第二章 解析几何初步 章末总结
北师大版数学必修2第二章解析几何初步归纳总结课件
得xy′′＝＝3－x－4x45－y5＋3y4＋，8.
把(x′，y′)代入方程 y＝x－2 并整理，得：7x－y－14＝0，
即直线 l2 的方程为 7x－y－14＝0.
(3)设直线 l 关于点 A(1,1)的对称直线 l′，则直线 l 上任一 点 P(x1，y1)关于点 A 的对称点 P′(x，y)一定在直线 l′上，反 之也成立．
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离是 d＋r， 最小距离是 d－r，其中 d 为圆心到直线的距离．
②当直线与圆相交时，设弦长为 l，弦心距为 d，半径为 r， 则有(2l )2＋d2＝r2.
③当直线与圆相交时，设弦为 AB，则 |AB|＝ 1＋k2AB·|xA－xB|， |AB|＝ 1|k＋ABk| 2AB·|yA－yB|.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)设 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. ①l1 与 l2 相交⇔A1B2≠A2B1， 特别地 A1A2＋B1B2＝0 时⇔l1⊥l2； ②l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，且 A1C2≠A2C1； ③l1 与 l2 重合⇔A1B2＝A2B1 且 A1C2＝A2C1. 4．两条直线的交点
当|C1C2|＝|r1－r2|时，两圆内切； 当|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2 时，两圆相交； 当|C1C2|<|r1－r2|时，两圆内含． 10．空间直角坐标系 (1)右手直角坐标系 ∠xOy＝∠xOz＝135°，∠yOz＝90°，x 轴、y 轴、z 轴的正 半轴分别指向右手拇指、食指、中指．
作点 P(x，y，z)的步骤与方法：从原点出发沿 x 轴正(x>0) 或负(x<0)方向移动|x|个单位，再沿 y 轴正(y>0)或负(y<0)方向移 动|y|个单位，最后沿 z 轴正(z>0)或负(z<0)方向移动|z|个单位．
高中数学 第二章 平面解析几何初步章末小结学案 新人教B版必修2(2021年最新整理)
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第二章平面解析几何初步知识建构综合应用专题一位置关系问题两条直线的位置关系有相交、平行、重合几种，两直线垂直是相交的一种特殊情况,高考中对平行与垂直的考查是重点，多以选择及填空为主，属于容易题．而直线与圆的位置关系几乎是每年必考内容，有时结合向量，考查形式可以是选择题、填空题，也可以是解答题，属于中低档类题目．圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含等5种,在高考中单独考查的情况不多．：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2,则m的值为（）．应用1已知两直线lA．－1或3 B．－1C．3 D．0提示:利用两直线平行的条件求解．，应用2(2011·福建泉州模拟)若直线3x＋y＋2n＝0与圆x2＋y2＝n2相切，其中n∈N则n的值等于（)．A．1 B．2 C．4 D．1或2提示：利用圆心距等于半径列方程求解．:x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0.试讨论应用3已知圆C两圆的位置关系．提示：随着m取值的不同,也会影响两圆的位置关系，所以需要根据两圆的不同位置关系求出m的不同取值范围．专题二对称问题对称问题是高考中常见的一种题型，解析几何中有关对称问题，可分为点关于点对称；直线关于点对称；曲线关于点对称；点关于直线对称；直线关于直线对称；曲线关于直线对称．但总的来说,就是关于点对称和关于直线对称这两类问题．应用1（2010·湖南高考)若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b),(3－b，3－a），则线段PQ的垂直平分线l的斜率为__________；圆(x－2)2＋（y－3)2＝1关于直线l对称的圆的方程为__________．提示：（1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1；(2)求出圆心(2,3)关于l的对称点即可．应用2(2011·安徽安庆模拟）从点(2，3）射出的光线沿与直线x－2y＝0平行的直线射到y轴上，则经y轴反射的光线所在的直线方程为__________．提示：画出示意图，注意反射光线与入射光线的斜率互为相反数，且反射光线经过点(－2，3)．专题三用图示法解题用图示法解题，实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,即把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”,以“数”解“形”;本章中有关斜率、距离、截距、直线与圆的位置关系等很易转化为形来说明，借助于形分析和求解,往往事半功倍．应用1讨论直线y＝x＋b与曲线y＝错误!的交点的个数．提示：画出y＝4－x2的图象,注意等价变形．应用2设点P（x，y）在圆x2＋(y－1）2＝1上．（1）求错误!的最小值；（2）求错误!的最小值．提示：(1）错误!理解为动点（x,y）到定点（2，0）的距离即可；(2）错误!理解为动点（x,y)与定点（－1，－2）连线的斜率即可．应用3若实数x，y满足x2＋y2＋8x－6y＋16＝0，求x＋y的最小值．提示:令x＋y＝b，则y＝－x＋b，问题即转化为求截距b的最小值问题．专题四轨迹问题轨迹是满足某些特殊几何条件的点所形成的图形，在平面直角坐标系中，求动点的轨迹就是求动点的横坐标、纵坐标满足的等量关系．我们可以借助圆这个几何性质较多的图形，研究一些与之相关的轨迹方程．应用1已知圆C：x2＋y2－4x＋2y－4＝0,求长为2的弦中点的轨迹方程．提示：利用定义法，即动点的运动轨迹满足圆的定义，只需确定圆心和半径，直接写出圆的方程．应用2已知动圆P与定圆C:x2＋（y＋2)2＝1相外切，又与定直线l：y＝1相切，求动圆圆心P的轨迹方程．提示:利用直接法,即若动点的运动规律满足一些简单的几何等量关系,可以直接将这个等量关系用动点的坐标表示出来，写出轨迹方程．应用3已知圆C的方程为（x－2）2＋y2＝1，过点P(1，0）作圆C的任意弦，交圆C于另一点Q,求线段PQ的中点M的轨迹方程．提示：点M的运动受到点Q运动的牵制,而点Q在圆C上，故用“相关动点法”．真题放送1．(2011·四川高考）圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )．A．（2，3) B．(－2,3）C．(－2,－3） D．(2,－3）2．(2011·安徽高考）若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为（）．A．－1 B．1 C．3 D．－33．(2011·重庆高考)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（)．A．5错误! B．10错误!C．15 2 D．20错误!4．(2011·大纲全国高考）设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2｜＝（)．A．4 B．4错误! C．8 D．8错误!5．(2011·江西高考）若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是（）．A．错误!B．错误!∪错误!C．错误!D．错误!∪错误!6．(2011·浙江高考)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直,则实数m＝________.7．（2011·重庆高考)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．8．（2011·湖北高考）过点（－1,－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为______．答案：综合应用专题一应用1:B ∵l1∥l2,∴1×3－m（m－2）＝0.∴m＝－1或3，经检验m＝－1适合．应用2：D 圆心(0，0）到直线的距离为d＝错误!＝2n－1。
北师大版必修2高中数学第二章《解析几何初步》ppt章末归纳提升课件
若设 P1(x0，y0)，则 P2(－x0，－y0)， ∴4－x03＋x0y＋0＋5y60＝ －06， ＝0. ② ① ①＋②得 x0＋6y0＝0.
