九年级数学下册(冀教版)思维导图
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31.4 用列举法求简单事件的概 率
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第32章 投影与视图
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29.4 切线长定理
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29.5 正多边形与圆
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第30章 二次函数
第29章 直线与圆的位置关系
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29.1 点与圆的位置关系
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29.2 直线与圆的位置关系
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29.3 切线的性质和判定
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0002页 0034页 0089页 0151页 0214页 0257页 0325页 0384页 0417页 0479页 0517页
第29章 直线与圆的位置关系 29.2 直线与圆的位置关系 29.4 切线长定理 第30章 二次函数 30.2 二次函数的图像和性质 30.4 二次函数的应用 第31章 随机事件的概率 31.2 随机事件的概率 31.4 用列举法求简单事件的概率 32.1 投影 32.3 直棱柱和圆锥的侧面展开图
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31.1 确定事件和随机事件
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31.2 随机事件的概率
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31.3 用频率估计概率
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32.2 视图
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32.3 直棱柱和圆锥的侧面展开 图
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31.4 用列举法求简单事件的概 率
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第32章 投影与视图
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29.4 切线长定理
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第30章 二次函数
第29章 直线与圆的位置关系
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29.2 直线与圆的位置关系
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29.3 切线的性质和判定
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第29章 直线与圆的位置关系 29.2 直线与圆的位置关系 29.4 切线长定理 第30章 二次函数 30.2 二次函数的图像和性质 30.4 二次函数的应用 第31章 随机事件的概率 31.2 随机事件的概率 31.4 用列举法求简单事件的概率 32.1 投影 32.3 直棱柱和圆锥的侧面展开图
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31.1 确定事件和随机事件
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31.2 随机事件的概率
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31.3 用频率估计概率
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32.2 视图
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最新冀教版九年级数学下册 第12讲 二次函数的图象与性质
例：当0≤x≤5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为7.
开口
向上
向下
对称轴
x＝Biblioteka 顶点坐标增减性当x> 时，y随x的增大而增大；当x＜ 时，y随x的增大而减小.
当x> 时，y随x的增大而减小；当x＜ 时，y随x的增大而增大.
最值
x= ，y最小＝ .
x= ，y最大＝ .
3.系数a、b、c
a
决定抛物线的开口方向及开口大小
（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.
若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.
知识点二：二次函数的图象与性质
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
知识点三：二次函数的平移
4.平移与解析式的关系
注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
a、b
决定对称轴（x=-b/2a）的位置
当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时，-b/2a=0，对称轴为y轴；
当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边．
c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
开口
向上
向下
对称轴
x＝Biblioteka 顶点坐标增减性当x> 时，y随x的增大而增大；当x＜ 时，y随x的增大而减小.
当x> 时，y随x的增大而减小；当x＜ 时，y随x的增大而增大.
最值
x= ，y最小＝ .
x= ，y最大＝ .
3.系数a、b、c
a
决定抛物线的开口方向及开口大小
（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.
若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.
知识点二：二次函数的图象与性质
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
知识点三：二次函数的平移
4.平移与解析式的关系
注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
a、b
决定对称轴（x=-b/2a）的位置
当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时，-b/2a=0，对称轴为y轴；
当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边．
c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
2020年春冀教版九年级数学下册中考知识点梳理第5讲 一次方程(组)
一组方程．
(4)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共
解．
知识点二 ：解一元一次方程和二元一次方程组
(1)去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数
3.解一元一
次方程的步骤
项； (2)去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号； (3)移项：移项要变号； (4)合并同类项：把方程化成 ax=-b(a≠0)；
中考复习
第二单元 方程(组)与不等式(组)
第 5 讲 一次方程(组)
一、 知识清单梳理
知识点一：方程及其相关概念
1.等式的基
本性质
(1)性质 1：等式两边加或减同一个数或同一个整式，所得结果 仍是等式.即若 a＝b，则 a±c＝b±c .
