算符测不准关系展开假定
测不准关系
南京师范大学泰州学院毕业论文（设计）（ 2012 届）题目：院（系、部）：专业：姓名：学号指导教师：南京师范大学泰州学院教务处制目录1.引言 (5)2、测不准关系的理论背景 (5)2.1 粒子的波动性 (5)2.2波的粒子性 (6)3．测不准关系式的简要导出 (7)3.1 由电子的单缝衍射导出测不准关系 (7)3.2由量子力学中的特例导出测不准关系式 (7)3.3由量子力学中的算符的对易关系导出测不准关系式 (7)3.4、由量子理论的基本假定直接导出测不准关系式。
(7)4 对测不准关系的认同与争议 (9)4．1对测不准关系的争议 (9)4.1.1统计解释与非统计解释 (9)4.1.2某些力学量测不准的原因是什么 (9)4.1.3关于名称和译名的争议 (10)4．2对有争议问题的讨论 (10)4.2.1关于统计解释和非统计解释 (10)4.2.2某些力学量测不准的原因 (11)4.2.3关于uncertainty和indeteminacy的译名问题 (11)5 测不准关系的应用 (11)5.1无限深势阱问题 (12)5.2 线性谐振子问题 (13)5.3 氢原子问题 (15)结语 (16)谢辞 (17)参考文献 (17)摘要测不准关系是量子力学的一个基本原理，表明一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值，例如位置与动量、时间和能量。
它反映了自然界的客观规律, 反映了微观粒子的波粒二象性的基本属性。
本文主要介绍了测不准关系的理论背景，导出模式以及对测不准关系的认同与争议，重点讨论了测不准关系在量子力学上的应用。
通过无限深势阱、线性谐振子、氢原子等几个模型问题的基态能量的求解，证明了测不准关系在物理量大小估算问题上具有的应用意义和价值.关键词：测不准关系；量子力学；估算AbstractThe uncertainty relation is a fundamental principle of quantum mechanics. It showed that the value of a microscopic particle having certain pairs of physical quantities is not possible to determine, such as position and momentum, time and energy. It reflects the objective laws of nature, reflecting the basic properties of micro-particle wave-particle duality.This paper focuses on the application of uncertainty relation on quantum mechanics. Firstly, we make a detailed investigation regarding the theoretical background, export mode, and the recognition and controversy of uncertainty relation. Basing on the solution of several model problems such as the infinite potential well, linear harmonic oscillator, hydrogen atom ground state energy, it is necessary to be figured out that Uncertainty relation in the meaning and value on the physical size of the estimation problem.Keywords: Uncertainty relation ；quantum mechanics；estimation1.引 言测不准关系又名“测不准原理”、“不确定关系”，由海森伯在1927 年率先提出, 经历了大半个世纪争论，近30年来才逐渐取得一致, 成为量子力学的重要内容。
量子力学讲义第三章讲义
第三章 力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
例如：动量算符ˆpi =-∇， 单位算符I 是线性算符。
2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。
3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。
ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。
5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
例如：算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
量子力学期末考试题解答题
1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处有哪些不成功的地方试举一例说明。
(简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的)答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。
首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。
2. 什么是光电效应光电效应有什么规律爱因斯坦是如何解释光电效应的答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。
爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完成的。
(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。
(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。
量子力学复习题及答案
量子力学复习题及答案填空题1、量子力学体系中，任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ 展开：()()n n nx a x ψψ=∑，则展开式系数()()*n n a x x dx ψψ=⎰。
2、不考虑电子的自旋，氢原子能级的简并度是 n 2___。
3、测量一自由电子的自旋角动量的X 分量，其测量值为2/ ，接着测量其Z 分量，则得到的值为2/ 的概率为 1/2 。
4、坐标表象中，动量的本征函数是__()()3/21exp 2i r p r ψπ⎛⎫=⎪⎝⎭_；动量表象中，坐标的本征函数是_____()()3/21exp 2i r p r ψπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭____。
5、由两个全同粒子组成的体系，一个处在单粒子态1ϕ，另一个处在单粒子态2ϕ。
若粒子是波色子，则体系的波函数是_______)]1()2()2()1([212121ϕϕϕϕ+______；若粒子是费米子，则体系的波函数是____)]1()2()2()1([212121ϕϕϕϕ-____。
6、波函数满足的三个基本条件是： _单值 _； _有限__；__连续__。
7、设粒子的波函数为),(t r ψ，则相应的概率密度 ρ =_______ ()2,r t ψ ____；概率流密度j =__ ()()()()()**,,,,2i r t r t r t r t m ψψψψ-∇-∇_______。
8、角动量ˆx L 与ˆy L 的海森堡不确定关系为_____()()22224x y z L L L ∆∆≥______。
9、对于两电子体系的总自旋S 及其各分量有2,x S S ⎡⎤⎣⎦= 0 ，,x y S S ⎡⎤⎣⎦= z i S 。
10、全同玻色子的波函数应为 对称化 波函数，全同费米子的波函数应为 反对称化 波函数，全同费米子满足 泡利不相容 原理。
11、在球坐标中，粒子的波函数为),,(ϕθψr ，则在球壳()dr r r +,中找到粒子的 概率是_____⎰⎰]sin |),,(|22ϕθθϕθψd d r dr r ___；在()ϕθ,方向的立体角Ωd 中找。
《原子物理与量子力学》-第九章习题课
三 . S 方程，展开假定 方程，
定理1 定理
v v | r |趋于无穷时，若势 U ( r ) 下有界且趋于 方程中， 在S方程中，当 趋于无穷时， 方程中 正无穷，则体系能级只有分立谱， 且基态为非简并态。 正无穷 ， 则体系能级只有分立谱 ， 且基态为非简并态 。
定理2 定理
v v ) 在S方程中，势 U ( r存在上界且当| r |趋于无穷时，势 方程中， 趋于无穷时， 方程中 v U ( r ) 趋于一常数或负无穷 ， 则体系能级必存在连续谱 趋于一常数或负无穷， 同时可能还有分立谱） （同时可能还有分立谱）。
4. 已知在对称有限深方势阱中某一本征态为
其中 求粒子对阱壁的平均力，在无限深势阱中结果如何？ 求粒子对阱壁的平均力，在无限深势阱中结果如何？ 可将势阱表示为： 可将势阱表示为：
HUST
APPLIED PHYSICS
17
对一侧阱壁的力
此题还可用虚功原理求得
HUST APPLIED PHYSICS 18
HUST APPLIED PHYSICS 27
定态S方程为 定态S方程为: 属于力学量算符Ĥ 的本征方程 特殊情况） （特殊情况） 一维无限深势阱 一维谐振子 三维氢原子
HUST
APPLIED PHYSICS
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厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 厄密算符本征函数 总可以取为正交归一化的， 即组 总可以取为正交归一化的 成正交归一系。并且组成完全系（完备系）。 正交归一系。并且组成完全系（完备系） 1). 分立谱正交归一条件为： 分立谱正交归一条件 正交归一条件为
证明 则有： 则有： 求导
令：
HUST
APPLIED PHYSICS
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广义测不准关系和非简谐振子
广义测不准关系和非简谐振子
李京颖
【期刊名称】《阜阳师范学院学报：自然科学版》
【年(卷),期】1998(000)004
【摘要】本文利用广义测不准关系，讨论了在非简谐振子的能量本征态和相干态中自然算符的涨落的性质。
【总页数】3页(P5-7)
【作者】李京颖
【作者单位】阜阳师范学院物理系
【正文语种】中文
【中图分类】O413.1
【相关文献】
1.qs变形非简谐振子奇偶广义相干态及其量子统计特性 [J], 汪仲清;安广雷;李俊红
2.有限维希尔伯特空间非简谐振子奇偶广义相干态的反聚束效应 [J], 卢道明
3.非简谐振子广义相干态的位相统计性质 [J], 卢道明
4.非简谐振子广义相干态的叠加态的高阶压缩效应 [J], 卢道明
5.非简谐振子广义Klauder-Perelomov相干态及其性质 [J], 程衍富;姚文俊因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
第8讲 测不准关系的严格证明
第八讲 连续谱本征函数的归一化 测不准关系的严格证明 共同本征函数
1
第8讲目录
一、连续谱本征函数 二、连续谱本征函数的归一化与δ函数 三、不确定度（测不准）关系的严格证明 四、共同本征函数 五、习题
2
一、连续谱本征函数（1）
1、动量