∴点 P1(x0，y0)，P2(－x0，－y0)都满足方程 x＋6y＝0， ∵过两点的直线有且只有一条，且该直线过原点， ∴所求直线 l 的方程即为 x＋6y＝0.
解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件： 点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表 示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过 原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意 A2＋ B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论．
从点 P(3，－2)发出的光线 l，经过直线 l1：x＋y －2＝0 反射，若反射光线的反向延长线恰好通过点 Q(5，1)， 求 l 的方程．
3y＋1＝0 上，求圆的方程． 【解】 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
a2＋b2＝r2， 由题意列出方程组a－12＋b－12＝r2，
2a＋3b＋1＝0，
a＝4， 解之得b＝－3，
r2＝25， ∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
直线方程问题
如图所示，曲线是以(0,1)为圆心，r＝2 为半径的半圆， 直线表示过定点(2,4)的动直线．由图形中关系可求得 kPC＝152.
【答案】 D
点 P(x，y)在以 A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)为顶点的△
ABC 的内部运动(不包含边界)，则yx－ －21的取值范围是(
)
A．[12，1]
【思路点拨】 (1)可设出圆的标准方程；(2)可设出圆的 一般方程根据条件求出参数．
高中数学第二章解析几何初步优化总结北师大版必修2
[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2，0)为圆心，
3为半径的圆．
(1)设xy＝k，即 y＝kx，当直线 y＝kx 与圆相切时，斜率 k 取得
最大值和最小值，
此时有 |2k－0| ＝ k2＋1
3，解得 k＝± 3，
故xy的最大值是 3，最小值是－ 3.
(2)设 y－x＝b，即 y＝x＋b，当直线 y＝x＋b 与圆相切时 b 取
得最大值和最小值，此时|2－0＋b|＝ 3， 2
解得 b＝－2± 6，
故 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
(3)x2＋y2 表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何的知 识知，其在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最 大值和最小值，又知圆心到原点的距离为 2，故 x2＋y2 的最大 值为(2＋ 3)2＝7＋4 3，最小值为(2－ 3)2＝7－4 3.
2．求过圆外一点的圆的切线过程 求过圆外一点的圆的切线方程，一般设为点斜式，运用待定
系数法或判别式法求出斜率k，但用点斜式表示直线方程的前
提是斜率必须存在．过圆外一点可以作圆的两条切线，如果 只有一解，那么一定有一条切线斜率不存在，这时可用数形 结合的方法把“丢掉”的切线方程找回来． 3．已知斜率求圆的切线
如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：(x ＋3)2＋(y－1)2＝4 和圆 C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4. (1)若直线 l 过点 A(4，0)， 且被圆 C1 截得的弦长为 2 3，求直线 l 的方程；
(2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直
的直线 l1 和 l2,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交，且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等，试求所有满 足条件的点 P 的坐标．
解析几何初步章末整合
【解析】 如图所示，当直线 l 夹在 l1 与 l0 之间时，l 的 3 斜率大于等于 l0 的斜率，而 l0 的斜率为 ；当直线 l 夹在 l1 与 4 l2 之间时，l 的斜率小于等于 l2 的斜率，而 l2 的斜率为－4，由 3 此可知，直线 l 的斜率的变化范围为(－∞，－4]∪ ，＋∞. 4 【答案】 C
【命题意图】 本题考查两条直线互相垂直的有关知识， 难度不大，属于简单题，但要注意运算．
②当截距不为零时，设所求直线方程为 x＋y＝a， |7－a| 则 ＝3 2，解得 a＝13 或 a＝1， 2 ∴x＋y－13＝0 或 x＋y－1＝0. 3 14 ∴所求直线方程为 y＝± 2 －6x 或 x＋y－13＝0 或 x ＋y－1＝0. 【小结】 直线在两坐标轴上的截距相等，应注意分直 线过原点与不过原点两种情况．
2． 若直线 x－2y＋5＝0 与直线 2x＋my－6＝0 互相垂直， 则实数 m＝________.
【解析】 根据题意知， m＝0 时， 当 两直线不会垂直， 故 m≠0.因直线 x－2y＋5＝0 与直线 2x＋my－6＝0 的斜率 1 2 1 2 － 分别为 和－ ，由垂直条件得 · ＝－1，故 m＝1. 2 m 2 m 【答案】 1
①若 CD 是直角梯形的直角边， 则 BC⊥CD，AD⊥CD，∵kBC＝0， ∴CD 的斜率不存在，从而有 x＝3. y－3 又 kAD＝kBC.∴ ＝0，即 y＝3， x 此时 AB 与 CD 不平行， 故所求点 D 的坐标为(3,3)．
②若 AD 是直角梯形的直角边， 则 AD⊥AB，AD⊥CD， y－3 y ∵kAD＝ ，kCD＝ ， x x－3 y－3 y ∴ ×3＝－1， ＝3. x x－3 18 9 18 9 解得 x＝ ，y＝ ，∴D 点坐标为 ， . 5 5 5 5 18 9 所以，D 点坐标为(3,3)或 ， . 5 5
人教B版高中数学必修二第二章《平面解析几何初步》章末归纳总结》ppt课件
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意，得00－ －aa22＋ ＋06－ －bb22＝ ＝rr22 ，解得ab＝ ＝33
.
a－b＝0
r＝3 2
故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18.
解法二：由题意，所求圆经过点(0,0)和(0,6)，∴圆心一定 在直线 y＝3 上，又由解法一，知圆心在直线 x－y＝0 上，
第二章 平面解析几何初步
第二章 章末归纳总结
1 知识结构 2 学后反思
3 专题研究 4 课时作业
知识结构
学后反思
• 用坐标法研究几何问题使我们从抽象的推理中解脱 出来，用坐标的计算替代推理．为我们研究几何问 题开辟了一条全新的道路．
• 本章介绍了解析几何研究问题的基本思路：建立直 角坐标系，求出或设出点的坐标，通过坐标的运算， 对方程的研究来解释几何现象，表述几何问题．
• [例3] 设有直线l：y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝16， 求k为何值时，直线l被圆O所截得的弦最短？并求出 最短弦长；能否求得k的值，使直线l被圆O所截得的
弦最长？
[解析] 解法一：设所截得的弦长为 L，
则 L＝2 16－k2＋9 1.
