2018年福建省泉州质检数学试题及答案
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2018年泉州市初三质检数学试题一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分) (1)化简|-3|的结果是（ ）． (A)3 (B)-3 (C)±3 (D)31(2)如图是由八个相同小正方体组合而成的几何体，则其主视图是（ ）．(3)从泉州市电子商务中心获悉，近年来电子商务产业蓬勃发展截止到2018年3月，我市电商从业人员已达873 000人，数字873 000可用科学记数法表示为（ ）． (A)8.73×103 (B)87.3×104 (C)8.73×105 (D)0.873×106 (4)下列各式的计算结果为a 5的是（ ） (A)a 7-a 2 (B)a 10÷a 2 (C)(a 2)3 (D)( -a )2·a 3 (5)不等式组⎩⎨⎧≥+->-06301x x 的解集在数轴上表示为（ ）．(6)下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）．(7)去年某市7月1日到7日的每一天最高气温变化如折线图所示， 则关于这组数据的描述正确的是（ ）． (A)最低温度是32℃ (B)众数是35℃ (C)中位数是34℃ (D)平均数是33℃(8)在《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数几何?大意为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问人数是多少?若设人数为x ，则下列关于x 的方程符合题意的是（ ）． (A)8x -3=7x +4 (B)8(x -3)=7(x +4) (C)8x +4=7x -3 (D)81371=-x x +4 (9)如图，在3×3的网格中，A ，B 均为格点，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作弧，图中的点C 是该弧与格线的交点，则sin ∠BAC 的值是（ ）．(A)21 (B) 32(C) 35 (D) 552(10)如图，反比例函数y=xk的图象经过正方形ABCD 的顶点A 和中心E ，若点D 的坐标为(-1，0)，则k 的值为（ ）． (A)2 (B) 2- (C)1 (D) 1- A B C D(A) (B) (C) (D) A BC D EO xy(A) (B) (C) (D)二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分) (11)已知a =(21)°，b=2-1，则a _______b (填“>”，“<”或“=”) ． (12)正八边形的每一个内角的度数为________．(13)一个暗箱中放有除颜色外其他完全相同的m 个红球，6个黄球，3个白球现将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%附近，由此可以估算m 的值是________．(14)如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转120°，得到 △ADE ．这时点D 、E 、B 恰好在同一直线上，则 ∠ABC 的度数为________．(15)已知关于x 的一元二次方程(m -1)x 2- (2m -2)x -1=0 有两个相等实数根，则m 的值为________．(16)在平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=3，点E 为BC 中点，连结AE ，将△ABE 沿AE 折叠到△AB'E 的位置，若∠BAE=45°，则点B'到直线BC 的距离为________． 三、解答题：(本题共9小题，共86分) (17)( 8分)解方程：23-x 312+-x =1．(18) (8分)先化简，再求值：3223393a aa a a a +÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---，其中a =22．(19)(8分)如图，在锐角△ABC 中，AB=2cm ，AC=3cm ． (1)尺规作图：作BC 边的垂直平分线分别交AC ，BC 于点D 、E(保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)在(1)的条件下，连结BD ，求△ABD 的周长．(20)(8分)为进一步弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展以下四项活动：A 经典古诗文朗诵；B 书画作品鉴赏；C 民族乐器表演；D 围棋赛。
福建省泉州市2018届高三第二次(5月)质量检查数学参考答案(文科数学)
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制定相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答 有较严重的错误，就不再给分。 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 60 分． （ 1） C （ 7） A 第 11 题解析： 四棱锥 P ABCD 的体积 V 1 4 2 8 ，当球与四棱锥的各面均相切时， R 达到最大． （2）C （8）D （ 3） D （ 9） D （ 4） A （10）B （5）C （11）A （6）A （12）C
由对称性知 S△PFB S△PFM S △PFA ，故 S△PFA 2S △PFB ．
1 FP y1 S△PFA 2 y 1 ，即 y1 2 y2 ． 可得 2 S△PFB 1 FP y y2 2 2
直线 AB : x ty c t
1 2 2 2 2 2 2 , 与椭圆 C : b x a y a b 0 联立得 3 2b 2ct b 4 ， ． y y 1 2 b 2t 2 a 2 b 2t 2 a 2
2 2 2 2
1 , 3
联立得 t a
2
2
y
2
2ct y 1 0 ，则 y1 y2
福建省泉州市2018届高三下学期质量检查(3月)理科数学答案
2018年泉州市高三毕业班3月质检理科数学 答题卡姓名：______________________________ 准考证号 2 0 5 3 6第I 卷（请规范书写ABCD ）题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B C A B C 题号 7 8 9 10 11 12 答案BCCDBD第II 卷(请在各试题的答题区内作答)成绩（13）5 ； （14）6； （15）4； （16）43． 17. （本小题满分12分解：（Ⅰ）由已知1，n a ，n S 成等差数列，得21n n a S =+…①, 1分当1n = 时，1121a S =+，所以11a =； 2分当2n ≥时，1121n n a S --=+…②， 3分①②两式相减得122n n n a a a --=，所以12n n aa-=， 4分 则数列{}n a 是以11a =为首项，2q =为公比的等比数列， 5分所以1111122n n n n a a q ---==⨯=． 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得()()()()11122 112121nn n n nn n a b a a ++++==----7分 1112121n n +=---， 9分所以，12n b b b +++ 2231111111212121212121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭11121n +=--11分因为1221213n +-≥-=，1110213n +<≤-， 所以12111321n +≤-<-，即证得12213n b b b ≤+++<． 12分请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效18. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）连结CE ．在四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，23AB ，4BC ，6AD ，13AE AD ， ∴12A E AE ==，4BE DE ==， 1分∴四边形BCDE 为菱形，且BCE ∆为等边三角形．又∵P 为BE 的中点，∴CP BE ⊥. 2分∵1122A P BE ==，23CP =，14AC ， 满足22211A P CP A C +=，∴1CP A P ⊥， 3分又∵1A P BE P =，∴CP ⊥平面1A BE . 4分∵CP ⊂平面1A CP ，∴平面1A CP 平面1A BE ． 5分 （Ⅱ）以P 为原点，向量,PB PC 的方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立空间直角坐标系P xyz -（如图）， 6分 则()0,0,0P (0,23,0)C ，(4,23,0)D -，()11,0,3A -，所以()11,0,3PA =-，(4,23,0)PD =-， 7分 设(),,x y z =n 是平面1A PD 的一个法向量， 则10,0,PA PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即30,4230,x z x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩8分 取1z =，得(3,2,1)=n ． 9分取平面1A BE 的一个法向量()0,1,0=m ． 10分 ∵22cos ,222===n m n m n m ， 11分 又二面角1B A P D --的平面角为钝角，所以二面角1B A P D --的余弦值为22-． 12分 z yx A1P DE CB请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效19. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由图19-2可知，100株样本树苗中高度高于1.60的共有15株，以样本的频率估计总体的概率，可得这批树苗的高度高于1.60的概率为0.15. 1分 记X 为树苗的高度，结合图19-1可得： 2(1.20 1.30)(1.70 1.80)0.02100f X f X <≤=<≤==， 2分 13(1.30 1.40)(1.60 1.70)0.13100f X f X <≤=<≤==， 3分 1(1.40 1.50)(1.50 1.60)(120.0220.13)0.352f X f X <≤=<≤=-⨯-⨯=，4分 又由于组距为0.1，所以0.2, 1.3, 3.5a b c ===． 5分（Ⅱ）以样本的频率估计总体的概率，可得：从这批树苗中随机选取1株，高度在[1.40,1.60]的概率为：(1.40 1.60)(1.40 1.50)(1.50 1.60)0.7P X f X f X <≤=<≤+<≤=6分 因为从这批树苗中随机选取3株，相当于三次重复独立试验， 所以随机变量ξ服从二项分布(3,0.7)B ， 7分故ξ的分布列为：33()C 0.30.7(0,1,2,3)n n n P n n ξ-==⋅⋅=， 8分即： ξ 0 1 2 3 ()P ξ 0.027 0.189 0.441 0.343 ()00.02710.18920.44130.343 2.1E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= （或()30.7 2.1E ξ=⨯=）. 9分（III ）由(1.5,0.01)N ，取 1.50μ=，0.1σ=， 由（Ⅱ）可知，()P X μσμσ-<≤+=(1.40 1.60)0.7>0.6826P X <≤=，10分又结合（Ⅰ），可得：(22)P X μσμσ-<≤+=(1.30 1.70)P X <≤ 2(1.60 1.70)(1.40 1.60)f X P X =⨯<≤+<≤ 0.96>0.9544=， 11分所以这批树苗的高度满足近似于正态分布(1.5,0.01)N 的概率分布，应认为这批树苗是合格的，将顺利获得该公司签收． 12分请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效由32NP NM=可得y⎧⎪⎨所以点P的轨迹E的方程为11a-≤或≥，1][1,)+∞．请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效。
泉州市2018届高三单科质量检查理科数学(含解析)(2018.01)
（B）x x 1
（C） x
1
x
1 2
（D） x
1 2
x
1
（2）已知 z 为复数 z 的共轭复数， 1 i z 2i ，则 z
（A） 1 i
（B） 1 i
（C）1 i
（D）1 i
（3）设等差数列an 的前 n 项和为 Sn .若 a2 a1 2 ， S5 S4 9 ，则 a50
日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.