(2)性质 2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为 0）， 所得结果仍是等式.即若 a＝b，则 ac＝bc， a b (c≠0)． cc
失分点警示：方程去分母时，应该 将分子用括号括起来，然后再去括 号，防止出现变号错误.
思路：消元，将二元一次方程转化为一元一次方程.
4.二元一次
方程组的解法
方法： (1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再 把“它”代入另一个方程，进行求解； (2) 加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个
②追及问题：a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发：前者走的路 程+两地间距离=追者走的路程.
(5)系数化为 1：方程两边同除以系数 a,得到方程的解 x=-b/a.
关键点拨及对应举例
失分点警示：在等式的两边同除以 一个数时，这个数必须不为 0. 例：判断正误.
(1)若 a=b,则 a/c=b/c. (×) (2)若 a/c=b/c，则 a=b. (√)
(4)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共
解．
知识点二 ：解一元一次方程和二元一次方程组
(1)去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数
3.解一元一
次方程的步骤
项； (2)去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号； (3)移项：移项要变号； (4)合并同类项：把方程化成 ax=-b(a≠0)；
中考复习
第二单元 方程(组)与不等式(组)
第 5 讲 一次方程(组)
一、 知识清单梳理
知识点一：方程及其相关概念
1.等式的基
本性质
(1)性质 1：等式两边加或减同一个数或同一个整式，所得结果 仍是等式.即若 a＝b，则 a±c＝b±c .
(2)性质 2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为 0）， 所得结果仍是等式.即若 a＝b，则 ac＝bc， a b (c≠0)． cc
失分点警示：方程去分母时，应该 将分子用括号括起来，然后再去括 号，防止出现变号错误.
思路：消元，将二元一次方程转化为一元一次方程.
4.二元一次
方程组的解法
方法： (1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再 把“它”代入另一个方程，进行求解； (2) 加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个
②追及问题：a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发：前者走的路 程+两地间距离=追者走的路程.
(5)系数化为 1：方程两边同除以系数 a,得到方程的解 x=-b/a.
关键点拨及对应举例
失分点警示：在等式的两边同除以 一个数时，这个数必须不为 0. 例：判断正误.
(1)若 a=b,则 a/c=b/c. (×) (2)若 a/c=b/c，则 a=b. (√)
冀教版数学九年级下册全套ppt课件精选全文
∴OA⊥PA，OB⊥PB
又∵ ∠APB=40°，∴∠AOB=140°
︵ ︵
又∵AB=AB
∴∠AOB=2∠ACB
∴∠ACB=70°
B
C
练 习
如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，
PE⊥AC于E。
A
求证:PE是⊙O的切线。
O
证明：连结OP。
∵AB=AC,∴∠B=∠C。
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
A
d
C
O
B
点到圆心距离为d
⊙O半径为r.
（1）d<r
点A在圆内
（2）d=r
点B在圆上
（3）d>r
点C在圆外
三种位置关系
观察探究一
你发现这个自然现象反映出直线和圆的公共点
个数有几种情况？
探究活动二
请同学们在练习本上画一个圆,把直尺边缘看成一条直线，
平移直尺。
直线和圆分别有几个公共点?
两个公共点
●O
这点和切点之间的线段的长。
B
P
O
C
小结：切线是直线，不可以度量；切线长是指切线
上的一条线段的长，可以度量。
下面进一步探讨，先请一些同学做小实验：
（1）请同学们观察当圆变化时，切线长PA、PB之间
的关系，同时注意 1、2 之间的关系。
（2）请根据你的观察尝试总结它们之间的关系。
A
1
2
O
B
p
A
你能不能用所
2.用图形表示如下:
有两个公共点
有一个公共点
.o
.o
.
l
.o
l
l
相切
相交
又∵ ∠APB=40°，∴∠AOB=140°
︵ ︵
又∵AB=AB
∴∠AOB=2∠ACB
∴∠ACB=70°
B
C
练 习
如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，
PE⊥AC于E。
A
求证:PE是⊙O的切线。
O
证明：连结OP。
∵AB=AC,∴∠B=∠C。
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
A
d
C
O
B
点到圆心距离为d
⊙O半径为r.
