【人教A版】：3.3.2两点间的距离精品导学案

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2016年秋季学期新人教A版高中必修二3.3.2 两点间的距离导学案

3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离[学习目标] 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.掌握两点间距离公式并会应用.知识点一两条直线的交点坐标 1.两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为0)，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为0).(1)基本知识——点与坐标的一一对应关系(2)两条直线的交点一般地，将两条直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. 2.过定点的直线系方程已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交于点P (x 0，y 0)，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0表示过点P 的直线系，不包括直线l 2.思考若两直线的方程组成的二元一次方程组有解，则两直线是否相交于一点？答不一定.两条直线是否相交，取决于联立两直线方程所得的方程组是否有惟一解.若方程组有无穷多个解，则两直线重合. 知识点二两点间的距离公式 1.两点间的距离平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|2.两点间距离的特殊情况(1)原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |(2)当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. (3)当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.思考当两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都在同一坐标轴上时，两点间距离公式还适用吗？答适用.当两点都在x 轴上时，|AB |＝|x 1－x 2|；当两点都在y 轴上时，|AB |＝|y 1－y 2|.题型一两直线的交点问题例1 求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程.解方法一由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2).∵直线过坐标原点， ∴其斜率k ＝2－2＝－1.故直线方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.方法二 ∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )，即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.反思与感悟过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ2(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0可表示过l 1、l 2交点的所有直线； ②A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0不能表示直线l 2.跟踪训练1 求经过两条直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程.解把直线l 1和直线l 2的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，所以交点P 的坐标是(0,2).由题意知直线l 3的斜率为34，且直线l 与直线l 3垂直，所以直线l 的斜率为－43，所以直线l 的方程为y －2＝－43(x －0)，即4x ＋3y －6＝0.题型二两点间距离公式的应用例2 已知△ABC 三顶点坐标A (－3,1)、B (3，－3)、C (1,7)，试判断△ABC 的形状. 解方法一 ∵|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213， |AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213，又|BC |＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |，∴△ABC 是等腰直角三角形.方法二 ∵k AC ＝7－11－(－3)＝32，k AB ＝－3－13－(－3)＝－23，则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB . 又|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213， |AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213， ∴|AC |＝|AB |.∴△ABC 是等腰直角三角形.反思与感悟 1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.2.在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理. 跟踪训练2 已知点A (3,6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标. 解设点P 的坐标为(x,0)，由|P A |＝10，所以点P 的坐标为(－5,0)或(11,0). 题型三坐标法的应用例3 求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半.证明如图，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，其中D ，E 分别为边AC 和BC 的中点. 设A (0,0)，B (c,0)，C (m ，n )，则|AB |＝|c |.又由中点坐标公式，得D (m 2，n2)，E (c ＋m 2，n 2)，∴|DE |＝⎪⎪⎪⎪c ＋m 2－m 2＝|c 2|，∴|DE |＝12|AB |.即三角形的中位线长度等于底边长度的一半.反思与感悟利用坐标法解决平面几何问题按以下步骤进行：第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量；第二步：进行有关代数运算；第三步：把代数运算关系“翻译”成几何关系.跟踪训练3 已知：等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，对角线为AC 和BD . 求证：|AC |＝|BD |.证明如图所示，建立直角坐标系，设A (0,0)，B (a,0)，C (b ，c )，则点D 的坐标是(a －b ，c ).∴|AC |＝(b －0)2＋(c －0)2＝b 2＋c 2， |BD |＝(a －b －a )2＋(c －0)2＝b 2＋c 2. 故|AC |＝|BD |.数形结合思想例4 已知两点A (2,3)，B (4,1)，直线l ：x ＋2y －2＝0，在直线l 上求一点P ， (1)使|P A |＋|PB |最小； (2)使|P A |－|PB |最大.分析作出几何图形，借助三角形的几何性质可求|P A |＋|PB |取最小值与|P A |－|PB |取最大值时的点P 的坐标.解 (1)如图，可判断A ，B 在直线l 的同侧，设点A 关于l 的对称点A ′的坐标为(x 1，y 1).则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋22＋2·y 1＋32－2＝0，y 1－3x 1－2·⎝⎛⎭⎫－12＝－1，解得⎩⎨⎧x 1＝－25，y 1＝－95.由两点式求得直线A ′B 的方程为y ＝711(x －4)＋1，由平面几何知识可知，当点P 为直线A ′B与直线l 的交点时，|P A |＋|PB |最小，此时|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |＝|A ′B |，若P 不在此点时，|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |＞|A ′B |，即直线A ′B 与l 的交点为P ⎝⎛⎭⎫5625，－325. (2)由两点式求得直线AB 的方程为y －1＝－(x －4)，即x ＋y －5＝0.由平面几何知识可知，当点P 为直线AB 与l 的交点时，|P A |－|PB |最大，此时|P A |－|PB |＝|AB |. 直线AB 与l 的交点为所求点P (8，－3).解后反思本题通过对称问题的转换，将求距离的最值问题转化为共线问题，这是一种常用的解题思路.另外通过图形探求问题也是一种常用方法.利用函数的几何意义求最值例5 已知函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8，求函数的最小值.分析被开方数可以写成两个数的平方和的形式，联想到距离公式的结构特征和几何意义，从而求解.解 y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8＝(x －0)2＋(0－1)2＋(x －2)2＋(0＋2)2，上式表示：在x 轴上的一点P (x,0)到A (0,1)，B (2，－2)两点距离之和，如图，|P A |＋|PB |≥|AB |，当且仅当点P 与P 0重合时，|P A |＋|PB |有最小值，最小值为|AB |＝22＋(－3)2＝13，解得此时直线AB 与x 轴的交点为P 0⎝⎛⎭⎫23，0.所以当x ＝23时，函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8的最小值是13.解后反思因为x 2＋1＝(x －0)2＋(0－1)2表示点P (x,0)到点A (0,1)的距离，x 2－4x ＋8＝(x －2)2＋(0＋2)2表示点P (x,0)到点B (2，－2)的距离，所以函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8的最小值问题就可以转化为几何问题：在x 轴上求一点P (x,0)，使其到A (0,1)，B (2，－2)两点距离之和最小.这类利用几何意义转化问题的技巧在今后的学习中经常用到，注意掌握.1.