菱形的判定导学案

1922菱形的判定导学案
【学习目标】
1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；
2•在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.
【学习重难点】菱形的两个判定方法.
【学习过程】
一、温故知新：1.菱形的定义：______________
2.菱形的性质：边： _______________________
角：____________________________ ；_______
对角线：__________________________________
对称性：__________________________________
二、学习新知：
探究一：如图，四边形是菱形吗？为什么？
三、练习
1.判断题，对的画“y 错的画“X”
(1).对角线互相垂直的四边形是菱形( )
(2). 一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形(
(3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形( )
(4).对角线相等的四边形是菱形( )
2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分求
证：(1)四边形ABCD是平行四边形
⑵ 过A作AE丄BC于E点，过A作AF丄CD于F.用等积
法说明BC=CD. ⑶求证：四边形ABCD是菱形.
归纳：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
探究二：用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，
四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形•转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？
通过探究，容易得到：
证明上述结论：
3.已知：如图匚ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、
F. 求证：四边形AFCE是菱形.
探究三：李芳同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画
弧，得到两弧的交点C,连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？请你画一画。

通过探究，容易得到：
证明上述结论：
例1. 如图，I UABCD的两条对角线AC、BD相交于点0, 求证：四边
形ABCD是菱形.
5.如图，四边形ABCD 中，AB// CD , AC 平分/ BAD , CE// AD 交AB 于E.
(1)求证：四边形AECD是菱形；
⑵若点E是AB的中点，试判断^ ABC的形状，并说明理由.
ABCD是菱形吗?
的平行四边形是菱形
对角线
4.如图，在四边形ABCD中，AB = CD, M , N, P, Q分别是AD , 求
证：MN与PQ互相垂直平分。

的四边形是菱形
6.如图，□ ABCD中，AB丄AC, AB= 1 , BC = ^5•对角线AC, BD相交于点0,将直线AC 绕点0顺时针旋转，分别交BC, AD于点E, F.
（1）证明：当旋转角为90。

时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
丄
为圆心，大于2 AB的长为半径画弧，两弧相交于 C . D，则直线CD即为所求•根据他的作图方法可知四边形ADBC - 1定是
四、中考链接
一、选择题
1. （2011?西宁）用直尺和圆规作一个菱形,
A、一组临边相等的四边形是菱形
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形故选B .
2. （2011?莱芜）如图，E、F、G、H 分别是
①EG丄FH，②四边形EFGH是矩形,
)
3
B •菱形
D .等腰梯形
如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（
）
B、四边相等的四边形是菱形
D、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD .下列结论:
丄
③HF平分/ EHG,④EG= 2 (BC - AD )，⑤四边形EFGH
故选C.
3. （2011湖南益阳）如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B
A •矩形
C.正方形
故选：B.
4.（2011襄阳）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形
四边形ABCD 一定是（）
A .菱形
B .对角线互相垂直的四边形
故选D .
5.（2011清远）如图.若要使平行四边形ABCD成为菱形.则需要添加的条件是（
C .矩形
是菱形，则
D .对角线相等的四边形
B.AD = BC
C.AB = BC
D. AC= BD
A.AB= CD
故选C.
二、填空题
1. （2011?贵港）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD ,
43
若AD=6cm , / ABC=60，则四边形ABCD的面积等于—18 cm2.
C
2. （2011福建省三明市，14,4分）如图，?ABCD中，对角形AC, BD相交于点0,添加一个条
件，能使？ABCD成为菱形•你添加的条件是________________ （不再添加辅助线和字母）
三、解答题
1. （2011江苏镇江常州）已知：如图，在梯形ABCD中，AB// CD , BC=CD, AD丄BD , E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形.
1
••• E, F 分别为AB , CD 的中点，••• BE = 2
A B , •••四边形
DEBF是平行四边形
中，E是AB的中点，••• AE
是等边三角形，即
1
DF = "2 CD,
解答：证明：••• AD丄BD ,
•••△ ABD 是Rt△••• E是AB的中点，在△ABD
•••△ AED
•••平行四边形DEBF是菱形.
（2）四边形AGBD是矩形，
•/ AD // BC 且AG // DB
=BE = 2 A B = AD，而/ DAB = 60 DE =
AE = AD，故DE = BE
理由如下：
•••四边形AGBD是平行四边形
■- BE= 2 AB , DE= 2 AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半）
••• BE=DE,
•••/ EDB = / EBD ,
•CB=CD,
•••/ CDB= / CBD ,
•/ AB // CD ,
•••/ EBD= / CDB ,
•••/ EDB = / EBD= / CDB= / CBD ,
•/ BD=BD,
•••△ EBD◎△ CBD (SAS ),
•BE=BC,
•CB=CD = BE=DE,
•••菱形BCDE .(四边相等的四边形是菱形)
2. (2011新疆乌鲁木齐)如图，在平行四边形ABCD中，/ DAB = 60° AB = 2AD，点E、F 分别是CD的中点，
(1)求证：四边形
(2)请判断四边形由（1）的证明知AD = DE = AE = BE，•/ ADE =/ DEA = 60°
/ EDB = / DBE = 30°故/ ADB = 90°
•••平行四边形AGBD是矩形.