现执行该程序框图，输入的 d 的值为 33，则输出的 i 的值为
（A）4
（B）5
（C）6
（D）7
（8）下列函数中，图象关于原点对称且单调递增的是
（A） f x sin x x
（B） f x ln x 1 ln x 1
e
x
ax
e
2,
x
0, 0,
恰有两个零点，则实数
a
的取值范围是
（A） 0,1
（B） e, （C） 0,1 e, （D） 0,1 e2,
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
（13）在平面直角坐标系 xOy 中，角 的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分 10 分）
已知抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点为 F ，点 A( p , a)(a 0)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在 C 上， AF 3 . 4
（Ⅰ）求 C 的方程； AF
泉州市2018届普通高中毕业班3月份质量检查(理科数学)参考答案与评分细则(简案终稿)
奥运背后的赌博：赞助很给力选择需谨慎作者：暂无来源：《时代汽车》 2012年第9期文刘春晓2008年北京奥运会的辉煌似乎仍在眼前，转眼间2012伦敦奥运会也已经落下了帷幕，从无与伦比到快乐的奥运会，这两届奥运会都带给了世界人民极大的欢娱。
作为一项面向全世界的体育盛事，诸多的商家也把奥运会看成巨大的商机，小到饮料、服装，大到体育器材等，这其中当然也少不了汽车，汽车企业在奥运上的营销宣传堪比一场大战。
2008年大众汽车是北京奥运会的独家赞助商，伦敦奥运会的独家赞助商是宝马汽车，这两家的竞争已经从汽车市场延伸到了奥运赛场。
除了宝马和奥迪汽车，别的品牌也没有放弃在奥运会上的宣传，纷纷通过各种手段搭上奥运营销的大船，雪铁龙汽车是中国羽毛球队的赞助商，广汽在易思玲获得首金后直接赠送汽车，也赚了不少的目光，更有一些汽车厂商开始了汽车秒杀活动，只要中国队获得一枚金牌，消费者就有机会秒杀一辆汽车……奥运营销竞争是残酷的，所投入的营销成本也远高于其他宣传渠道，但是汽车商家依然乐此不疲，有统计显示赞助奥运的汽车车企有七成左右都是人不敷出，也就是说赞助奥运的所有汽车厂商都是在赔本赚吆喝。
赔本也要做，看重的就是奥运会的巨大影响力和传播力，几十亿人都在关注的赛事，如果自己的产品能够在这个舞台上引起受众的注意，那么所形成的宣传效果就是全球性的，虽然成本可能收不回来，但是达到的品牌效果确是别的方式很难达到的。
在奥运会的舞台上各家车企如同八仙过海，但是在前期选择赞助哪个项目或者哪个队伍，都有着浓重的赌博心态。
如果所赞助的队伍或者个人，能够夺得金牌，这个钱花的还是很值的，如果获得的成绩不佳，那么在奥运会上的营销就是赔本的买卖，甚至连吆喝都赚不回来。
在这次奥运会比较典型的就是刘翔，刘翔代言了新宝马三系，也代言了凯迪拉克，可是跟2008年如出一辙的退赛，让这个宣传效果打了不少折扣。
在刘翔退赛后，宝马汽车的微博也发出了自己的评论，既是一种后续的补充宣传，同时也表明自己企业的态度。
2018年泉州市初中学业质量检查数学参考答案及评分标准
…………………………………4 分
证明： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AB CD, ABC DCB 90 ．…………………………………………………………6 分
在 ABC 与 DCB 中，
AB DC ABC DCB BC CB
……………………………………………………………………………7 分
三、解答题（共 86 分） （17）（本小题 8 分）
（15） 0
（16） 2 2 . 3
解：去分母，得 3(x 3) 2(2x 1) 6, ……………………………………………………3 分
3 x 9 4 x 2 6, ………………………………………………………5 分
3 x 4 x 6 9 2, ………………………………………………………6 分
由 A 3,0， C1,2 可求得直线 AC 的解析式为 y x 1 ．
由题意设点 F m, 1 m2 m 3 (其中 m 1)，则点 Em, m 1，
2
2
∴ EF 1 m2 m 3 m 1 1 m2 1 4 ，………………………………………7 分
∴ AEB ≌ AFD ．…………………………4 分
∴ AF AE , ∴ CD 是⊙A 的切线．…………………………5 分
（Ⅱ）解：在菱形 ABCD 中， AB BC 6, AB CD ， ∴ B C 180 ． ∵ C 135， ∴ B180135=45．……………………6 分
解法二：画树状图如下：
由树状图可知，共有 16 种等可能的结果，其中他们参加的项目相同的有 4 种，
所以 P （项目相同）= 4 1 ．………………………………………………………………8 分 16 4
2018年泉州市小学毕业班教学质量抽查数学科试卷参考答案及评分标准
2018年泉州市小学毕业班教学质量抽查数学科试卷(参考答案及评分标准)一、计算题。
（15+9，共24分）1．递等式计算。
（9分）60182823-÷ 0.36401845⨯+÷ 375254÷⨯ ＝601-36 ……1.5分 ＝14.4+0.4……1.5分 ＝15×4……1.5分 ＝565……3分 ＝14.8 ……3分 ＝60……3分11127979÷-⨯ 6143+7454⎡⎤÷-⎢⎥⎣⎦（）＝1127799⨯-⨯ ……1分 ＝611+7420⎡⎤÷⎢⎥⎣⎦……1分＝112799-⨯（） ……2分 ＝63710÷ ……2分＝7……3分 ＝61073⨯……2.5分＝204277（）……3分（没用简便方法计算，结果正确不扣分。
）2．解方程。
（9分）23+341.6x = 1.2 1.04x x -= 22::255x = 解：3χ＝41.6-23…1分 解：0.2χ＝1.04 ……1分 解：2χ＝2255⨯……1分3χ＝18.6……2分 χ＝1.04÷0.2 …2分 2χ＝425……2分χ＝6.2……3分 χ＝5.2……3分 χ＝225（0.08）…3分二、填空题。
（第1题4分，其余每题2分，共22分）3． 平方千米 毫米 4 1.05 4. 16 15 24 37.55. (答案不唯一)如:3 3是质数或3是这组数中最小的数 6 6是偶数35 35是两位数或35是这组数中最大的数或35不是3的倍数 6. 1.5 7. （答案不唯一）A 、B 均为质数即可8. 7 9.C-2b 或2a 或（a-b+b ）×2 10. 44 11. 30 35 12. 9三、选择题。
（填写正确答案的序号）（每小题2分，共20分）13. C ； 14. C ； 15. A ； 16. D ； 17. B ； 18.D ；19. C ； 20. B ； 21. B ；22.D四、操作与思考。
2018年5月份泉州市质检数学试卷答案
3)
a3
aa
3
a2 ．………………………………………………………………………………6 分
当 a 2 时， 2
原式
2 2
2
……………………………………………………………………………7 分
= 1 ．……………………………………………………………………………………8 分 2
…………………………………4 分
证明： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AB CD, ABC DCB 90 ．…………ABC 与 DCB 中，
AB DC ABC DCB BC CB
……………………………………………………………………………7 分
2018 年泉州市初中学业质量检查
数学参考答案及评分标准
说明：
（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分． （二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原
则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．
（19）（本小题 8 分）
解：（Ⅰ）如图所示，直线 DE 为所求作的；………………3 分 （Ⅱ）∵ DE 垂直平分 BC ，
∴ BD CD ．………………………………………5 分 ABD 的周长= AB AD BD
AB AD CD AB AC
2018 年泉州市初中学业质量检查数学参考答案
∴ AEB ≌ AFD ．…………………………4 分
∴ AF AE , ∴ CD 是⊙A 的切线．…………………………5 分
（Ⅱ）解：在菱形 ABCD 中， AB BC 6, AB CD ， ∴ B C 180 ． ∵ C 135， ∴ B180135=45．……………………6 分
2018届福建省泉州市高三质检理科数学试题及答案
泉州市2018届高三质检数学试卷（理科）一、本大题共10小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|x+1＜0}，B={x|3﹣x＞0}，那么集合A∩B（） A．{x|x＜﹣1} B．{x|x＜3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．∅3．某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的x=0.1，则运行后输出的y值是（）A．﹣1 B． 0.5 C． 2D．104．在二项式（2x+3）n的展开式中，若常数项为81，则含x3的项的系数为（）A．216 B． 96 C．81 D．165．已知等比数列{a n}的首项a1=1，公比q≠1，且a2，a1，a3成等差数列，则其前5项的和S5=（）A．31 B． 15 C． 11 D．56．已知某产品连续4个月的广告费用x i（千元）与销售额y i（万元），经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①x i=18，y i=14；②广告费用x和销售额y之间具有较强的线性相关关系；③回归直线方程=x+中的=0.8（用最小二乘法求得）．那么，当广告费用为6千元时，可预测销售额约为（）A． 3.5万元B． 4.7万元C． 4.9万元D． 6.5万元7．已知l，m为不同的直线，α，β为不同的平面，如果l⊂α，且m⊂β，那么下列命题中不正确的是（）A．“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件B．“l⊥m”是“l⊥β”的必要不充分条件C．“m∥α”是“l∥m”的充要条件D．“l⊥m”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件8．在如图所示的棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是正方形BCC1B1的中心，则三棱锥P﹣AB1D1的体积等于（）A．B．C．D．9．某数学爱好者设计了一个食品商标，如果在该商标所在平面内建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则商标的边缘轮廓线AOC恰是函数y=tan的图象，边缘轮廓线AEC恰是一段所对的圆心角为的圆弧．若在图中正方形ABCD内随机选取一点P，则点P落在商标区域内的概率等于（）A．B．C．D．10．（2018•泉州一模）如图，对于曲线Ψ所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得α≥∠AOB对于曲线Ψ上的任意两个不同的点A、B恒成立，则称角α为曲线Ψ上的任意两个不同的点A、B 恒成立，则称角α为曲线Ψ的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线Ψ的相对于点O的“确界角”．已知曲线C：y=（其中e=2.71828…是自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线C的相对于点O的“确界角”为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卷的相应位置．11．（4分）（2018•泉州一模）（x2+sinx）dx= _________ ．12．（4分）（2018•泉州一模）若对满足不等式组的任意实数x，y，都有2x+y≥k成立，则实数k的最大值为_________ ．13．（4分）（2018•泉州一模）已知直线l过双曲线C：3x2﹣y2=9的右顶点，且与双曲线C的一条渐近线平行．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点恰好在直线l上，则p= _________ ．14．（4分）（2018•泉州一模）已知：△AOB中，∠AOB=90°，AO=h，OB=r，如图所示，先将△AOB绕AO所在直线旋转一周得到一个圆锥，再在该圆锥内旋转一个长宽都为，高DD 1=1的长方体CDEF﹣C1D1E1F1．若该长方体的顶点C，D，E，F都在圆锥的底面上，且顶点C1，D1，E1，F1都在圆锥的侧面上，则h+r的值至少应为_________ ．15．（4分）（2018•泉州一模）定义一种向量运算“⊗”：⊗=（，是任意的两上向量）．对于同一平面内的向量，，，，给出下列结论：①⊗=⊗；②λ（⊗）=（λ）⊗（λ∈R）；③（+）⊗=⊗+⊗④若是单位向量，则|⊗|≤||+1以上结论一定正确的是_________ ．（填上所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（13分）（2018•泉州一模）某校高三年段共有1000名学生，将其按专业发展取向分成普理、普文、艺体三类，如图是这三类的人数比例示意图．