八年级数学上册知识点：无理数

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m 1.无理数的定义

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数。

初一数学阶段接触到的无理数主要有无限不循环小数、开方开不尽的数、含有圆周率π的代数式。

2.有理数和无理数的区别

实数分为有理数和无理数。有理数和无理数主要区别有两点：

1）把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数或无限循环小数，比如4=4.0；4/5=0.8；1/3=0.3...而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.4142，π=3.1415926，根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数．

2）所有的有理数都可以写成两个整数之比，而无理数却不能写成两个整数之比．根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫“比数”，把无理数改叫“非比数”.

初一时，我们认识了负数，使数的范围扩展到了有理数，

初二，我们又开始学习了无理数，把数的范围再一次扩展到了实数。刚刚学习无理数，认为无理数不象有理数那样，直观易懂，总有一种虚幻的感觉，其次，无理数和有理数一样，有自己的鲜明特征。那么怎样学习无理数呢？请同学们注意以下四个方面。

一.明确无理数的存在

无理数来自实践，无理数并不“无理”，也不是人们臆想出来的，它是实实在在存在的，例如：

（1）一个直角三角形，两条直角边长分别为1和2，由勾股定理知，它的斜边长为；

（2）任何一个圆，它的周长和直径之比为一常数等等；

像这样的数，在我们周围的生活中，不是只有少数几个，而是像有理数一样有无限个。

二.弄清无理数的定义

教材中指出：无限不循环小数叫无理数，这说明无理数是具有两个基本特征的小数：一是小数位数是无限的；二是不循环的。这对初学者来说有一定难度，因此，我们必须掌握它的表现形式。

三.掌握无理数的表现形式

在初中阶段，无理数表现形式主要有以下几种：

1.无限不循环的小数，如0.1010010001……（两个1之间依次多一个0）

2.含的数，如：，，等。

3.开方开不尽而得到的数，如，等。

4.某些三角函数值：如，等。

四.辨别一些模糊认识

1.无限小数都是无理数

无限小数分：为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环的小数才是无理数。

2.无理数包括正无理数、负无理数和零。

受思维习惯的影响，有些同学错误认为正无理数与负无理数之间应有零，零也是无理数，其实零是一个有理数，因此，无理数只分为正无理数和负无理数两类。

3.带根号的数是无理数。

是有理数2，是有理数－2，可见带根号的数不一定是无理数。

4.无理数是用根号形式表示的数。

是无理数，但并不是用根号形式表示的，再如：0.1010010001……（两个1之间依次多一个），亦为不带根号的无理数。

5.无理数是开方开不尽的数。

无理数并非由开方的结果来定义的，事实上，如，0.232232223……，等无理数，都不是由开方得到的。

6.两个无理数的和、差、积、商仍是无理数。

两个无理数的和，差，积，商不一定是无理数，如：

等都是有理数。

7.无理数与有理数的乘积是无理数。

这种说法是错误的！

由等似乎易见无理数与有理数的积是无理数，就下肯定结论，错了！

如等足以推翻以上结论。

8.有些无理数是分数。

因为分数属于有理数，且无理数与有理数是两类不同的数，所以说，无理数不可能写成分数，当然，有些无理数可以借助分数线来表示。

如，但一定要注意它并不是分数。

9.无理数比有理数少。

这种说法错误，无理数在人们生产和生活中使用的少一些，但并不是说无理数就少一些，我们平常的计算中没有特别需要时，习惯地把一些无理数按要求通过取近似值的方法用有理数来表示，这样似乎就觉得使用无理数少一些，实际上，无理数也有无限个且比有理数多得多。

10.一个无理数的平方一定是有理数。

这种说法错误，不要误认为只有等无理数，如等也是无理数，显然等不是有理数。

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