3. （2011云南保山）如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE丄AB, PF丄AD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？
过点A作AG // BD，交CB的延长线于点G . DEBF是菱形；
AGBD是什么特殊四边形？并加以证明. 解答：解：是菱形.
理由如下：••• PE丄AB, PF丄AD ,且PE=PF ,
••• AC是/ DAB的角平分线，
•••/ DAC = / CAE,
•••四边形ABCD是平行四边形，
••• DC //AB ,
•••/ DCA= /CAB,
••• /DAC= /DCA,
••• DA=DC ,
•••平行四边形ABCD是菱形.
4. （2011?贵港）如图所示，在梯形ABCD中，AD // BC, AB=AD，/ BAD的平分线AE交BC 于点E,连接DE .
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）若/ ABC=60 , CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由.
解答：证明：（1 ）•••四边形ABCD是平行四边形
••• AB // CD 且AB = CD, AD // BC 且AD = BC
解答：（1）证明：如图，••• AE平分/ BAD ,
•••/ 1 = / 2,
•/ AB=AD , AE=AE ,
•••△ BAE BA DAE ,
••• BE=DE ,
•/ AD // BC,
•••/ 2= / 3= / 1,
••• AB=BE ,
••• AB=BE=DE=AD ,
•••四边形ABED是菱形.
(2)解：ACDE是直角三角形.
如图，过点D作DF // AE交BC于点F, 则四边形AEFD是平行四边形，
•DF=AE , AD=EF=BE ,
•/ CE=2BE ,
•BE=EF=FC ,
•DE=EF,
又•••/ ABC=60 , AB // DE ,
•••/ DEF=60 ,
•••△ DEF是等边三角形，
••• DF=EF=FC ,
•••△ CDE是直角三角形.
5. (2011?安顺)如图，在AABC中，/ ACB=90° , BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E , F 在DE 上,且AF=CE=AE .
(1)说明四边形ACEF是平行四边形；
(2)当/ B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由.
解答：(1)证明：由题意知/ FDC= / DCA=90 ,
••• EF // CA ,
•••/ AEF= / EAC , •/ AF=CE=AE ,
•••/ F=/ AEF= / EAC= / ECA .
又：AE=EA ,
•••△ AEC BA EAF ,
••• EF=CA ,
•••四边形ACEF是平行四边形.
(2)当/ B=30时，四边形ACEF是菱形.
理由是：•••/ B=30，/ ACB=90 ,
••• AC= •/ DE垂直平分BC ,
••• BE=CE ,
又••• AE=CE ,
••• CE= ••• AC=CE ,
•••四边形ACEF是菱形.
6. (2011?西宁)如图，矩形ABCD的对角线相交于点0, DE // CA , AE // BD .
(1)求证：四边形AODE是菱形；
(2)若将题设中矩形ABCD这一条件改为菱形ABCD ,其余条件不变，则四边形AODE是矩形 .
解答：解：(1)证明：•••矩形ABCD ,
••• OA=OC , OD=OB , AC=BD ,
••• OA=OD ,
•/ DE // CA , AE // BD ,
•••四边形AODE是平行四边形，
•••四边形AODE是菱形.
(2)v DE // CA , AE // BD ,
•••四边形AODE是平行四边形，
•••菱形ABCD
, c
故答案为：矩形. •••平行四边形 ABCD 是菱形.
••• AC 丄 BD ,
•••/ AOD=90 ,
•••平行四边形 AODE 是矩形.
7. (2011?临沂)如图，△ABC中，AB=AC , AD、CD分別是AABC两个外角的平分线.
(1)求证：AC=AD ;
(2)若/ B=60°，求证：四边形ABCD是菱形.