为开展某项调查，采用分层抽样的方法从这1000名学生中抽取一个容量为10的样本．（Ⅰ）试求出样本中各个不同专业取向的人数；（Ⅱ）在样本中随机抽取3人，并用ξ表示这3人中专业取向为艺体的人数．试求随机变量ξ的数学期望和方差．17．（13分）（2018•泉州一模）已知函数f（x）=2sin•cos﹣2cos2+（ω＞0），其图象与直线y=2的相邻两个公共点之间的距离为2π．（Ⅰ）若x∈[0，π]，试求出函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）△ABC的三个内角A，B，C及其所对的边a，b，c满足条件：f（A）=0，a=2，且b，a，c成等比数列．试求在方向上的抽影n的值．18．（13分）（2018•泉州一模）已知M（0，），N（0，﹣），G （x，y），直线MG与NG的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求点G的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）过点P（0，3）作一条与轨迹Γ相交的直线l．设交点为A，B．若点A，B均位于y轴的右侧，且=，请求出x轴上满足|QP|=|QB|的点Q的坐标．19．（13分）（2018•泉州一模）设函数f（x）=﹣x n+ax+b（a，b∈R，n∈N*），函数g（x）=sinx．（Ⅰ）当a=b=n=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=b=1，n=2时，求函数h（x）=g（x）﹣f（x）的最小值；（Ⅲ）当n=4时，已知|f（x）|≤对任意x∈[﹣1，1]恒成立，且关于x的方程f（x）=g（x）有且只有两个实数根x1，x2．试证明：x1+x2＜0．20．（14分）（2018•泉州一模）几何特征与圆柱类似，底面为椭圆面的几何体叫做“椭圆柱”．图1所示的“椭圆柱”中，A′B′，AB 和O′，O分别是上、下底面两椭圆的长轴和中心，F1、F2是下底面椭圆的焦点．图2是图1“椭圆柱”的三视图及其尺寸，其中俯视图是长轴在一条水平线上的椭圆．（Ⅰ）若M，N分别是上、下底面椭圆的短轴端点，且位于平面AA′B′B的两侧．①求证：OM∥平面A′B′N；②求平面ABN与平面A′B′N所成锐二面角的余弦值；（Ⅱ）若点N是下底面椭圆上的动点，N′是点N在上底面的投影，且N′F1，N′F2与下底面所成的角分别为α、β，请先直观判断tan （α+β）的取值范围，再尝试证明你所给出的直观判断．本题有21、22、23三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分7分．如果多做，则按所做的前两题记分．【选修4-2：矩阵与变换】21．（7分）（2018•泉州一模）在平面直角坐标系xOy中，线性变换σ将点（1，0）变换为（1，0），将点（0，1）变换为（1，2）．（Ⅰ）试写出线性变换σ对应的二阶矩阵A；（Ⅱ）求矩阵A的特征值及属于相应特征值的一个特征向量．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（7分）（2018•泉州一模）平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的方程为x2+y2=4．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l和圆C的交点的极坐标（要求极角θ∈[0，2π））【选修4-5：不等式选讲】23．（2018•泉州一模）设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．2014届泉州市普通中学高中毕业班质量检查理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．D 2．A 3．A 4．B 5．C 6．B 7．C 8．D 9．C 10．A二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.11．2312． 2 13. 6 14． 4 15．①④三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．本小题主要考查概率、统计的基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解：（Ⅰ）由题意，可得该校普理生、普文生、艺体生的人数比例为2：2：1， …………2分所以10人的样本中普理生、普文生、艺体生的人数分别为4人，4人，2人.…………4分（Ⅱ）由题意，可知0,1,2ξ=， …………5分3082310567(0)12015C C P C ξ====，2182310567(1)12015C C P C ξ====，128231081(2)12015C C P C ξ====， 所以随机变量ξ的分布列为…………9分18．本题主要考查直线、圆锥曲线的方程和性质，直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）(0),(0),MG NG y y k x k x x x -=≠=≠ …………2分由已知有3(0)4y y x x x +⋅=-≠，化简得轨迹Γ的方程为221(0)43x y x +=≠. …5分（Ⅱ）设直线l 的方程为3(0)y kx k =+<，1122(,),(,)A x y B x y (120,0x x >>). …6分因为BA AP =，(0,3)P ， 所以212x x =. ……………………………① …7分联立方程组223,3412y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得22(43)24240k x kx +++=， ……（*）…8分 所以1222443k x x k -++=………②， 1222434x x k ⋅=+………………③. …9分 由①得212122()9x x x x =+，又由②③得，222()8124343k k k -++=，所以293,42k k ==±.因为120,0x x >>，所以12224403k k x x +=+>-，0k <，所以32k =-. …………11分 当32k =-时，方程（*）可化为2320x x -+=，解得11x =，22x =，所以(2,0)B (3(1,)2A ). …12分法一：因为QP QB =，A 是PB 的中点，所以QA l ⊥，23AQ k =.设(,0)Q m ,则32213m =-，解得54m =-，所以Q 的坐标为5(,0)4-. …………13分 法二：设(,0)Q m ,因为QP QB =，所以229(2)m m +=-，解得54m =-， 所以Q 的坐标为5(,0)4-. …………13分19．本题主要考查函数、导数、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想、有限与无限思想等．满分13分．解：（Ⅰ）当3a b n ===时，3()33f x x x =-++，2()33f x x '=-+. …1分解()0f x '>得11x -<<；解()0f x '<得11x x ><-或. …………2分 故()f x 的单调递增区间是(1,1)-，单调递减区间是(,1)-∞-和(1,)+∞. …………4分另解：当3a b n ===时，3()33f x x x =-++，2()33f x x '=-+. …1分令()0f x '=解得1x =-或1x =. ………2分()f x '的符号变化规律如下表：…………3分故()f x 的单调递增区间是(1,1)-，单调递减区间是(,1)-∞-和(1,)+∞. …………4分（Ⅱ）当1a b ==且2n =时，2()sin 1h x x x x =+--，则()cos 21h x x x '=+-， ……5分令()()x h x ϕ'=，则()sin 2x x ϕ'=-+，……6分因为()sin 2x x ϕ'=-+的函数值恒为正数，所以()x ϕ在(,)-∞+∞上单调递增， 又注意到(0)0ϕ=，所以，当0x > 时，()()(0)0x h x h ϕ''=>=，()h x 在(0,)+∞ 单调递增；当0x < 时，()()(0)0x h x h ϕ''=<=，()h x 在(,0)-∞ 单调递减 . ……8分所以函数()()()h x g x f x =-的最小值min ()(0)1h x h ==-. …………9分另解：当1a b ==且2n =时，2()sin 1h x x x x =+--，则()cos 21h x x x '=+-， ……5分令()cos 210h x x x '=+-=，得cos 21x x =-+. 考察函数cos y x =和21y x =-+的图象，可知：当0x < 时，函数cos y x =的图象恒在21y x =-+图象的下方，()0h x '<； 当0x > 时，函数cos y x =的图象恒在21y x =-+图象的上方，()0h x '>.所以()h x 在(,0)-∞ 单调递减，在(0,)+∞ 单调递增， ……8分 所以函数()()()h x g x f x =-的最小值min ()(0)1h x h ==-. …………9分（Ⅲ）因为对任意[1,1]x ∈-，都有1()2f x ≤，所以111(0),(1),(1)222f f f ≤≤-≤， 即11,22111+,22111+,22b a b a b ⎧-≤≤⎪⎪⎪-≤-+≤⎨⎪⎪-≤--≤⎪⎩亦即 11,(1)2213+,(2)2213+,(3)22b a b a b ⎧-≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪⎪≤-≤⎪⎩由（2）+（3）得13(4)22b ≤≤，再由（1）（4），得12b =，将12b =代入（2）（3）得0a =. 当0a =，12b =时，41()2f x x =-+. …………10分 因为[1,1]x ∈-，所以201x ≤≤，401x ≤≤，410x -≤-≤，4111222x -≤-+≤， 所以41()2f x x =-+符合题意. …………11分 设41()()()sin 2F x f x g x x x =-=-+-.因为1111(2)16sin(2)0,(1)1sin(1)sin1sin 022262F F π-=-+--<-=-+--=->-=，111(0)sin 00,(1)1sin1sin10222F F =->=-+-=--<， ……12分又因为已知方程()()f x g x =有且只有两个实数根12,x x （不妨设12x x <）， 所以有1221,01x x -<<-<<，故120x x +<. …………13分20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、空间向量、三角函数等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想及应用意识. 满分14分. 解：（Ⅰ）（i ）连结','O M O N ，∵''O O O ⊥底面，''O M O ⊂底面，∴''O O O M ⊥. …1分∵'''O M A B ⊥，'''O O AA B B ⊂平面，''''A B AA B B ⊂平面，''A B ''O O O =，∴'''O M AA B B ⊥平面. …2分类似可证得''ON AA B B ⊥平面，∴'//O M ON . 又∵'O M ON =， ∴四边形'ONO M 为平行四边形， ∴'OM O N . …3分又∵'','''OM A B N O N A B N ⊄⊂平面平面， ∴OM 平面''A B N . …………4分（ii ）由题意，可得'AA =，短轴长为2. …5分如图，以O 为原点，AB 所在直线为x 轴，'OO 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则有2(1,0,0),(0,1,0),'(F N A B ，∴'(2,1,6),'(2,NA NB =--=-， …6分 ∵z 轴⊥平面ABN ，∴可取平面ABN 的一个法向量1(0,0,1)n =.设平面''A B N 的一个法向量为2(,,)n x y z =，则'20,'20n NA y n NB x y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，化简得0,x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，得2n =. …8分设平面ABN 与平面''A B N 所成锐二面角为θ.则12127cos 7||||n n nn θ⋅==⋅.…………9分（Ⅱ）当点N 为下底面上椭圆的短轴端点时，12NF NF ==1'tan tan NN NF αβ===3παβ==， 23παβ+=，tan()αβ+=当点N 为下底面上椭圆的长轴端点（如右顶点）时，11NF =，21NF =，1'tan NNNF α=2'tan NN NF β=tan tantan()1tan tan 5αβαβαβ++==--. 直观判断tan()αβ+的取值范围为[5-. （说明：直观判断可以不要求说明理由.） …10分 ∵'N 是点N 在上底面的投影，∴'N N ⊥上底面'O ，∵上下两底面互相平等， ∴'N N ⊥下底面O ，即'N N ⊥平面ABN ，∴12','N F N N F N ∠∠分别为12','N F N F 与下底面所成的角，即12','N F N N F N αβ∠=∠=. …11分 又∵12,NF NF ⊂平面ABN ， ∴12','NN NF NN NF ⊥⊥. 