检查出一件次品},C={产品中次品不超两件}, 由题意01914911050192482105019347310501944611050(|)01(|)516(|)4939(|)98988(|)2303=========P B A C C P B A C C C P B A CC C P B A C C C P B A C由于 A 0, A 1, A 2, A 3, A 4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式 40()()(|)0.196===∑i i i P B P A P B A 由Bayes 公式000111222()(|)(|)0()()(|)(|)0.255()()(|)(|)0.333()======P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B 故20()(|)0.588===∑i i P C P A B16. 由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%，10%和90%的概率分别为0.8，0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）.解 设B={三件都是好的}，A 1={损坏2%}, A 2={损坏10%}, A 1={损坏90%}，则A 1, A 2, A 3是两两互斥, 且A 1+ A 2 +A 3=Ω, P(A 1)=0.8, P(A 2)=0.15, P(A 2)=0.05.因此有 P(B| A 1) = 0.983, P(B| A 2) = 0.903, P(B| A 3) = 0.13, 由全概率公式31333()()(|)0.80.980.150.900.050.100.8624===⨯+⨯+⨯=∑i i i P B P A P B A由Bayes 公式, 这批货物的损坏率为2%, 10%, 90%的概率分别为313233()(|)0.80.98(|)0.8731()0.8624()(|)0.150.90(|)0.1268()0.8624()(|)0.050.10(|)0.0001()0.8624⨯===⨯===⨯===i i i i i i P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B 由于P( A 1|B) 远大于P( A 3|B), P( A 2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为0.2.17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且含0，1和2件残次品的箱各占80%，15%和5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中4只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求： （1）一次通过验收的概率α；（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率β. 解 设H i ={箱中实际有的次品数}, 0,1,2=i , A={通过验收}则 P(H 0)=0.8, P(H 1)=0.15, P(H 2)=0.05, 那么有：042314244222424(|)1,5(|),695(|)138P A H C P A H C C P A H C =====(1)由全概率公式20()()(|)0.96α====∑i i i P A P H P A H(2)由Bayes 公式 得00()(|)0.81(|)0.83()0.96β⨯====i P H P A H P H A P A18. 一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被 使用的概率为0.1，问在同一时刻 （1）恰有两台设备被使用的概率是多少？ （2）至少有三台设备被使用的概率是多少？解 设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是5重伯努利试验. 由题意，有p=0.1, q=1-p=0.9, 故(1) 223155(2)(0.1)(0.9)0.0729===P P C (2) 2555(3)(4)(5)P P P P =++332441550555(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.00856C C C =++=19. 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，如果每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以采用三局二胜制或五局三胜制，问在哪一种比赛制度下甲获胜的可能性较大？ 解 在三局两胜时, 甲队获胜的概率为332213333(2)(3)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)0.648=+=+=A P P P C C在五局三胜的情况下, 甲队获胜的概率为55533244155555(3)(4)(5)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)0.682=++=++=B P P P P C C C因此，采用五局三胜制的情况下，甲获胜的可能性较大.20. 4次重复独立试验中事件A 至少出现一次的概率为6581，求在一次试验中A出现的概率.解 设在一次独立试验中A 出现一次的概率为p, 则由题意00444465(0)(1)181==-=-P C p q p 解得p=1/3.21.（87，2分）三个箱子，第一个箱子中有4只黑球1只白球，第二个箱子中有3只黑球3只白球，第三个箱子有3只黑球5只白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率等于 . 已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为解 设=B “取出白球”，=i A “球取自第i 个箱子”，.3,2,1=i 321,,A A A 是一个完全事件组，.3,2,1,3/1)(==i A P i 5/1)|(1=A B P ，2/1)|(2=A B P ，8/5)|(3=A B P ，应用全概率公式与贝叶斯公式,12053)852151(31)|()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P.5320)()|()()|(222==B P A B P A P B A P22.（89，2分）已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P 及条件概率8.0)|(=A B P ，则和事件B A ⋃的概率=⋃)(B A P 解 7.0)|()()()()()()()(=-+=-+=⋃A B P A P B P A P AB P B P A P B A P .23.