显然，当 k＝0 时，Lmin＝2 7； 不论 k 取何值，L 均无最大值，故弦长取不到最大值．
• 判断直线与圆、圆与圆的位置关系可以从两个方 面入手：①直线与圆有无公共点，等价于它们的方程 组成的方程组有无实数解，方程组有几组实数解，直 线与圆就有几个公共点，方程组没有实数解，直线与 圆就没有公共点，判断圆与圆的位置关系时慎用此法； ②运用平面几何知识，把直线与圆、圆与圆位置关系 的几何结论转化为相应的代数结论．
21190，∴当
高中数学平面解析几何初步全章总结新人教B版必修2
平面分析几何初步总结1.详析直线的倾斜角与斜率（ 1）定义：把直线y kx b 中的系数 k 叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线的斜率不存在．x 轴正向与直线向上的方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角．经过两点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2, y2 )x1 x2的直线的斜率k y2y 1 ．x2x1（ 2）斜率k与倾斜角的关系：k 0 时，0 ； k 0时，0 ,90 且随k的增大而增大；k 不存在时，90 ； k 0时，90 ,180且随k的增大而增大．2.比较直线的五种方程名称方程常数的几何意义合用条件点斜式y y0k( x x )( x0 , y0 ) 是直线上的一个定点，k 是斜直线不垂直于x 轴率斜截式y kx b k 是斜率， b 是直线在 y 轴上的截距直线不垂直于x 轴两点式y y1x x1( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) 是直线上的两个定点直线不垂直于x 轴和y 轴y2y1x2x1截距式x y1 a ，b分别是直线在 x 轴，y轴上的非直线不垂直于x 轴和a b y 轴，且可是原点零截距一般式Ax By C0（ A ，A， B，C为系数任何状况B 不一样时为0）特别直线x a （y轴：x0 ）垂直于 x 轴且过点(a,0)斜率不存在y b （x轴： y0 ）垂直于 y 轴且过点 (0, b)斜率 k 03.辨析两条直线订交、平行、重合、垂直的两种条件直线方程b1，l1： A1x B1 y C1 0，l1： y k1xl 2： y k2 x b2l2： A2 x B2 y C20 ，订交的等价条件k1 k2l1与 l2订交A1B2A2 B10l1与 l 2订交平行的等价条件k2且 b1 b2l1//l 2A1 B2A2 B10 且l1// l2k1B 1C 2 B 2 C 1 0重合的等价条件l 1 与 l 2 重合 k 1 k 2 且 b 1 b 2 l 1 与 l 2 重 合 A 1 B 2 A 2 B 1 0 且B 1C 2 B 2 C 1 0垂直的等价条件l 1 l 2k 1 k 2 1 l 1 l 2 A 1A 2 B 1 B 2 0说明： 两直线的交点坐标即为对应方程构成的方程组的解．方程组有一组解，则两直线有一个交点；方程组无解，则两直线平行．4. 依据直线地点关系妙设直线方程（ 1）与直线 Ax By C 0平行的直线方程可设为Ax Bym 0 （ m 为参数，且 m C ）；与直线 AxBy C 0 垂直的直线方程可设为 Bx Ay m 0 （ m 为参数）．（ 2）与直线 ykx m 平行的直线方程可设为y kx b (bm) ；与直线 y kxm 垂直的直线方程可设为 y1x b ．k（3） 过 直 线A 1 xB 1 y 1C0 与 A 2 x B 2 yC 2 0 的 交 点 的 直 线 方 程 可 设 为A 1 xB 1 y1CA 2 xB 2 y2C0 （ 为参数）．注意此方程中不包含直线A 2 xB 2 yC 2 0，在解题时要考证该直线能否切合题意．特别地，直线过定点问题，一般将直线方程整理为A 1 xB 1 yC 1A 2 xB 2 yC 20 的形式，将定点转变成直线A 1xB 1 yC 1 0与 A 2x B 2 y C 20 的交点．5. 记忆重要公式，重视坐标法思想（ 1）四个距离公式和中点坐标公式种类 已知条件公式中点坐标A x 1 , y 1 ，B x 2 , y 2x 0x 1 x 2， y 0 y 1 y 222 数轴上的点A x 1 ， B(x 2 )| AB | | x 2 x 1 |两点间的距离A x 1 , y 1 ，B x 2 , y 2|AB|(x 2 x 1 )2( y 2 y 1 )2点到直线的距离P x 0 , y 0 ， l ： Ax By C 0| Ax 0By 0 C |dA2B2两平行直线的距离l 1 ： Ax By C 10 ，| C 2 C 1 |dA2B2l 2 ：Ax By C 20 ，（ A ，B 不一样时为零）（ 2）坐标法思想：即依据图形特色，成立适合的直角坐标系，用坐标表示有关量，利用坐标间的代6.明确圆的两种方程，掌握待定系数法（ 1）圆的标准方程：( x a) 2( y b)2r 2，此中，圆心是 C (a, b) ，半径是r．圆的一般方程： x2y2Dx Ey F0 ( Dx Ey F0) ．此中圆心是 ( D,E) ，半径是122 D 2 E 24F ．2注意：二元二次方程表示圆的条件是x2和y2项的系数相等且不为零；没有xy 项．（ 2）圆的标准方程和一般方程中都含有三个参变量（a,b, r 或 D , E, F），求圆的方程时，由题意得到三个独立的条件，利用待定系数法求出三个参变量的值即可．7.点击圆的有关地点关系（ 1）点与圆的地点关系点与圆的地点关系有三种：点在圆上、点在圆内、点在圆外，可经过点到圆心的距离与半径的大小关系来判断．（ 2）直线与圆的地点关系直线圆的地点关系有三种：订交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法（经过解直线方程与圆的方程构成的方程组，依据解得个数来判断）、几何法（由圆心到直线的距离 d 与半径r的大小关系来判断）．（3）圆与圆的地点关系圆与圆的地点关系有五种：外离、外切、订交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法（依据两圆方程联立的方程组解的状况判断）、几何法（依据两圆的圆心距 d 与两圆半径r1， r2之间的关系判断）．8.切记圆的切线求法，细解弦长问题（ 1）圆的切线求法：①设切线斜率，获得切线方程，与圆联立化为一元二次方程，依照鉴别式为0求解；②设切线斜率，获得切线方程，利用圆心到切线的距离等于圆的半径求解．解题时，注意切线斜率不存在的状况．（2）当直线与圆订交时，圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形．（3）求订交两圆的公共弦长时，可经过两圆方程相减求出两圆公共先所在的直线方程，从而求出此中一圆心到直线的距离及该圆的半径，利用勾股定理求出弦长的一半，从而求得弦长．9.清晰空间直角坐标系的成立法例，直击距离公式（ 1）建林的空间直角坐标系要按照右手法例．222（ 2）空间中P1( x1, y1, z1)，P2( x2, y2, z2)之间的距离| PP12|x2 x1y2 y1z2 z1．专题概括研究专题一巧设直线方程解题在本章中，常常要用直线方程解决问题，但好多时候直线方程并不是已知，而是要设出方程从而解决问题，这时，怎样选择方程形式将决定解题过程中的好坏简繁．典例 1直线l过点P(8,6)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程．研析由题意知，直线l 在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0．