（1）d<r
点A在圆内
（2）d=r
点B在圆上
（3）d>r
点C在圆外
三种位置关系
观察探究一
你发现这个自然现象反映出直线和圆的公共点
个数有几种情况？
探究活动二
请同学们在练习本上画一个圆,把直尺边缘看成一条直线，
平移直尺。
直线和圆分别有几个公共点?
两个公共点
●O
这点和切点之间的线段的长。
B
P
O
C
小结：切线是直线，不可以度量；切线长是指切线
上的一条线段的长，可以度量。
下面进一步探讨，先请一些同学做小实验：
（1）请同学们观察当圆变化时，切线长PA、PB之间
的关系，同时注意 1、2 之间的关系。
（2）请根据你的观察尝试总结它们之间的关系。
A
1
2
O
B
p
A
你能不能用所
2.用图形表示如下:
有两个公共点
有一个公共点
.o
.o
.
l
.o
l
l
相切
相交
九年级数学的思维导图
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下面小编精心整理了九年级数学的思维导图，供大家参考，希望你们喜欢!九年级数学的思维导图汇总九年级数学：分组分解法知识点我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式.原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m+ n)=(m +n)?(a +b).这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式.2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1.必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数.2.将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：① 列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况;②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数.3.将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式.分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式.3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分.4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y=-(y-x)，(x-y)2=(y-x)2， (x-y)3=-(y-x)3.5.分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理.当然，简单的分式之分子分母可直接乘方.6.注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减.分数的加减法1.通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形.约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言;约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来.2.通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变.3.一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备.4.通分的依据：分式的基本性质.5.通分的关键：确定几个分式的公分母.通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.7.同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
2020年春冀教版九年级数学下册中考知识点梳理第17讲 相似三角形
例：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5( －1)cm．
知识点二：相似三角形的性质与判定
5.相似三角形的判定
(1)两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.
判定三角形相似的思路：①条件中若有平行
线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
(2)合比性质： ⇔ ＝ ；（b、d≠0）
(3)等比性质： ＝…＝ ＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔
＝k.（b、数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.
即如图所示，若AB∥CD，则 .
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
4.黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 ＝= ≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
(2)如图，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.
7.相似三角形的基本模型
（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.
（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.
第17讲相似三角形
一、知识清单梳理
知识点二：相似三角形的性质与判定
5.相似三角形的判定
(1)两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.
判定三角形相似的思路：①条件中若有平行
线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
(2)合比性质： ⇔ ＝ ；（b、d≠0）
(3)等比性质： ＝…＝ ＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔
＝k.（b、数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.
即如图所示，若AB∥CD，则 .
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
4.黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 ＝= ≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
(2)如图，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.
7.相似三角形的基本模型
（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.
（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.
第17讲相似三角形
一、知识清单梳理
2020年春冀教版九年级数学下册中考知识点梳理第24讲 平移、对称、旋转与位似
（2）性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
常见的轴对称图形：等腰三角形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等.
2.图形的平移
（1）定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．
图形关于原点成位似变换
在平面直角坐标系内，如果两个图形的位似中心为原点，相似比为k，那么这两个位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．
第七单元图形与变换
第24讲平移、对称、旋转与位似
一、知识清单梳理
知识点一：图形变换
关键点拨与对应举例
1.图形的轴对称
（1）定义：①轴对称：把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称．
②轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
图形关于坐标轴成对称变换
在平面直角坐标系内，如果两个图形关于x轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；
在平面直角坐标系内，如果两个图形关于y轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．
图形关于原点成中心对称
在平面直角坐标系内，如果两个图形关于原点成中心对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
在平面直角坐标系中或网格中作已知图形的变换是近几年安徽必考题型，注意根据图形变化的性质先确定图形变换后的对应点，然后顺次连接对应点即可.