（90，2分）设随机事件A ，B 及其和事件B A ⋃的概率分别是4.0，3.0和6.0. 若B 表示B 的对立事件，那么积事件B A 的概率=)(B A P解 B A 与B 互不相容，且.B B A B A ⋃=⋃ 于是.3.0)()()(=-⋃=B P B A P B A P24.（92，3分）已知41)()()(===C P B P A P ，0)(=AB P ，161)()(==BC P AC P ，则事件A ，B ，C 全不发生的概率为 解 从0)(=AB P 可知，0)(=ABC P .)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +--++=⋃⋃.8501611*********=+---++=25.（93，3分）一批产品共有10件正品和两件次品，任意抽取两次，每次抽一件，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为解 设事件=i B “第i 次抽出次品”，.2,1=i 则,12/2)(1=B P 12/10)(1=B P ，.11/2)|(,11/1)|(1212==B B P B B P 应用全概率公式)|()()|()()(1211212B B P B P B B P B P B P +=.611121210111122=⨯+⨯=26.（94，3分）已知A ，B 两个事件满足条件)()(B A P AB P =，且p A P =)(，则=)(B P解 ).()()(1)()(AB P B P A P B A P B A P +--=⋃=因)()(B A P AB P =，故有.1)(1)(,1)()(p A P B P B P A P -=-==+27.（06，4分）设A ，B 为随机事件，且0)(>B P ，1)|(=B A P ，则必有（ ） A ．)()(A P B A P >⋃ B ．)()(B P B A P >⋃ C ．)()(A P B A P =⋃ D ．)()(B P B A P =⋃解 选（C ）28.（05，4分）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X ，再从1，2，…，X 中任取一个数，记为Y ，则==)2(Y P 解 填.481329.（96，3分）设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为%1和%2，现从由A 和B 的产品分别占%60和%40的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品属A 生产的概率是解 设事件=C “抽取的产品是次品”，事件=D “抽取的产品是A 生产的”，则D 表示“抽取的产品是工厂B 生产的”. 依题意有.02.0)|(,01.0)|(,40.0)(,60.0)(====D C P D C P D P D P应用贝叶斯可以求得条件概率.7302.04.001.06.001.06.0)|()()|()()|()()|(=⨯+⨯⨯=+=D C P D P D C P D P D C P D P C D P30.（97，3分）袋中有50只乒乓球，其中20只是黄球，30只是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 解 设事件=i A “第i 个人取得黄球”，2,1=i . 根据题设条件可知.4920)|(,4919)|(,5030)(,5020)(121211====A A P A A P A P A P 应用全概率公式.524920503049195020)|()()|()()(1211212=⋅+⋅=+=A A P A P A A P A P A P31.（87，2分）设在一次试验中，事件A 发生的概率为p 。
1.1随机试验、样本空间、随机事件
随机试验E
例如：抛一颗骰子，观察其出现的点数.
样本点
可能的结果：1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点.
所有可能结果的集合：{1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点}.
样本空间
随机试验、样本空间、随机事件
定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合，称为 E 的样本空间， 记为 S. 样本空间的元素，即 E 的每个结果，称为样本点，记为ei .
结合律： AU( BUC) = ( AUB) UC ， ( AI B) I C = AI ( BI C) .
分配律： AU( BI C) = ( AUB) I ( AUC) ， AI ( BUC) = ( AI B) U( AI C) .
德摩根律： A U B = A I B ， A I B = A U B .
随机现象 概率论与数理统计
——研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科！
随机试验、样本空间、随机事件
二、随机试验 E1：抛一枚硬币，观察其出现正面 H 、反面T 的情况； E2 ：抛一颗骰子，观察其出现的点数； E3：抛一颗骰子，观察点数 2 是否出现； E4 ：记录车站售票处一天内售出的车票数； E5 ：任取同一生产线上生产的一只灯泡，测试其寿命； E6 ：在[0,1]之间随机地投一点，记录该点的坐标.
随机试验、样本空间、随机事件
例 1 设 A、B、C 为三个事件，试用其运算关系表示下列事件：
（1）A、B、C 同时发生；
ABC
（2）A、B、C 至少有一个发生；
AU B UC
（3）A、B、C 至少有两个发生；
AB U BC U AC
（4）A、B、C 都不发生；
ABC
（5）A、B、C 不都发生.
1.1(随机试验与样本空间)
第1章 概率论基础 章
1.1 随机试验与样本空间 2.2 随机事件及其概率 3.3 古典概型与几何概型 3.4 条件概率与乘法公式 3.5 全概率公式和贝叶斯公式 3.6 独立性 3.7 Excel数据分析功能简介 数据分析功能简介
第1章 概率论基础 章
1.1 随机试验与样本空间
1.1.2 样本空间
在具体问题的 研究中 , 描述随机 现象的第一步就是 建立样本空间. 建立样本空间
☺课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 写出下列随机试验的样本空间 1. 同时掷三颗骰子 记录三颗骰子之和. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和 记录三颗骰子之和 2. 生产产品直到得到 件正品,记录生产产品 生产产品直到得到10件正品 记录生产产品 件正品 的总件数. 的总件数 答案
1.1.1 随机试验
实例4 实例
