高一数学必修一 函数的单调性与最值

⑤判断（即指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性）．
课堂练习
课本第38页 练习1、2、3、4题
课堂小结
函数的单调性一般是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ根据图象判断，再利
用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函
数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调
性的证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 判断
单调性）．
请你归纳利用定义判断函数的单调性 的步骤。
3．判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤： ①任取x1，x2∈D，且 x1 x2 ； ②作差 f ( x1 ) f ( x2 ) ；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差 f ( x1 ) f ( x2 ) 的正负）；
课后作业 课本第39页 习题1.3(A组) 第1﹑2﹑3﹑4题
k 例3.物理学中的玻意耳定律 p （k为正常数）告 V
强P将增大，试用函数的单调性证明之。
诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压
k 分析：按题意，只要证明函数 p 在区间( 0, V
+∞ )上是减函数即可。
证明：根据单调性的定义，设 V1 , V2 是定义域 ( 0,+∞ )上的任意两个实数，且 V1 V2，则
思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数 y=f(x)的最小值的定义吗？
例3.“菊花”烟花是最壮观得烟花之一，制造时一般 是 h(t ) 4.9t 2 14.7t 18 期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高 度h m与时间t s之间的关系为 ， 那么烟花冲出后什么时候是 它爆裂的的最佳时刻？ 这时 距地面的高度是多少 （精确 到1m）？
函数的单调性与最值
高一数学组
1.观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映 了相应函数的哪些变化规律：
y y y
1 -1 -1 1 x -1
1 1 -1 x -1
1 1 x -1
①随x的增大，y的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ ③函数图象是否具有某种对称性？
2.画出下列函数的图象，观察其变化规律： (1) f(x) = x ① 从左至右图象上升还是下降 ______? ② 在区间 ____________ 上，随着x的增 大，f(x)的值随着 ________ ．
2 x (2) f(x) = ① 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ ． ② 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ ．
函数单调性的定义
1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个
自变量 x1 , x2 ，当 x1 x2 时，都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，
那么就说f(x)在区间D上是增函数． 思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．
减函数 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个 自变量 x1 , x2 ，当 x1 x2 时，都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ， 那么就说f(x)在区间D上是减函数． 注意： 1.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的 性质，是函数的局部性质； 2.必须是对于区间D内的任意两个自变量 x1 , x2 .
V2 V1 k k p(V1 ) p(V2 ) k . V1 V2 VV 1 2
由 V1 ,V2 (0, ) ，得 V1 ,V2 0 ；
由 V1 V2 ，得 V2 V1 0 ；
又 k＞0，于是
p(V1 ) p(V2 ) 0,
即： p(V1 ) p(V2 ).
解：函数 y f ( x) 的单调区间有[ -5,-2 ),[ -2,1 ),
[ 1,3 ),[ 3,5 ].其中 y f ( x) 在区间[ -5,-2 ), [ 1,3 )
上是减函数，在区间[ -2,1 ),[ 3,5 ]上是增函数。
例2 证明函数 f ( x)
1 在区间 (0,)上是减函数。 x
4 (4.9) 18 14.72 h 29. 4 (4.9)
于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻， 这时距地面的高度约为29m。
和最小值。
2 例4.求函数 y 在区间 [ 2, 6 ] 上的最大值 x 1
课堂练习
课本第38页 练习1、5题
课堂小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利
解：作出函数 h(t ) 4.9t 2 14.7t 18. 的图象， 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶
点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是
这时距地面的高度。
由二次函数的知识，对于函数
h(t ) 4.9t 2 14.7t 18.
我们有：
14.7 当t 1.5 时，函数有最大值 2 (4.9)
3．判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤： ①任取x1，x2∈D，且 x1 x2 ； ②作差 f ( x1 ) f ( x2 ) ；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差 f ( x1 ) f ( x2 ) 的正负）；
⑤判断（即指出函数f(x)在给定的区间D上的
2．函数的单调区间的定义 如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是 减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严 格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
例1.如图是定义在区间[ -5, 5 ]上的函数y f ( x) ， 根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区 间上，它是增函数还是减函数？
用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函
数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调
性的证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 判断
课后作业 课本第45页 习题1.3(A组) 第3﹑4 ﹑ 5 题
k 所以，函数 p , V (0, ) 是减函数， V
也就是说，当体积V减小时，压强P将增大。
函数的最值
最大值的定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： f ( x) M （1）对于任意的 x I , 都有 ， （2）存在 x0 I , 使得f ( x0 ) M . 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值 （maximum value）