经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A.2x ＋y －8＝0B.2x －y －8＝0C.2x ＋y ＋8＝0D.2x －y ＋8＝0答案 A解析联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋4＝0，x －y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6.∴交点坐标为(1,6).由垂直关系，得所求直线的斜率为－2，则所求直线方程为y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.2.直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( ) A.1 B.－1 C.2 D.－2 答案 B解析联立⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y ＝10，2x －y ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.∴交点坐标为(4，－2)，代入方程ax ＋2y ＋8＝0，解得a ＝－1.3.两条直线l 1：2x ＋3y －m ＝0与l 2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，那么m 的值为( ) A.－24 B.6C.±6 D.以上答案均不对答案 C解析直线2x ＋3y －m ＝0在y 轴上的截距为m 3，直线x －my ＋12＝0在y 轴上的截距为12m .∵两直线的交点在y 轴上，∴12m ＝m3，解得m ＝±6. 4.直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.32 B.23 C.－32 D.－23 答案 D解析设直线l 与直线y ＝1的交点为A (x 1，1)，与直线x －y －7＝0的交点为B (x 2，y 2).∵M (1，－1)为AB 的中点，∴－1＝1＋y 22，则y 2＝－3.代入直线x －y －7＝0，得x 2＝4，则点B 坐标为(4，－3).∵点B ，M 都在直线l 上，∴k l ＝－3＋14－1＝－23.5.设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |＝________. 答案 2 5解析设A (x,0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)， ∴x 2＝2，y2＝－1， ∴x ＝4，y ＝－2，即A (4,0)，B (0，－2)， ∴|AB |＝42＋22＝2 5.1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有惟一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2).2.解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.3.两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.一、选择题1.直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( ) A.(4,1) B.(1,4)C.⎝⎛⎭⎫43，13 D.⎝⎛⎭⎫13，43 答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝43，y ＝13，即交点坐标是⎝⎛⎭⎫43，132.经过两点A (－2,5)，B (1，－4)的直线l 与x 轴的交点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－13，0 B.(－3,0)C.⎝⎛⎭⎫13，0 D.()3，0 答案 A解析由两点式得过A ，B 两点的直线方程为y ＋45＋4＝x －1－2－1，即3x ＋y ＋1＝0.令y ＝0，得x＝－13.故直线l 与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－13，0 3.过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点，且与第一条直线垂直的直线方程是( ) A.x －3y ＋7＝0 B.x －3y ＋13＝0 C.3x －y ＋7＝0 D.3x －y －5＝0答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －1＝0，x ＋2y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，即交点坐标为(－1,4).因为第一条直线的斜率为－3，所以所求直线的斜率为13.由点斜式，得y －4＝13(x ＋1)，即x －3y ＋13＝0.4.若两条直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点在第二象限，则m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫32，2 B.⎝⎛⎭⎫－23，0C.⎝⎛⎭⎫－32，2 D.(2，＋∞) 答案 C解析解出两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －63＋m 2，6＋4m 3＋m 2.由交点在第二象限，得⎩⎪⎨⎪⎧3m －63＋m 2＜0，6＋4m 3＋m 2＞0.解得m ∈⎝⎛⎭⎫－32，2. 5.设集合A ＝{(x ，y )|4x ＋y ＝6}，B ＝{(x ，y )|3x ＋2y ＝7}，则满足C ⊆(A ∩B )的集合C 的个数是( )A.0B.1C.2D.3 答案 C解析 A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋y ＝6，3x ＋2y ＝7＝{(1,2)}，则集合C 是{(1,2)}的子集.又因为集合{(1,2)}的子集有∅，{(1,2)}，共2个，所以集合C 有2个. 6.以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形答案 B解析 ∵|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32， ∴三角形为等腰三角形.故选B.7.两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( ) A.895 B.175C.135 D.115答案 C解析直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ⎝⎛⎭⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135. 二、填空题8.点P (2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是________. 答案 (－4，－1)解析设对称点的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－5x 0－2·(－1)＝－1，x 0＋22＋y 0＋52＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4，y 0＝－1.所以所求对称点的坐标为(－4，－1).9.若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k ＝_______. 答案－12解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.又因为点(－1，－2)也在直线x ＋ky ＝0上，所以－1－2k ＝0，k ＝－12.10.若动点P 的坐标为(x,1－x )，x ∈R ，则动点P 到原点的最小值是________. 答案22解析由距离公式得x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋12，∴最小值为12＝22. 11.若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则k 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫33，＋∞解析由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33＋62＋3k ，y ＝6k －232＋3k .由于交点在第一象限，故x >0，y >0，解得三、解答题12.已知直线l 的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37，求直线l 的方程. 解设直线l 的方程为y ＝6x ＋b . 令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－b6.所以直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为⎝⎛⎭⎫－b6，0，(0，b ). 这两点间的距离为⎝⎛⎭⎫－b 6－02＋(0－b )2＝3736b 2＝376|b |. 由题意，得376|b |＝37.所以b ＝±6. 所以所求直线l 的方程为y ＝6x ＋6或y ＝6x －6，即6x －y ＋6＝0或6x －y －6＝0.13.为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△AEF 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解如图建立平面直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20).所以线段EF 的方程是x 30＋y20＝1(0≤x ≤30).在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，作PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n ). 又因为m 30＋n20＝1(0≤m ≤30)，所以n ＝20⎝⎛⎭⎫1－m 30，所以S ＝(100－m )⎝⎛⎭⎫80－20＋23m《创新设计》图书＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30). 于是当m ＝5时，S 有最大值.这时|EP ||PF |＝30－55＝51. 故当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且|EP ||PF |＝5时，草坪的面积最大.。