出生的婴儿可
能是男 也可能是 也可能是女 能是男,也可能是女. 实例5 实例 明天的天气可 能是晴 , 也可能是多云 能是晴 也可能是多云 或雨. 随机现象的特征 条件不能完全决定结果
1.1.1 随机试验
说明 (1) 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性 其数量关系无法用函数加以描述. 联系 , 其数量关系无法用函数加以描述 (2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量试验或观察中, 然性 但在大量试验或观察中 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象 规律性的一门数学学科. 规律性的一门数学学科 如何来研究随机现象? 如何来研究随机现象 随机现象是通过随机试验来研究的. 随机现象是通过随机试验来研究的 什么是随机试验? 问题 什么是随机试验
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案1．写出下列随机试验的样本空间．(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)；(2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球；(3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．解：(1)}100,,2,1{ =Ω；(2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω；(3)},2,1{ =Ω；(4)}|),{(22y x y x +=Ω．2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ．解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ，}5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ；(3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ，}10,9,8,7,6,1{=B A ，}5,4,3,2{=B A ；法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ；(4)}5{=BC ，}10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ，}4,3,2{=BC A ，}10,9,8,7,6,5,1{=BC A ；(5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ，{1,8,9,10}=C B A ．3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121|{≤<=x x A ，}2341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ．解：(1)B B A = ，}223,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ∅；(3)A AB =，}21,210|{≤<≤≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ；(2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ．解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生；(2)A ，B ，C 中至少有一个发生；(3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生；(4)A ，B ，C 中不多于一个发生．6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(．证：A B B A A B A AB A B A AB )()(==-Ω==Ω=A A A A ．7．把事件C B A 表示为互不相容事件的和事件．解：)()[(C A B A A A C B A C B A =-=)(B A A A A C A B A A ==CB A BC A B A A )(=C B A B A A =．8．设0)(>A P ，0)(>B P ，将下列5个数)(A P ，)()(B P A P -，)(B A P -，)()(B P A P +，)(B A P 按有小到大的顺序排列，用符号“≤”联结它们，并指出在什么情况下可能有等式成立．解：因为0)(>A P ，0)(>B P ，)()(B P AB P ≤，故)()()()()()()()()(B P A P B A P A P B A P AB P A P B P A P +≤≤≤-=-≤- ，所以)()()()()()()(B P A P B A P A P B A P B P A P +≤≤≤-≤- ．(1)若A B ⊂，则有)()()(B A P B P A P -=-，)()(B A P A P =；(2)若=AB ∅，则有)()(A P B A P =-，)()()(B P A P B A P += ．9．已知B A ⊂，3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，求)(A P ，)(AB P ，)(B A P 和)(B A P ．解：(1)7.0)(1)(=-=A P A P ；(2)∵B A ⊂，∴A AB =，则3.0)()(==A P AB P ；(3)2.0)()()()(=-=-=AB P B P A B P B A P ；(4))(1()(B A P B A P B A P -==5.0)]()()([1=-+-=AB P B P A P ．10．设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求下列事件的概率．(1)只有1件次品；(2)最多1件次品；(3)至少一件次品．解：从10件产品中任取3件，共有310C 种取法，(1)记=A {从10件产品中任取3件，只有1件次品}，只有1件次品，可从4件次品中任取1件次品，共14C 中取法，另外的两件为正品，从6件正品中取得，共26C 种取法．则事件A 共包含2614C C 个样本点，21)(3102614==C C C A P ．(2)记=B {从10件产品中任取3件，最多有1件次品}，=C {从10件产品中任取3件，没有次品}，则C A B =，且A 与C 互不相容．没有次品，即取出的3件产品全是正品，共有36C 种取法，则61)(31036==C C C P ，32)()()()(=+==C P A P C A P B P ．