方法一设直线 l 的方程为xy 1 或x y 1 (a0)．当直线 l 的方程为xya a a a1时，a a∵点 P(8,6) 在 l 上，∴86 1 ，解得 a14 ，a a∴直线 l 的方程为 x y140 ；当直线 l 的方程为xy 1 时，a a∵点 P(8,6) 在 l 上，∴861，解得 a 2 ，a a∴直线 l 的方程为 x y 2 0 ．综上所述，所求直线l 的方程为 x y20或 x y140 ．方法二设直线 l 的方程为 y kx b(k0, b0) ．令 x0 ，得 y b；令 y 0 ，得 x b．kb|，∵ b由题意，得 | b | |0 ，∴ k1．k当 k 1 时，直线 l 的方程为 y x b ，∵点 P(8,6) 在 l 上，∴ 68 b ，b2，∴直线 l 的方程为 y x 2 ，即 x y20 ；当 k 1 时，直线 l 的方程为 y x b，∵点 P(8,6) 在 l 上，∴ 68 b ， b14 ，∴直线 l 的方程为 x y140．综上所述，所求直线l 的方程为x y20或 x y140 ．方法研究凡波及直线与坐标轴所围成三角形的面积或周长等与截距有关的问题，用截距式较简单，但要注意截距式应用的前提是截距存在且不为零．典例 2已知直线 l 过点 P(1,2) ，且点 A(4,1) ， B(2,5) 到直线 l 的距离相等，求直线l 的方程．研析设直线 l 的方程为m( y2) x 1，即 x my2 m 1 0．由点到直线的距离公式可得| 4 m2m 1|| 2 5m2m 1|，解得 m0 或 m3．m21m212故直线 l 的方程为 x10 或 2x3y80 ．方法研究设直线方程为 x x0m( y y0 ) ，防止了遗漏斜率不存在的状况（斜率不存在即m0 ）．典例 3已知圆 C : x2y26x8y210 ，求过点(1,1)的圆 C 的切线方程．研析设所求切线的方程为m( y1)x 1 ，即 x my m 1 0 ．圆的圆心坐标为 (3, 4) ，半径r1( 6)2( 8)24212．2由题意可知| 3 m4 m 1 |2 ，解得 m 0 或 m20，故所求直线方程为 z 1 或1m22121x20 y410 ．方法研究过圆上一点 ( x0 , y0 ) 求圆的切线方程，都可能存在切线斜率不存在的情况．为了防止议论斜率和判断点与圆的地点关系，可直接设切线方程为m( y y0 ) x x0．专题二商讨两类圆方程的求解方法1.求过直线与圆的交点的圆的方程解此类问题的方法是：联立直线与圆的方程，求出交点坐标，依据点在圆上及其余条件求圆的方程．典例 1求经过直线 x y0 与圆x2y22x 4y 80 的交点，且经过点P( 1,2) 的圆的方程．研析x y0,x1,x 4,A(1, 1) 和点解方程组y22x 4 y 8 0.得或即直线与圆交于点x2y 1.y 4.B(4,4)．设所求圆的方程为 x2y2Dx Ey F 0 ，分别将A，B，P的坐标代入，得方程组11D E F0,D3,16164D4E F 0,解得E3, ∴所求圆的方程为x2y23x 3 y 8 0 ．14D2E F0.F8.2.求过两圆交点的圆的方程求过两圆交点的圆的方程，一般先求出两圆的交点坐标，在利用圆的几何性质确立所求圆的圆心坐标和半径；也可由题意设出所求圆的方程，再依据条件成立方程组求参即可．典例 2 求圆心在直线x y40 上，且经过两圆x2y24x60 和 x2y24y 60 的交点的圆的方程．研析方法一x2y2 4 x 6 0,x11,或x23,由22解得y 1.y2 3.x y 4 y60.1故两圆 x2y24x60 和 x2y2 4 y 60 的交点分别为A(1,1) ， B(3,3) ．线段 AB 的垂直均分线的方程为y 1( xy 1 ( x 1),x 3,1) ，由y4 0. 解得y1.x∴所求圆的圆心坐标为(3, 1) ，半径为(3 3)2(3 1)24 ，∴所求圆的方程为 ( x 3)2 ( y1)2 16 ．方法二同方法一求得 A( 1, 1) ， B(3,3) ，设所求圆的方程为 ( xa)2 ( y b)2 r 2 (r 0) ，由a b 4 0,a 3,( 1 a)2(1 b)2r 2 ,解得 b 1, (3 a) 2 (3 b)2r 2 .r 216.∴所求圆的方程为 ( x 3)2( y1)2 16 ．接下来介绍利用过两圆交点的曲线方程来解决上述问题的方法．这里谈的过两圆交点的曲线方程是指过两圆交点的圆的方程及它的特例—直线的方程．经过两点的圆有无数个，这些圆有一共同的性质：圆心都在已知两点连线的垂直均分线上，构成了一个圆的会合，记这个会合为M ．我们把拥有某一共同性质的全部的圆的会合成为圆系，它的方程叫做圆系方程．（ 1）设圆 C 过圆 C 1 ：x 2y 2 D 1x E 1 y F 1 0 与圆 C 2 ：x 2 y 2 D 2xE 2 yF 2 0的交点 P ，Q ，则与圆 C 齐心的圆系方程为 x 2y 2 D 1x E 1 y F 1x 2 y 2 D 2 x E 2 yF 2①，此中为参数且1．该圆系方程不包含圆C 2 ．方程①的特例：当1 时，方程①变成 ( D1D )x (EE ) yF F② ,21212若圆 C 与圆 C 2 相切，这时点P ， Q 重合为一点，则方程②表示两圆公切线的方程（切点为P ）．1（ 2）若直线 l ： Ax By C 0与圆 C ： x 2y 2 Dx Ey F 0 订交于不一样的两点 P ，Q ，则 过 P ， Q 两点的圆系方程为x 2y 2 Dx Ey F( Ax By C) 0 （ 为参数）．典例 3求圆心在直线x y0上，且过两圆x 2y 2 2x10y 24 0 ，x 2 y 22x 2 y 8 0交点的圆的方程．研析设所求圆的方程为x 2 y 2 2x10y 24x 2 y 2 2 x 2 y 80 (1) ，即 x2y 22(1) 2 5y8(3 )0，可知圆心坐标为(1, 5) ．11111由于圆心在直线 xy 0 上，因此15 0 ，解得2 ．11将2 代入所设方程并化简，可得所求圆的方程为x 2 y 2 6x 6 y 8 0 ．。
北师大版必修2高中数学第二章解析几何初步章末小结与测评课件课件
4．直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法 有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根 据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的 大小关系来判断)． (1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最 小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离． (2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成 直角三角形．
C．x2＋y2＝4
D．Байду номын сангаас2＋y2＝25
[借题发挥] 圆是一种特殊图形，既是中心对称图形又是轴 对称图形，圆心是对称中心，任意一条直径所在直线是对 称轴．圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经 过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；切线长定 理；直径所对的圆周角是直角等等．充分利用圆的几何性 质可获得解题途径，减少运算量．另外，对于未给出图形 的题目，要边读题边画图，这样能更好地体会圆的几何形 状，有助于找到解题思路．
第二章 解析几何初步
1．直线的五种方程