例：平面直角坐标系中，有一条线段AB，其中A（2，1）、B（2，0），以原点O为位似中心，相似比为2：1，将线段AB放大为线段A′B′，那么A′点的坐标为（4，2）或（-4，-2）.
常见的轴对称图形：等腰三角形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等.
2.图形的平移
（1）定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．
图形关于原点成位似变换
在平面直角坐标系内，如果两个图形的位似中心为原点，相似比为k，那么这两个位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．
第七单元图形与变换
第24讲平移、对称、旋转与位似
一、知识清单梳理
知识点一：图形变换
关键点拨与对应举例
1.图形的轴对称
（1）定义：①轴对称：把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称．
②轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
图形关于坐标轴成对称变换
在平面直角坐标系内，如果两个图形关于x轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；
在平面直角坐标系内，如果两个图形关于y轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．
图形关于原点成中心对称
在平面直角坐标系内，如果两个图形关于原点成中心对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
在平面直角坐标系中或网格中作已知图形的变换是近几年安徽必考题型，注意根据图形变化的性质先确定图形变换后的对应点，然后顺次连接对应点即可.
例：平面直角坐标系中，有一条线段AB，其中A（2，1）、B（2，0），以原点O为位似中心，相似比为2：1，将线段AB放大为线段A′B′，那么A′点的坐标为（4，2）或（-4，-2）.
2020人教版九下数学思维导图(史上最新最全)
第 28 章 锐角三角函数
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第 29 章 投影与视图
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人教版 9 年级下册思维导图（全）
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第 26 章 反比例函数
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第 27 章 相似
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2020年春冀教版九年级数学下册中考知识点梳理第25讲 视图与投影
例：小明和他的同学在太阳下行走，小明身高1.4米，他的影长为1.75米，他同学的身高为1.6米，则此时他的同学的影长为2米．
5.中心投影
由同一点(点光源)发出的光线形成的投影．
第25讲视图与投影
一、知识清单梳理
知识点一：三视图内容
关键点拨
1.ห้องสมุดไป่ตู้视图
主视图：从正面看到的图形.
俯视图：从上面看到的图形.
左视图：从左面看到的图形.
例：长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是36 .
2.三视图的对应关系
(1)长对正：主视图与俯视图的长相等，且相互对正；
(2)高平齐：主视图与左视图的高相等，且相互平齐；
(3)宽相等：俯视图与左视图的宽相等，且相互平行．
3.常见几何体的三视图常见几何体的三视图
正方体：正方体的三视图都是正方形.
圆柱：圆柱的三视图有两个是矩形，另一个是圆.
圆锥：圆锥的三视图中有两个是三角形，另一个是圆.
球的三视图都是圆.
知识点二：投影
4.平行投影
由平行光线形成的投影．
在平行投影中求影长，一般把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出的影长．
5.中心投影
由同一点(点光源)发出的光线形成的投影．
第25讲视图与投影
一、知识清单梳理
知识点一：三视图内容
关键点拨
1.ห้องสมุดไป่ตู้视图
主视图：从正面看到的图形.
俯视图：从上面看到的图形.
左视图：从左面看到的图形.
例：长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是36 .
2.三视图的对应关系
(1)长对正：主视图与俯视图的长相等，且相互对正；
(2)高平齐：主视图与左视图的高相等，且相互平齐；
(3)宽相等：俯视图与左视图的宽相等，且相互平行．
3.常见几何体的三视图常见几何体的三视图
正方体：正方体的三视图都是正方形.
圆柱：圆柱的三视图有两个是矩形，另一个是圆.
圆锥：圆锥的三视图中有两个是三角形，另一个是圆.
球的三视图都是圆.