(3)易知=C {从10件产品中任取3件，至少有1件次品}，则65)(1(=-=C P C P ．11．盒子里有10个球，分别标有从1到10的标号，任选3球，记录其号码，求：(1)最小号码为5的概率；(2)最大号码为5的概率．解：从10个球中任选3球，共有310C 种选法，(1)记=A {从10个球中任选3球，最小标号为5}，事件A 发生，则选出球的最小标号为5，另外两个球的标号只可从6，7，8，9，10这5个数中任选，共有25C 种选法，则121)(31025==C C A P ．(2)记=B {从10个球中任选3球，最大标号为5}，事件B 发生，则选出球的最大标号为5，另外两个球的标号只可从1，2，3，4这4个数中任选，共有24C 种选法，则201)(31024==C C B P ．12．设在口袋中有a 个白球，b 个黑球，从中一个一个不放回地摸球，直至留在在口袋中的球都是同一种颜色为止．求最后是白球留在口袋中的概率．解：设=A {最后是白球留在口袋中}，事件A 即把b a +个球不放回地一个一个摸出来，最后摸到的是白球，此概率显然为ba a A P +=)(．13．一间学生寝室中住有6位同学，假定每个人的生日在各个月份的可能性相同，求下列事件的概率：(1)6个人中至少有1人的生日在10月份；(2)6个人中有4人的生日在10月份；(3)6个人中有4人的生日在同一月份．解：设=i B {生日在i 月份}，则=i B {生日不在i 月份}，12,,2,1 =i ，易知121)(=i B P ，1211)(=i B P ，12,,2,1 =i ．(1)设=A {6个人中至少有1人的生日在10月份}，则=A {6个人中没有一个人的生日在10月份}，66101211(1)]([1)(1)(-=-=-=B P A P A P ；(2)设=C {6个人中有4人的生日在10月份}，则62244621041046121115)1211()121()]([)]([)(⋅===C B P B P C C P ；(3)设=D {6个人中有4人的生日在同一月份}，则52112121115)()(⋅==C P C D P ．14．在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在这一直径上一个区间内的可能性与此区间的长度成正比，求任意画的弦的长度大于R 的概率．解：设弦与该直径的交点到圆心的距离为x ，已知，当R x 23<，弦长大于半径R ，从而所求的概率为232232=⋅=R R P ．15．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在同一昼夜内到达的时刻是等可能的，如果甲船的停泊时间是1h ，乙船的停泊时间是2h ，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率．解：设=A {两艘中的任何一艘都不需要等候码头空出}，则=A {一艘船到达泊位时必须等待}，分别用x 和y 表示第一、第二艘船到达泊位的时间，则}10,20|),{(≤-≤≤-≤=x y y x y x A ，从而1207.0242221232124)()()(2222≈⋅-⋅-=Ω=μμA A P ；8993.0)(1)(≈-=A P A P ．16．甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，问由甲射中的概率为多少？解：设=A {甲击中目标}，=B {乙击中目标}，=C {目标被击中}，则B A C =，由题设知A 与B 相互独立，且6.0)(=A P ，5.0)(=B P ，所以)()()()()(AB P B P A P B A P C P -+== 8.0)()()()(=-+=B P A P B P A P ，从而43)()()()()|(===C P A P C P AC P C A P ．17．某地区位于河流甲与河流乙的汇合点，当任一河流泛滥时，该地区即被淹没，设在某时期内河流甲泛滥的概率是0.1，河流乙泛滥的概率是0.2，又当河流甲泛滥时引起河流乙泛滥的概率为0.3，求在该时期内这个地区被淹没的概率，又当河流乙泛滥时，引起河流甲泛滥的概率是多少？解：=A {甲河流泛滥}，=B {乙河流泛滥}，=C {该地区被淹没}，则B A C =，由题设知1.0)(=A P ，2.0)(=B P ，3.0)|(=A B P ，从而)()()()()(AB P B P A P B A P C P -+== 27.0)|()()()(=-+=A B P A P B P A P ，15.0)()|()()()()|(===B P A B P A P B P AB P B A P ．18．设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设=A {有一件产品是不合格品}，=B {另一件产品也是不合格品}，=i D {取出的两件产品中有i 件不合格品}，2,1,0=i ，显然，21D D A =，=21D D ∅，2D B AB ==．=Ω{从n 件产品种任取两件}，共有2nC 种取法；若1D 发生，即取出的两件产品中有1件不合格品，则该不合格品只能从m 件不合格品中取得，共有1m C 种取法；另一件为合格品，只能从m n -件合格品中取得，共有1m n C -种取法，则事件1D 中共有11m n m C C -个样本点，)1()(2)(2111--==-n n m n m C C C D P n m n m ，类似地，)1()1()(222--==n n m m C C D P n m ，所以)1()1()(2)()()()(2121--+-=+==n n m m m n m D P D P D D P A P ，)1()1()()(2--==n n m m D P AB P ，于是所求概率为121)()()|(---==m n m A P AB P A B P ．19．10件产品中有3件次品，每次从其中任取一件，取出的产品不再放回去，求第三次才取得合格品的概率．解：设=i A {第i 次取得合格品}，3,2,1=i ，则所求概率为12878792103)|()|()()(213121321=⋅⋅==A A A P A A P A P A A A P ．20．设事件A 与B 互不相容，且1)(0<<B P ，证明：)(1)(|(B P A P B A P -=．证：∵事件A 与B 互不相容，则0)(=AB P ，)(1)()(1)()()(1)()()()|(B P A P B P AB P A P B P B A P B P B A P B A P -=--=--==．21．设事件A 与B 相互独立，3.0)(=A P ，45.0)(=B P ，求下列各式的值：(1))|(A B P ；(2))(B A P ；(3)(B A P ；(4)|(B A P ．解：∵事件A 与相互独立，∴事件A 与B 也相互独立，(1)45.0)()|(==B P A B P ；(2))()()()(AB P B P A P B A P -+= )()()()(B P A P B P A P -+=615.0=；(3)385.0)](1)][(1[)(()(=--==B P A P B P A P B A P ；(4)7.0()|(==A P B A P ．