高中数学《3.3.2两点间的距离》学案新人教A版必修

高中数学《3.3.2两点间的距离》学案新人教A版必修3、3、2 两点间的距离学案一、学习目标：探索并掌握两点间的距离公式、初步了解解析法证明，初步了解由特殊到一般，再由一般到特殊的思想与“数”和“形”结合转化思想、二、重点、难点：重点：难点：三、知识要点：1、平面内两点，，则两点间的距离为：、特别地，当所在直线与x轴平行时，；当所在直线与y轴平行时，；当在直线上时，、2、坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系、四、自主探究例题精讲：【例1】在直线上求一点，使它到点的距离为５，并求直线的方程、解：∵ 点在直线上，∴ 可设，根据两点的距离公式得,解得，∴、∴直线PM的方程为，即、【例2】直线2x－y－4=0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值、解：找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点、设, 则，解得，所以线段、【例3】已知AO是△ABC中BC边的中线，证明|AB|＋|AC|=2（|AO|＋|OC|）、解：以O为坐标原点，BC为x轴，BC的中垂线为y轴，建立如图所示坐标系xOy、yxB(-c,0)A(a,b)C(c,0)O设点A(a,b)、B(-c,0)、C(c,0),由两点间距离公式得：|AB|=，|AC|=，|AO|=， |OC|=c、∴ |AB|＋|AC|=， |AO|＋|OC|=、∴ |AB|＋|AC|=2（|AO|＋|OC|）、点评：此解体现了解析法的思路、先建立适当的直角坐标系，将△ABC的顶点用坐标表示出来，再利用解析几何中的“平面内两点间的距离公式”计算四条线段长，即四个距离，从而完成证明、还可以作如下推广：平行四边形的性质：平行四边形中，两条对角线的平方和，等于其四边的平方和、三角形的中线长公式：△ABC的三边长为a、b、c，则边c上的中线长为、【例4】已知函数，设，且，求证<、oxA(1,a)B(1,b)y解：由=，在平面直角坐标系中，取两点，则 , 、△OAB中，，∴ <、故原不等式成立、点评：此证法为数形结合法，由联想到平面内点到原点的距离公式，构造两点与三角形，将要证明的不等式转化为三角形中三边的不等关系、五、目标检测（一）基础达标1、已知，则|AB|等于（）、A、4C、6D、2、已知点且，则a的值为（）、A、1B、－5C、1或－5D、－1或53、点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是，则的长为（）、A、10B、5C、8D、64、已知，点C在x轴上，且AC=BC，则点C的坐标为（）、A、B、C、D、5、已知点，点到M、N的距离相等，则点所满足的方程是（）、B、C、D、6、已知，则BC边上的中线AM的长为、7、已知点P（2，－4）与Q（0，8）关于直线l对称，则直线l的方程为、（二）能力提高8、已知点，判断的类型、9、已知，点为直线上的动点、求的最小值，及取最小值时点的坐标、（三）探究创新10、燕隼（sun）和红隼是同属于隼形目隼科的鸟类、它们的体形大小如鸽，形略似燕，身体的形态特征比较相似、红隼的体形比燕隼略大、通过抽样测量已知燕隼的平均体长约为31厘米，平均翅长约为27厘米；红隼的平均体长约为35厘米，平均翅长约为25厘米、近日在某地发现了两只形似燕隼或红隼的鸟、经测量，知道这两只鸟的体长和翅长分别为A（32、65厘米，25、2厘米），B（33、4厘米，26、9厘米）、你能否设计出一种近似的方法，利用这些数据判断这两只鸟是燕隼还是红隼？。