x 分量的本征值与本征函数
设本征值与本征函数为 px 和 ，本征方程为： i p x C exp( ip x x / ) x 若 x (,) ，则 px (,) ，为连续变化：
ˆ iB ˆ d 0 A
2
ˆ iB ˆ iB ˆ )* (A ˆ ) d 0 I ( ) (A
ˆ )* A ˆ i ( A ˆ )* B ˆ d [ 2 ( A
ˆ (B ˆ )* A ˆ )* B ˆ )] i ( B
1 (1) (ax) ( x); (2) ( x) ( x); |a| (3) ( x)dx ( x)dx 1 ( 0); (亦可作为定义 )
(4) f ( x) ( x a)dx f (a);
(5) x ( x) 0
9
三、不确定度（测不准）关系的严格证明(1)
ˆ x ，有 x px ， ˆ 和B ˆ 为厄 问题：对于 x ˆ 和p A
米算符，则 A B ? ， 结论为：A B [ A ˆ, B ˆ] 2 【证明】：设任意波函数 以及任意实数 做积分： I ( )
3、连续谱本征函数的归一化(1)
ipx x / )，若取：C 动量本征态为 p C exp(
量子力学试题含答案
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。
3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。
7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。
8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。
二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。
4第3章概念1-算符、对易关系、不确定关系
所以 可以推出
ˆ = −ih x ∂ − y ∂ = −ih ∂ Lz ∂x ∂ϕ ∂y
1 ∂ ∂ 1 ∂2 ˆ L2 = −h 2 sin θ + 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ 2
* * = ∑ cn cm f mδ nm = ∑ cn cn f n = F nm
nm
n
且
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ F 2 = ∫ψ * F 2ψ dτ = ∫ψ * F ( Fψ )dτ = ∫ ( Fψ )( Fψ )* dτ
ˆ = ∫ Fψ dτ ≥ 0
* F 2 = ∑ f n2 cn cn = ∑ f n2 cn n n 2
2.厄米算符（自共轭算符） 厄米算符（自共轭算符）
ˆ ˆ A+ = A
或
∫
∞
ˆ ˆ ψ 1* Aψ 2 dτ = ∫ ψ 2 ( Aψ 1 )* dτ
∞
一般力学量算符都是厄米算符。 一般力学量算符都是厄米算符。
性质1：厄米算符的本征值为实数。 性质1 厄米算符的本征值为实数。 ˆ 设 Aψ = λψ ，则 ˆ ψ * Aψ dτ = λ ψ *ψ dτ
ψ = ψ 1 ,ψ 2 ,ψ 3 ,L ,ψ n ,L
ˆ 的可能取值， 本征值 λ 就是力学量算符 A 的可能取值，测量时只能测得这些
2 ˆ ˆ 的平方 A2的本征值就是 An 。这是因为 算符 A ˆ ˆ ˆ ˆ A2ψ = A ⋅ Aψ = AA ψ = A2ψ
n n n n n n
当 m 取整数时
m ˆ Amψ n = An ψ n
ˆ 对 A−1，有 ˆ 对 A1/ 2，有
量子力学中的测不准原理为什么我们无法同时确定位置和动量
量子力学中的测不准原理为什么我们无法同时确定位置和动量量子力学中的测不准原理（Uncertainty Principle）是指在某些情况下，我们无法准确地同时确定粒子的位置和动量。
这个原理是由著名的物理学家海森堡在1927年提出的，是量子力学理论的一个重要基石。
测不准原理的存在不是由于我们的测量方式有限，而是深深扎根于量子世界的本质中。
本文将从理论和实验角度，解释为何我们无法同时确定粒子的位置和动量。
1. 量子力学的基本概念在探讨测不准原理之前，我们先来回顾一下量子力学的基本概念。
量子力学是描述微观世界行为的物理学理论，它认为粒子的性质不是确定的，而是具有概率性。
位置和动量是微观粒子的两个基本属性，它们在量子力学中被描述为算符，分别是位置算符和动量算符。
2. 测不准原理的表述测不准原理的数学表述是由海森堡给出的，被称为海森堡不确定关系。
根据这个关系，位置算符和动量算符的对易关系不为零，即它们无法同时测量到精确的值：Δx · Δp ≥ ħ/2其中Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，ħ是普朗克常数的约化常数。
这个不等式意味着我们无法同时获得位置和动量的精确值，只能获得它们之间的不确定度。
3. 解释测不准原理的实验现象实验上也有众多实验证据证实了测不准原理的存在。
一个经典的例子是双缝干涉实验。
当我们将光通过两个缝隙进行干涉实验时，我们可以观察到干涉条纹，这表明光是波动性质。
当我们尝试通过单缝进行干涉实验时，我们却无法观察到明确的干涉条纹，而呈现出一定的模糊性。
这说明我们无法准确地确定光的路径，也无法同时确定位置和动量。
4. 基于波粒二象性的解释测不准原理可以通过波粒二象性解释。
根据波粒二象性理论，微观粒子既可以表现出波动性质，也可以表现出粒子性质。
当我们以粒子的形式进行测量时，我们会得到位置的确定值，但会使粒子的波函数受到干扰，从而无法得到准确的动量值。
反之，以波动的形式进行测量时，我们可以得到粒子的动量值，但会使位置的确定度下降。
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学试题集量子力学期末试题及答案（A）选择题（每题3分共36分）1．黑体辐射中的紫外灾难表明：CA。
黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。