22．某种动物活到10岁的概率为0.92，活到15岁的概率为0.67，现有一只10岁的该种动物，求其能活到15岁的概率．解：设=A {该种动物能活到10岁}，=B {该种动物能活到15岁}，显然A B ⊂，由题设可知92.0)(=A P ，67.0)(=B P ，所以9267)()()()()|(===A P B P A P AB P A B P ．23．某商店出售的电灯泡由甲、乙两厂生产，其中甲厂的产品占60%，乙厂的产品占40%，已知甲厂产品的次品率为4%，乙厂的次品率为5%．一位顾客随机地取出一个电灯泡，求它是合格品的概率．解：设=A {电灯泡是次品}，=1B {电灯泡由甲厂生产}，=2B {电灯泡由乙厂生产}，则=A {电灯泡是合格品}．由题设可知6.0)(1=B P ，4.0)(2=B P ，04.0)|(1=B A P ，05.0)|(2=B A P ，044.0)|()()|()()(2211=+=B A P B P B A P B P A P ，所以956.0)(1)(=-=A P A P ．24．已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：设=A {选出的人是色盲患者}，=B {选出的人是男性}，=B {选出的人是女性}，由题设可知21()(==B P B P ，05.0)|(=B A P ，0025.0)|(=B A P ，则2120)|()()|()()|()()|(=+=B A P B P B A P B P B A P B P A B P ．25．甲、乙、丙三人独立地向一敌机射击，设甲、乙、丙命中率分别为0.4，0.5和0.7，又设敌机被击中1次、2次、3次而坠毁的概率分别为0.2，0.6和1．现三人向敌机各射击一次，求敌机坠毁的概率．解：设1A ，2A ，3A 分别表示甲、乙、丙射击击中敌机，=i B {敌机被击中i 次}，3,2,1=i ，=C {敌机坠毁}，则3213213211A A A A A A A A A B =，3213213212A A A A A A A A A B =，3213A A A B =，由题设可知4.0)(1=A P ，5.0)(2=A P ，7.0)(3=A P ，2.0)|(1=B C P ，6.0)|(2=B C P ，1)|(3=B C P ，则)()()()(3213213211A A A P A A A P A A A P B P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=36.0=，类似地，51.0)(2=B P ，14.0)(3=B P ，由全概率公式得458.0)|()()(31==∑=i i i B C P B P C P ．26．三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为51，31和41．问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解：分别设事件A ，B ，C 为甲、乙、丙破译密码，则三人中至少有一人能将此密码译出可表示为C B A ，有)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= )()()()()()()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P B P A P C P B P A P +---++=53=．27．甲袋中装有n 只白球、m 只红球，乙袋中装有N 只白球、M 只红球．今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？解：设=A {从甲袋中取出白球}，=B {从乙袋中取出白球}，则由题设可知m n n A P +=)(，m n m A P +=(，11)|(+++=M N N A B P ，1|(++=M N N A B P ，由全概率公式，得)|(()|()()(A B P A P A B P A P B P +=)1)(()1(+++++=N M n m mN N n ．28．从区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的和小于1.2的概率．解：设x 和y 分别为所取的两个数，显然10≤≤x ，10≤≤y ，即试验的样本空间为边长为1的单位正方形，记}2.1|),{(<+=y x y x A ，由几何概型，有68.0118.08.02111)(=⨯⨯⨯-⨯=A P ．29．一个系统由4个元件联结而成(如图)，每个元件的可靠性(即元件能正常工作的概率)为r (10<<r )，假设各个元件独立地工作，求系统的可靠性．解：设=i A {第i 个元件能正常工作}，4,3,2,1=i ，=B {系统能正常工作}，则4314214321)(A A A A A A A A A A B ==，由题知r A P i =)(，i A 相互独立，4,3,2,1=i ，所以)()(431421A A A A A A P B P =)()()(4321431421A A A A P A A A P A A A P -+=)(()()()()()()()()(4321431421A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P -+=3)2(r r -=．30．某篮球运动员投篮命中的概率为0.8，求他在5次独立投篮中至少命中2次的概率．解：设=A {该篮球运动员5次独立投篮中至少命中2次}，=i B {该篮球运动员5次独立投篮中命中的次数}，5,,1,0 =i ，则由题可知5432B B B B A =，10B B A =，i B 互不相容，5,,1,0 =i ，所以)()(1)(1)(10B P B P A P A P --=-=9933.02.08.02.08.0141155005=⋅⋅-⋅⋅-=C C ．31．设概率统计课的重修率为5%，若某个班至少一人重修的概率不小于0.95，1324问这个班至少有多少名同学？解：设该班有n 名同学，=A {该班每名同学概率统计课重修}，=i B {该班n 名同学中有i 名同学概率统计课重修}，=C {该班n 名同学中至少有1名同学概率统计课重修}，则 ni i n B B B B C 121===，0B C =，由题可知05.0)(=A P ，n n n C B P C P C P 95.0195.005.01)(1)(1)(000-=⋅⋅-=-=-=，由题意，应有95.095.01=-n ，解得59=n ．32．某种灯泡使用时数在1000h 以上的概率为0.6，求3个灯泡在使用1000h 以后最多有1个损坏的概率．