设12,NF m NF n ==，则m n +=，且12''tan ,tan NN NN NF m NF nαβ==＝＝，∴)tan()66m n mn mn mn αβ+++===--. …12分∵m n +=，∴2)(2mn m m m =-=-+.11m -≤≤,∴ 12mn ≤≤. …13分∴564mn -≤-≤-，6mn ≤≤--.从而证得：tan()αβ+的取值范围为[]5-. …………14分21．（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.满分7分.解：（Ⅰ）设a b c d ⎛⎫=⎪⎝⎭A ，则1100a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，0112b d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，所以1102⎛⎫=⎪⎝⎭A ； …………3分 （Ⅱ）矩阵A 的特征多项式为11()(1)(2)02f λλλλλ--==---，............4 令()0f λ=，得矩阵A 的特征值为121,2λλ==. (5)对于特征值11λ=，解相应的线性方程组00,00x y x y ⋅-=⎧⎨⋅-=⎩，即0y =，令1x =，得该方程的一组非零解1,x y =⎧⎨=⎩，所以110⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ是矩阵A 的属于特征值11λ=的一个特征向量. (6)对于特征值22λ=，解相应的线性方程组0,000x y x y -=⎧⎨⋅+⋅=⎩，即x y =，令1x =，得该方程的一组非零解1,1x y =⎧⎨=⎩， 所以211⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ是矩阵A 的属于特征值22λ=的一个特征向量. …………7分 （2）（本小题满分7分）选修4—4:坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等.满分7分.解：（Ⅰ）直线l的普通方程为20x +-=， …………………………（*）将cos ,sin x y ρθρθ==代入（*），得cos sin 20ρθθ+-=，……1分 化简得线l 的方程为cos()13πρθ-=， ……2分圆C 的极坐标方程为2ρ=. …………3分（Ⅱ）联立方程组2,cos()13ρπρθ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去ρ得1cos()32πθ-=， ………4分 因为[0,2)θπ∈， 所以5333πππθ-≤-<，所以33ππθ-=-或33ππθ-=，………6分所以直线l 和圆C 的交点的极坐标为2(2,0),(2,)3π. …………7分 （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲本小题主要考查绝对值的含义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想等.满分7分. 解：（Ⅰ）()3f x ==+≤=，……2分当且仅当4x =时等号成立. ……3分故函数()f x 的最大值3M =.（Ⅱ）由绝对值三角不等式，可得12(1)(2)3x x x x -++≥--+=. ……4分 所以不等式123x x -++≤的解x ，就是方程123x x -++=的解. ……5分 由绝对值的几何意义，可得当且仅当21x -≤≤时，123x x -++=. ……6分所以不等式12x x M -++≤的解集为{|21}x x -≤≤. ……7分。
泉州市3月质检(文科数学)参考答案与评分细则(简案终稿)
泉州市2018届普通中学高中毕业班质量检查文科数学试题参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可在评卷组内讨论后根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步仅出现严谨性或规范性错误时，不要影响后续部分的判分；当考生的解答在某一步出现了将影响后续解答的严重性错误时，后继部分的解答不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）A （3）C （4）C（5）A（6）C （7）B（8）D（9）D（10）D （11）B（12）B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．（13）6; （14）2; （15）[0,1]; （16）5150. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本小题满分12分） 解法一：（Ⅰ）根据正弦定理，2cos 2c A a b ⋅-=等价于2sin cos sin 2sin C A A B ⋅-=．……………………2分又因为在ABC △中，)sin()πsin(sin C A C A B +=--=C A C A sin cos cos sin +=．……………4分故2sin cos sin 2sin cos 2cos sin C A A A C A C ⋅-=+， 从而sin 2sin cos A A C -=，因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，得1cos 2C =-， ……………5分 因为()0,πC ∈，所以2π3C =． …………………6分 （Ⅱ）由4a b ==，可得π6A B ==， …………………7分因为1sin 2ACD S AC AD A =⋅⋅△3=，所以AD = ………………8分根据余弦定理，得22π424cos76CD =+-=，即CD =10分 在ACD △中，根据正弦定理有41sin 2ADC =∠，得sin 7ADC ∠==．………11分 因为πBDC ADC ∠+∠=，故sin BDC ∠=12分 解法二：（Ⅰ）同解法一． ……………………6分（Ⅱ）由4a b ==，可得π6A B ==，……………………7分 根据正弦定理sin sin sin a b cA B C==，可得c = ……………………8分 取AB 的中点M ，连接CM ，CM 为ABC ∆边AB 上的高，且4sin 2CM A ==， ……………………9分由321=⨯⨯=CM AD S ACD △，得AD DM ==．……………………10分 又在直角三角形CMD中，DM =2CM =，得CD =11分所以sin BDC ∠=12分 （18）（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）证明：取AB 的中点F ，连接1,CF A F ，∵1AA ⊥平面ABC ，CF ⊂平面ABC ，∴所以1AA CF ⊥． …………1分 ∵CAB ∆为正三角形，F 为AB 的中点，11∴CF AB ⊥， …………2分 又∵⊂AB AA ,1平面11AA B B ，A AB AA= 1， ∴CF ⊥平面11AA B B ， …………3分 又∵⊂AD 平面11AA B B ，所以CF AD ⊥． ……………………4分 正方形11AA B B 中，∵1Rt A AF Rt ABD ∆≅∆，∴A FA DAB 1∠=∠， 又∵︒=∠+∠9011A FA AFA ，∴︒=∠+∠901DAB AFA ，故1AD A F ⊥， ……………………5分 又∵1CF A F F =I ，1,CF A F ⊂平面1ACF ， ∴AD ⊥平面1ACF ， 又∵⊂C A 1平面CF A 1，∴1AC AD ⊥． ……………………6分 （Ⅱ）取1AA 中点E ，连接DE ，则线段DE 为点P 的运动轨迹．………8分 理由如下:∵//DE AB ，DE ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， ∴//DE 平面ABC ，∴P 到平面ABC 的距离为112BB ．……………10分 所以11132P ABC ABC V S BB -∆=⋅⋅11111166ABC ABC A B C S BB V ∆-=⋅=．……………12分 解法二：（Ⅰ）证明：取AB 的中点F ，连接1,CF A F ，………1分正三棱柱中，平面⊥11A ABB 平面ABC ，平面 11A ABB 平面AB ABC =，⊂CF 平面ABC ， 因为CAB ∆为正三角形，F 为AB 的中点，所以CF AB ⊥，从而CF ⊥平面11AA B B ，所以CF AD ⊥．………………3分11A11正方形11AA B B 中，因为1Rt A AF Rt ABD ∆≅∆，所以A FA DAB 1∠=∠， 又因为︒=∠+∠9011A FA AFA ，所以︒=∠+∠901DAB AFA ，故1AD A F ⊥，……………………4分 又因为1CF A F F =I ，1,CF A F ⊂平面1ACF ，所以AD ⊥平面1ACF ， 又因为⊂C A 1平面CF A 1，所以1AC AD ⊥．…………6分 （Ⅱ）取1AA 中点E ，连接DE ，则线段DE 为点P 的运动轨迹．理由如下．……………8分 设三棱锥ABC P -的高为h ， 依题意1616131111BB S V h S V ABC C B A ABC ABC ABC P ⋅⋅==⋅⋅=∆-∆- 故121BB h =．……………10分 因为E D ,分别为11,AA BB 中点，故//DE AB ，又因为DE ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以//DE 平面ABC ，所以P 到平面ABC 的距离为112BB ．……………12分 评分说明：（1）第（Ⅰ）问中，辅助线F A CF 1,有作图没说明，或者有说明没作图的，同样给分； （2）第（Ⅱ）问中，直接作出轨迹，或者直接说明轨迹，但没有说明理由的，给2分． （19）（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）记A 为事件“该新型窑炉烧制的产品T 为二等品”．由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品T 为二等品的频率为(0.110.17)20.54+⨯=，故事件A 的概率估计值为0.54．……………………4分 （Ⅱ）①先分析该窑炉烧制出的产品T 的综合指标值的平均数：由直方图可知，综合指标值的平均数(10.0130.0450.1170.1690.18)2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯ 6.84=．该窑炉烧制出的产品T 的综合指标值的平均数的估计值6.846>， 故满足认购条件①．……………………6分11②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品T 为一、二、三等品的概率估计值分别为0.36，0.54，0.1．……………………8分故2000件产品中，一、二、三等品的件数估计值分别为720件，1080件，200件．一等品的销售总利润为8720(2010)64009⨯⨯-=元；二等品的销售总利润为211080(1610)1080(108)360033⨯⨯--⨯⨯-=元；三等品的销售总利润为23200(1210)200(106)32055⨯⨯--⨯⨯-=-元．……11分故2000件产品的单件平均利润值的估计值为(64003600320)2000 4.84+-÷=元， 有满足认购条件②，综上所述，该新型窑炉达到认购条件． ……………12分解法二：（Ⅰ）同解法一．……………………4分 （Ⅱ）①同解法一．……………………6分②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品T 为一、二、三等品的概率估计值分别为0.36，0.54，0.1．……………………8分故2000件产品的单件平均利润值的估计值为821230.36(2010)0.54(1610)(108)0.1(1210)(106)93355⎡⎤⎡⎤⨯⨯-+⨯⨯--⨯-+⨯⨯--⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4.84=元，有满足认购条件②．……………………11分综上所述，该新型窑炉达到认购条件．……………………12分评分说明：（1）第（Ⅰ）问中，没有体现频率估计概率的，扣1分；（2）第（Ⅱ）问中，三种等次的概率估计值的2个分点为一等品与三等品的分点，二等品的分点在第（Ⅰ）问中，不再重复给分；（3）第（Ⅱ）问解法二中，821230.36(2010)0.54(1610)(108)0.1(1210)(106)93355⎡⎤⎡⎤⨯⨯-+⨯⨯--⨯-+⨯⨯--⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦中每个式子各1分（20）（本题满分12分）解法一：（Ⅰ）因为12EF =，所以212b a =． ……………2分 又因为2a b =，所以1,2==b a ． ……………3分故椭圆C 的方程……………4分 （Ⅱ）设直线BM 的方程为(2)y k x =-， ……………5分代入椭圆C 的方程，得2222(14)161640k x k x k +-+-=……………6分设2111(,)(4)M x y x ≠，则212164214k x k -=+，解得2128214k x k-=+，12414ky k -=+， 所以222824,1414k kM k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. …………………8分 用1k -替换k ，可得222824,44k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. ……………………9分 解得直线AM 的斜率为2224114824214kk k kk -+=--++，直线BN 的斜率1k -，所以直线AM 的方程为：1(2)4y x k -=+①…………………………10分 直线BN 的方程为：1(2)y x k-=-②……………………………11分 由①②两直线的交点P 的横坐标103x =，所以点P 在定直线103x =上．