清华激光原理第三讲(3月10日)

第二章 开放式光腔与高斯光束
§2.1 光腔理论的一般问题
一、光学谐振腔
闭腔
稳定腔
开腔非稳稳
临界腔
气体波导体
三、光腔的损耗
I1
I 0e 2
,
1 ln I0 ' I0 I1
2 I1
2I0
r
1 2
ln
r1r2
d
1 N
二、相长干涉条件：
q 2
L
q
q
2
q
c
2L
q为整数
Q
0 1 2
L x, y L, cos 1 1 cos 2 L
k 2
简化得到
V x, y i
V x, y eik x, y,x, yds
L
注意：指数上的(x,y,x’,y’)不能做这样的简化？
V x, y Kx, y, x, yV x, yds
（2.3.10）
本征函数
本征值
为与坐标无关的复常数，表示自再现模
在渡越一次时的幅度衰减和相位滞后。
u j x, y
ik
4
s
u
j
x,
y
e ik
1 cos ds
u j1x, y
ik
4
s
u j1
x, y
e ik
1 cos ds
V x, y K x, y, x', y'V x, yds
s
K x, y, x', y'
－量度自再现模的单程损耗, 不同横模有不同的 和d ， 模的单程损耗
3. 单程相移 mn －自再现模在腔内渡越一次的总相移
e i
δΦ argu j1 argu j
1
u j1 u j
arg
1
u
j
arg
u
j
arg 1
argu j
argu j
arg 1
几何相移
δΦ kL 2L
2
g1g2 0
即 1 A D 1
2
或
g1g2 1
即1 A D1
2
（1）、对称共焦腔：满足R1=R2=L，此时g1=g2=0；
Tn
1n
0
0
1n
往返两次自行闭合 稳定腔
M1
M2
（2）、 平行平面腔 ( R1=R2= ,g1=g2=1)
Tn
1 0
2 L1 n
rn r0 2Ln0 n 0
0 0 0 0
理想开腔模型：两块反射镜片（平面或曲面）沉浸在均匀、无 限、各向同性的介质中。
不考虑几何偏折损耗情况下（稳定），由于反射镜的有限大小 导致的衍射损耗将决定开腔中激光震荡能量的空间分布。
I
L
II
u为反射镜上的场分布
u1, u3, u5,
2a u2 , u4 , u6 ,
us us1 u
在反射镜边缘处由于衍射发生损耗，进而改变us+1的分布
1、稳定腔——傍轴光线在腔内任意多次往返不会横向逸出腔外
1 1 A D1
2
对简单共轴球面腔和复杂腔 可选择不同适用公式
或
0 g1g2 1
其中
L
L
g1 1 R1 , g2 1 R2
2、非稳腔——傍轴光线在腔内有限次往返必然从侧面溢出腔外
g1g2 1
即1 A D1
2
3、临界腔
或
g1g2 0
即 1 A D 1
x
x'
2
y
y'
2
1
L L
1
1
x
x'
2
1
y
y'
2
1
x
x'
4
1
y
y'
4
L
2 1 x
L x'
2
y
2
y'
L 2
8 L
8 L
4 L L
if kL a 4 k 2
L
and b2 L L b2
a2 L L a2
菲涅耳数N
e e e e ik
ik
rn 不稳定 rn r0 稳定
（3）、 共心腔 ( R1+R2= L)
R1
R2
M1
M2
类似于平行平面腔，通过公共中心的光线稳定
不通过公共中心的光线不稳定
• 1 A D 1 稳定腔；1 A D 1 非稳腔； 1 A D 1 临界腔
2
2
2
适用任何形式的腔,只需列出往返矩阵就能判断其稳定性
0 1 2
0 1 2
,
Q
E P
R
2
nL
c
F
1
2
1
R=0.7
0.9
R=0.8
0.8
R=0.9
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
腔的频率选择能力
R
L'
c
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
一、光线传输矩阵：
r11
A C
B D
r00
1 TL 0
3、当光纤传播次序不同时，往返矩阵不同，但(A+D)/2相
同。
y
x
例：环形腔中的像散-对于“傍轴”光线
z
k1
对于平行于x,z平面传输的光线（子午光线），其
k2
焦距
fx
f
cos
R cos