解：设=A {该种灯泡使用时数在h 1000以上}，=i B {3个灯泡在使用h 1000以后有i 个损坏}，3,2,1,0=i ，=C {3个灯泡在使用h 1000以后最多有1个损坏}，则10B B C =，由题知6.0)(=A P ，i B 互不相容，3,2,1,0=i ，所以648.06.04.06.04.0)()()(2113300310=⋅⋅+⋅⋅=+=C C B P B P C P ．33．甲、乙两名篮球运动员投篮的命中率分别为0.7和0.6，每人投篮3次，求：(1)二人进球数相等的概率；(2)甲比乙进球数多的概率．解：设=A {甲篮球运动员投篮命中}，=B {乙篮球运动员投篮命中}，=i A {甲篮球运动员投篮命中i 次}，3,2,1,0=i ，=i B {乙篮球运动员投篮命中i 次}，3,2,1,0=i ，=C {甲、乙进球数相等}，=D {甲比乙进球数多}，由题可知A 与B 相互独立，i A 相互独立，i B 相互独立，i A 与i B 相互独立，7.0)(=A P ，6.0)(=B P ，i i i i C A P -⋅⋅=333.07.0)(，i i i i C B P -⋅⋅=334.06.0)(，3,2,1,0=i ，(1) 30==i i i B A C ∑∑======303030)()()()()(i i i i i i i i i B P A P B A P B A P C P 3208.0=；(2)3310201)(B A B B A B A D =，从而有))(()(3310201B A B B A B A P D P =)(]([)(3310201B A P B B A P B A P ++= )()()()(33120201B A P B A P B A P B A P +++=)()()()()()()()(33120201B P A P B P A P B P A P B P A P +++=4362.0=．34．若三事件A ，B ，C 相互独立，证明：B A 及B A -都与C 相互独立．证：(1))())((BC AC P C B A P =)()()(ACBC P BC P AC P -+=)()()(ABC P BC P AC P -+=)()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P -+=)()]()()()([C P B P A P B P A P -+=)()]()()([C P AB P B P A P -+=)()(C P B A P =所以B A 与C 相互独立．(2))())((BC AC P C B A P -=-)()(ABC P AC P -=)()()()()(C P B P A P C P A P -=)()]()()([C P B P A P A P -=)()]()([C P AB P A P -=)()(C P B A P -=，所以B A -与C 相互独立．35．设袋中有1个黑球和1-n 个白球，每次从袋中随机摸出一球，并放入一个白球，连续进行，问第k 次摸到白球的概率是多少？解：设=A {第k 次摸到白球}，=A {第k 次摸到黑球}，A 发生表示前1-k 次摸球摸到的都是白球，第k 次摸到的是黑球．前1-k 次摸球，每次摸到白球的概率均为n n 1-，第k 次摸到黑球的概率为n 1，每次摸球相互独立，可知nn n A P k 1)1()(1⋅-=-，则n n n A P A P k 11(1)(1)(1⋅--=-=-．。
《概率论与数理统计》第一章知识点
第一章随机事件及概率1.1随机事件1.1.1随机试验一、人在实际生活中会遇到两类现象：1.确定性现象：在一定条件下实现与之其结果。
2.随机现象（偶然现象）：在一定条件下事先无法预知其结果的现象。
二、随机试验满足条件：1.实验可以在相同条件写可以重复进行；（可重复性）2.事先的所有可能结果是事先明确可知的；（可观察性）3.每次实验之前不能确定哪一个结果一定会出现。
（不确定性）1.1.2样本空间1.样本点：每次随机试验E 的每一个可能的结果，称为随机试验的一个样本点，用w 表示。
2.样本空间：随机试验E 的所有样本点组成的集合成为试验E 的样本空间。
1.1.3随机事件1.随机事件：一随机事件中可能发生也可能不发生的事件称为试验的随机事件。
2.基本事件：试验的每一可能的结果称为基本事件。
一个样本点w 组成的单点集{w}就是随机试验的基本事件。
3.必然事件：每次实验中必然发生的事件称为必然事件。
用Ω表示。
样本空间是必然事件。
4.不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，用空集符号表示。
1.1.4事件之间的关系和运算1.事件的包含及相等“如果事件A 发生必然导致事件B 发生”，则称事件B 包含事件A ，也称事件A 是B 的子事件，记作A B B A ⊃⊂或。
2.事件的和（并⋃）“事件A 与B 中至少有一个事件发生”，这样的事件称为事件A 与B 的和事件，记作B A 。
3.事件的积（交⋂）“事件A 与B 同时发生”，这样的事件称作事件A 与B 的积（或交）事件，记作AB B A 或 。
4.事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”，这样的事件称为事件A 与B 的差事件，记作A-B 。
5.事件互不相容（互斥事件）“事件A 与事件B 不能同时发生”，也就是说，AB 是一个不可能事件，即=AB 空集，即此时称事件A 与事件B 是互不相容的（或互斥的）6.对立事件“若A 是一个事件，令A A -Ω=,称A 是A 的对立事件，或称为事件A 的逆事件”事件A 与事件A 满足关系：=A A 空集，Ω=A A 对立事件一定是互斥事件；互斥事件不一定是对立事件。
概率论与数理统计第三__课后习题答案
习题一：写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{Λ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22Λ=Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{Λ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i π (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ωπ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207ππx x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8φφ；(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
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【概率论简史】 概率论简史】