……………12分解法二：（Ⅰ）依题意，)21,(±c E ，代入椭圆方程，得141222=+ba c因为222b ac -=，代入整理得212b a =．……………2分又因为2a b =，所以1,2==b a ．故椭圆C 4分 （Ⅱ）证明：(2,0)A -，(2,0)B设2000(,)(4)M x y x ≠，因为点M 在椭圆C 5分设 (,)P t m ，由于A ，M ，P 三点共线，所以()0022y m t x =++．………7分 又BM BN ⊥，所以0BM BP ⋅=．……………8分所以()()00002,2,202y x y t t x ⎛⎫-⋅-+= ⎪+⎝⎭，即()()()200022202y x t t x -⋅-++=+……………9分整理得()()()()22001422044x x t t -⋅--+=-……………11分 因为204x ≠，解得103t =，所以点P 在定直线103x =上．……………12分解法三：（Ⅰ）同解法一或解法二；…………………4分（Ⅱ）设2111(,)(4)M x y x ≠，直线NB MB MA ,,的斜率分别为321,,k k k ，则2111122111224y y y k k x x x =⋅=+--，…………………5分 又221114x y =-，所以1214k k =-．…………………7分又BM BN ⊥，则231k k =-．所以314k k =．…………………9分 设直线MA 的方程为(2)y k x =+①……………10分 则直线BN 的方程为4(2)y k x =-②……………11分 则两直线的交点的横坐标．所以点P 在定直线103x =上．……………12分（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由(2)3f =，可得1a =， ……………1分故()(2)1x f x x x =-++e ．0=x 不是)(x f 的极值点. ……………………2分理由如下：'()(1)1x f x x =-+e ． ……………………4分 记()(1)1x g x x =-+e ，则'()x g x x =⋅e .由'()0e x g x x =⋅≤，解得0≤x ；由'()0e x g x x =⋅≥，解得0x ≥，所以()g x 在(,0]-∞单调递减，在[0,)+∞单调递增，…………………………5分故'()f x =()(0)0g x g ≥=，即()f x 在,)-∞+∞（恒单调递增，……………6分 故0=x 不是)(x f 的极值点． （Ⅱ）依题意，21()(2)12xg x x ax ax =--++e ． 则'()()(1)x g x a x =+-e ． ……………………7分 ① 0a ≥时，'()0g x ≤在(,1]x ∈-∞恒成立，'()0g x ≥在[1,)x ∈+∞恒成立，所以()g x 在R 上先减后增，故()g x 在R 上有极小值，无极大值，应舍去． ……………………8分 ②a =-e 时，'()0g x ≤在(,1]x ∈-∞恒成立，'()0g x ≥在[1,)x ∈+∞恒成立， 所以()g x 在R 上先减后增，故()g x 在R 上有极小值，无极大值，应舍去． ……………………9分 ③a <-e 时，由'()0g x =得ln()x a =-和1x =，故1()=(1)12g x g a =--+e 极大值， 记1()12h a a =--+e ， 因为1()12h a a =--+e 在(,)a ∈-∞-e 上单调递减，所以()()112h a h >-=->-ee ．……………………10分④当0a -<<e 时，因为ln()1a -<，故故2()=(ln())ln ()2()ln()212g x g a a a a a a -=-+--++极大值，………11分 设(0,)t a =-∈e ， 记21()2ln 2ln 12k t t t t t =--+， 则1'()ln (1ln )k t t t =-，令'()0k t =得1t =和2t =e （舍去），故()(1)1k t k ≥=-． ……………………12分请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． （22）（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程同理科。
泉州市3月质检(文科数学)参考答案与评分细则(简案终稿)
泉州市2018届普通中学高中毕业班质量检查文科数学试题参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可在评卷组内讨论后根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步仅出现严谨性或规范性错误时，不要影响后续部分的判分；当考生的解答在某一步出现了将影响后续解答的严重性错误时，后继部分的解答不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）A （3）C （4）C（5）A（6）C （7）B（8）D（9）D（10）D （11）B（12）B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．（13）6; （14）2; （15）[0,1]; （16）5150. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本小题满分12分） 解法一：（Ⅰ）根据正弦定理，2cos 2c A a b ⋅-=等价于2sin cos sin 2sin C A A B ⋅-=．……………………2分又因为在ABC △中，)sin()πsin(sin C A C A B +=--=C A C A sin cos cos sin +=．……………4分故2sin cos sin 2sin cos 2cos sin C A A A C A C ⋅-=+， 从而sin 2sin cos A A C -=，因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，得1cos 2C =-， ……………5分 因为()0,πC ∈，所以2π3C =． …………………6分 （Ⅱ）由4a b ==，可得π6A B ==， …………………7分因为1sin 2ACD S AC AD A =⋅⋅△3=，所以AD = ………………8分根据余弦定理，得222π34234cos76CD =+-⨯⨯=，即7CD =．…10分 在ACD △中，根据正弦定理有741sin 2ADC =∠，得27sin 77ADC ∠==．………11分 因为πBDC ADC ∠+∠=， 故27sin BDC ∠=．……………………12分 解法二：（Ⅰ）同解法一． ……………………6分（Ⅱ）由4a b ==，可得π6A B ==，……………………7分 根据正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 可得43c =． ……………………8分 取AB 的中点M ，连接CM ，CM 为ABC ∆边AB 上的高，且4sin 2CM A ==， ……………………9分由321=⨯⨯=CM AD S ACD △，得3AD DM ==．……………………10分 又在直角三角形CMD 中，3DM =，2CM =，得7CD =．………11分所以27sin BDC ∠=．………12分 （18）（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）证明：取AB 的中点F ，连接1,CF A F ，∵1AA ⊥平面ABC ，CF ⊂平面ABC ，∴所以1AA CF ⊥． …………1分 ∵CAB ∆为正三角形，F 为AB 的中点，FDC 11BB 1AC∴CF AB ⊥， …………2分 又∵⊂AB AA ,1平面11AA B B ，A AB AA = 1，∴CF ⊥平面11AA B B ， …………3分 又∵⊂AD 平面11AA B B ，所以CF AD ⊥． ……………………4分 正方形11AA B B 中，∵1Rt A AF Rt ABD ∆≅∆，∴A FA DAB 1∠=∠， 又∵︒=∠+∠9011A FA AFA ，∴︒=∠+∠901DAB AFA ，故1AD A F ⊥， ……………………5分 又∵1CFA F F =，1,CF A F ⊂平面1A CF ，∴AD ⊥平面1A CF ，又∵⊂C A 1平面CF A 1，∴1A C AD ⊥． ……………………6分 （Ⅱ）取1AA 中点E ，连接DE ，则线段DE 为点P 的运动轨迹．………8分理由如下:∵//DE AB ，DE ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， ∴//DE 平面ABC ，∴P 到平面ABC 的距离为112BB ．……………10分 所以11132P ABC ABC V S BB -∆=⋅⋅11111166ABC ABC A B C S BB V ∆-=⋅=．……………12分 解法二：（Ⅰ）证明：取AB 的中点F ，连接1,CF A F ，………1分正三棱柱中，平面⊥11A ABB 平面ABC ，平面 11A ABB 平面AB ABC =，⊂CF 平面ABC ， 因为CAB ∆为正三角形，F 为AB 的中点，所以CF AB ⊥，从而CF ⊥平面11AA B B ，所以CF AD ⊥．………………3分11A11正方形11AA B B 中，因为1Rt A AF Rt ABD ∆≅∆，所以A FA DAB 1∠=∠， 又因为︒=∠+∠9011A FA AFA ，所以︒=∠+∠901DAB AFA ，故1AD A F ⊥，……………………4分 又因为1CFA F F =，1,CF A F ⊂平面1A CF ，所以AD ⊥平面1A CF ，又因为⊂C A 1平面CF A 1，所以1A C AD ⊥．…………6分（Ⅱ）取1AA 中点E ，连接DE ，则线段DE 为点P 的运动轨迹．理由如下．……………8分 设三棱锥ABC P -的高为h ， 依题意1616131111BB S V h S V ABC C B A ABC ABC ABC P ⋅⋅==⋅⋅=∆-∆- 故121BB h =．……………10分 因为E D ,分别为11,AA BB 中点，故//DE AB ，又因为DE ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以//DE 平面ABC ，所以P 到平面ABC 的距离为112BB ．……………12分 评分说明：（1）第（Ⅰ）问中，辅助线F A CF 1,有作图没说明，或者有说明没作图的，同样给分； （2）第（Ⅱ）问中，直接作出轨迹，或者直接说明轨迹，但没有说明理由的，给2分． （19）（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）记A 为事件“该新型窑炉烧制的产品T 为二等品”．由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品T 为二等品的频率为(0.110.17)20.54+⨯=，故事件A 的概率估计值为0.54．……………………4分 （Ⅱ）①先分析该窑炉烧制出的产品T 的综合指标值的平均数：由直方图可知，综合指标值的平均数(10.0130.0450.1170.1690.18)2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯ 6.84=．该窑炉烧制出的产品T 的综合指标值的平均数的估计值6.846>，11故满足认购条件①．……………………6分 ②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品T 为一、二、三等品的概率估计值分别为0.36，0.54，0.1．……………………8分故2000件产品中，一、二、三等品的件数估计值分别为720件，1080件，200件．一等品的销售总利润为8720(2010)64009⨯⨯-=元；二等品的销售总利润为211080(1610)1080(108)360033⨯⨯--⨯⨯-=元；三等品的销售总利润为23200(1210)200(106)32055⨯⨯--⨯⨯-=-元．……11分故2000件产品的单件平均利润值的估计值为(64003600320)2000 4.84+-÷=元， 有满足认购条件②，综上所述，该新型窑炉达到认购条件． ……………12分解法二：（Ⅰ）同解法一．……………………4分 （Ⅱ）①同解法一．……………………6分②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品T 为一、二、三等品的概率估计值分别为0.36，0.54，0.1．……………………8分故2000件产品的单件平均利润值的估计值为821230.36(2010)0.54(1610)(108)0.1(1210)(106)93355⎡⎤⎡⎤⨯⨯-+⨯⨯--⨯-+⨯⨯--⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4.84=元，有满足认购条件②．……………………11分综上所述，该新型窑炉达到认购条件．