数学高一- (北师大)必修一 第二章2.2函数的表示法

2.2 函数的表示法

问题导学

一、求函数的解析式

活动与探究1

(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；

(3)已知f (x )＋2f (－x )＝x ＋1，求f (x )的解析式．

迁移与应用

1．已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )． 2．(1)已知f ⎝⎛⎭⎫

1x ＝2x ，求f (x )； (2)已知2f (x )－f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，求f (x )．

求函数解析式的常见方法：

(1)若已知函数类型，可用待定系数法求解．

(2)若不清楚函数类型，比如已知f [g (x )]的解析式，求f (x )的解析式，可采用配凑法和换元法．配凑法是将f [g (x )]右端的代数式配凑成关于g (x )的形式，进而求出f (x )的解析式；换元法是令g (x )＝t ，然后解出x ，即用t 表示x ，然后代入f [g (x )]中即可求得f (t )，从而求得f (x )．

(3)构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式．

二、作函数的图像

活动与探究2 作出下列函数的图像： (1)y ＝－x ＋1，x ∈Z ； (2)y ＝2x 2－4x －3,0≤x ＜3.

迁移与应用

1．函数y ＝|x |

x

＋x 的图像是( )．

2．画出函数y ＝x 2－2x (x ＞1或x ＜－1)的图像．

一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再化简解析式(有的要表示为分段函数)，再列表、描点画出图像，并在画图像的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点，分段函数的区间端点等．对于常见的一次、二次函数的图像可直接画出来．

三、分段函数及其应用

活动与探究3

已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2，|x |≤1，

1，|x |>1.

(1)求f ⎝⎛⎭⎫

12，f (－2)的值； (2)画出f (x )的图像； (3)求f (x )的定义域和值域．

迁移与应用

1．已知f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1，则f (f (2))＝( )．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 2．画出下列函数的图像，并写出它们的值域： (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧

1x ，0

2x ，x ≥1；

(2)y ＝|x ＋1|＋|x －3|.

(1)分段函数求值时，一定要注意所给自变量的值所在的范围，根据范围选择相应的解析式代入求得．

(2)分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图像也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段．

(3)分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图像法”，其定义域是自变量x 各段取值的并集，值域是各段值域的并集．

当堂检测

1．已知函数f (x )由下表给出：

则f (2)的值为( )．

A ．4

B ．2

C ．0

D ．1 2．f (x )＝|x －2|的图像是( )．

3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧

x －1，x ≥1，

1，x <1，

则f (f (2))＝( )．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

4．已知f (x )满足f (2x －1)＝4x 2，则f (x )的解析式为__________．

5．某商场进了10台电脑，每台售价3 000元，试求售出台数x 与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．

答案： 课前预习导学 【预习导引】

1．列表法 图像法 解析法 (1)表格 (2)图像 (3)自变量的解析表达式 解析法 预习交流1 (1)提示：

(2)提示：它与函数的图像只有一个交点．因为由函数的定义知，一个x 的值只有唯一的y 值与它对应．作与x 轴垂直的直线，如果它与所给的图形最多只有一个交点，那么这个图形就是某个函数的图像．

2．取值区间 解析式

预习交流2 提示：分段函数虽然由几部分组成，但它却只有一个定义域，只是在定义域内不同区间上有不同的解析表达式而已，所以分段函数是一个函数，而不是几个函数．

课堂合作探究 【问题导学】

活动与探究1 思路分析：第(1)题已知f (x )是一次函数，用待定系数法求解；第(2)题用配凑法或换元法求解；第(3)题可用构造方程组求解法．

解：(1)由题意可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，

则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝2，

b ＋5a ＝17.

∴a ＝2，b ＝7. ∴f (x )＝2x ＋7. (2)方法一(配凑法)：

∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 方法二(换元法)：

令x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝(t －1)2(t ≥1)， ∴f (t )＝(t －1)2＋2

(t －1)2＝t 2－1(t ≥1)．

∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．

(3)因为f (x )＋2f (－x )＝x ＋1，以－x 替换x ，得f (－x )＋2f (x )＝－x ＋1，由以上两式可解得f (x )＝－x ＋1

3

.

迁移与应用 1．解：(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 因为f (0)＝1，所以c ＝1. 又因为f (x ＋1)－f (x )＝2x ，

所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x .

所以⎩⎪⎨⎪⎧

2a ＝2，a ＋b ＝0.

从而a ＝1，b ＝－1，

所以f (x )＝x 2－x ＋1.

2．解：(1)设t ＝1x ，则x ＝1

t (t ≠0)，

∴f (t )＝2·1t ＝2t ，故f (x )＝2

x (x ≠0)．

(2)∵2f (x )－f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，以1

x 替换x ，得 2f ⎝⎛⎭⎫1x －f (x )＝1x

， 由以上两式消去f ⎝⎛⎭⎫1x 可得f (x )＝23x ＋13x

(x ≠0)． 活动与探究2 思路分析：根据一次函数和二次函数的图像，结合函数的定义域，作出函数图像．

解：(1)定义域为Z ，所以图像为一群孤立的点．如图(a)．