解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点 斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能 表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂 直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但 要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论．
2．距离问题
[借题发挥] 本题是一类探索性问题，解答这类题的思路是 先假设存在，再运用直线与圆相交时满足的几何性质或代 数关系作转化，求出所涉及的参数，最后通过验证来说明 其是否存在．
典例5 以原点为圆心，且截直线3x＋4y＋15＝0所得弦长为8的
圆的方程是( )
A．x2＋y2＝5
B．x2＋y2＝16
6．对称问题
高中数学第二章解析几何初步章末复习提升课课件北师大版必修2
方法归纳 由直线方程的一般式判断两直线的平行垂直关系时，若两直线 都存在斜率，可把它们化为斜截式，根据斜率、截距的关系判断， 若斜率不存在，则根据它们与坐标轴的关系判断．
能力挑战 2 已知两条直线 l1：ax－by＋4＝0；l2：(a－1)·x＋y ＋b＝0，求分别满足下列条件的 a，b 的值．
因此ab＝ ＝2－，2
或a＝23， b＝2.
专题三 圆的方程及位置关系问题 1.圆的方程有两种形式． (1)圆的标准形式：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圆的一般形式：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． 无论哪种形式都含有三个参数，求解圆的方程时常常利用待定 系数法，借助方程组求解． 2．直线与圆及圆与圆的位置关系的判断是圆的核心问题，求 解思路有两种——代数法、几何法．学习时应明确两种方法的优劣．
A．A＝ 3，B＝1 B．A＝－ 3，B＝－1 C．A＝ 3，B＝－1 D．A＝－ 3，B＝1
【解析】 将直线 Ax＋By－1＝0 化成斜截式 y＝－ABx＋B1. ∵B1＝－1，∴B＝－1，故排除 A，D. 又直线 3x－y＝3 3的倾斜角 α＝π3， ∴直线 Ax＋By－1＝0 的倾斜角为 2x＝23π ∴斜率－AB＝tan23π＝－ 3 ∴A＝－ 3. 【答案】 B
2．直线的交点坐标与距离公式
(1)两条直线平行与垂直的判定 设直线 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2. ①l1∥l2⇔k1＝k2 且 b1≠b2； ②l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 注意：当两条直线斜率均不存在时，它们都与 x 轴垂直，所以 当它们不重合时，这两条直线也平行；另外，若一条直线斜率不存
在，另一条直线斜率为 0，则它们也是垂直的，对于含有参数的两 条直线位置关系的判定，必须注意上述特殊情形．
[高中数学必修2]第二章 平面解析几何初步 知识梳理
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第二章 平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式1.数轴上的基本公式（1）数轴上的点与实数的对应关系直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。
数轴上的点与实数的对应法则：点P ←−−−→一一对应实数x 。
记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P(x)，当点P(x)中x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离为|OP|=x ；当点P 的坐标P(x)中x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点O 的距离|OP|=-x 。
可以通过比较两点坐标的大小来判定两点在数轴上的相对位置。
（2）向量位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量。
从点A 到点B的向量，记作AB 。
线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB|。
我们可以用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量。
例如：O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB=OB-OA ，所以AB=x 2-x 1。
注：①向量AB 的坐标用AB 表示，当向量AB 与其所在的数轴（或与其平行的数轴）的方向相同时，规定AB=|AB |；方向相反时，规定AB=-|AB |；②注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个非负数，而向量的坐标是一个实数，可以是正数、负数、零。
③对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC ，可理解为AC 的坐标等于首尾相连的两向量AB ，BC 的坐标之和。
（3）数轴上的基本公式在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC叫做位移AB 与位移BC 的和，记作：AC AB BC =+ 。
对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC 。
已知数轴上两点A(x 1)，B(x 2)则AB=x 2-x 1，d(A,B)=|x 2-x 1|。
高中数学 第二章 平面解析几何初步章末总结课件 新人教B版必修2
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平面解析几何初步需要解决的主要问题是:(1)理解直线坐标系、平面直 角坐标系和空间直角坐标系建立的实质.(2)直线的方程、圆的方程以及 直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系中的问题:①方程的确定,②位置 关系的判定,③距离问题,④对称问题,⑤最值问题及范围问题等. 解决上述问题的关键是:深刻理解坐标法的实质,用代数方法解决几何问 题,熟练掌握直线与圆的基本知识,并应用于解题过程中,运用以“形”助 “数”、以“数”解“形”的思想,把表达式(代数式)转化为“距离、倾 斜角、斜率、直线与圆、圆与圆”等这些有“形”概念.以此帮助我们分 析解决问题,从而体会数形结合的思想方法.
且|AB|=2 3 ,所以适合题意.综上所述,直线 l 的方程为 3x-4y+6=0 或 x=2.
方法技巧 当直线与圆相交时,设弦长为l,弦心距为d,半径为r,则有
( l )2+d2=r2.这一方法既可求弦长,又可知弦长求参数,关键是正确的列出
2
关于参数的方程.
【例4】 已知两圆☉C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,☉C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0, 问:m为何值时,(1)☉C1与☉C2相外切,(2)☉C1与☉C2内含.
故所求圆的方程为
x2+y2-2x-4y-8=0 或 x2+y2-6x-8y=0.