学案3：3.3.2 两点间的距离

3.3.2两点间的距离自主学习学习目标1．理解并掌握平面上两点之间的距离公式的推导方法．2．能熟练应用两点间的距离公式解决有关问题，进一步体会解析法的思想．自学导引1．若平面上两点P1、P2的坐标分别为P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则P1、P2两点间的距离公式为|P1P2|＝_____________________________________.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离为|OP|＝__________.2．用坐标法(解析法)解题的基本步骤可以概括为：第一步：___________________________________________________________.第二步：____________________________________________________________.第三步：____________________________________________________________.对点讲练知识点一求两点间的距离例1 已知△ABC中，A(－3,1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．点评判断三角形的形状要数形结合，大致明确证明方向，同时既要考察长度特征(等腰、等边)，又要考察角度特征(直角、等角)．变式训练1已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，求证：△ABC是等腰三角形．知识点二坐标法解几何问题例2 用坐标法证明：如果四边形ABCD是长方形，而对任一点M，等式|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2成立．点评(1)坐标法又称为解析法，它就是通过建立平面直角坐标系，用坐标代替点，用方程代替曲线，用代数的方法研究平面图形几何性质的方法．用解析法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．(2)用坐标法解决问题的基本步骤为：①建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量；②进行有关的代数运算；③把代数运算的结果“翻译”成几何关系．变式训练2求证：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．知识点三实际应用题例3 某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水站P使之到A，B两镇的管道最省，问供水站P应建在什么地方？此时|P A|＋|PB|为多少？点评这是一道数学实际应用题，先建立数学模型，转化为数学问题．求路程最小值问题，利用点关于直线的对称来解决，即在直线l上找一点P，使|P A|＋|PB|最小．变式训练3求函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值．课堂小结1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以通过建立适当的坐标系，并设出相关点的坐标，利用两点间的距离公式证明.课时作业一、选择题1．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于()A．0或8 B．0或－8C．0或6 D．0或－62．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．无法确定3．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于()A．5 B．42C．2 5 D．2104．已知点A(1,2)，B(3,1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是()A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5C．x＋2y＝5 D．x－2y＝55．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是() A．(－1,0) B．(1,0)C.⎝⎛⎭⎫225，0D.⎝⎛⎭⎫0，225 二、填空题 6．已知A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，当|AB |取最小值时，实数a 的值是________．7．已知点A (2，－1)，B (7，2)，若y 轴上有一点P 满足|P A |＝|PB |，则点P 的坐标为________．8．光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射以后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离是________．三、解答题9．已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A (1，－1)，过点A 作直线l 1与直线l 相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 1的方程．10．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．参考答案自学导引1.(x2－x1)2＋(y2－y1)2x2＋y22．建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量进行有关代数运算把代数运算的结果“翻译”成几何关系对点讲练例1【解】方法一∵|AB|＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52，|AC|＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52.又|BC|＝(1－3)2＋(7＋3)2＝104，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形．方法二∵k AC＝7－11－(－3)＝32，k AB＝－3－13－(－3)＝－23，则k AC·k AB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52，|AB|＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52，∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．变式训练1【证明】∵|AB|＝(4－2)2＋(3－1)2＝8，|AC|＝(0－2)2＋(5－1)2＝20，|BC|＝(5－3)2＋(0－4)2＝20，∴|AC|＝|BC|.又∵A、B、C三点不共线，∴△ABC是等腰三角形．例2【证明】取长方形ABCD的两条边AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设长方形ABCD的四个顶点为A(0，0)，B(a,0)，C(a，b)，D(0，b)，在平面上任取一点M(m，n)，则|AM|2＋|CM|2＝m2＋n2＋(m－a)2＋(n－b)2，|BM|2＋|DM|2＝(m－a)2＋n2＋m2＋(n－b)2，所以|AM |2＋|CM |2＝|BM |2＋|DM |2.变式训练2 【证明】如图所示，取Rt △ABC 的直角边BA 、BC 所在直线分别为x 轴，y 轴，以B 为原点建立平面直角坐标系．则三个顶点的坐标分别为A (a ,0)，B (0,0)，C (0，b )，由中点坐标公式得斜边AC 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，b 2，∴|MA |＝ ⎝⎛⎭⎫a －a 22＋⎝⎛⎭⎫0－b 22＝12a 2＋b 2， |MB |＝ ⎝⎛⎭⎫0－a 22＋⎝⎛⎭⎫0－b 22＝12a 2＋b 2， |MC |＝ ⎝⎛⎭⎫0－a 22＋⎝⎛⎭⎫b －b 22＝12a 2＋b 2， ∴|MA |＝|MB |＝|MC |.即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．例3 【解】如图所示，过A 作直线l 的对称点A ′，连接A′B 交l 于P ，因为若P ′(异于P )在直线l 上，则|AP ′|＋|BP ′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B |.因此，供水站只能在P 点处，才能取得最小值．设A ′(a ，b )，则AA ′的中点在l 上，且AA ′⊥l ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋12＋2×b ＋22－10＝0b －2a －1·⎝⎛⎭⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝6，即A ′(3,6)．所以直线A′B 的方程为6x ＋y －24＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋y －24＝0x ＋2y －10＝0，得⎩⎨⎧ x ＝3811y ＝3611，所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫3811，3611.故供水站应建在点P ⎝⎛⎭⎫3811，3611处．此时|P A |＋|PB |＝|A′B | ＝(3－4)2＋(6－0)2＝37.变式训练3 【解】原式可化为y ＝(x －4)2＋(0－2)2＋(x －0)2＋(0－1)2.考虑两点间的距离公式，如图所示，令A (4,2)，B (0,1)，P (x ,0)，则上述问题可转化为：在x 轴上求一点P (x ,0)，使得|P A |＋|PB |最小．作点A (4,2)关于x 轴的对称点A ′(4，－2)，由图可直观得出|P A |＋|PB |＝|P A′|＋|PB |≥|A′B |，故|P A |＋|PB |的最小值为A′B 的长度．由两点间的距离公式可得|A′B |＝42＋(－2－1)2＝5，所以函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值为5.课时作业1．A 2.B 3.C 4.B 5.B 6.12 7.(0,1) 8．5109．【解】由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)．由|AB |2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5.当x 0＝1时，AB 方程为x ＝1，当x 0＝5时，AB 方程为3x ＋4y ＋1＝0.综上，所求的直线方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.10．【证明】如图所示，D ，E 分别为边AC 和BC 的中点，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．设A (0,0)，B (c ,0)，C (m ，n )，则|AB |＝c ，又由中点坐标公式，可得D ⎝⎛⎭⎫m 2，n 2，E ⎝⎛⎭⎫c ＋m 2，n 2，所以|DE |＝c ＋m 2－m 2＝c 2，所以|DE |＝12|AB |. 即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．。

3.3.2两点间的距离学案

课题3.3.2 两点间的距离
一、学习目标
1. 掌握平面内两点间的距离公式及应用.
2. 了解坐标法的解题步骤.
二、教学重难点
教学重点：两点间的距离公式.
教学难点：两点间的距离公式的应用.
四、巩固诊断A组
1．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则|AC|
|CB|
的值为( )
A.1
3
B.
1
2
C．3 D．2
2．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
B组
3．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是________．
4．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为______________．
C组
5.用坐标法证明:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.。

