2 因式分解的又两种方法

§2 因式分解的又两种方法

把一个多项式化成几个整式的乘积形式，叫做这个多项式的因式分解。

我们已经学过因式分解的三种方法：提取公因式法、公式法和分组分解法，下面再介绍两种方法。

一、十字相乘法

1、x 2+px+q

由多项式乘法，得到(x+a)(x+b)= x 2+(a+b)x+ab ，将之反过来：x 2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)，这就是把x 2+(a+b)x+ab 分解为(x+a)(x+b)，用右图表示

这个图左边一列两个项的积为x 2 ，右边一列两个项的积

为ab ，对角线上两个项积的和为(a+b)x ；这个图上面一行两数 之和与下面一行两数之和的积为(x+a)(x+b)，恰好等于x 2+(a+b)x+ab 。我们把这种因式分解的方法叫十字相乘法。

用十字相乘法因式分解x 2+px+q 的步骤：

（1） 其中a,b 满足条件

（2）x 2+px+q=(x+a)(x+b)

这里关键一步是把q 拆成ab ，把p 拆成a+b

例1：把下面各式因式分解

（1）x 2+3x+2； （2）x 2-6x+8； (3) x 2+4x -12

分析：（1）2=1×2=-1×(-2)=……，3=1+2，

（2）8=1×8=2×4= -2×(-4)=……，-6=-2+(-4),

（3）-12= -1×12=6×(-2)=……，4=6+(-2)，

解：（1）∵

∴x 2+3x+2=(x+1)(x+2)

（2）∵

∴x 2-6x+8=(x -2)(x -4) x a x b

a+b=p ab=q x 1 x 2

x -2 x -4 x a x b

（3）∵

∴x 2+4x -12=(x+6)(x -2)

说明：先将常数项表示为两个数的积，后在其中寻找“这两数的和恰好等于一次项的系数”的那种情形。这样就能成功运用十字相乘法因式分解。

例2：把下面各式因式分解

（1）x 2- (a+1)x+a ；（2）x 2-3xy -18 y 2；（3）x 2+(2a+3)x+ a 2+3a+2

分析：（1）a=1×a= -a × (-1)=……，- (a+1)= -a+(-1)

（2）-18y 2= -18×y 2= -6y ×3y=……，-6y+3y= -3y

（3）a 2+3a+2=(a+1)(a+2)，2a+3=(a+1)+(a+2)

解：（1）∵

∴x 2- (a+1)x+a =(x -a)(x -1)

（2）∵

∴x 2-3xy -18 y 2=(x -6y)(x+3y)

（3）∵

∴x2+(2a+3)x+ a 2+3a+2=(x+a+1)(x+a+2)

2、ax 2+bx+c

仿照上面，运用十字相乘法，写成

若满足a 1a 2=a ，c 1c 2=c ，a 1c 2+a 2c 1=b ，则ax 2+bx+c=(a 1x+c 1)(a 2x+c 2)

例3：把下面各式因式分解

(1)2 x 2 -5x+3；(2)-4x 2+4x+15；(3)kx 2+2(3k 2-1)x-12k

解：（1）∵

x 6 x -2

x -a x -1 x -6y x 3y

x a+1 x 1

a x 1c a x c

x -1 2x -3

∴2 x 2-5x+3=(x -1)(2x -3)

（2）∵

∴-4x 2+4x+15=- (2x -5)(2x+3)

（3）∵

∴kx 2+2(3k 2-1)x -12k=(kx -2)(x+6k)

二、求根法

1、ax 2+bx+c

设关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个实数根是x 1,x 2，则有恒等式a x 2

+bx+c=a(x- x 1)(x- x 2)。这就是用求根法进行因式分解。

例4：将下列各式因式分解

(1) x 2+x -1；(2) 2x 2-7x+4；

解：（1）解方程x 2+x -1=0，得x=251±-，∴x 2+x -1=(x -251+-)(x -2

51--) （2）解方程2x 2-7x+4=0，得x=4177±，∴2x 2-7x+4=2(x -4177+)(x -4177-)

2、ax 3+bx 2+cx+d

设关于x 的方程ax 3+bx 2+cx+d=0的一个根为x 0，则ax 3+bx 2+cx+d 有一个因式x -x 0。于是ax 3+bx 2+cx+d=[ax 3-ax 0x 2]+[(ax 0+b)x 2+cx+d]，前一部分用提取因式法得ax 2(x -x 0)，后一部分用十字相乘法得(x -x 0)(ex+f)。这样一来，ax 3+bx 2+cx+d=(x -x 0)(ax 2+ex+f)，再对(ax 2+ex+f)因式分解。

怎样得到一个根x 0呢？一是看系数之和：若a+b+c+d=0，则有一个根为1；二是看奇次项系数和与偶次项系数和，若a+c=b+d ，则有一根-1；三是当a 、b 、c 、d 都是整数时，用d 的因数除以a 的因数所得的商x 0,若满足320000ax bx cx d +++=，则x 0便是一个根，若32

0000ax bx cx d +++≠，则x 0不是根。 例5、将下列各式因式分解

（1）x 3-2x 2+3x -2；（2）2x 3+x 2-5x-4；（3）x 3-x 2+2x -8

分析：（1）各项和为零；

（2）2+（-5）=1+（-4）；

（3）23-22+2×2-8=0 2x -5 kx -2 x