2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：BA. Ψ代表微观粒子的几率密度；B. Ψ归一化后，代表微观粒子出现的几率密度；C。
Ψ一定是实数;D. Ψ一定不连续。
3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：DA. 偏振光子的一部分通过偏振片；B。
偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；D.每个光子以一定的几率通过偏振片。
4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. 一定也是该方程的一个解;B。
一定不是该方程的解；C。
Ψ与一定等价；D。
无任何结论.5．对于一维方势垒的穿透问题,关于粒子的运动，正确的是：C A。
粒子在势垒中有确定的轨迹；B.粒子在势垒中有负的动能；C.粒子以一定的几率穿过势垒;D粒子不能穿过势垒。
6．如果以表示角动量算符,则对易运算为:BA。
ihB. ihC.iD.h7．如果算符、对易，且=A，则:BA. 一定不是的本征态；B。
一定是的本征态；C。
一定是的本征态；D。
∣Ψ∣一定是的本征态。
8．如果一个力学量与对易,则意味着：CA。
一定处于其本征态;B.一定不处于本征态；C。
一定守恒；D。
其本征值出现的几率会变化.9．与空间平移对称性相对应的是：BA。
能量守恒；B。
动量守恒；C。
角动量守恒;D。
宇称守恒。
10．如果已知氢原子的n=2能级的能量值为-3.4ev，则n=5能级能量为:DA. -1。
51ev;B.—0.85ev;C。
-0.378ev;D. -0。
544ev11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为，且l=N—2n，则在一确定的能量(N+）h下，简并度为：BA。
;B. ;C.N（N+1);D.(N+1）(n+2）12．判断自旋波函数是什么性质：CA. 自旋单态;B。
算符对易,测不准关系
-10 m， 原子中电子的位置不确定量 10 解 h ∆x ∆p x ≥ 由不确定关系
2
电子速度的不确定量为 ∆p x 6.63 × 10−34 h ∆v x = = ≥ −31 −10 m 2m∆x 4 × 3.14 × 9.1 × 10 × 10
= 5.8 × 10 m s
5
说明 氢原子中电子速率约为 106 m/s。速率不确定量与速 率本身的数量级基本相同， 率本身的数量级基本相同，因此原子中电子的位置 和速度不能同时完全确定， 和速度不能同时完全确定，也没有确定的轨道。 也没有确定的轨道。
= 10 m ⋅ s
7
−1
> υ x = 10 m ⋅ s
6
−1
不确定量大于电子的速度， 不确定量大于电子的速度，动量是不确定的， 动量是不确定的， 应该用量子力学来处理。 应该用量子力学来处理。
二象性, 不确定关系
5
例 原子的线度约为 10-10 m ，求原子中电子速度的 不确定量。 不确定量。
∆x ⋅ ∆px ≥ h
h −3 = 5 . 89 × 10 m ∆x ≥ ∆Px
二象性, 不确定关系
原子直径 ∼10-10m， 电子直径是原子大小 的几亿倍。 的几亿倍。电子用轨 道描写毫无道理。 道描写毫无道理。 3
例：若电子与质量 m = 0.01 Kg 的子弹， 的子弹，都以 200 m/s 的 速度沿 x 方向运动， 方向运动，速率测量相对误差在 0.01% 内。求 在测量二者速率的同时测量位置所能达到的最小不确定 度 ∆x 。 解：（2）子弹位置的不确定度 子弹动量υ x = 1.0 × 10 m ⋅ s 的速度穿过晶体。 的速度穿过晶体。 是否可用经典力学来处理？ 是否可用经典力学来处理？
§4.6 不同力学量同时有确定值的条件 测不准关系
§4.6 不同力学量同时有确定值的条件测不准关系
重点：
算符的对易关系，测不准关系的物理意义
（一）不同力学量同?有确定的值的条件
和有一组共同的本征函数、而且组成完全系，则算符
定理：假若算符
和对易。
证明：因为
（n=, 2, …）
，的本征值；所以
依次是
（4.6-1）
由于组成完全系，则任一波函数可以按展开成
（4.6-2）
于是有
既然是任意的，所以
所以和是可对易的。
这个定理的逆定理也成立：如果和对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数。
下面列举几个典型例子，说明上述定理的应用。
（1）坐标算符的三个分量之间是相互对易的，即
（4.6-3）
因而x，y，z可以同时有确定值，也就是说，它们有共同的本征函数。
（2）动量分量算符之间是相互对易的，即
（4.6-4）
证设任意波函数，有
对任意的上二式都成立，相减后得
同理可证明其它二式。
因此p
，p y，p z可同时有确定值，或者说，有共同的本征函数。
（3）动量分量算符和它对应的坐标算符不对易
（4.6-5）
因而动量分量和它对应的坐标不能同时有确定值。
（4）和，，都是可对易的
（4.6-6）
因而和，，中每一个对易，故分别和角动量每一个分量的算符有共同
的本征函数。
例如氢原子中电子的角动量平方算符与对易，它们有共同的本征函数
和，必然得到相应的本征值。
，在这个态下同时测量。
算符的对易关系 共同本征态函数 测不准关系
因此，
xpx
(n1) 22
不确定关系是量子力学中的基本关系，它反 映了微观粒子波粒二象性。
2021/8/17
23
例2：一维谐振子的不确定关系
【解】 振子的平均能量是 x 0 ，（见4.22式）
p 0 ， （见4.32式）
2021/8/17 又（： 见4.23x式2 n）(n1 2)M
22
px2
n
(n1)M
2
，
（见4.33式）
x x2 x2 x2 (n1)
n
n
2M
p xp x 2np x2 p xp x 2n(n 1 2 )M
16