2019高中数学必修2教案高中数学 (3.3.2 两点间的距离)示范教案新人教A版必修2

3.3.2 两点间的距离整体设计教学分析距离概念，在日常生活中经常遇到，学生在初中平面几何中已经学习了两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离的概念,到高一立体几何中又学习了异面直线距离、点到平面的距离、两个平面间的距离等.其基础是两点间的距离，许多距离的计算都转化为两点间的距离.在平面直角坐标系中任意两点间的距离是解析几何重要的基本概念和公式.到复平面内又出现两点间距离，它为以后学习圆锥曲线、动点到定点的距离、动点到定直线的距离打下基础，为探求圆锥曲线方程打下基础.解析几何是通过代数运算来研究几何图形的形状、大小和位置关系的，因此，在学习解析几何时应充分利用“数形”结合的数学思想和方法.在此之前，学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标，学习本节的目的是让学生知道平面坐标系内任意两点距离的求法公式，以及用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生体会到建立适当坐标系对于解决问题的重要性.课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生主动地发现问题、解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则.根据这样的原则及所要完成的教学目标，下的教学方法：主要是引导发现法、探索讨论法、讲练结合法.三维目标1.使学生掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性.2.能灵活运用此公式解决一些简单问题；使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题，培养学生勇于探索，善于发现，独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质.重点难点教学重点：①平面内两点间的距离公式.②如何建立适当的直角坐标系.教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?思路2.(1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|. 推进新课新知探究提出问题①如果A 、B 是x 轴上两点，C 、D 是y 轴上两点，它们坐标分别是x A 、x B 、y C 、y D ，那么|AB|、|CD|怎样求?②求点B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)，如何求P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的距离|P 1P 2|. ④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).讨论结果：①|AB|=|x B -x A |,|CD|=|y C -y D |.②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B 到原点的距离是5.③图1在直角坐标系中，已知两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，如图1,从P 1、P 2分别向x 轴和y 轴作垂线P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2，垂足分别为M 1(x 1，0)、N 1(0，y 1)、M 2(x 2，0)、N 2(0，y 2)，其中直线P 1N 1和P 2M 2相交于点Q.在Rt△P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2+|QP 2|2.因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2-x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2-y 1|，所以|P 1P 2|2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1|2.由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-.④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离.(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形.(c)猜想了任意两点间距离公式.(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!应用示例例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2解:设B(x ，3)，根据|AB|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A 点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.。

高二数学3-3-2两点间的距离学案新人教A版必修3

ABCD为
学习建议：建立独立思考后，谈谈你的解题思路，想一下，为什么会出现多余的解？探究点二利用坐标法解决几何问题（难点）【例 2】已知△ ABC是直角三角形，斜边 BC 的中点为 M，建立适当的直角坐标系，证明：
1 AM= BC 。
2
思考 1：如何建立直角坐标系使得各点的坐标表示比较简单？思考 2：线段 AM、 BC的长度各是多少？
A. （1， 5）
B.
（－ 1，－ 1）
C. （ 1 ， 2）
D.
（ 1， 2）
2
3. 已知点 A（ m ， 0）， B（ 1， 2 m ），则∣ AB∣ =
我的疑惑请将预习中不能解决的问题写下来，供课堂
。解决。
探究案
Ⅰ. 学始于疑——我思考，我收获 1. 几种特殊位置的两点距离公式符合一般的距离公式吗？ 2. 怎样建立平面直角标系证明平面几何问题？学习建议：用 3 分钟时间认真思考这个问题，并结合预习中自己的疑惑开始下面的探究
1. 数轴上两点间的距离公式是怎样的？ 2. 已知两点坐标，如何求直线的斜率？ 3. 两条直线平行的条件是什么？ 4. 两条直线垂直的条件是什么？ Ⅱ. 教材助读 1. 阅读课本 3.3.2 ～例 3 的内容，思考并完成下列问题：
（ 1）设 P1（ x1, y1 ），P2（ x2, y2 ），观察课本上的图 3.3-2 知，在 Rt △ P1 QP2 中，∣ P1 Q
线上，又 P 点在 x 轴上”。
若按上面的思路，例 3 该怎样解答？
2. 阅读课本例 4∽思考的内容，并回答下列问题：
（ 1）在课本上的例 4 中是怎样建立直角坐标系的？
（ 2）建系后，为什么设出 B， D两点的坐标后不再设 C 点的坐标？

数学必修Ⅱ人教A版3.3.2《两点间的距离》精品教案

课题:两点间距离课型：新授课教学目标：知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，会用坐标法证明简单的几何问题。

过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。

情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题教学重点：两点间距离公式的推导教学难点：应用两点间距离公式证明几何问题。

教学过程：一、情境设置，导入新课课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题平面直角坐标系中两点间距离公式：()()22122221PP x x y y =-+-。

分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，，直线12PN N 12与P 相交于点Q 。

在直角ABC 中，2221212PP PQ QP =+，为了计算其长度，过点1P 向x 轴作垂线，垂足为 ()110M x ，过点向y 轴作垂线，垂足为()220N y ，，于是有 2222221212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-，所以，2221212PP PQ QP =+=222121x x y y -+-。

由此得到两点间的距离公式()()22122221PP x x y y =-+-在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。

二、例题分析例1．以知点A （-1，2），B （27 ），在x 轴上求一点，使 PA PB =,并求 PA 的值。

解：设所求点P （x ，0），于是有()()()()2222102207x x ++-=-+-由 PA PB =得 2225411x x x x ++=-+解得 x=1。

所以，所求点P （1，0）且 ()()22110222PA =++-=通过例题，使学生对两点间距离公式理解。

应用。

设问：本题能否有其它解法同步练习：书本106页第1，2 题例2 .证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

.3.3.2两点间距离教案新人教A版必修2

课题:2.3.3.2两点间距离课型：新授课教学目标：知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，会用坐标法证明简单的几何问题。