……………………12分评分说明：（1）第（Ⅰ）问中，没有体现频率估计概率的，扣1分；（2）第（Ⅱ）问中，三种等次的概率估计值的2个分点为一等品与三等品的分点，二等品的分点在第（Ⅰ）问中，不再重复给分；（3）第（Ⅱ）问解法二中，821230.36(2010)0.54(1610)(108)0.1(1210)(106)93355⎡⎤⎡⎤⨯⨯-+⨯⨯--⨯-+⨯⨯--⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦中每个式子各1分（20）（本题满分12分）解法一：（Ⅰ）因为12EF =，所以212b a =． ……………2分 又因为2a b =，所以1,2==b a ． ……………3分故椭圆C 的方程……………4分 （Ⅱ）设直线BM 的方程为(2)y k x =-， ……………5分代入椭圆C 的方程，得2222(14)161640k x k x k +-+-=……………6分设2111(,)(4)M x y x ≠，则212164214k x k -=+，解得2128214k x k -=+，12414ky k-=+， 所以222824,1414k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. …………………8分 用1k -替换k ，可得222824,44k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. ……………………9分 解得直线AM 的斜率为2224114824214k k k kk -+=--++，直线BN 的斜率1k -，所以直线AM 的方程为：1(2)4y x k -=+①…………………………10分直线BN 的方程为：1(2)y x k-=-②……………………………11分由①②两直线的交点P 的横坐标103x =，所以点P 在定直线103x =上．……………12分解法二：（Ⅰ）依题意，)21,(±c E ，代入椭圆方程，得141222=+b ac 因为222b ac -=，代入整理得212b a =．……………2分又因为2a b =，所以1,2==b a ．故椭圆C 4分 （Ⅱ）证明：(2,0)A -，(2,0)B设2000(,)(4)M x y x ≠，因为点M 在椭圆C 5分设 (,)P t m ，由于A ，M ，P 三点共线，所以()0022y m t x =++．………7分 又BM BN ⊥，所以0BM BP ⋅=．……………8分 所以()()00002,2,202y x y t t x ⎛⎫-⋅-+= ⎪+⎝⎭， 即()()()200022202y x t t x -⋅-++=+……………9分整理得()()()()22001422044x x t t -⋅--+=-……………11分 因为204x ≠，解得103t =，所以点P 在定直线103x =上．……………12分解法三：（Ⅰ）同解法一或解法二；…………………4分（Ⅱ）设2111(,)(4)M x y x ≠，直线NB MB MA ,,的斜率分别为321,,k k k ，则2111122111224y y y k k x x x =⋅=+--，…………………5分 又221114x y =-，所以1214k k =-．…………………7分又BM BN ⊥，则231k k =-．所以314k k =．…………………9分 设直线MA 的方程为(2)y k x =+①……………10分 则直线BN 的方程为4(2)y k x =-②……………11分 则两直线的交点的横坐标．所以点P 在定直线103x =上．……………12分（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由(2)3f =，可得1a =， ……………1分故()(2)1xf x x x =-++e ．0=x 不是)(x f 的极值点. ……………………2分理由如下：'()(1)1xf x x =-+e ． ……………………4分 记()(1)1xg x x =-+e ，则'()xg x x =⋅e .由'()0e xg x x =⋅≤，解得0≤x ；由'()0e xg x x =⋅≥，解得0x ≥，所以()g x 在(,0]-∞单调递减，在[0,)+∞单调递增，…………………………5分 故'()f x =()(0)0g x g ≥=，即()f x 在,)-∞+∞（恒单调递增，……………6分 故0=x 不是)(x f 的极值点． （Ⅱ）依题意，21()(2)12xg x x ax ax =--++e ． 则'()()(1)x g x a x =+-e ． ……………………7分 ① 0a ≥时，'()0g x ≤在(,1]x ∈-∞恒成立，'()0g x ≥在[1,)x ∈+∞恒成立，所以()g x 在R 上先减后增，故()g x 在R 上有极小值，无极大值，应舍去． ……………………8分 ②a =-e 时，'()0g x ≤在(,1]x ∈-∞恒成立，'()0g x ≥在[1,)x ∈+∞恒成立， 所以()g x 在R 上先减后增，故()g x 在R 上有极小值，无极大值，应舍去． ……………………9分 ③a <-e 时，由'()0g x =得ln()x a =-和1x =，为ln()1a ->，故有下因列对应关系表：故1()=(1)12g x g a =--+e 极大值， 记1()12h a a =--+e ， 因为1()12h a a =--+e 在(,)a ∈-∞-e 上单调递减，所以()()112h a h >-=->-ee ．……………………10分④当0a -<<e 时，因为ln()1a -<，故故2()=(ln())ln ()2()ln()212g x g a a a a a a -=-+--++极大值，………11分 设(0,)t a =-∈e ， 记21()2ln 2ln 12kt t t t t =--+， 则1'()ln (1ln )k t t t =-，令'()0k t =得1t =和2t =e （舍去），故()(1)1k t k ≥=-． ……………………12分请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． （22）（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程同理科。
2018届福建省泉州市高三第二次 质量检查 数学试卷(理) 含答案解析
2018届福建省泉州市高三第二次质量检查数学试卷（理）含答案解析注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用5.0毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合(){},|1A x y y x ==-，(){},|1B x y y x ==-+，则A B =I（A ）∅（B ）{}1（C ）{}0,1（D ）(){}1,0（2）设向量a ，b 满足，()3-=g a a b ，则a 与b 的夹角为（A （B （C （D （3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若136a a +=，416S =，则4a =（A ）6（B ）7（C ）8（D ）9（4）若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点()40F ，到其渐近线的距离为2，则C 的渐近线方程为（A ）y x = （B ）y =（C ）y x =（D ）y =（5）执行如图所示的程序框图，若输出的2=S ，则判断框内可以填入（A ）5<i（B ）6<i（C ）7<i（D ）8<i（6）若函数()()()()sin 0,0,0,f x A x A ωϕωϕ=+>>∈π的部分图象如图所示，则()f x 的一条对称轴为 （A ）1121x =-π （B ）56x =-π （C ）1112x =π （D ）76x =π（第（5）题图）（第（6）题图）（7）李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中，到“东亚文化之都--泉州”“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有 （A ）16种（B ）18种（C ）20种（D ）24种（8）已知偶函数()f x 在()0,+∞上单调递增，则（A ）()()ee23f f >-（B ）()()23ee f f >-（C ）((0.5log 0.5f f >（D ）0.5f f >（9视图，则该几何体的体积为（A ）32π （B ）53π（C ）116π（D ）136（10）已知正三棱柱111ABC A B C -111,B C BB 的中点.1p ：1//AC MN ；2p ：11AC C N ⊥； 3p ：1B C ⊥平面AMN ；4p ：异面直线AB 与MN 其中正确的结论是 （A ）12,p p（B ）23,p p（C ）24,p p（D ）34,p p（11）已知椭圆()2222:10+=>>x y C a b a b的左、右焦点分别为1F ，2F ．2F 也是抛物线2:2(0)E y px p=>的焦点，点A为C与E的一个交点，且直线1AF的倾斜角为45︒，则C的离心率为（A（B1（C）3（D1（12x的方程()0f f x⎡⎤=⎣⎦的实数解最多有（A）4个（B）7个（C）10个（D）12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13对应的点位于第三象限，则实数a的取值范围是 .（14）若,x y满足约束条件2,0,20,xx yx y≥-⎧⎪+≥⎨⎪-+≤⎩则2z x y=-的最大值为 .（15）甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有112n⎛⎫- ⎪⎝⎭（*,5n n∈≤≤N1）五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是 .（16）已知数列{}n a，{}n b，{}n c满足1112,2,2,n n n nn n n nn n n na ab cb a b cc a b c+++=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩且18a=，14b=，1c=，则数列{}n na的前n项和为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）△ABC的内角,,A B C的对边分别为,,a b c，且cosb A c=-．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若c=cos10A=，求△ABC的面积．（18）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，2AB BC ==，4AD PD ==，60BAD ∠=o ，120ADP ∠=o ，点E 为PA 的中点．（Ⅰ）求证：//BE 平面PCD ；（Ⅱ）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求直线BE 与平面PAC 所成角的正弦值．（19）（本小题满分12分）某工厂有两台不同机器A 和B 生产同一种产品各10万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如下所示：[80,90)的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到[60,80)的产品，质量等级为合格．将这组数据的频率视为整批产品的概率．（Ⅰ）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记X 为来自B 机器生产的产品数量，写出X 的分布列，并求X 的数学期望；（Ⅱ）完成下列22⨯列联表，以产品等级是否达到良好以上（含良好）为判断依据，判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为B 机器生产的产品比A 机器生产的产品好；（III 润为5元/件，A 机器每生产10万件的成本为20万元，B 机器每生产10万件的成本为30万元；该工厂决定：按样本数据测算，两种机器分别生产10万件产品，若收益之差达到5万元以上，则淘汰收益低的机器，若收益之差不超过5万元，则仍然保留原来的两台机器.你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗？附：1.独立性检验计算公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．2.临界值表：PECDA（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(2，离心率为2．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）过E 的左焦点F 且斜率不为0的直线l 与E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC 与直线4x =-相交于点D ，若△ADF 为等腰直角三角形，求l 的方程．（21）（本小题满分12分）函数()()ln 1f x x ax =++的图像与直线2y x =相切． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）证明：对于任意正整数n ，选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答。
福建省泉州市2018届高三下学期质量检查(3月)数学(理)
B
3+ 5
．
C.
