压电材料及及其本构方程

D d
(1)
D为电位移张量、d为压电应变常数、σ为应力张量
F
+ +
F + + -
-
+
正压电效应示意图
正压电效应例子1 正压电效应例子2

1.2 逆压电效应 逆压电效应反映了压电材料具有将电能 转变为机械能的能力。利用逆压电效应可 以将压电材料制成驱动元件，将压电材料 埋入本体结构中，可以用以改变结构变形 或结构的应力状态。逆压电效应中应变和 电场强度之间的关系可以用以下张量表达 式表示：
k s i d kj E j Dl d li i lj E j
E ki
(k 1,2,,6) (l 1,2,3)
(14)
(2) 对应第二类边界条件，取应变 k (k 1,2,,6)
和电场强度 E j ( j 1,2,3)为自变量时，应力 i
和电位移 Dl 为因变量，压电方程表示为：
式中dij称为压电应变常数 ，第一个下标表 示电场方向，第二个下标表示应变方向，数 字1、2和3分别表示坐标轴x、y和z。 极化后的压电材料的压电应变常数只剩下 三个d33、 d31和d15,它的压电应变常数矩阵 变为：
0 0 0 0 d15 0
0 0 0
d15 0 0
d 31 d 31 d 33 0 0 0
(7)
(2) 压电材料的力学行为 压电材料的力学行为可以用应变ε 和应力 σ之间的关系表示：
1 s11 s 2 21 3 s31 4 s 41 5 s51 6 s 61
i
和电场强度 E j 为因变量压电方程表示为：
i C hil Dl E j h jk k jl Dl
E ik k
(i 1,2,,6) ( j 1,2,3)
i C e Ej Dl elk k lj E j
E ik k E ij
(i 1,2,,6) (l 1,2,3)
(15)
eij
压电应力常数
(3) 对应第三类边界条件，取应力 i (i 1,2,,6) 和电场位移 Dl (l 1,2,3) 为自变量时，应变 k
应变的贡献。
同样电位移Di也是由它所承受的应力和电场 两部分影响叠加而组成：
Di dik k im Em
(i, m 1,2,3; k 1,2,,6)

第一项 d ik k 是应力对电位移的贡献，第二项 imEm
。
(12)
是应力为零的情况下电场强度对电位移的贡献其中 im 表示应力 k为零或常数时的介电常数,单位为 F / m 从而可以得到压电材料的本构方程(即压电方程):
i s j dni En
E ij
(i, j 1,2,6)
(m, n 1,2,3)
(13)
Dn dmj j mn En

3 压电方程的几类边界条件和几 种表达形式

压电材料使用的目的和环境多种多样，因而它所 处的机械边界条件和电学边界条件也有多种形式。 为了计算方便，在处理这些边界条件时，往往需 选择适当的自变量和因变量表示压电方程。
和电位移 E j 为因变量，压电方程表示为：
k s i g kl Dl E j g ji i jl Dl
E ki
(k 1,2,,6) ( j 1,2,3)
ij 介质隔离率
(16)
gij
压电电压常数
(4) 对应第四类边界条件，取应变 k (k 1,2,,6) 和电位移 Dl (l 1,2,3) 为自变量时，应力
用张量形式表示：
d 21 d 22 d 23 d 24 d 25 d 66
d 31 d 32 E1 d 33 E2 d 34 E3 d 35 d 66
(5)
i d ji E j
(i 1,2,,6; j 1,2,3) (6)
1 1 2 2 3 3 4 23 5 31 6 12
(10)
(3) 压电材料的压电方程(力电耦合行为) 由压电材料的电行为和力行为叠加即可得 到压电材料的压电方程：
i s dki Ek
E ij j
(i, j 1,2,6; k 1,2,3)
(11) 上式的物理意义为：压电材料的应变是由它所承受 的应力和电场两部分影响叠加而组成的。
E 第一项 sij i 表示电场强度 Ei为零或为常数时应力 i
对总体应变 i 的贡献，第二项 d ki Ek 表示电场对总体
补充：压电效应的历史
1917年，Paul Langevin第一个应用了压电效应：超音波 水下探测器，用来探测潜艇，这个潜艇探测器，主要是将一 很薄的石英晶体包覆于两片铁板内并粘结成一体，使其通电 后能发出高频声音，再接收打到物体表面后回传信号，以来 回时间判断其距离及位置。
Pierre Curie (1859-1906), Nobel Prize in Physics, 1903
补充：电荷、电荷密度、电位移 、电压、电流、电场强度等物理 量之间的关系

(1) 电荷

(2) 电流

(4) 电位移
(3) 电场强度
1 d 11 d 2 12 3 d 13 4 d 14 d 15 5 6 d 16

第二类是有机压电材料，又称压电聚合物，如偏聚氟乙烯 （PVDF）（薄膜）及其它为代表的其他有机压电（薄膜 ）材料。这类材料及其材质柔韧，低密度，低阻抗和高压 电电压常数(g)等优点为世人瞩目，且发展十分迅速，现 在水声超声测量，压力传感，引燃引爆等方面获得应用。 不足之处是压电应变常数（d）偏低，使之作为有源发射 换能器受到很大的限制。
用张量形式表示：
(9) 式中Sij为柔度系数，应变和应力表示法与x、y和z坐 标轴表示法对应如下：
i sij i
(i, j 1,2,,6)
1 1 2 2 3 3 4 23 5 31 6 12
第三类是复合压电材料，这类材料是在有机聚合物基底材 料中嵌入片状、棒状、杆状、或粉末状压电材料构成的。 至今已在水声、电声、超声、医学等领域得到广泛的应用 。如果它制成水声换能器，不仅具有高的静水压响应速率 ，而且耐冲击，不易受损。