过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。

情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题教学重点：两点间距离公式的推导教学难点：应用两点间距离公式证明几何问题。

教学过程：一、情境设置，导入新课课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题平面直角坐标系中两点间距离公式：12PP =分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，，直线12P N N 12与P 相交于点Q 。

由此得到两点间的距离公式12PP =在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。

二、例题分析例1．以知点A （-1，2），B （2 ），在x 轴上求一点，使 PA PB =,并求 PA 的值。

解：设所求点P （x ，0），于是有=由 PA PB =得 2225411x x x x ++=-+解得 x=1。

所以，所求点P （1，0）且 PA ==通过例题，使学生对两点间距离公式理解。

应用。

设问：本题能否有其它解法同步练习：书本106页第1，2 题例2 .证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。

这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。

高中数学 3.3.2两点间的距离学案新人教A版必修2

§3.3.2两点间的距离【教学目标】1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.3．体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题.【重点难点】教学重点：①平面内两点间的距离公式.②如何建立适当的直角坐标系.教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.【教学过程】一、导入新课、展示目标问题已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?二、检查预习、交流展示核对课前预习中的答案。

1、（1，0）；2、1并说出自己的疑惑处。

三、合作探究、精讲精练探究一平面内两点间的距离公式问题 (1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.教师①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?②求点B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).学生回答①|AB|=|x B-x A|,|CD|=|y C-y D|.②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5.③图1在直角坐标系中，已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，如图1,从P1、P2分别向x轴和y轴作垂线P1M1、P1N1和P2M2、P2N2，垂足分别为M1(x1，0)、N1(0，y1)、M2(x2，0)、N2(0，y2)，其中直线P1N1和P2M2相交于点Q.在Rt△P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2+|QP 2|2.因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2-x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2-y 1|，所以|P 1P 2|2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1|2.由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-教师 ④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离.(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形. (c)猜想了任意两点间距离公式.(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!应用示例例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2解:设B(x ，3)，根据|AB|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A 点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.变式训练1课本106页练习第一题例2 已知点A(-1，2)，B(2，7)，在x 轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 解:设所求点P(x ，0)，于是有2222)70()2()20()1(-+-=-++x x .由|PA|=|PB|,得x 2+2x+5=x 2-4x+11,解得x=1.即所求点为P(1，0),且|PA|=22)20()11(-++=22.点评：引导学生熟练设点及应用距离公式。

高中数学 3.3.2两点间的距离精品教案新人教A版必修2

3.3.2 两点间的距离（一）教学目标1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。

2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。

；3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。

（二）教学重点、难点重点，两点间距离公式的推导；难点，应用两点间距离公式证明几何问题。

（三）教学方法备选例题例1 已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标【解析】设点P的坐标为 (x，0)，由|PA| = 10，得：10= 解得：x = 11或x = –5.所以点P 的坐标为(–5，0)或(11，0).例2 在直线l ：3x – y – 1 = 0上求一点P ，使得：（1）P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大；（2）P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小.【解析】（1）如图，B 关于l 的对称点B ′(3，3). AB ′：2x + y – 9 = 0 由290310x y x y +-=⎧⎨--=⎩ 解25x y =⎧⎨=⎩得P (2，5).（2）C 关于l 对称点324(,)55C '由图象可知：|PA | + |PC |≥|AC ′|当P 是AC ′与l 的交点1126(,)77P 时“=”成立，∴1126(,)77P .例3 如图，一束光线经过P (2，1)射到直线l ：x + y + 1 = 0，反射后穿过点Q (0，2)求：（1）入射光线所在直线的方程；（2）沿这条光线从P 到Q 的长度.【解析】（1）设点Q ′(a ，b )是Q 关于直线l 的对称点因为QQ ′⊥l ，k 1 = –1，所以21,10QQ b k a '-==-又因为Q ′Q 的中点在直线l 上，所以021022a b ++++= 所以21021022b a a b -⎧=⎪⎪-⎨+⎪++=⎪⎩得31a b =-⎧⎨=-⎩，所以Q ′(–3，–1)因为Q ′在入射光线所在直线l 1上，设其斜率为k ，所以1(1)22(3)5k --==--l 1：21(2)5y x -=-即2x – 5y + 1 = 0（2）设PQ ′与l 的交点M ，由（1）知|QM | = |Q ′M | 所以|PM | + |MQ | = |PM | + |MQ ′| = |PQ ′所以沿这光线从P 到Q入射光所在直线方程为2x – 5y+ 1 = 0.。