2
15 2
D
．1 5
2
11. 现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为
3 ，则其包装盒的体积的最小值
为（ ）
A． 36
B ． 72
C. 81
D ． 216
12. 不等式 x ln x x2 ( a 2)x ≤ 2a 有且只有一个整数解，则 a 的取值范围是（
）
A． [ 1， )
B ． ( ， 4 4ln 2] [ 1， )
C. ( ， 3 3ln 4 4ln 2 ， 3 3ln3] [ 1， )
第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知复数 z (1 2i )(2 i ) ，则 z ． 14. (x 1)4 (1 1 ) 4 的展开式中，常数项是．
A． ( ，3） B ． ( 1， ) C ． ( 1，1) D ． (1，3)
2. 已知向量 a (3 ，2) ， b (2 ，3) , 则下列结论正确的是（
）
A． a b B ． (a b) (a b) C ． a∥ b D ． ( a b) ∥ ( a b)
3. 已知函数 f ( x) 是偶函数，且 f ( x) f (x 4) ， f (1) 1 ，则 f ( 9) （ ）
x
15. 已知抛物线 E ： y2 4x 的焦点为 F ，准线为 l ， l 交 x 轴于点 T ， A 为 E 上一点， AA1 垂
直于 l ，垂足为 A1 ， A1F 交 y 轴于点 S ，若 ST ∥ AF ，则 AF ．
16. 在平面四边形 ABCD 中， ABC =120 ， AC 2 19 ， 2AB 3BC ， AD 2BD ，△ BCD
泉州市单科质检理科数学
泉州市高中毕业班单科质量检查理科数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至6页。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}210A x x =-≥，{}210B x x =-≤，则A B =（A ）{}1x x ≥- （B ）{}1x x ≥ （C ）112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ （D ）112x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【命题意图】本小题主要考查解不等式、交集等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算． 【试题简析】因为1{|}2A x x =≥，{|11}B x x =-≤≤，所以1{|1}2AB x x =≤，故选D. 【错选原因】错选A ：误求成A B ；错选B ：集合B 解错，解成{}11或B x x x =≤-≥；错选C ：集合A 解错，解成1{|}2A x x =≤.【变式题源】（2015全国卷I·理1）已知集合{}1A x x =<，{}31x B x =<，则 （A ）{|0}AB x x =< （B ）A B =R （C ）{|1}A B x x => （D ）A B =∅（2）已知z 为复数z 的共轭复数，()1i 2i z -=，则z =（A ）1i -- （B ）1i -+ （C ）1i - （D ）1i + 【命题意图】本小题主要考查复数的运算、共轭复数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算．【试题简析】因为22(1)11(1)(1)i i i z i i i i +===-+--+，所以1z i =--，故选（A ）. 【错选原因】错选B ：求出1z i =-+，忘了求z ；错选C ：错解1i z =+；错选D ：错解1i z =-.【变式题源】（2015全国卷Ⅰ·文3）已知复数z 满足(z -1)i =1+i ，则z=A ．-2-iB ．-2+iC ．2-iD ．2+i（3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若212a a -=，549S S -=，则50a =（A ）99 （B ）101 （C ） 2500 （D ）4592⨯ 【命题意图】本小题主要考查等差数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算．【试题简析】依题意得，212d a a =-=，5549a S S =-=，所以5054599a a d =+=，故选C.【错选原因】错选A ：n S 的公式记忆错误，导致计算错误；错选B ：n S 的公式记忆错误，导致计算错误；错选D ：误认为544S S a -=.【变式题源】（2017全国卷Ⅰ·理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8（4）已知点(2,1)在双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的渐近线上，则E 的离心率等于（A ）2 （C （D ）2【命题意图】本小题主要考查双曲线的渐近线、离心率等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查数学运算．【试题简析】由题意得，点(2,1)在直线b y x a =上，则12b a =，所以2e a ==，故选B.【错选原因】错选A ：误认为222c a b =-导致错误；错选C ：误认为双曲线的焦点在y 轴上.错选D ：未判断双曲线的焦点位置. 【变式题源】（2013全国卷Ⅰ·理4）已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)C 的渐近线方程为（A ）y ＝14x ± （B ）y ＝13x ± （C ）y ＝12x ± （D ）y x =± （5）已知实数,x y 满足1,30,220,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩则z x y =-的最大值为（A ）-1 （B ）13（C ）1 （D ）3【命题意图】本小题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，考查直观想象、数学运算等．【试题简析】由已知条件，可行域如右图阴影部分.其中阴影区域三角形的三个顶点分别为54(1,0),(1,2),(,)33，把三个点分别代入z x y =-检验得：当1,0x y ==时，z 取得最大值1，故选D.【错选原因】错选A ：误把z -的最大值当成z x y =-的最大值；错选B ：误把z 的最小值当成z x y =-的最大值；错选C ：误把z -的最小值当成z x y =-的最大值. 【变式题源】（2017全国卷Ⅰ·理14）设x ，y 满足约束条件21,21,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩则32z x y =-的最小值为 ．（6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（B ）11π2 （C ）17π3 （D ） 35π6【命题意图】本小题主要考查三视图、空间几何体的体积，等基础知识，考查空间想像能力、运算求解能力、创新意识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查数学抽象、直观想象等． 【试题简析】该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个14圆锥，然后挖掉一个相同的14圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此321633V r ππ==，故选A. 【错选原因】错选B ：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个14圆锥，且未挖掉一个相同的14圆锥. 错选C ：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个12圆锥，且未挖掉一个相同的14圆锥. 错选D ：圆锥的公式记忆错误.【变式题源】（2016全国卷Ⅰ·理6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的表面积是 （A ）π17 （B ）π18 （C ）π20 （D ）π28（7）《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7【命题意图】本小题主要考查程序框图，数列求和等基础知识；考查学生的运算求解能力及数据处理能力；考查化归与转化思想、分类与整合思想；考查数学抽象和数学运算等.【试题简析】解法一：0,0,1,1i S x y ====开始执行，然后11,11,2,2i S x y ==+==⋅⋅⋅ 111115,(124816)(1)33,32,2481632i S x y ==+++++++++<==，再执行一行，然后输出6i = 解法二：本题要解决的问题是数列求和的问题，11211111,2,,2(2)22n n n a a a n --=+=+⋅⋅⋅=+≥ 1233n a a a ++⋅⋅⋅+≥，解得n 的最小值为6.【错选原因】错选A ：可能把2x x =误当成2x x =来算；错选B ：当执行到5i =时，11113224816S =++++，学生估值失误，误以为会达到33或按四舍五入得到.错选D ：可能先执行了1i i =+后才输出.【变式题源】（2015年全国卷Ⅱ·理8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”. 执行该程序框图，若输入a ，b 分别为14，18，则输出的a =（A ）0（B ）2 （C ）4 （D ）14（8）下列函数中，图象关于原点对称且单调递增的是（A ）()sin f x x x =- （B ）()()()ln 1ln 1f x x x =--+ （C ）()e e 2x xf x -+= （D ）()e 1e 1x x f x -=+ 【命题意图】本小题主要考查函数的图象与奇偶性、单调性、定义域等基础知识；考查学生的运算求解能力；考查数形结合思想、特殊与一般思想；考查数学抽象、直观想象和数学运算等.【试题简析】A 选项：()cos 10f x x '=-≤，不符合图象上升这个条件；B 选项：定义域不关于原点对称；C 选项函数图象先减后增，在0x =时函数取得最小值；故选D【错选原因】错选A ：符合图象关于原点对称这个条件；错选B ：有的学生可能会通过各种方法判断函数的单调性，却忽略了定义域不关于原点对称；错选C ：有的学生可能根据函数过(0,0)而错选此项.【变式题源】（2011年全国卷Ⅱ·理2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ） （A ）3y x = （B ）||1y x =+ （C ）21y x =-+ （D ）||2x y -=（9）已知 1.50.5a -=，6log 15b =，5log 16c =，则（A ）b c a << （B ）c b a << （C ）a b c << （D ）a c b <<【命题意图】本小题主要考查指对数函数等基础知识；考查学生的推理论证能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查数学运算和数据分析.【试题简析】 1.5 1.5655log 15log 15log 16220.5-<<<<=【错选原因】错选B ：对数函数的换底公式不熟悉导致；错选D ：对数函数的换底公式不熟悉导致；错选C ：指数的运算不过关导致.【变式题源】（2013年全国卷Ⅱ·理8）设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（A ）c b a >>（B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）a b c >>（10）已知1(,2)2P 是函数()sin()(0)f x A x ωϕω=+>图象的一个最高点,,B C 是与P 相邻的两个最低点．若7cos 25BPC ∠=，则()f x 的图象对称中心可以是 （A ）()0,0 （B ）()1,0 （C ） ()2,0 （D ）()3,0【命题意图】本小题考查三角函数的图象和性质、解三角形、二倍角公式等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查数形结合思想、化归与转化思想以及函数与方程思想；考查数学抽象、直观想象和数学分析等.【试题简析】如图，取BC 的中点D ，连结PD ，则4PD =，设BD x =，则PB PC ==，由余弦定理可得，2222(2)16116)c o sx B P C =∠，解得3x =，57(,2),(,2)22B C ---，,BP CP 的中点都是()f x 图象的对称中心.故选C .