概率的概念形成于16世纪 概率的概念形成于16世纪，与用投掷骰子的方法 16世纪， 进行赌博有密切的关系． 进行赌博有密切的关系． 1654年 一个名叫德梅尔（ 1654 年 ， 一个名叫德梅尔 （ De Mere， 法 ） 的赌 ， 徒就“两个赌徒约定赌若干局，且谁先赢c局便算赢 徒就 “ 两个赌徒约定赌若干局 ， 且谁先赢 局便算赢 家，若在一赌徒胜a局（a<c），另一赌徒胜 局（b<c） ） 另一赌徒胜b局 ） 时便终止赌博，问应如何分赌本” 时便终止赌博，问应如何分赌本”为题求教于数学家 帕斯卡（ 1623-1662） 帕斯卡 （ Pascal， 法 ， 1623-1662 ） ， 帕斯卡与费玛 ， 1601-1665）通信讨论了这一问题， （ Fermat，法 ， 1601-1665 ） 通信讨论了这一问题 ， ， 并用组合的方法给出了正确的解答． 并用组合的方法给出了正确的解答．
“110每天接到的报警次数”： 每天接到的报警次数” 每天接到的报警次数
Ω 4 = {0，1，2，…}． ， ， ， ．
“圆心在原点的单位圆内任取一点”： 圆心在原点的单位圆内任取一点”
Ω 5 = {(x，y) | x2 + y2 ≤ 1}． ， ．
1.1.2 样本空间
关于样本空间的几点说明： 关于样本空间的几点说明： (1) 样本空间中的元素可以是数也可以不是数 ； 样本空间中的元素可以是数也可以不是数； (2) 样本空间中的样本点可以是有限多个的 ， 样本空间中的样本点可以是有限多个的， 也可以是无限多个的． 也可以是无限多个的．仅含两个样本点的样本空 间是最简单的样本空间． 间是最简单的样本空间．
Ω 1 = {正面，反面 ． 正面， 正面 反面}．
1.1.2 样本空间
“抛一颗骰子观察朝上一面的点数”： 抛一颗骰子观察朝上一面的点数” 抛一颗骰子观察朝上一面的点数
Ω 2 = {1，2，3，4，5，6}． ， ， ， ， ， ．
“某品牌电视机的寿命”： 某品牌电视机的寿命”
Ω 3 = {t | t ≥ 0}． ．
1.1.2 样本空间
说明
(3) 建立样本空间 事实上就是建立随机现 建立样本空间,事实上就是建立随机现 象的数学模型. 象的数学模型 因此 , 一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题. 概括许多内容大不相同的实际问题
例如
只包含两个样本点的样本空间
Ω = {H, T}
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现 反面的 它既可以作为抛掷硬币出现 正面或出现反面 的 正面 或出现反面 也可以作为产品检验中合格与不合格的 模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的 合格 有人排队与 又能用于排队现象中有人排队 模型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排 队的模型等. 的模型等
1.1.1 随机试验
实例2 用同一门炮向同 实例 一目标发射同一种炮弹多 观察弹落点的情况. 发 , 观察弹落点的情况 结果: 弹落点会各不相同. 结果 弹落点会各不相同 实例3 抛掷一枚骰子 观 抛掷一枚骰子,观 实例 察出现的点数. 察出现的点数 结果有可能为: 结果有可能为
1, 2, 3, 4, 5 或 6.
第1章 概率论基础 章
1.1 随机试验与样本空间
1.1.1 随机试验
客观世界中存在着两类现象: 客观世界中存在着两类现象 必然现象 随机现象 在一定条件下必然出现的现象， 在一定条件下必然出现的现象， 称为必然现象； 称为必然现象； 必然现象
实例: 实例 “太阳从东边升起” 太阳从东边升起” 太阳从东边升起 水从高处向低处流” “水从高处向低处流” 同性电荷互斥” “同性电荷互斥”
1.1.2 样本空间
在具体问题的 研究中 , 描述随机 现象的第一步就是 建立样本空间. 建立样本空间
☺课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 写出下列随机试验的样本空间 1. 同时掷三颗骰子 记录三颗骰子之和. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和 记录三颗骰子之和 2. 生产产品直到得到 件正品,记录生产产品 生产产品直到得到10件正品 记录生产产品 件正品 的总件
1812年 拉普拉斯所著《概率的分析理论》 1812年，拉普拉斯所著《概率的分析理论》实现了 从组合技巧向分析方法的过渡， 从组合技巧向分析方法的过渡 ， 开辟了概率论发展的 新时期． 新时期． 19世纪后期， 19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中 世纪后期 心课题，是概率论的又一次飞跃 ， 为后来数理统计的 心课题 ， 是概率论的又一次飞跃， 产生和应用奠定了基础．契比谢夫（ 产生和应用奠定了基础． 契比谢夫 （Chebyhev，俄， ， 1821-1894）对此做出了重要贡献． 1821-1894）对此做出了重要贡献．他建立了关于独立 随机变量序列的大数定律，推广了棣莫弗—拉普拉斯 随机变量序列的大数定律 ， 推广了棣莫弗 拉普拉斯 的极限定理．契比谢夫的成果后被其学生马尔可夫发 的极限定理 ． 扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程． 扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程． 20世纪概率论发展的进程
1.1.1 随机试验
必然现象的特征
条件完全决定结果
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象 称为随机现象. 随机现象 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币， 实例 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况. 正反两面出现的情况 结果有可能出现正面也可能出现反面 结果有可能出现正面也可能出现反面. 出现正面也可能出现反面
1.1.1 随机试验
概率论中把满足以下特点的试验称为随机试验： 概率论中把满足以下特点的试验称为随机试验： 随机试验 (1) 可以在相同条件下重复进行； 可以在相同条件下重复进行； (2) 每次试验的可能结果不止一个 ， 并且能事 每次试验的可能结果不止一个， 先明确试验的所有可能结果； 先明确试验的所有可能结果； (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现． 出现． 随机试验通常用大写字母E表示． 随机试验通常用大写字母 表示． 表示
1.1.1 随机试验
说明 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 随机试验简称为试验 是一个广泛的术语 它包 括各种各样的科学实验, 括各种各样的科学实验 也包括对客观事物进行 调查” 观察” 测量” 的 “调查”、“观察”或 “测量” 等.
