圆锥曲线知识点小结

圆锥曲线知识点小结

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件

定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中，是椭圆的是( )

A ．4

21=+PF PF B ．6

21=+PF PF C ．10

21=+PF PF D ．122221=+PF PF

（2）8=表示的曲线是_____

（3）利用第二定义 已知点)0,22(Q 及抛物线4

2

x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是___ 2.圆锥曲线的标准方程

（1）已知方程1232

2=-++k

y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是___，22y x +的最小值是

（3）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14

922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______

（4）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=

e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______

3.圆锥曲线焦点位置的判断： 椭圆：已知方程1212

2=-+-m

y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) 4.圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆若椭圆1522=+m

y x 的离心率510=e ，则m 的值是__

（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长

轴的最小值为__

（3）双曲线的渐近线方程是023=±y x ，则该双曲线的离心率等于______

（4）双曲线221ax by -=:a b =

（5）设双曲线122

22=-b

y a x （a>0,b>0）中，离心率e ∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________

(6)设R a a ∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为________

5、点00(,)P x y 和椭圆122

22=+b

y a x （0a b >>）的关系： 6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）若直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围

是_______

（2）直线y―kx―1=0与椭圆22

15x y m

+=恒有公共点，则m 的取值范围是______ （3）过双曲线12

12

2=-y x 的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若│AB ︱＝4，则这样的直线有_____条.

（4）过双曲线22

22b

y a x -＝1外一点00(,)P x y 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：

（5）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一

条平行于对称轴的直线。

（6）过点)4,2(作直线与抛物线x y 82=只有一个公共点，这样的直线有__

（7）过点(0,2)与双曲线116

92

2=-y x 有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围为______

（8）过双曲线122

2

=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若=AB 4，则满足条件的直线l 有____条

（9）对于抛物线C ：x y 42=，我们称满足0204x y <的点),(00y x M 在抛物线的内

部，若点),(00y x M 在抛物线的内部，则直线l ：)(200x x y y +=与抛物线C 的位置关系

是_______

（10）过抛物线x y 42=的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ

的长分别是p 、q ，则=+q

p 11_______ （11）设双曲线19

162

2=-y x 的右焦点为F ，右准线为l ，设某直线m 交其左支、右支和右准线分别于R Q P ,,，则PFR ∠和QFR ∠的大小关系为___________(填大于、

小于或等于)

（12）求椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x 的最短距离

（13）直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 两点。

①当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？

②当a 为何值时，以AB 为直径的圆过坐标原点？

7、焦半径

（1）已知椭圆116

252

2=+y x 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为____

（2）已知抛物线方程为x y 82=，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物

线的焦点的距离等于____；

（3）若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为__

（4）点P 在椭圆19

252

2=+y x 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为____

（5）抛物线x y 22=上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y 轴

的距离为______

（6）椭圆13

42

2=+y x 内有一点)1,1(-P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使MF MP 2+ 之值最小，则点M 的坐标为____

8、焦点三角形

（1）短轴长为5，离心率3

2=e 的椭圆的两焦点为1F 、2F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为________

（2）设P 是等轴双曲线)0(222>=-a a y x 右支上一点，F 1、F 2是左右焦点，若

0212=⋅F F PF ，|PF 1|=6，则该双曲线的方程为

（3）椭圆22194

x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上的动点，当PF 2→ ·PF 1→ <0时，点P 的横坐标的取值范围是

（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝2

6，F 1、F 2是它的左右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且AB 是2AF 与2BF 等差中项，则AB ＝_______

（5）已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且

6021=∠PF F ，31221=∆F PF S ．求该双曲线的标准方程

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：

10、弦长公式：

（1）过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若

x 1+x 2=6，那么|AB|等于_______

（2）过抛物线x y 22=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐

标原点，则ΔABC 重心的横坐标为_______

11、圆锥曲线的中点弦问题：

（1）如果椭圆22

1369

x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是