2
f
对于平行于“光轴”k和y确定的平面传输的光线
k3
（弧矢光线），其焦距
fy
f
cos
R
2 cos
二、共轴球面腔的稳定性条件——几何偏折损耗
a K x x,
b
b K y y,
xVm xdx
yVn
ydy
V mmnn
x, y
m n
Vm
xVn
y
积分本征值问题，m、 n为一系列不连续的特定值，分别对
应相应的本征函数Vm(x)和Vn(y)。
2、方形球面腔
当 L, R a, a2 L L a2
P’
P2(x’,y’) 2
a
P1P2 x x'2 y y'2 L2
Y +a
R2
f
L
2a
-a
0
+a X
-a
L a
a2
L
L
2
a
V x, y i
V x, y eikx, y,x, yds
L s
方形共焦腔
L xx yy L
sin n
1
rnn T n r11
D
sin
B sin n
n sinn
1
其中 arccos1 A D
2
可求得rn,n
总结：
1、反射镜R符号规定：
•凹面向着腔内， R>0，相当于凸薄透镜 f>0；
•凸面向着腔内时，R<0，相当于凹薄透镜 f<0。
2、对于同样的光线传播次序，往返矩阵T、Tn与初始坐标 （r0,0）无关；
mn x, y －镜面上场的相位分布
横模)
V x, y Kx, y, x, yV x, yds
2. 本征值 mn － 复常数
设 e i
u j1
1
uj
u j1 eu j ei
相移
单程模振幅的衰减
d
uj
2
2
u j1
2
uj
uj
2 u j 2 e2
2
uj
1 e2
1
1
2
d－光场在腔中渡越一次的相对功率损耗－单程损耗
L
设：V x, y V xV y
则：
V
x
x
a
K a
x
x,
xV
xdx
V y y
b
K
b
y
y,
yV
ydy
Y方向和X方向无限长的窄带镜的自洽积分方程
1、矩形平面镜腔
x x, y
x'
2a
y
2b
y' x', y'
I
L
II
x x'2 y y'2 L2
x x'2 y y'2 L2 L
ik
4
eik x, y,x', y' 1 cos x, y, x', y'
2.3.6 2.3.7
（2.3.6）为自再现模场V(x,y)应满足的积分方程式， K(x,y,x’,y’)称为积分方程的核。
则 |V(x,y)|描述镜面上场振幅的分布， 其辐角argV(x,y)描述镜面上的相位分布。
当经过足够多次渡越，形成这样一种场分布，渡越时分布情 况不再受衍射影响，只有整体按同样比例衰减。
——开腔的自再现模 或 横模
孔阑传输线
幅度、相位 的衍化
空间相干性 1、初始入射波的形状不影响自再现模的形成； 2、不同初始入射波可能导致不同自再现模-横模的形成。
二、菲涅耳-基尔霍夫衍射积分
u(x,y)可以看作S曲面上各子波源发出的非均匀球面波的叠加
L x x2 y y2
2L
2L
P’1 P1(x,y)
1
L
1 r 2 r x2 y2
2
r R1
P1P1
1
x2 y2 2R1
P2P2
2
x2 y2 2R2
x, y, x, y P1P2 P1' P2 ' P1' P1 P2 ' P2 考虑ik P1' P1 P2 ' P2 不能忽略
附加相移，与模式有关
开腔自再现模的谐振条件 δΦ q
当mn得知, 可求得模的谐振频率
五、分离变量法
V x, y K x, y, x, yV x, yds
当 L, R a
K x, y, x, y iL eik x,y,x,y
如果：x, y,x, y？ x x,xy y, y
则： K x, y, x, y i eikx,y,x,y K x, y, x, y K x x, xK y y, y
rs2
2(
A
2
D
)rs1
rs
0
其解可表示如下形式：
rs C1r0e js C2r0*e js ,
其中
arccos
A
D
2
为保证rs为有限值，则要求：
1
A
2
D
cos
1
or 0 g1g2 1
g1,2
1
L 2 f1,2
1
L R1,2
rs为实数 rs Ce js C*e js
or
rs rmax sins
求rs
rmax sins
中的参数rm
、
ax
：
r0 r1
rmax sin Ar0 B0
rmax sin
rm