2. 不确定关系的严格证明 在量子力学中力学量的不确定关系 FG ？
证明： 第1步：设两任意厄米算符 Fˆ , Gˆ的对易关系为
F ˆ,G ˆ iK ˆ——
或厄米算符
F ˆG ˆG ˆF ˆiK ˆ ——Kˆ
为实数
构造态函数
对任意态函数 ，再构造出一个新的任意态 (Fˆ iGˆ) 函数（其中 是实参数），
G (G ˆG)2
所以
：
FG 1 2
K
这就是常见的不确定关系的一般表达式。
例1：坐标和动量的不确定关系
取 Fˆx,G ˆpˆx
xˆ,p ˆxi对比对易关系 F ˆ,G ˆ iK ˆ
2021/8/17
21
得 Kˆ 由公式 FG1 K
2
xpx 2 ，这正是大家所熟悉的不确定关系。具 体的 xpx ? 需要具体来求。
2021/8/17
17
第2步 ——计算态函数内积
I()(F ˆiG ˆ,F ˆiG ˆ)0（被积函数不小于零）
展开为 :
不确定关系（测不准关系）的表述和含义
不确定关系（测不准关系）的表述和含义摘要：介绍了测不准关系的一些不同的表述和证明方法，对其中关于这一原理的认同和有争议的问题进行了比较与分析。
关键词：测不准关系；不确定度；量子理论；统计解释引言测不准关系是由量子力学基茌原理导出的一个重要推论，它是量子力学的一个基本原理，表明一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值，例如位置与动量、时间和能量。
它反映了自然界的客观规律, 反映了微观粒子的波粒二象性的基本属性它在量子力学中占有重要的地位。
量子力学诞生至今约有80年了，作为一门基础理论已经相当成熟，在指导人类文明进步和学科发展方面发挥着重要的作用；但是，对量子力学基本理论的解释却一直存在着不同意见的争论，关于测不准关系的理解问题是争论的焦点之一。
本文对其中一些主要的有争议问题进行简要的介绍，并加以讨论。
1 几种主要的表述和证明方法测不准关系是海森堡在1927年提出的，他设想一种使用波长很短的γ射线的显微镜来最大限度地精确测定电子的位置，这种测量，依靠的是光子被电子的散射[康普顿(compt)散射。
海森堡在题为“关于最子理论的动力学和力学的直观内容”的论文中说[1]：“当测定…电子‟位置的瞬间，也正是光产被电子散射的瞬问，电子的动量产生一个不连续的改变。
当所用的光的波长越小，即位置测定得越精确，这一改变就越大。
因此，在知道电子位置的瞬间，它的动量只能了解到对应于那一不连续改变的大小的程度。
于是，位置测定得越精确，动量就知道得越不精确，反之亦然。
在这种情况下，我们看到方程pq—qp=-ih的一种直接的物理解释。
这就是在文献中第一次出现的关于测不准关系的表述。
1929年，罗伯逊(Robertson)[2]在一篇短文中首次证明：两个厄密算符的标准偏差之积绝不会小于它们的对易子的平均的绝对值之半。
证明如下：设A和B是任意的两个厄密算符，C是它们的对易子，令A1=A一<A>，B1=B 一<B>，A和B的标准偏差分别为△A=<A12>1/2和△B=<B12>1/2。
不确定关系测不准关系的表述和含义
不确定关系测不准关系的表述和含义Document serial number【LGGKGB-LGG98YT-LGGT8CB-LGUT-不确定关系（测不准关系）的表述和含义摘要：介绍了测不准关系的一些不同的表述和证明方法，对其中关于这一原理的认同和有争议的问题进行了比较与分析。
关键词：测不准关系；不确定度；量子理论；统计解释引言测不准关系是由量子力学基茌原理导出的一个重要推论，它是量子力学的一个基本原理，表明一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值，例如位置与动量、时间和能量。
它反映了自然界的客观规律, 反映了微观粒子的波粒二象性的基本属性它在量子力学中占有重要的地位。
量子力学诞生至今约有80年了，作为一门基础理论已经相当成熟，在指导人类文明进步和学科发展方面发挥着重要的作用；但是，对量子力学基本理论的解释却一直存在着不同意见的争论，关于测不准关系的理解问题是争论的焦点之一。
本文对其中一些主要的有争议问题进行简要的介绍，并加以讨论。
1 几种主要的表述和证明方法测不准关系是海森堡在1927年提出的，他设想一种使用波长很短的γ射线的显微镜来最大限度地精确测定电子的位置，这种测量，依靠的是光子被电子的散射[康普顿(compt)散射。
海森堡在题为“关于最子理论的动力学和力学的直观内容”的论文中说[1]：“当测定‘电子’位置的瞬间，也正是光产被电子散射的瞬问，电子的动量产生一个不连续的改变。
当所用的光的波长越小，即位置测定得越精确，这一改变就越大。
因此，在知道电子位置的瞬间，它的动量只能了解到对应于那一不连续改变的大小的程度。
于是，位置测定得越精确，动量就知道得越不精确，反之亦然。
在这种情况下，我们看到方程pq—qp=-ih的一种直接的物理解释。
这就是在文献中第一次出现的关于测不准关系的表述。
1929年，罗伯逊(Robertson)[2]在一篇短文中首次证明：两个厄密算符的标准偏差之积绝不会小于它们的对易子的平均的绝对值之半。
【试题】量子力学期末考试题库含答案22套
【关键字】试题量子力学自测题（１）一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。
（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。
（4分）4、证明是厄密算符（5分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量之间的测不准关系。
（6分）2、（15分）已知厄密算符，满足，且，求1、在A表象中算符、的矩阵表示；2、在B表象中算符的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。
三、（15分）设氢原子在时处于状态，求1、时氢原子的、和的取值几率和平均值；2、时体系的波函数，并给出此时体系的、和的取值几率和平均值。
