矩阵论第八章复习

T(1,2, ,n ) (1,2, ,n) A
2) 求 P1AP Λ； 3) 由 (1,2, ,n) (1,2, ,n)P 确定基1,2, ,n ，则 T 在此基下矩
阵为对角阵； 12. 线性变换不变子空间的判定
T 是 V 的线性变换，W 是 V 的子空间，对任意 W ，有 T() W 13. 内积的验证与计算
1. 线性空间的判定 （否定，对特殊规定的加法和数乘）
2. 线性子空间的判定 （非空，两个封闭性）
3. 线性空间（线性子空间）的基与维数 1) W 由集合形式给出（观察，选取，判定；一般给一个约束条件，自由度 减少一个）； 2) W L(1,2, ,s ) ，求1,2, ,s 的秩和极大无关组即得 W 的基与维 数； 3) W1 L(1,2, ,s ) ， W2 L(1, 2, , t ) ，求 W1 W2 和 W1 W2 的基 与维数： W1 W2 L(1,2, ,s, 1, 2, , t ) 设 W1 W2 ，则 k11 k2 2 ks s l11 l 2 2 ln n， 则有 k11 k22 kss (l11 l 2 2 lnn ) ，求解方程组确定 ki ,l j ，代入表达式求 ；
步骤：1) 取标准正交基 1,2, ,n ，并求 T 在此基下矩阵
T(1,2, ,n ) (1,2, ,n) A
2) 求正交矩阵 Q ，使得 Q1AQ Λ；
3) 由 (1,2, ,n ) (1,2, ,n)Q 确定基1,2, ,n ，则 T 在此基下矩阵 为对角阵；
1) (, ) ( ,) ，
2) ( , ) (, ) ( , )
3) (k, ) k( ,)
4) (,) 0 ，当且仅当 时， (,) 0
14. 度量矩阵的计算与证明
n 维欧氏空间 V 对基1,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ, ,n 的度量矩阵
3) T 把标准正交基变成标准正交基；
4) T 在 V 的任意一个标准正交基下的矩阵为正交矩阵； 17. 对称变换及其性质
(T(), ) (,T( ))
(, V)
T 在 V 的任意一个标准正交基下的矩阵为实对称矩阵 设 T 是 n 维欧氏空间的对称变换，则存在 V 的标准正交基，使 T 在该 基下的矩阵为对角阵； 18. 使对称变换在某个标准正交基下的矩阵为对角阵
2) 计算方法： PL X (X H X )1 X H 其中 X (x1, x2, , xr ) Cnr ， x1, x2, , xr 是子空间 L 的基。
3) W1 W2 {}；
4) dim(W1 W2) dim W1 dimW2 7. 大空间分解成子空间直和的证明
步骤：1) 对任意 V ，有 1 2 (1 W1,2 W2) ，则 V W1 W2 ；
2) 设 W1 W2 ，可推得 ；
综上，可得 V W1 W2 ；
7) 特征子空间 V0 | T() λ0：
dim V0 T 的属于 0 的线性无关特征向量的个数； 4. 求过渡矩阵
1) 两组基已知：用中介基方法求过渡矩阵（形式记法）； 2) 两个基都不知道，但知道其之间的关系：
直接写出形式记法，写出过渡矩阵； 3) 已知一组基及坐标之间的关系：
4) A Rmn ，求 R( A) 与 N(A) 的基与维数：
dim R(A) rank A， dim N(A) n rank A ，
A 的列向量组的极大无关组是 R(A) 的基， Ax 0 的基础解系是 N(A) 的 基； 5) 设 T 是 n 维线性空间 Vn 的线性变换，求 R(T) 与 N(T) 的基与维数：
则 T(1,2, ,n ) (1,2, ,n)C1A 利用相似 T(1,2, ,n ) (1,2, ,n) A ， (1,2, ,n) (1,2, ,n)C
则 T(1,2, ,n ) (1,2, ,n)C1AC 2) 不知道线性变换和基，知道 T 在基(I) 1,2, ,n 下的矩阵，以及基(I)
8. 线性变换的判定 T( ) T() T( )
T (k ) k T( ) 9. 求线性变换在一组基下的矩阵
1) 已知线性变换 T 和基1,2, ,n ： 用直接法； 间接法：先把基象组用简单基表示 T(1,2, ,n) (1,2, ,n) A ， (1,2, ,n) (1,2, ,n)C
与基(II)之间的关系，求 T 在基(II)下的矩阵； 利用 T 在两个不同基下矩阵相似； 3) 已知两个基：(I) 1,2, ,n ，(II) 1, 2, , n ，且
T(1,2, ,n) (1, 2, , n) ，求 T 在两个基下的矩阵； 先求过渡矩阵，再整理； 10. 求线性变换的特征值和特征向量 步骤：1) 取简单基 1,2, ,n ，并求 T 在简单基下矩阵
设1,2, ,n 是 Vn 的基， 法一：
R(T) L(T(1),T(2), ,T(n)) ；
设 N(T) ，由 T() 确定 N(T) 的基与维数；
法二： T(1,2, ,n ) (1,2, ,n) A
dim R(T) rank A ， dim N(T) n rank A
(1,1)
A


(
2
,
1
)


(
n
,1
)
(1,2 ) (2 ,2 )
(n ,2 )
(1,n )
(
2
,

n
)


(
n
,

n
)

n
n
nn
(, ) ( xii , y j j )
xi y j (i , j ) xT Ay
T(1,2, ,n ) (1,2, ,n) A
2) 求 A 的特征值 i 及与其对应的特征向量 xi ；
3) i 即为 A 的特征值，i (1,2, ,n ) xi 为 T 对应特征值 i 的特 征向量；
11. 使线性变换在某个基下矩阵为对角阵 步骤：1) 取简单基 1,2, ,n ，并求 T 在简单基下矩阵
19. 投影矩阵及其性质 1) 性质：矩阵 P 是投影矩阵的充要条件是 P2 P ；
2) 计算方法： PL,M X ,O X ,Y 1
其中 X ( x1, x2, , xr ) Cnr ，Y ( y1, y2, , ynr ) Cn(nr) x1, x2, , xr 是子空间 L 的基， y1, y2, , ynr 是子空间 M 的基； 20. 正交投影矩阵及其性质 1) 性质：矩阵 P 是正交投影矩阵的充要条件是 P2 P 且 PH P ；
根据坐标间的关系写出坐标变换公式，再写出基变换公式，求出过渡矩 阵和另一组基； 5. 求元素的坐标 1) 已知基：用待定法求坐标； 2) 已知元素在某个基下的坐标，求其在另一个基下的坐标： 坐标变换公式； 6. 子空间直和的判定 1) W1 W2 是直和；
2) 零元素的分解唯一，即 1 2(1 W1,2 W2) 当且仅当1 2 时才成立；
i1
j1
i1 j1
度量矩阵是对称正定矩阵；
不同基的度量矩阵是合同的；
15. 求标准正交基 Schmidt 正交化过程，单位化
16. 正交变换及其性质（证明）
(T(),T( )) (, )
(, V)
正交变换的等价条件 1) T 是正交变换；
2) T () ，即 T 保持元素长度不变；
A 的列向量组的极大无关组是 R(T) 的基在1,2, ,n 下的坐标；
Ax 0 的基础解系是 N(T) 的基在1,2, ,n 下的坐标；
6) W L(1,2, ,s ) ，求 W 的基和维数：
设 W ，由 (,1) 0,(,2) 0, ,(,s ) 0 确定 W 的基和维数；