法二 设圆与 x 轴交点为 A(t-3,0),B(t+3,0). 圆心为 PQ 的中垂线和 AB 的中垂线的交点. PQ 的垂直平分线为 x-y+1=0,AB 的垂直平分线为 x=t,所以圆心(t,t+1). 由圆心到 A、P 距离相等, 得 32+(t+1)2=(t+2)2+(t-3)2,所以 t2-4t+3=0, 所以 t=1 或 t=3. 所以圆心为(1,2),半径为 13 或圆心为(3,4),半径为 5. 故所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=13 或(x-3)2+(y-4)2=25.
必修II 第二章解析几何初步小结
必修II 第二章解析几何初步1、直线方程的五种形式点斜式：00()y y k x x -=- 斜截式：y =kx +b 两点式：1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--截距式：1x y a b+= 一般式: 0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）2、圆的方程圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=，圆心为，半径为圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 圆心为 ，半径为3、两条直线的位置关系：11112222121212121212121211112221212:;:::::0,0,,,,l y k x b l y k x b l l k k l l k k b b l l k k b b l A x B y C A x B y C A A B B =+=+≠=≠==++=++=与相交与平行且与重合且若若都不为零12l l 与平行：111222A B C A B C =≠ 12:l l 与相交1122A BA B ≠12l l 与垂直: 12120A A B B += 12l l 与重合：111222A B CA B C ==4、直线与圆的位置关系直线0Ax By C ++=与圆 222()()x a y b r -+-=的位置关系有三种：（1）若d =，0d r >⇔⇔∆<相离（2）0d r =⇔⇔∆=相切 （3）0d r <⇔⇔∆>相交5、两圆的位置关系设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为1212,,||r r OO d =121212121212||||0||d r r d r r r r d r r d r r d r r >+⇔=+⇔-<<+⇔=-⇔<<-⇔外离外切相交内切内含6、直线系（1）过定点的直线系，思想方法是分离变量 （2）平行（垂直）直线系：与直线0Ax By C ++=平行的直线系：'0(')Ax By C C C ++=≠与直线1x y a b +=平行的直线系：(1)x ya bλλ+=≠ 与直线0Ax By C ++=垂直的直线系：'0Bx Ay C -+=（3）过12,l l 交点的直线系（共点直线系）：111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=（不含2l ）（4）二元二次方程111222()()0A x B y C A x B y C ++++=表示两条直线1l ：111A x B y C ++=0和2l ：222A x B y C ++=07、对称问题（1）点(,)P x y 关于点（a,b ）的对称点是'(2,2)P a x b y --（2）直线0Ax By C ++=关于点（a,b ）的对称直线是(2)(2)0A a x B b y C -+-+= （3）点00(,)P x y 关于直线0Ax By C ++=的对称点：利用垂直、中点解决。
高中数学 第2章 平面解析几何初步章末总结 苏教版必修2
第2章平面解析几何初步章末总结苏教版必修2一、待定系数法的应用待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件来确定这些系数的方法．直线、圆的方程常用待定系数法求解．例1求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为2的直线的方程．变式训练1 求圆心在圆(x －32)2＋y 2＝2上，且与x 轴和直线x ＝－12都相切的圆的方程．二、分类讨论思想的应用分类讨论的思想是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件．(在用二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时要分类讨论)；直线方程除了一般式之外，都有一定的局限性，故在应用直线的截距式方程时，要注意到截距等于零的情形；在用到与斜率有关的直线方程时，要注意到斜率不存在的情形．例2 求与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程．变式训练2 求过点A (3,1)和圆(x －2)2＋y 2＝1相切的直线方程．三、数形结合思想的应用数形结合思想是解答数学问题的常用思想方法，在做填空题时，有时常能收到奇效．数形结合思想在解决圆的问题时有时非常简便，把条件中的数量关系问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题用数量关系表示出来，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．例3 曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是________．变式训练3 直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是________．第二章 章末总结 答案重点解读例1 解 当直线过原点时，设直线的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0．由题意知|3k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝1或k ＝－17．所以所求直线的方程为x －y ＝0或x ＋7y ＝0．当直线不经过原点时，设所求直线的方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y －a ＝0．由题意知|3＋1－a |2＝2，解得a ＝2或a ＝6．所以所求直线的方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0．综上可知，所求直线的方程为x －y ＝0或x ＋7y ＝0或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0． 变式训练1 解 设圆心坐标为(a ，b )，半径为r ，圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．因为圆(x －32)2＋y 2＝2在直线x ＝－12的右侧，且所求的圆与x 轴和直线x ＝－12都相切，所以a >－12．所以r ＝a ＋12，r ＝|b |．又圆心(a ，b )在圆(x －32)2＋y 2＝2上，所以(a －32)2＋b 2＝2，故有⎩⎪⎨⎪⎧r ＝a ＋12，r ＝|b |，a －322＋b 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，r ＝1，b ＝±1.所以所求圆的方程是(x －12)2＋(y －1)2＝1或(x －12)2＋(y ＋1)2＝1．例2 解 (1)截距为0时，设切线方程为y ＝kx ，则d ＝|0－2|1＋k 2＝1，解得k ＝±3， 所求直线方程为y ＝±3x ．(2)截距不为0时，设切线方程为x －y ＝a ，则d ＝|0－2－a |12＋12＝1， 解得a ＝－2±2，所求的直线方程为 x －y ＋2±2＝0．综上所述，所求的直线方程为 y ±3x ＝0和x －y ＋2±2＝0．变式训练2 解 当所求直线斜率存在时， 设其为k ，则直线方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0． ∵直线与圆相切，∴d ＝|2k －0＋1－3k |1＋k2＝1， 解得k ＝0．当所求直线斜率不存在时，x ＝3也符合条件． 综上所述，所求直线的方程是y ＝1和x ＝3．例3 ⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34 解析 首先明确曲线y ＝1＋4－x 2表示半圆，由数形结合可得512<k ≤34．变式训练3 －1<b ≤1或b ＝－ 2解析 作出曲线x ＝1－y 2和直线y ＝x ＋b ，利用图形直观考查它们的关系， 寻找解决问题的办法．将曲线x ＝1－y 2变为x 2＋y 2＝1(x ≥0)．当直线y ＝x ＋b 与曲线x 2＋y 2＝1相切时，则满足|0－0＋b |2＝1，|b |＝2，b ＝±2．观察图象，可得当b ＝－2或－1<b ≤1时，直线与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点．。
高中数学第二章解析几何初步章末总结归纳课件高一数学课件
解得DE＝＝6－，2， F＝－15.
∴△ABC 外接圆方程是 x2＋y2－2x＋6y－15＝0.