、
ax
、
rs
cos A D
2
往返周 期单位
S-4 S-3 S-2 S-1 S
不稳定 rmax
稳定
S+1 S+2 S+3
例： L 3
R2 4
g1
左图
ux, y ik
4
ux, y eik 1 cos ds
s
倾斜因子
S曲面上光场分布函数 各子波源发
出的球面波
右图
u
j1 x,
y
ik
4
s
u
j
x,
y
eik
1 cos ds
(2.3.3)
三、自再现模所应满足的积分方程
考虑对称开腔的情况：
u j1
1
uj
u j2
1
u
j
1
当j足够够大
代入式(2.3.3)
其中
K x, y, x, y iL eik x,y,x,y
适用任何对称光学开腔（平行平面，共焦，一般球面镜腔）
四、自再现模积分方程的解的物理意义
1. 本征函数形式
对应于本征值mn
Vmn x, y Amn x, y eimn x, y
Vmn x, y －镜面上场分布函数 (本征函数
Amnx, y －镜面上振幅分布
x x2 y y2 x2 y2 x'2 y'2
L
2L
2L
2R1
2R2
对称共焦腔 R1 R2 R L
x, y,x, y L 1 xx yy
L
方形镜对称共焦腔的自再现模满足积分方程：
V
x,
y
a
a
a
a
K
x,
y,x',
y'V
x,
ydxdy
K x,y,x',y'
i
e e ikL
ik xx yy L
T23
1 0
0 1
A D
AD
1
L
1
1,1
2 T1
2 T2
f2
AD BC AD BC 1
T1
T2
思考题：
对1和2两种光线顺序， 分别求
rs rmax sins
中的参数rm
、
ax
课本上式（2.2.15）为精确推导的、n次往的返传播矩阵:
Tn
A C
Bn D
1
sin
A
s
in
n
C
sinn
Kx x, x' K y y, y'
i
e e ikL
ik xx'2
2L
L
i
L
eikL
ik
e
y y'2
2L
VVyx
x y
a
a Kx
b
b K y
x, y,
xV yV
xdx ydy
x y
以Vm和Vn表示第m个和第n个解，m和n表示相应的复常数
：
Vm x Vn y
m n
百度文库 a
L 1
;
1 Tn1n2 0
0 n1 n2 ;
Tf
1 1
f
10 ;
1
TR
2
R
0 1
球面镜腔中往返一周的光线矩阵 T 等效于经过一个等效薄透镜组合的光线矩阵
二、共轴球面镜腔的稳定性条件：
1
A D 2
1
0
g1 g 2
1
g1
1
L R1
,
g2
1
L R2
光线在腔内往返传输的问题，最后转化为求序列rs的数学问题：
1
1
xx'
2
1
yy'
2
2 L 2 L
ik
x
x'2
y
y ' 2
ikL 2L
2L
K x, y, x, y i e ikx,y,x,y
L
i e e ikL
ik xx'2
2L
L
i e e ikL
ik y y'2
2L
L
V x, y K x, y, x, yV x, yds
1
L R1
1;
g2
1
L R2
1 4
g1g2
1 4
1
r0
p
f
R
L p 1
2
T1
1
L f 1 f
L
2
L f
,
1 L f
A D 1 L
2
f
T2
1
2L
f 1
2L ,
1
A D 1 L
2
f
f
可见，同一谐振腔，不同
的传播次序，往返矩阵T不
相同，但(A+D)/2相同。
s
1
s 1
T1 T2
T13
练习：
F
1、画出图1所示谐振腔的等效透镜光
R
R 路，并写出往返矩阵
试问：这种腔是否能用
L/2
L/2
0(1 L )(1 L )1 判断腔的稳定性。
R1
R2
k1
k2
f
k3
2、画出图2所示谐振腔一个周期的等 效透镜光路。
作业：2-3，2-4
§2.3 开腔理论的物理概念和衍射理论分析方法
一、理想开腔模型，孔阑传输线
L
2.3.28
§2.4 自再现模积分方程的解法
1. 解析解：
精确解 近似
方形镜共焦腔 长椭球函数 厄米～高斯函数
圆形镜共焦腔 超椭球函数 拉盖尔～高斯函数
2. 数值解 (数值迭代法)
振幅
2a 2a
2a
相位
2a
…...
300次迭代结果
...
详见图2.4.1
§2.5 方形镜对称共焦腔的自再现模
Yx
R1