四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出这里，，是一个常数，，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。
五、（10分）令，，分别求和作用于的本征态和的结果，并根据所得的结果说明和的重要性是什么？量子力学自测题（１）参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：2、定态：定态是能量取确定值的状态。
性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。
3、全同费米子的波函数是反对称波函数。
两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：。
4、=，因为是厄密算符，所以是厄密算符。
5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。
以、和依次表示、和在态中的平均值，令，，则有，这个关系式称为测不准关系。
坐标和动量之间的测不准关系为：2、解1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是：设在A 表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，， 令，其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为： 2、类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：，即 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 对有：，对有：所以，在B 表象中算符的本征值是，本征函数为和 3、类似地，在A 表象中算符的本征值是，本征函数为和从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即 三、解： 已知氢原子的本征解为： ，将向氢原子的本征态展开， 1、=，不为零的展开系数只有三个，即，，，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：，于是归一化的展开系数为： ，，（1）能量的取值几率，， 平均值为：（2）取值几率只有：，平均值 （3）的取值几率为： ，，平均值 2、时体系的波函数为：=由于、和皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与时的结果是一样的。
吉林大学量子力学作业题3算符测不准关系展开假定
1、粒子做一维运动，其哈密顿量为 )(2ˆ2x V mp H x += 且假设具有断续谱nn n E H ψψ=ˆ证明：dx x dx pm n m x n ψψαψψ∫∫=**ˆ，其中α为依赖于的常数，并求出该常数。
m n E E −2、 利用测不准关系估算一维线性谐振子的零点能。
3、 设粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，如果粒子的状态由波函数 a xa xa x ππψ2cos sin 4)(=描述，求粒子能量的可能取值与相应的几率。
4、在由正交规一基矢{}32u 所张成的三维空间中考虑一物理体系，算符1,u u Hˆ和B ˆ定义如下： ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=1000100010ω=H ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=010100001b B 其中0ω和b 是实常数。
（1）Hˆ和B ˆ是否是厄米算符； （2）证明Hˆ和B ˆ可对易； （3）求Hˆ和B ˆ的共同本征矢。
5、 在由正交规一基矢{32,u 所张成的三维空间中，物理体系的能量算符1,u u Hˆ和另外两个物理量A ˆ与B ˆ的矩阵形式如下： ， ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=2000200010ω=H ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=010100002a A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100001010b B 其中0ω，a，b 均为正的实常数。
0=t 时体系处于 321212121)0(u u u t ++==ψ 所描述的状态。
（1）对)0(=t ψ所描述的状态，指出能量的取值及相应的取值几率，并计算出差方平均值2HΔ；（2）对)0(=t ψ所描述的状态，计算可观测量的取值及相应的取值几率；A ˆ（3）计算的任意时刻体系的态矢0>t )(t ψ；（4）对)(t ψ所描述的状态，计算B ˆ的平均值，并解释其依赖时间的原因； （5）如果在t 时刻测量Aˆ，说明其结果与（2）中的结果相同的理由。
6、在的表象中， 1=l )ˆ,ˆ(2zL L ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=010*******=x L ， ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=100000001ˆ=z L （1） 给出它们的本征值和本征态矢；（2） 给出)ˆ,ˆ(2zL L 表象到)ˆ,ˆ(2x L L 表象变换的S 矩阵； （3） 通过S 矩阵，求出在)ˆ,ˆ(2x L L 表象中x L ˆ和zL ˆ的矩阵表示。
量子力学基础15级11
Lˆz
i 4
3
2
sin2
0
d
d
sin2 d
0
Lz 2
2
Lˆz
Lz
2
d
2