1.1 随机试验与样本空间
1.1.2
样本空间
定义1.1 随机试验的一切可能基本结果组成 定义 的集合称为样本空间 样本空间， 的集合称为样本空间，记为Ω = {ω }，其中ω 表 ， 样本点． 示基本结果，又称为样本点 示基本结果，又称为样本点． 研究随机现象首先要了解它的样本空间． 研究随机现象首先要了解它的样本空间． 【例1.1】下面给出几个随机试验的样本空间． 】下面给出几个随机试验的样本空间． “抛一枚硬币观察哪一面朝上”： 抛一枚硬币观察哪一面朝上”
【概率论简史】 概率论简史】
1933 年 ， 柯 尔 莫 哥 洛 夫 （ Kolmogorov ， 俄 ， 1903-1987） 在他的名著《 概率论基础》 一书中， 1903-1987 ） 在他的名著 《 概率论基础 》 一书中 ， 提 出了概率公理化定义，并得到数学家们的普遍承 认．公理化体系给概率论提供了一个逻辑上的坚实基 使概率论成为一门严格的演绎科学， 础，使概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其 他数学学科同等的地位， 他数学学科同等的地位，并通过集合论与其他数学分 支紧密联系起来． 支紧密联系起来． 在公理化的基础上， 在公理化的基础上，现代概率论不仅在理论上取 得了一系列突破，在应用上也取得了巨大的成就， 得了一系列突破，在应用上也取得了巨大的成就，其 应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、 应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震 预报、工程技术、自动控制、产品的抽样调查、 预报、工程技术、自动控制、产品的抽样调查、经济 研究、金融和管理等领域． 研究、金融和管理等领域．
概率论与数理统计
第1章 概率论基础 章
1.1 随机试验与样本空间 2.2 随机事件及其概率 3.3 古典概型与几何概型 3.4 条件概率与乘法公式 3.5 全概率公式和贝叶斯公式 3.6 独立性 3.7 Excel数据分析功能简介 数据分析功能简介
第1章 概率论基础 章
概率论是从数量化的角度来研究现实世界中一 类不确定现象（ 随机现象） 类不确定现象 （ 随机现象 ） 规律性的一门数学学 世纪以来， 科 ， 20世纪以来 ， 广泛应用于工业 、 国防 、 国民 世纪以来 广泛应用于工业、 国防、 经济及工程技术等各个领域． 经济及工程技术等各个领域 ． 本章介绍随机事件 与概率、 古典概型与几何概型 、 条件概率与乘法 与概率 、 古典概型与几何概型、 公式等概率论中最基本、 公式等概率论中最基本 、 最重要的概念和概率计 算方法． 算方法．
能是晴 , 也可能是多云 能是晴 也可能是多云 或雨. 随机现象的特征 条件不能完全决定结果
1.1.1 随机试验
说明 (1) 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性 其数量关系无法用函数加以描述. 联系 , 其数量关系无法用函数加以描述 (2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量试验或观察中, 然性 但在大量试验或观察中 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象 规律性的一门数学学科. 规律性的一门数学学科 如何来研究随机现象? 如何来研究随机现象 随机现象是通过随机试验来研究的. 随机现象是通过随机试验来研究的 什么是随机试验? 问题 什么是随机试验
【概率论简史】 概率论简史】
1657年惠更斯 （ 1629-1695） 1657 年惠更斯（ Huygens， 荷 ， 1629-1695 ） 发 年惠更斯 ， 表的《论赌博中的计算》是最早的概率论著作， 表的《论赌博中的计算》是最早的概率论著作，论著 中第一批概率论概念（如数学期望）与定理（ 中第一批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率 加法、乘法定理）标志着概率论的诞生． 加法、乘法定理）标志着概率论的诞生． 18世纪初，伯努利（Bernoulli,法,1700-1782）, 1700-1782） 18世纪初，伯努利（ 世纪初 , 棣莫弗（ 1667-1754） 蒲丰（ 棣莫弗（De.Moivre,法,1667-1754）、蒲丰（Buffon, , 17071749法 ,1707-1788 ） 、 拉 普 拉 斯 （ Laplace ， 法 ， 174917771827 ） 、 高 斯 （ Gauss, 德 ,1777-1855 ） 和 泊 松 , 1781-1840） （ Poisson,法 ,1781-1840 ） 等一批数学家对概率论作 , 了奠基性的贡献． 了奠基性的贡献．