知识点二：投影
4.平行投影
由平行光线形成的投影．
在平行投影中求影长，一般把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出的影长．
新冀教版初中数学九年级下册第10讲 一次函数
有一定的限制，其图象
（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是 为射线或线段涉及最
否符合实际意义；
（6）做答
（1）求一次函数的解析式 10 常见题型
（2）利用一次函数的性质解决方案问题
值问题的一般思路：确 定函数表达式→确定 函数增减性→根据自 变量的取值范围确定 最值
3
一、二、 一、三、 一、三
三
四
y 随的增大而增大
一、二、 二、三、 二、四
四
四
y 随的增大而减小
（2）比较两个一次函数 函数值的大小：性质法， 借助函数的图象，也可以 运用数值代入法 例：已知函数 y=－2＋b，
函数值 y 随的增大而减小
(填“增大”或“减
小”)．
3 一次函数 (1)交点坐标：求一次函数与轴的交点，只需令 y=0 解出即可； 例： 与 坐 标 求与 y 轴的交点，只需令=0 求出 y 即可故一次函数 y＝＋ 一次函数 y＝＋2 与轴交 轴 交 点 b(≠0)的图象与轴的交点是错误!，与 y 轴的交点是(0，b)； 点的坐标是（-20），与 y
第 10 讲 一次函数
一、 知识清单梳理
知识点一 ：一次函数的概念及其图象、性质
关键点拨与对应举例
（1）概念：一般说，形如 y＝＋b(≠0)的函数叫做一次函数．特
1 一次函数 的相关 概念
别地，当 b ＝0 时，称为正比例函数．
例：当＝1 时，函数 y＝
（2）图象形状：一次函数 y＝＋b 是一条经过点（0b）和（-b/0） ＋－1 是正比例函数
4 确定一次 ③解：求出与 b 的值，得到函数表达式．
需一组条件即可
函 数 表 （2）常见类型：
(2)只要给出一次函数与
最新冀教版初中数学九年级下册第17讲 相似三角形
例：若 ，则
3平行线分线段成比例定理
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例即如图所示，若l3∥l4∥l5，则
利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解
例：如图，已知D，E分别是△AB的边B和A上的点，AE=2，E=3，要使DE∥AB，那么B：D应等于
例：把长为10c的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5( －1)c．
知识点二：相似三角形的性质与判定
5相似三角形的判定
(1)两角对应相等的两个三角形相似(AAA)
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△AB∽△DEF
判定三角形相似的思路：①条件中若有平行
线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
件中若有一对等角，可再找一对等角或再找
(2)如图，DE∥B，AF⊥B已知S△ADES△AB=14，则AFAG=1：2
7相似三角形的基本模型
（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍
（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果
(2)合比性质： ⇔ ＝ ；（b、d≠0）
(3)等比性质： ＝…＝ ＝(b＋d＋…＋n≠0)⇔
＝（b、d、···、n≠0）
已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解如下题可设a=3b=5再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解
第17讲相似三角形
一、知识清单梳理
知识点一：比例线段
3平行线分线段成比例定理
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例即如图所示，若l3∥l4∥l5，则
利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解
例：如图，已知D，E分别是△AB的边B和A上的点，AE=2，E=3，要使DE∥AB，那么B：D应等于
例：把长为10c的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5( －1)c．
知识点二：相似三角形的性质与判定
5相似三角形的判定
(1)两角对应相等的两个三角形相似(AAA)
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△AB∽△DEF
判定三角形相似的思路：①条件中若有平行
线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
件中若有一对等角，可再找一对等角或再找
(2)如图，DE∥B，AF⊥B已知S△ADES△AB=14，则AFAG=1：2
7相似三角形的基本模型
（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍
（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果
(2)合比性质： ⇔ ＝ ；（b、d≠0）
(3)等比性质： ＝…＝ ＝(b＋d＋…＋n≠0)⇔
＝（b、d、···、n≠0）
已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解如下题可设a=3b=5再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解
第17讲相似三角形
一、知识清单梳理
知识点一：比例线段