高中数学(3.3.2两点间的距离)示范教案新人教A版必修2

两点间的距离整体设计教课剖析距离观点，在平时生活中常常碰到，学生在初中平面几何中已经学习了两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离的观点, 到高一立体几何中又学习了异面直线距离、点到平面的距离、两个平面间的距离等. 其基础是两点间的距离，很多距离的计算都转变为两点间的距离. 在平面直角坐标系中随意两点间的距离是分析几何重要的基本观点和公式.到复平面内又出现两点间距离，它为此后学习圆锥曲线、动点到定点的距离、动点到定直线的距离打下基础，为研究圆锥曲线方程打下基础.分析几何是经过代数运算来研究几何图形的形状、大小和地点关系的，所以，在学习解析几何时应充足利用“数形”联合的数学思想和方法.在此以前，学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标，学习本节的目的是让学生知道平面坐标系内随意两点距离的求法公式，以及用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生领会到成立适合坐标系关于解决问题的重要性.讲堂教课应有益于学生的数学素质的形成与发展，即在讲堂教课过程中，创建问题的情境，激发学生主动地发现问题、解决问题，充足调换学生学习的主动性、踊跃性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思想质量，这是本节课的教课原则. 依据这样的原则及所要达成的教课目的，下的教课方法：主假如指引发现法、研究议论法、讲练联合法.三维目标1. 使学生掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；经过详细的例子来领会坐标法关于证明简单的平面几何问题的重要性.2. 能灵巧运用此公式解决一些简单问题；使学生掌握如何成立适合的直角坐标系来解决相应问题，培育学生勇于研究，擅长发现，独立思虑的能力以及不停超越自我的创新质量.要点难点教课要点：①平面内两点间的距离公式.②如何成立适合的直角坐标系.教课难点：如何依据详细状况成立适合的直角坐标系来解决问题.课时安排1 课时教课过程导入新课思路 1. 已知平面上的两点P1(x 1,y 1),P 2(x 2 ,y 2) ，如何求P1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2) 的距离 |P 1P2|?思路 2. (1) 假如 A、B 是 x 轴上两点， C、D 是 y 轴上两点，它们的坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么 |AB| 、|CD| 如何求 ?(2) 求 B(3 ， 4) 到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.推动新课新知研究提出问题①假如 A、B 是 x 轴上两点， C、D 是 y 轴上两点，它们坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么 |AB| 、|CD| 如何求 ?②求点 B(3 ， 4) 到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2) ，如何求P1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2) 的距离 |P 1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家回想一下我们如何知道的( 回想过程 ).议论结果：① |AB|=|x B-x A|,|CD|=|y C-y D|.word②经过画简图，发现一个Rt △BMO，应用勾股定理获得点 B 到原点的距离是 5.③图 1在直角坐标系中，已知两点P1(x 1,y 1) 、P2(x 2,y 2) ，如图 1, 从 P1、P2分别向 x 轴和 y 轴作垂线 P1M1、 P1N1和 P2M2、 P2N2，垂足分别为M1(x 1， 0) 、 N1(0 ， y1) 、 M2(x 2，0) 、 N2(0 ， y2) ，其中直线 P1N1和 P2M2订交于点Q.在 Rt△ P1QP2中， |P 1P2| 2=|P 1Q|2+|QP2| 2.由于 |P Q|=|M M|=|x-x |,|QP2|=|N N |=|y2-y | ，11221121所以 |P 1P2| 2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1| 2.由此获得两点P1(x 1,y 1) 、 P2(x2,y 2) 的距离公式： |P 1P2|= ( x2x1)2( y2 y1 ) 2.④(a) 我们先计算在x 轴和 y 轴两点间的距离 .(b)又问了 B(3,4) 到原点的距离，发现了直角三角形.(c)猜想了随意两点间距离公式 .(d)最后求平面上随意两点间的距离公式.这类由特别到一般，由特别猜想随意的思想方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理常常应用的方法. 同学们在做数学题时能够采纳!应用示例例 1 如图 2，有一线段的长度是 13，它的一个端点是 A(-4 ，8) ，另一个端点 B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标 .图 2解: 设 B(x ， 3) ，依据 |AB|=13 ，即(x+4) 2+(3-8) 2=132，解得 x=8 或 x=-16.评论：学生先找点，有可能找不全，扔掉点，而用代数解比较全面. 也能够引至到A(-4 ， 8)点距离等于 13 的点的轨迹 ( 或会合 ) 是以 A 点为圆心、 13 为半径的圆上与 y=3 的交点，应交出两个点 .例 2已知点A(-1，2)，B(2，7 )，在x轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.解: 设所求点P(x ， 0) ，于是有(x 1) 2(0 2)2( x 2) 2(07 )2.由|PA|=|PB|, 得 x2+2x+5=x2-4x+11, 解得 x=1.即所求点为 P(1 ， 0), 且 |PA|= (1 1)2(0 2)2=2 2.word知能训练课本本节练习 .拓展提高已知 0＜ x＜ 1,0 ＜ y＜ 1, 求使不等式x2y2x 2(1 y)2(1 x)2y 2(1 x)2(1 y) 2≥22中的等号成立的条件.答案： x=y= 1 . 2讲堂小结经过本节学习，要求大家:①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；②能灵巧运用此公式解决一些简单问题；③掌握如何成立适合的直角坐标系来解决相应问题.作业课本习题 3.3 A组6、7、8；B组 6.设计感想经过本节课的教课，教师应指引学生学会思虑、试试、猜想、证明、概括. 这样更有益于学生掌握知识. 为了加深知识理解、掌握和运用所学知识去主动地发现问题、解决问题，进而更系统地掌握所学知识，形成新的认知构造和知识网络，让学生真实地领会到在问题的解决中学习，在沟通中学习. 本节课办理过程力争达到解决以下问题：知识是如何产生的？又如何从实质问题抽象成为数学识题，并给予抽象的数学符号和表达式？如何反应生活中客观事物之间简单的和睦关系？特色：以知识为载体，思想为主线，能力为目标的设计原则，突出多媒体这一教课技术手段在本节课协助知识产生、发展和打破重难点的优势.word。

高中数学人教A版必修2《3.3.2两点间的距离》教学案1

必修二 3.3.2两点间的距离教案一、教学目标1、知识与技能：（1）能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；（2）掌握直角坐标系两点间的距离公式，会用坐标法证明简单的几何问题。

2、过程和方法：（1）学习两直线交点坐标的求法，判断两直线位置的方法，归纳过定点的直线系方程；（2）推导两点间距离公式，充分体会数形结合的优越性。

3、情感态度与价值观：通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系，能用代数方法解决几何问题。

二、教学重点、难点重点：判断两直线是否相交，求交点坐标；两点间距离公式的推导。

难点：两直线相交与二元一次方程的关系，应用两点间距离公式解决几何问题。

三、教学方法：启发引导式在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的的相互关系。

引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。

由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。

四、教学过程：（一）两条直线的交点坐标1、设置情境，导入新课问题1：已知两条直线l1：3x + 4y– 12 = 0，l2：2x + y + 2 = 0相交，求这两条直线的交点坐标。