【错选原因】错选A ：平时缺乏训练，只记得正弦函数的对称中心是(0,0)错选B ：误把最高点的2当成了周期；错选D ：这类同学可以求出函数的周期是6，但没注意到函数并未过原点.【变式题源】（2015年全国卷I·理8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（A ）13(,),44k k k ππ-+∈Z （B ）13(2,2),44k k k ππ-+∈Z （C ）13(,),44k k k -+∈Z （D ）13(2,2),44k k k -+∈Z（11）已知直线l ：0mx y m -+=，圆C ：()224x a y -+=.若对任意[1,)a ∈+∞，存在l 被C 截得弦长为2，则实数m 的取值范围是（A）3[(0,]（B ）3(,[,)-∞+∞ （C ）[(0,3]（D ）(,[3,)-∞+∞【命题意图】本小题主要考查直线与圆、点到直线的距离、解三角形等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查化归与转化思想、数形结合思想、必然与或然思想；考查数学抽象、数学建模、数学运算与数据分析等.【试题简析】解法一：由题意可得，圆心C 到l 的距离d === 所以223(1)3m a =+-，又因为1a≥，所以203m <≤，0m ≤<或0m <≤解法二：由题意可得，圆心C 到l 的距离d == 又l ：0mx y m -+=恒过定点()1,0A -，1a ≥，所以2AC ≥， 另设直线l 的倾斜角为θ，所以sin (0,]2AC θ=∈， 所以l 的斜率tan [(0,3]m θ=∈.【错选原因】错选A ：在计算223[(1)3]m a =+-时，分子误当成1来计算； 错选B ：分离变量时，误把223[(1)3]m a =+-写成22[(1)3]3a m +-=； 错选D ：把最后的23m ≤计算成23m ≥【变式题源】（2016年全国卷Ⅱ·理4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（A ）43-（B ）34- （C （D ）2（12）已知函数()222,0,e e ,0,x x x a x f x ax x ⎧++<⎪=⎨-+-≥⎪⎩恰有两个零点，则实数a 的取值范围是 （A ）()0,1 （B ）()e,+∞ （C ）()()0,1e,+∞ （D ）()()20,1e ,+∞【命题意图】本小题主要考查二次函数的图象与性质、分段函数的图象、复合函数的图象以及零点问题等知识点；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识；考查数形结合思想、分类与整合、函数与方程思想；考查数学抽象、数学运算和数据分析等.【试题简析】解法一：当0x =时，2()1e 0f x =--≠，故0x =不是函数()f x 的零点. 当(0,)x ∈+∞时，()0f x =等价于2e e x a x+=， 令2e e ()(0)x g x x x +=>，则22e e e ()x x x g x x --'=， 当2x <时，()0g x '<，当2x =时，()0g x '=，当2x >时，()0g x '>；所以2()[e ,)g x ∈+∞，①当01a <<时，()f x 在(,0)-∞有两个零点，故()f x 在(0,)+∞没有零点，从而2e a <，所以01a <<；②当0a ≤或1a =时，()f x 在(,0)-∞有一个零点，故()f x 在(0,)+∞有一个零点，此时不合题意；③当1a >时，()f x 在(,0)-∞有没有零点，故()f x 在(0,)+∞有两个零点，从而2e a >.综上可得01a <<或2e a >.故选D.解法二：当[0,)x ∈+∞时，2()e e x f x ax =-+-，()e x f x a '=-+， ①当01a <<时，()f x 在(,0)-∞有两个零点，又当[0,)x ∈+∞时，2max ()(ln 1)e 0f x a a =--<，故()f x 在[0,)+∞没有零点，所以01a <<；②当0a ≤或1a =时，()f x 在(,0)-∞有一个零点，又当[0,)x ∈+∞时，()e 0x f x a '=-+<，()f x 在[0,)+∞上单调递减，故2()(0)1e 0f x f ≤=--<，不合题意；③当1a >时，()f x 在(,0)-∞有没有零点，此时()f x 在[0,)+∞上必有两个零点.当[0,)x ∈+∞时，当ln x a <时，()0f x '>，当ln x a =时，()0f x '=，当ln x a >时，()0f x '<，所以2m a x ()(ln )ln e f x f a a a a ==-+-，要使()f x 在[0,)+∞上必有两个零点，只需满足2max ()(ln )ln e 0f x f a a a a ==-+->.令2()ln e g t t t t =--，则'()ln g t t =，当1t >时，'()0g x >，故()g t 单调递增.又2(e )0g =，故2ln e 0a a a -+->即2()(e )g a g >，解得2e a >. 综上可得01a <<或2e a >.故选D.【错选原因】错选A ：只会做二次函数部分，无视另一种情况，即左右各有一个零点.错选B ：用特殊值0或1代入，发现不成立，故排除了其他三个选项得到；错选C ：可能根本没去做，综合了A 和B ，于是选C. 【变式题源】（2013年全国卷I·理11）已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )（A ）(－∞，0] （B ）(－∞，1] （C ）[－2,1] （D ）[－2,0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
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2018年泉州市初三质检数学试题
一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分) (1)化简|-3|的结果是（ ）． (A)3 (B)-3 (C)±3 (D)
3
1
(2)如图是由八个相同小正方体组合而成的几何体，则其主视图是（ ）．
(3)从泉州市电子商务中心获悉，近年来电子商务产业蓬勃发展截止到2018年3月，我市电商从业人员已达873 000人，数字873 000可用科学记数法表示为（ ）． (A)8.73×103 (B)87.3×104 (C)8.73×105 (D)0.873×106 (4)下列各式的计算结果为a 5的是（ ） (A)a 7-a 2 (B)a 10÷a 2 (C)(a 2)3 (D)( -a )2·a 3 (5)不等式组⎩⎨
⎧≥+->-0
630
1x x 的解集在数轴上表示为（ ）．
(6)下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）．
(7)去年某市7月1日到7日的每一天最高气温变化如折线图所示， 则关于这组数据的描述正确的是（ ）． (A)最低温度是32℃ (B)众数是35℃ (C)中位数是34℃ (D)平均数是33℃
(8)在《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数几何?大意为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问人数是多少?若设人数为x ，则下列关于x 的方程符合题意的是（ ）． (A)8x -3=7x +4 (B)8(x -3)=7(x +4) (C)8x +4=7x -3 (D)
8
1371=-x x +4 (9)如图，在3×3的网格中，A ，B 均为格点，以点A 为圆心，以AB 的长为
半径作弧，图中的点C 是该弧与格线的交点，则sin ∠BAC 的值是（ ）．
(A)
21 (B) 3
2
(C) 35 (D) 552
(10)如图，反比例函数y=x
k
的图象经过正方形ABCD 的顶点A 和中心E ，
若点D 的坐标为(-1，0)，则k 的值为（ ）． (A)2 (B) 2- (C)
1 (D) 1
- A B C D
(A) (B) (C) (D) A B
C D E
O x
y
(A) (B) (C) (D)
二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分) (11)已知a =(
2
1)°，b=2-1，则a _______b (填“>”，“<”或“=”) ． (12)正八边形的每一个内角的度数为________．
(13)一个暗箱中放有除颜色外其他完全相同的m 个红球，6个黄球，3个白球现将球搅匀后，任意摸出1个
球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%附近，由此可以估算m 的值是________．
(14)如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转120°，得到 △ADE ．这时点D 、E 、B 恰好在同一直线上，则 ∠ABC 的度数为________．
(15)已知关于x 的一元二次方程(m -1)x 2- (2m -2)x -1=0 有两个相等实数根，则m 的值为________．
(16)在平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=3，点E 为BC 中点，连结AE ，将△ABE 沿AE 折叠到△AB'E 的位置，若∠BAE=45°，则点B'到直线BC 的距离为________． 三、解答题：(本题共9小题，共86分) (17)( 8分)解方程：2
3-x 31
2+-x =1．
(18) (8分)先化简，再求值：3223393a a
a a a a +÷⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---，其中a =22．
(19)(8分)如图，在锐角△ABC 中，AB=2cm ，AC=3cm ． (1)尺规作图：作BC 边的垂直平分线分别交AC ，BC 于点D 、E(保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)在(1)的条件下，连结BD ，求△ABD 的周长．
(20)(8分)为进一步弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展以下四项活动：A 经典古诗文朗诵；B 书画作品鉴赏；C 民族乐器表演；D 围棋赛。
学校要求学生全员参与，且每人限报一项．九年级(1)班班长根据本班报名结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题： (1)直接填空：九年级(1)班的学生人
数是_______，在扇形统计图中，
B 项目所对应的扇形的圆心角度
数是_______； (2)将条形统计图补充完整； (3)用列表或画树状图的方法，求该
班学生小聪和小明参加相同项目
活动的概率． A B
C
E D A B C 某校九年级(1)班参加项目情况条形统计图 A
B C D
30% 某校九年级(1)班参加项目情况
(21)(8分)求证：矩形的对角线相等．(要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程)
(22)(10分)如图，菱形ABCD 中，BC=6，∠C=135°，以点A 为圆心的⊙A 与BC 相切于点E ． (1)求证：CD 是⊙A 的切线； (2)求图中阴影部分的面积．
(23)(10分)某公交公司决定更换节能环保的新型公交车。
购买的数量和所需费用如下表所示：
A 型数量(辆)
B 型数量(辆) 所需费用(万元) 3 1 450 2 3 650 (1)(2)该公司计划购买A 型和B 型两种公交车共10辆，已知每辆A 型公交车年均载客量为60万人次，每辆B 型公交车年均载客量为100万人次，若要确保这10辆公交车年均载客量总和不少于670万人次，则A 型公交车最多可以购买多少辆? A
B C D E
(24)(13分)如图1，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=3，点E 从点B 出发，沿BC 边运动到点C ，
连结DE ，过点E 作DE 的垂线交AB 于点F ． (1)求证：∠BFE=∠ADE ； (2)求BF 的最大值；
(3)如图2，在点E 的运动过程中，以EF 为边，在EF 上方作等边△EFG ，求边EG 的中点 H 所经过的路径长．
(25)(13分)已知：二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴交于点A 、B(-3，0)，顶点为C(-1，-2) (1)求该二次函数的解析式；
(2)如图，过A 、C 两点作直线，并将线段AC 沿该直线向上平移，记点A 、C 分别平移到点D 、E 处．若点F 在这个二次函数的图象上，且△DEF 是以EF 为斜边的等腰直角三角形，求点F 的坐标； (3)试确定实数p ，q 的值，使得当p ≤x ≤q 时，P≤y ≤2
5．
E 图1
E
图2。