Lˆz
2
d
4 2
3
2
0
0
d
d
2
sin2 d
4202sin 2 2 d
3 0
4 2 3
f
n
x
x, t dx
cn t2 1
1
n
第三节 展开假定 测量和连续谱
F在上的取值 为n的几率
W n cn t 2
有退化时W n cni t 2
i
i为退化指标
2
第三节 展开假定 测量和连续谱
测量过程归纳如下：
x,0 Hˆ x,t0
依据展开假定：平均值 Fˆ n cn t2
n
作业：证明上面两种平均值的表达式是等价的
5
第四节 平均值和测不准关系
2。差方平均值 为了定量地描述每一次个别测量结果与平均值的统 计偏差的大小，亦即为了定量地描述物理量取值不 确定的程度，引进差方平均值。
每次测量结果的差方F2 n F 2
假定Fˆ具有混合谱
Fˆfnx n fnx Fˆf x f x
fn , f 构成正交完备系，任意 有物理意义的归一化 波函数 x,t，总可以向完备基展开 ：
x,t cnt fnx c t f xd
n
F cn t2n c t2d n
量子力学中测不准关系、方程和时空等基本问题的新探索
第37卷第3期2021 年3月商丘师范学院学报JOURNAL OF SHANGQIU NORMAL UNIVERSITYVol. 37 No. 3March，2021量子力学中测不准关系、方程和时空等基本问题的新探索张一方(云南大学物理系，云南昆明650091)摘要：量子力学中的某些问题仍应该探索.首先讨论了量子力学的基础和各种解释，并提出量子力学的非线 性混沌-孤子解释.其次研究了测不准关系，探讨了最普适的测不准关系及其数学形式.第三讨论不可逆性和统计 性,并提出熵的算符表示•第四研究了量子力学方程.最后探讨了量子理论中的二象性.关键词：量子力学；解释；量子场论；时空;对称性；测不准关系中图分类号:〇572.2 文献标识码：A文章编号：1672 - 3600(2021)03 - 0023 - 06New research of basic problems on uncertainty relation, equations and time - space,etc. ,in quantum mechanicsCHANG Yifang(Department of Physics,Yunnan University,Kunming650091 ,China)Abstract：Some problems of quantum mechanics should still be researched. First, the foundations and various interpretations of quantum mechanics are discussed, and the nonlinear chaos -soliton interpretation of quantum mechanics is proposed. Next,the uncertainty relations are investigated,and a very general uncertainty relation and its mathematical form are searched. Thirdly, the irreversibility and statistics are discussed, and an operator representation of entropy is proposed. Fourthly, the equations of quantum mechanics are investigated. Finally, the duality in quantum theory are searched.Key words ：quantum mechanics ； interpretation ； quantum field theory ； space - time ； symmetry ； uncertainty relationDirac指出“哈密顿量对于量子理论才真正是十分重要的”“只能通过哈密顿量或其概念的某种推广”发展理论.其基本 程序是由相对论不变的作用量积分得到拉氏量，再导出哈密顿量,得到量子理论.而“将来的量子理论”“一定有某种东西与哈 密顿理论对应已知量子力学最初的两种形式:Schrodinger波动力学主要起源于波动性;而Heisenberg矩阵力学主要起源于不连续性.其 中能量体现粒子性，波函数体现波动性.经典波动方程就是质量为0的Klein-Gord〇n(K G)方程，而Dirac方程是K G方程的一 阶推广.基于对量子力学结构的逻辑分析，笔者认为它只有一个基本原理:波粒二象性.统计性是其相应的数学特性.而其他 原理都是由此导出的物理或数学结果量子场论只是把二象性推广到场.量子力学的发展是基于长、短波时分别是Rayleigh-Jeans公式和W i e n公式，这已经暗含其主要适用于中能，而高能（短 波）是Wien公式，8卩Maxwell- Boltzmann(MB)分布、G a m m a分布•量子力学必然联系于光子、电磁相互作用，例如黑体辐射、光 电效应、氢原子等.反之，目前量子力学、量子场论也主要适用于电磁相互作用[U,而对强、弱、引力相互作用则理论必须发展. 量子力学中波包瞬间塌缩是超光速的.笔者提出粒子物理中的基本原理是必须区分已经检验的实验事实和优美的理论假说.由此提出粒子理论中的7个重大问 题，并且讨论了相应的量子理论某些可能的发展本文对测不准关系、量子方程等量子力学和量子理论的基本问题进行了 某些新探索.1量子力学的基础和各种解释由于量子力学的基本性和复杂性，对其的解释和探索一直是理论物理议论纷纷的热点之一.Jammer对量子力学中的基本 问题和各种解释进行了全面的经典论述[5].量子力学最著名的解释是哥本哈根的几率解释，它的两个基本原理是定域（干涉）原理和波谱分解原理.在量子力学中几率守恒，几率密度（即粒子数平均密度）守恒及总几率都不变.