问题2：已知两条直线l1：A1x + B1y + C1 = 0，l2：A2 x + B2y + C2 = 0相交，如何求这两条直线的交点的坐标？2、讲授新课几何元素中，点A可用坐标A (a , b) 表示，直线l可用方程Ax + By + C = 0表示，因此，求两条直线的交点坐标，可联立方程组求解（代数方法）。

结论：（1）若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；（2）若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；（3）若方程组有无数解，则两条直线重合。

练习：课本P104，练习1。

3、探究：当λ变化时，方程3x + 4y– 2 + λ(2x + y + 2) = 0表示什么图形？图形有何特点？演示：借助几何画板作出方程所表示的图形，改变的值。

3.3.2两点间的距离优秀教案

3.3直线的交点坐标与距离公式【课题】：3.3.2两点间的距离公式【教学目标】：（（1）知识与技能：掌握平面坐标系上任意两点的距离公式及应用；（2）过程与方法：理解化归是数学解题的重要手段，体会坐标法的基本思想。

（3）情感态度与价值观：形与数的联系和转化,体现事物间的联系.【教学重点】：平面内任意两点间的距离公式的推导及应用。

【教学难点】：公式的推导和灵活应用有。

【教法、学法设计】：问题、探究、发展教学，讲授、练习相结合。

【课前准备】：课件++，判断sx y2414【练习与测试】：1．求两点12(3,5),(1,2)P P -间的距离； 2．在X 轴上有和原点及点（5，-3）等距离的点，求此点的坐标； 3．已知A(5,-8),B(-3,6) 延长AB 至点P 点使|PB|=21|AB|,求P 点坐标； 4．如果点A(x,4)与点B(0,-2)的距离是10个单位，求A 的位置； 5．求证以A(-6,8)、B(6,-8)、C(8,6)为顶点的三角形是等腰三角形； 6．已知点P 到两条坐标轴及点（3，6）距离相等，求点P 的坐标；7．若)1,1(),3,2(B A --，点)2,(a P 是AB 的垂直平分线上一点，则=a ___________； 8．在平行四边形ABCD 中，顶点A 、B 、C 的坐标各为（-1，-1），（5，-1），（3，5）。

求顶点D 的坐标；9．已知,x y 满足221x y +=10．已知01,01x y <<<<，求证：,xy≥，并求使等式成立的条件. 参考答案： 1．5，2．17,05⎛⎫⎪⎝⎭， 3．解：设P （x,y ），利用P 在直线AB 上得x,y 的一个式子，再利用|PB|=21|AB|得x,y 的另一个式子，联解即可得713x y =-⎧⎨=⎩，即P （-7，13）。

410=，解得8x =±，故(8,4)A ±。

5．解：运用两点间的距离公式有BC AC ==A ，B ，C 不共线，故ABC∆是等腰三角形。

福建省泉州十五中2014高中数学 3.3.2 两点间的距离导学案新人教A版必修2

福建省泉州十五中2014高中数学 3.3.2 两点间的距离导学案新人教A 版必修2【学习目标】1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题.【学习流程】自主学习阅读教材第104至第106页填空：问题1：已知数轴上两点,A B ，怎么求,A B 的距离？问题2：怎么求坐标平面上,A B 两点的距离？新知：1. 平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 之间的距离公式为21P P =__________________ ,特别地，O(0,0)与),(y x P 的距离OP =_____________.2 线段的中点坐标公式对于平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，线段12PP 的中点是00(,)M x y 则中点坐标公式为初步运用（1）求下列两点间的距离：①)0,2(),0,6(-B A ②)1,0(),4,0(--D C③)2,0(),0,6(-Q P ④)1,5(),1,2(-N M合作探究1 已知点(8,10),(4,4)A B -求线段AB 的长及中点坐标.2 .已知点(4,12)A ，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于13，求点P 的坐标.3 证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等.4 若直线013:=--y x l 及点)1,4(A ,)4,0(B ，)0,2(C .（1）试在l 上求一点P ，使|AP|+|CP|最小；（2）试在l 上求一点Q ，使BQ AQ -最大.【总结提升】1.平面上两点间距离公式；2.坐标法的步骤：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；②进行有关的代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系.3 用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤：4 用代数方法解决几何问题.。

高中数学3.3.2两点间的距离导学案导学案新人教A必修2

浙江省温州市苍南县巨人中学高中数学 3.3.2 两点间的距离导学案
导学案新人教A 版必修2
学习方针：两点间距离公式及其运用。

一、导案：
探究1：(1)求B(3，4)到原点的距离是多少?
(2)在平面直角坐标系中，任意两点B(2,2x y )和A(1,1x y )间的距离是多少?
两点间的距离公式：
设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的任意两个点，则AB =
例3、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
三、当堂检测：
1、已知点(,5)(0,10)17,?A a B a -与间的距离是则值为多少
2、求在x 轴上与点(5,12)A 的距离为13的点的坐标。

3、已知(1,2)3450A B C ABC ∆点，（
，），（，），求证：是等腰三角形。

四、课后作业：
1、(0,4)(0,1)A B --与间的距离为 .
2、已知点(,2),(2,3),(1,1),||||P a Q M PQ PM --=且，求a 的值
3、已知A(1,2),B(5,2)若10=PA ，2=
PB ，求点P 的坐标
4、已知两点(2,5),(3,7)A B ,求||AB 的值,并在y 轴上求一点p ,使PB PA + 的值最
小。

【人教A版】：3.3.2两点间的距离 精品导学案

2016年秋季学期新人教A版高中必修二3.3.2 两点间的距离导学案

高中数学《3.3.2两点间的距离》学案 新人教A版必修