解答：证明：(1 )••• AB=AC , •••/ B= / BCA , •/ AD 平分/ FAC ,
•••/ FAD= / B ,
••• AD // BC,
•••/ D= / DCE ,
••• CD 平分/ ACE ,
•••/ ACD= / DCE,
•••/ D= / ACD ,
••• AC=AD ;
证明：(2)v/ B=60° , AB=AC ,
•••△ ABC为等边三角形，
••• AB=BC ,
•••/ ACB=60 ,
/ FAC= / ACE=120 ,
•••/ BAD= / BCD=120 ,
•••/ B= / D=60 ,
•••四边形ABCD是平行四边形，
•/ AB=BC , 8. (2011丽江市中考)如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE丄AB ,
PF丄AD，垂足分别为E、F,且PE=PF,平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？
C
解答：解：是菱形.
理由如下：••• PE丄AB , PF丄AD，且PE=PF,
••• AC是/ DAB的角平分线，
•••/ DAC= / CAE ,
•••四边形ABCD是平行四边形，
•DC // AB ,
•••/ DCA= / CAB ,
•••/ DAC= / DCA ,
•DA=DC ,
•••平行四边形ABCD是菱形.
9. (2011浙江宁波)如图，在DKBCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG // DB交CB的延长线于点G.
(1)求证：DE // BF
;
故答案为：矩形. •••平行四边形ABCD是菱形.
AD =CB, AB =CD.
••/ 4=/ C,
•••点E、F分别是AB、CD的中点,
1
•- AE = 2AB ,
•••/ 3 =/
CBF ,•••/ ADB =/ CBD , •/ 2 = / FBD , • DE // BF,
(2)v/ G = 90° •••四边形AGBD 是矩形，/ ADB = 90°
•••/ 2+ / 3= 90° • 2 / 2+2 / 3= 180° •/ 1 = / 2, / 3=/ 4.
• DE = AE = BE , •/ AB // CD , DE // BF ,二四边形DEBF 是菱形.
10. (2011浙江衢州)如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE // BC ,过点D作DE // AB , DE与AC、AE分别交于点0、点E ,连接EC .
(1)求证：AD=EC;
(2)当/ BAC=Rt /时，求证：四边形ADCE是菱形.
解答：(1)证明：••• DE // AB, AE // BC,
•••四边形ABDE是平行四边形，
••• AE // BD，且AE=BD
又••• AD是BC边上的中线，
••• BD=CD
••• AE // CD，且AE=CD
•••四边形ADCE是平行四边形
••• AD=CE
(2)证明：•••/ BAC=Rt/, AD上斜边BC上的中线，
••• AD=BD=CD
又•••四边形ADCE是平行四边形
•••四边形ADCE是菱形
11. (2011?安顺)如图，在△ABC中，/ ACB=90° , BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB 于E, F 在DE 上，且AF=CE=AE .
(1)说明四边形ACEF是平行四边形；
(2)当/ B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由.
解答：(1)证明：由题意知/ FDC= / DCA=90 , ••• EF // CA , •••/ AEF= / EAC ,
•/ AF=CE=AE ,
•••/ F=/ AEF= / EAC= / ECA .
又••• AE=EA ,
•••△ AEC EAF ,
••• EF=CA ,
•••四边形ACEF是平行四边形.
(2)当/ B=30°时，四边形ACEF是菱形.
理由是：•••/ B=30，/ ACB=90 ,
1
• AC= 2 AB,
•/ DE垂直平分BC ,
••• BE=CE , 又••• AE=CE ,
••• AC=CE ,
•••四边形ACEF是菱形.
12. (2011?恩施)如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD , BC=CD，锐角/ BAC的角平分线AE
交BC于点E, AF是CD边上的中线，且PC丄CD与AE交于点P, QC丄BC与AF交于点Q.求证：四边形APCQ是菱形
./ B
\A D
A C
1
CF = 2 CD . • AE = CF,." ADE ◎△ CBF ,
解答：解：••• AC=AD , AF 是CD 边上的中线，
•••/ AFC=90 , •••/ ACF+ / CAF=90 ,
•// ACF+ / PCA=90 ,
•••/ PCA= / CAF , ••• PC // AQ ,
同理：AP // QC ,
•••四边形APCQ 是平行四边形.
•••△ PECN QFC , ••• P C=QC ,
•••四边形APCQ 是菱形.
13. (2011邵阳)在四边形 ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连
接 EF 、FG 、GH 、HE .
(1) 请判断四边形 EFGH 的形状，并给予证明；
(2) 试添加一个条件，使四边形 EFGH 是菱形.(写出你添加的条件，不
要求证明)
的形状是平行四边形.证明：连接 AC 、BD ,••• E 、F 、G 、H 分别是
EF // HG ,.・.四边形EFGH 是平行四边形.
AB 、BC 、CD 、DA 的中点, ••• EF // AC , EF=2 AC , HG // AC , HG= 2 AC , GF=2
BD ，二 EF=HG , 解答：(1)四边形
EFGH
(2)添加的条件是AC=BD.。