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解法三：因为△ABC 外接圆的圆心既 在 AB 的垂直平分线上，也在 BC 的垂直平 分线上，所以先求 AB、BC 的垂直平分线 方程，求得的交点坐标就是圆心坐标．
∵kAB＝－63－－41＝－2，kBC＝0－－3－－63＝－13， 线段 AB 的中点为(5，－1)，线段 BC 的中点为32，－32，
第二十二页，共三十三页。
1．已知圆 x2＋y2＋2x－2y＋a＝0 截直线 x＋y＋2＝0 所得弦
的长度为 4，则实数 a 的值是( )
A．－2
B．－4
C．－6
D．－8
第二十三页，共三十三页。
解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，圆心(－1,1) 到直线 x＋y＋2＝0 的距离 d＝|－11＋2＋1＋122|＝ 2.则422＋( 2)2＝2 －a，解得 a＝－4.
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2．(2018·全国卷Ⅲ)直线 x＋y＋2＝0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，
B 两点，点 P 在圆(x－2)2＋y2＝2 上，则△ABP 面积的取值范围是
() A．[2,6]
B．[4,8]
C．[ 2，3 2]
D．[2 2，3 2]
第二十五页，共三十三页。
解析：∵直线 x＋y＋2＝0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点， ∴A(－2,0)，B(0，－2)，则|AB|＝2 2， ∵点 P 在圆(x－2)2＋y2＝2 上， ∴圆心为(2,0)，则圆心到直线的距离 d1＝|2＋02＋2|＝2 2， 故点 P 到直线 x＋y＋2＝0 的距离 d2 的范围为[ 2，3 2]， 则 S△ABP＝12|AB|d2＝ 2d2∈[2,6]，故选 A. 答案：A
高中数学 第二章 平面解析几何初步章末小结教案 新人教B版必修2(2021年最新整理)
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第二章平面解析几何初步示范教案错误!教学分析本节课是对第二章的基本知识和方法的总结和归纳，从整体上来把握本章,使学生基本知识系统化和网络化，基本方法条理化．通过小结与复习，对全章知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，在综合运用知识解决问题的能力上提高一步．采用分单元小结的方式,让学生自己回顾和小结各单元知识．在此基础上，教师可对一些关键处予以强调．比如可重申解析几何的基本思想-—坐标法．并用解析几何的基本思想串联全章知识,使全章知识网络更加清晰．指出本章学习要求和要注意的问题．可让学生先阅读教科书中“思考与交流”有关内容．教师重申坐标法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与讨论思想等数学思想方法在本章中的特殊地位．三维目标1．通过总结和归纳直线与直线的方程、圆与圆的方程、空间直角坐标系的知识，对全章知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，在综合运用知识解决问题的能力上提高一步．2．能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．重点难点教学重点：解析几何解题的基本思路和解题方法的形成．教学难点：整理形成本章的知识系统和网络．课时安排1课时错误!导入新课设计1.我们知道学习是一个循序渐进的过程，更是一个不断积累的过程．送给大家这样一句话：疏浚源头流活水，承上基础梳理已整合；千寻飞瀑悬彩练,启下重点突破须提升．每学完一个单元都要总结复习，这节课我们就来复习刚结束的本章．引出课题．设计2。
高中数学必修2(人教B版)第二章平面解析几何初步2.2知识点总结含同步练习题及答案
|a| = |b|
⋯⋯②
由 ①② 解得 a = b = 5 或 a = −1 ，b = 1 ，所以直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0． （ii）当 a = b = 0 时，直线过原点和 P (2, 3) ，所以直线方程为 3x − 2y = 0 ． 综上可知，所求直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0 或 3x − 2y = 0 ． 已知三角形的顶点是 A(−5, 0) ，B(3, −3) ，C (0, 2) ，求 AC 边所在直线的方程，以及该边上的 中线所在直线的方程． 解：过点 A(−5, 0) ，C (0, 2) 的两点式方程为
直线的基本量与方程 直线与直线的位置关系 直线的相关计算
三、知识讲解
1.直线的基本量与方程 描述： 直线的倾斜角 当直线l 与x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直 线l 的倾斜角（angle of inclination）．直线倾斜角α 的取值范围为0 ∘ ≤ α < 180 ∘ ．
2 y − (−3) x−3 由两点式得直线 BD 的方程为 ，整理可得 8x + 11y + 9 = 0 ，这就是 = 1 − (−3) −5 − 3 2 AC 边上的中线所在直线的方程．
⎪ ⎩
2.直线与直线的位置关系 描述： 直线 l 1 ：y = k1 x + b 1 ，l 2 ：y = k2 x + b 2 ． 当 l 1 与 l 2 平行时，则 k1 = k2 且 b 1 ≠ b 2 ； 当 l 1 与 l 2 重合时，则 k1 = k2 且 b 1 = b 2 ； 当 l 1 与 l 2 相交时，则 k1 ≠ k2 ，特别地，若两直线垂直，则 k1 ⋅ k2 =#43; B 1 y + C1 = 0, A 2 1 + B 1 ≠ 0 ，l 2 ：A 2 x + B 2 y + C2 = 0, A 2 + B 2 ≠ 0 ． 当 l 1 与 l 2 平行时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 ≠ B 2 C1 ； 当 l 1 与 l 2 重合时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 = B 2 C1 ； 当 l 1 与 l 2 相交时，则 A 1 B 2 ≠ A 2 B 1 ，特别地，若两直线垂直，则 A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 ． 例题： 直线 3x − 2y + m = 0 和 (m 2 + 1)x + 3y − 3m = 0 的位置关系是（ A．平行 B．重合 C．相交 D．不确定 解：两直线的斜率分别为 交． ）
第二章 解析几何初步章末归纳提升配套课件 北师大版必修2课件
数形结合思想 数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的 图形结合起来，即把代数中的“数”与几何上的“形”结合 起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法．数形结合 一般包括两个方面，即以“形”助“数”，以“数”解 “形”． 本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题，如 距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”， 因此这些问题若利用直观的几何图形处理会收到事半功倍的 效果．
【解】 设过原点的直线 l 交已知两直线于 P1，P2，且 O 为 P1，P2 的中点，∴P1 与 P2 关于原点对称．
若设 P1(x0，y0)，则 P2(－x0，－y0)， ∴4－x03＋x0y＋0＋5y60＝ －06， ＝0. ② ① ①＋②得 x0＋6y0＝0.
∴点 P1(x0，y0)，P2(－x0，－y0)都满足方程 x＋6y＝0， ∵过两点的直线有且只有一条，且该直线过原点， ∴所求直线 l 的方程即为 x＋6y＝0.