应用例子

1.1 正压电效应 正压电效应反映了压电材料具有将机械能 转变为电能的能力。通过测量压电元件上电 荷的变化，相应的就可以得到元件埋入处或 粘贴处结构的变形量。利用这个规律可以将 压电材料制成压电传感器。正压电效应中电 位移和应力之间的关系可以用以下张量表达 式表示：
s12 s 22 s32 s 42 s52 s 62
s13 s 23 s33 s 43 s53 s 63
s14 s 24 s34 s 44 s54 s 64
s15 s 25 s35 s 45 s55 s 65
s16 1 s 26 2 s36 3 s 46 4 (8) s56 5 s 66 6
压电材料及及其本构方程
北京航空航天大学固体力学研究所 赵寿根
1压电材料的正压电效应和逆压电效应
压电效应：某些电介质在沿一定方向上受到外力 的作用而变形时，其内部会产生极化现象，同时在它 的两个相对表面上出现正负相反的电荷。当外力去掉 后，它又会恢复到不带电的状态，这种现象称为正压 电效应。当作用力的方向改变时，电荷的极性也随之 改变。 相反，当在电介质的极化方向上施加电场，这些 电介质也会发生变形，电场去掉后，电介质的变形随 之消失，这种现象称为逆压电效应。 因而压电材料既能用作传感器，又可以用作驱动 元件。

补充：压电效应产生的历史 2006年是居里兄弟皮尔(P· Curie)与杰克斯 (J· Curie)发现压电效应(piezoelectriceffect)的一百周年。 一百多年前在杰克斯的实验室发现了压电性。起先，皮 尔致力于焦电现象(pyroelectriceffect)与晶体对称性关系 的研究，后来兄弟俩却发现，在某一类晶体中施以压力 会有电性产生。他们有系统的研究了施压方向与电场强 度间的关系，及预测某类晶体具有压电效应。 压电现象理论最早是李普曼(Lippmann)在研究热力 学原理时就已发现，后来在同一年，居里兄弟做实验证 明了这个理论，且建立了压电性与晶体结构的关系。 1894年，福克特(W.Voigt)更严谨地定出晶体结构与压 电性的关系，他发现32种晶类具有压电效应。 此后压电材料及其应用吸引了很多学者进入该领域 进行相应的研究。
压电元件的机械边界条件一般说来有两种形式， 即自由状态和夹持状态，同样电学边界条件也有 两种：电学开路和电学短路。机械边界条件和电 学边界条件进行组合，可以得到四种不同类型的 边界条件。

(1) 对应第一类边界条件，取应力 i (i 1,2,,6) 和电场强度 E j ( j 1,2,3) 为自变量时，应变 k 和电位移Dl 为因变量，压电方程表示为：
S d E
T
(2)
S为应变张量、dT为压电应变常数、E为电场强度
-
+
+ +
+ -
逆压电效应示意图
逆压电效应例子1
逆压电效应例子2
2 压电方程
(1) 对于一块不受外界机械力作用的压电材料施 加一外电场，它的电行为可以用电位移和电场 强度来描述：
D1 11 12 D2 21 22 D 3 31 32
Jacques Curie (1856-1941)
Paul Langé (1872 – 1946) vin
补充2：什么样的材料具有压电效应

第一类是无机压电材料，分为压电晶体和压电陶瓷，压电晶体一般 是指压电单晶体；压电陶瓷则泛指压电多晶体。压电陶瓷是指用必 要成份的原料进行混合、成型、高温烧结，由粉粒之间的固相反应 和烧结过程而获得的微细晶粒无规则集合而成的多晶体。具有压电 性的陶瓷称压电陶瓷，实际上也是铁电陶瓷。在这种陶瓷的晶粒之 中存在铁电畴，铁电畴由自发极化方向反向平行的180 畴和自发极 化方向互相垂直的90畴组成，这些电畴在人工极化（施加强直流 电场）条件下，自发极化依外电场方向充分排列并在撤消外电场后 保持剩余极化强度，因此具有宏观压电性。如：钛酸钡BT、锆钛 酸铅PZT、改性锆钛酸铅、偏铌酸铅、铌酸铅钡锂PBLN、改性钛 酸铅PT等。这类材料的研制成功，促进了声换能器，压电传感器 的各种压电器件性能的改善和提高。 压电晶体一般指压电单晶体 ，是指按晶体空间点阵长程有序生长而成的晶体。这种晶体结构无 对称中心，因此具有压电性。如水晶（石英晶体）、镓酸锂、锗酸 锂、锗酸钛以及铁晶体管铌酸锂、钽酸锂等。
13 E1 E 23 2 E3 33
(3)
用ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量形式表示：
Di ij E j
(i, j 1,2,3)
(4)
上式中εij称为介电常数，第一个下标表示电场位 移方向；第二个下标表示电场强度分量的方向。 对于已经极化的压电材料εij只有ε11= ε22和ε33 在上述情况下，也可以采用电应变εi和电场强 度E来描述它的电行为。