6.2 多元函数的偏导数和全微分

6．2 多元函数的偏导数和全微分

6．2．1 偏导数的概念与计算

1．偏导数定义

对于二元函数),(y x f z =，如果只有自变量x 变化, 而自变量y 固定, 这时它就是x 的一元函数, 这函数对x 的导数, 就称为二元函数),(y x f z =对于x 的偏导数。

定义：设函数),(y x f z =在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量∆x 时, 相应地函数有增量),(),(0000y x f y x x f -∆+ 如果极限x

y x f y x x f x ∆-∆+→∆)

,(),(lim

00000

存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点(x 0,

y 0)处对x 的偏导数, 记作：

0y y x x x

z ==∂∂，

0y y x x x

f ==∂∂，0

0y y x x x

z ==，或),(00y x f x 。

即：x

y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆)

,(),(lim

),(00000

00.

类似地，函数),(y x f z =在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数定义为：

y

y x f y y x f y ∆-∆+→∆)

,(),(lim

00000

,

记作：

0y y x x y

z ==∂∂，

0y y x x y

f ==∂∂，0

0y y x x y

z ==，或),(00y x f y 。

偏导函数：如果函数),(y x f z =在区域D 内每一点),(y x 处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数),(y x f z =对自变量x 的偏导函数, 记作

x z ∂∂， x

f ∂∂， x z ， 或),(y x f x 。 偏导函数的定义式：x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆)

,(),(lim ),(0

.

类似地, 可定义函数),(y x f z =对y 的偏导函数, 记为

y z ∂∂, y

f

∂∂, y z ，或),(y x f y 。

偏导函数的定义式：y

y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆)

,(),(lim ),(0

.

2．偏导数的计算 求

x

f

∂∂时 只要把y 暂时看作常量而对x 求导数；求y f ∂∂时 只要把x 暂时看作常量

而对y 求导数。

讨论：下列求偏导数的方法是否正确？

0),(),(00y y x x x x y x f y x f ===，0

0),(),(00y y x x y y y x f y x f ===，

]),([

),(000x x x y x f dx

d

y x f ==，0]),([

),(000y y y y x f dy d y x f ==。 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数 例如三元函数u =f (x y

z )在点(x

y

z )处对x 的偏导数定义为 x

z y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆)

,,(),,(lim ),,(

其中(x

y

z )是函数u =f (x y

z )的定义域的内点

它们的求法也仍旧是一元函数的

微分法问题

例1 求z =x 2+3xy +y 2在点(1, 2)处的偏导数. 解

y x x

z 32+=∂∂, y x y z 23+=∂∂.823122

1=⋅+⋅=∂∂==y x x z

,

722132

1=⋅+⋅=∂∂==y x y

z .

例2 求z =x 2sin 2y 的偏导数。 解

y x x

z

2sin 2=∂∂；y x y z 2cos 22=∂∂。

例3 设)1,0(≠>=x x x z y , 求证: z y

z x x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂.

证

1-=∂∂y yx x

z , x x y z y ln =∂∂.

z x x x x x

yx y x y z x x z y x y y y y 2ln ln 1ln 11=+=+=∂∂+∂∂-. 例4 求222z y x r ++=的偏导数。 解

r x z y x x x

r

=

++=∂∂2

22；r

y z y x y y

r =

++=∂∂2

22。 例5 已知理想气体的状态方程为pV =RT (R 为常数), 求证

1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂p

T

T V V p .

证 因为V RT p =, 2V RT V p -=∂∂;

p RT V =

, p R T V =∂∂;

R

pV T =, R V

p T =∂∂;

所以

12-=-=⋅⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pV RT R

V p R V RT p T T V V p .

例5 说明的问题: 偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商。

3．偏导数的几何意义

一元函数在某点处的导数从几何上看表示曲线在该点处的切线斜率，那么二元函数的偏导在几何上表示什么呢？我们知道，二元函数),(y x f z =在空间中表示一曲面，

在00(,)x y 处对x 求偏导时把y 看成常量，这时z 是关于x 的一元函数，所以

00(,)

x y z

x

∂∂表示曲面),(y x f z =与平面0y y =的交线在

00(,)x y 处沿x 轴正向的切线斜率(如图)．同理，

00(,)

x y z

y

∂∂表

示曲面在该点处沿y 轴正向的切线斜率．

4．偏导数与连续性

对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如

⎪⎩⎪

⎨⎧=+≠++=0

00 ),(222222y x y x y x xy y x f

在点(0, 0)有, f x (0, 0)=0, f y (0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续. 提示： 0)0 ,(=x f 0

) ,0(=y

f

0)]0 ,([)0 ,0(==

x f dx

d f x 0)] ,0([)0 ,0(==y f dy d f

y

当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0 0)时

有

00lim )0 ,(lim ),(lim 0

)

0,0(),(===→→→x x y x x f y x

f

当点P (x , y )沿直线y =kx 趋于点(0

0)时 有

2

2222022 )0,0(),(1lim lim k k x k x kx y x xy x kx

y y x +=+=+→=→.