待定系数法
待定系数法是一种常用的解题方法，其实质是方程思 想，做法是使用一些字母作为待定的系数，然后根据条件列 出方程或方程组，解出这些待定的系数．直线和圆的方程常 用待定系数法求解．
根据下列条件求圆的方程． (1)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切 于点 P(3，－2)； (2)经过三点 A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
3y＋1＝0 上，求圆的方程． 【解】 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
a2＋b2＝r2， 由题意列出方程组a－12＋b－12＝r2，
2a＋3b＋1＝0，
a＝4， 解之得b＝－3，
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第二章 章末总结
一、数形结合思想
数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，即把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”，以“数”解“形”．
本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题，如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”，因此这些问题若利用直观的几何图形处理会收到很好的效果．
例1 设点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上．
求y ＋2x ＋1
的最小值．
例2讨论直线y＝x＋b与曲线y＝4－x2的交点的个数．
二、分类讨论思想的应用
分类讨论的思想是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件．(在用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时要分类讨论)；直线方程除了一般式之外，都有一定的局限性，故在应用直线的截距式方程时，要注意到截距等于零的情形；在用到与斜率有关的直线方程时，要注意到斜率不存在的情形．
例3过点P(－1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线方程．
例4求过点A(3,1)和圆(x－2)2＋y2＝1相切的直线方程．
三、对称问题
在解析几何中，经常遇到对称问题，对称问题主要有两大类，一类是中心对称，一类是轴对称．
1．中心对称
(1)两点关于点对称：设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点P2(2a －x1,2b－y1)，也即P为线段P1P2的中点，特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P′(－x，－y)．
(2)两直线关于点对称：设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于P 对称的点都在另外一条直线上，并且l1∥l2，P到l1、l2的距离相等．
2．轴对称
(1)两点关于直线对称：设P 1，P 2关于直线l 对称，则直线P 1P 2与l 垂直，且P 1P 2的中点在l 上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程．
(2)两直线关于直线对称：设l 1，l 2关于直线l 对称．
①当三条直线l 1、l 2、l 共点时，l 上任意点到l 1、l 2的距离相等，并且l 1、l 2中一条直线上任意一点关于l 对称的点在另外一条直线上；
②当l 1∥l 2∥l 时，l 1到l 的距离等于l 2到l 的距离．
例5 已知直线l ：y ＝3x ＋3，求：
(1)点P (4,5)关于l 的对称点坐标；
(2)直线y ＝x －2关于l 的对称直线的方程；
(3)直线l 关于点A (3,2)的对称直线的方程．
例6 自点P (－6,7)发出的光线l 射到x 轴上点A 处，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2＋y 2－8x －6y ＋21＝0相切于点Q ．求光线l 所在的直线方程．
第二章 章末总结 答案
例1 解
式子y ＋2x ＋1
的几何意义是点P (x ，y )与定点(－1，－2)连线的斜率．如图，当为切线l 1时，斜率最小．设y ＋2x ＋1
＝k ， 即kx －y ＋k －2＝0，由直线与圆相切， 得|－1＋k －2|k 2＋1＝1，
解得k ＝43．故y ＋2x ＋1
的最小值是43． 例2
解 如图所示，在坐标系内作出曲线y ＝4－x 2
的图像(半圆)．
直线l 1：y ＝x －2，
直线l 2：y ＝x ＋22．
当直线l ：y ＝x ＋b 夹在l 1与l 2之间(包括l 1、l 2)时，l 与曲线y ＝4－x 2有公共点； 进一步观察交点的个数可有如下结论：
①当b <－2或b >22时，直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝4－x 2无公共点；
②当－2≤b <2或b ＝22时，直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝4－x 2仅有一个公共点． ③当2≤b <22时，直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝4－x 2有两个公共点．
例3 解 (1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x ＝－1，x ＝0，它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，符合题意；
(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k ，则两条直线的方程分别为y ＝k (x ＋1)，y －2＝kx ．
令y ＝0，得x ＝－1与x ＝－2k
． 由题意得|－1＋2k
|＝1，即k ＝1． ∴直线的方程为y ＝x ＋1，y ＝x ＋2，
即为x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0．
综上可知，所求的直线方程为x ＝－1，x ＝0或x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0．
例4 解 当所求直线斜率存在时，设其为k ，
则直线方程为y －1＝k (x －3)，
即kx －y ＋1－3k ＝0．
∵直线与圆相切，
∴d ＝|2k －0＋1－3k |1＋k 2
＝1，解得k ＝0． 当所求直线斜率不存在时，x ＝3也符合条件．
综上所述，所求直线的方程是y ＝1和x ＝3．
例5 解 (1)设点P 关于直线l 的对称点为 P ′(x ′，y ′)，
则点P ，P ′的中点M 在直线l 上，且直线PP ′垂直于直线l ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ y ′＋52＝3·x ′＋42＋3y ′－5x ′－4×3＝－1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝－2y ′＝7， ∴P ′坐标为(－2,7)．
(2)设直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线为l 2，则l 1上任一点P 1(x 1，y 1)关于l 的对称点P 2(x 2，y 2)一定在l 2上，反之也成立．
⎩⎪⎨⎪⎧
y 1＋y 22＝3×x 1＋x 22＋3y 1－y 2
x 1－x 2×3＝－1， 解得⎩⎨⎧ x 1＝－45x 2＋35y 2－95y 1＝35x 2＋45y 2＋35，
把(x 1，y 1)代入y ＝x －2，
整理得7x 2＋y 2＋22＝0，
∴l 2方程为7x ＋y ＋22＝0．
(3)设直线l 关于点A (3,2)的对称直线为l ′，
由于l ∥l ′，可设l ′为y ′＝3x ′＋b (b ≠3)．
由点到直线的距离公式得 |3×3－2＋b |32＋1＝|3×3－2＋3|32＋1
， 即|b ＋7|＝10，解得b ＝－17或b ＝3(舍去)，
∴直线l ′的方程为y ′＝3x ′－17，
即对称直线的方程为3x －y －17＝0．
例6
解 如图，作圆x 2＋y 2
－8x －6y ＋21＝0关于x 轴的对称圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋21＝0，
由几何光学原理知，直线l 与圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋21＝0相切，
又∵l 的斜率必存在，故可设直线l ：
y －7＝k (x ＋6)，即kx －y ＋6k ＋7＝0．
由d ＝|4k ＋3＋6k ＋7|k 2＋1＝10|k ＋1|k 2＋1
＝2， 得k ＝－34或k ＝－43
， 故光线l 所在的直线方程为3x ＋4y －10＝0或4x ＋3y ＋3＝0．。