几率守恒是物质不灭定收稿日期:2020 - 01 -22;修回日期:2020 - 09 - 21基金项目：国家自然科学基金资助项目（11664044)作者简介:张一方（1947—），男，云南昆明人，云南大学教授，主要从事理论物理的研究24商丘师范学院学报2021 年律在微观世界的精确表现，它与幺正条件紧密联系.1970年Ballentine系统讨论了量子力学的统计解释[61.对几率解释提出不同观点的众多理论中最著名的是de Broglie- B o h m非线性理论和隐变量解释.基于Everett的多世界理 论[7’8],1971年Dewitt等提到多世界解释和隐变量理论[9]. 1972年Van Fraassen提出消除波包塌缩的模态解释（model interpretation).以后发展为著名的Kochen- Dieks- Healey理论.1986年Cramer提出量子力学的相互作用解释_l t l],其与Be丨丨不等式的检验和非局域性一致.1987年BaUentine提出量子力学的主要解释是:统计系综解释，新哥本哈根解释,R.B.G r i f f i t h s 一致性历史解释，多世界解释和量子势5种.1992年H o m e和Whitaker系统讨论了量子力学的现代系综解释[|2].从1954年起 nde集中批评波粒二象性,而提出一种被Born称为“唯粒子论”的解释方案，但Jammer认为这是“统计系综解释的一种特 殊版本”[51.此外，还有量子力学的去相干理论等.1992年Omn e s提出量子力学的新解释[131，并提出其认识论[13_141.其中的关键概念是“退相干”（de™herenCe).通过纠缠 态（entangled state)在受到环境的作用时，会发生退相干效应这种机制，从量子力学的基本原理出发，就可以统一描述宏观世 界和微观世界的物理学.1995年Rob Clifton及Bub.Goldstein理论的基本方法是区分为理论（动力学、数学）态（theoretical state)和事件（值、物理）态（sta t e of affairs).近年Jeffery B u b等提出量子力学信息解释.这联系于量子信息论.T h o m在《结构稳 定性与形态发生学》中提出波函数作为按一定频率改变拓扑类型的超曲面上的形态就是局域曲率[15].赵国求等具体提出相 互作用是在与量子力学的曲率解释[~7]，其中波长联系于粒子环流半径，曲率波包取代质点，波函数是曲率波，曲率的大小表 示粒子性，曲率在时空中的变化表示波动性.并且特征曲率/； = 1/4* =p/77.T h o m和赵国求等的量子力学曲率解释是把波函 数理解为曲率函数.笔者认为这其实是量子力学和广义相对论结合的结果，其中质量大小决定曲率大小，就是广义相对论中 质量决定空间的弯曲程度.根据公式p =1 2 ,密度越大，几率越大，曲率越大.这样就可以联系于量子引力.结合黎曼几何，还可以结合笔者计算电子磁矩的方法[2].薛定谔猫的佯谬是微观不确定、统计性与宏观确定性的关系.这可以联系于非线性,可能发展出非线性量子理论 Monroe等[~用囚禁在Paul阱中的9B e+实现介观尺度上的猫态，质心运动相干态波包与内部态纠缠.观测结果肯定了量子态 叠加原理的正确性，展示了量子力学中的非定域性.量子性最早类比于波动性中的驻波.如波动性有所改变，量子性也许有所 不同.量子数h可能可变或者连续.这就联系于泛量子论12^251.猫态联系于宏观量子现象，对应2个或多个世界.这些世界不 能交流，则拓扑分离，是平行世界.这些世界互相纠缠，则可以包括生与死，阴和阳等不同状态.而状态变化可能与参量达到混 沌值等有关，出现幽灵.非线性理论的多次迭代导致混沌，但对应一种统计性及分布函数.这类似多个粒子、多次事件测不准，然而具有统计性及 分布函数.它联系于电子云的概率分布和相应的统计解释.由此可以提出量子力学的非线性混沌-孤子解释.笔者证明在各 种具有孤子解的非线性方程中都可以得到混沌，而只有某些具有混沌解的非线性方程有孤子解.两种解的条件是不同的，某 些参数是某个常数时得到孤子，而这些参数在一定区域变化时出现分岔-混沌.这种混沌-孤子双解可以对应于量子理论中 的波-粒二象性，由此联系于非线性波动力学的双重解，并且存在若干新的意义％’271.某些实验证明，改变测量方式完全可以 将实验结果从波动条纹改变为粒子行为.Yanhim Shih(1983)可以确定粒子性和（或）波动性.Mandel等测量在两点的两个光子 的联合几率作为分离函数，证明在信号干涉中存在非经典效应[281.在实验设置1中单个光子不出现干涉.在实验设置2的情 况1中光子也不出现干涉，但在情况2中光子出现干涉.所以不仅单个光子，而且作为一个整体的一对纠缠光子也不出现干 涉.并且由非线性解释可以联系于流体力学解释.通常/!—0时，量子力学化为经典力学，这即对应原理.如此量子场论应该化为经典场论.但这与大量子数；并不普遍 等效.Liboff对二者的不同作了明确区分例如在大原子中可能是形式对应原理，如G細m a分布.Blasone提出一个 量子系统近似等价于两个经典系统[301.这对应de Broglie-B o h m非线性量子力学的双重解.J.von Nemnami在《量子力学的数学基础》中指出Gilbert空间的点表示物理系统的状态，物理系统的可观测量由Hilbert 空间的线性算子表示，而能量算子的本征值和本征函数就是该系统的能级及相应的定态.结论必须在4条公理假定成立的条 件下.其中E(A + B + C + •••)= E(A) + E(B) + £(C)+ •••(1)五是线性算符,/I、S、C等无相互作用•而它们可以互相纠缠.因此，目前的量子理论本质上应该是线性的[U8].这一般可能对应于自由粒子，即无相互作用，如无引力相互作用时就是 欧氏空间.而电磁相互作用也是线性理论，只有附加流时才是非线性.但光子-光子相互作用时就是非线性光学.这应该联系 于电磁广义相对论^32].—般的电磁理论仅涉及单个光子.而其余的三种相互作用场必然产生非线性.张永德认为相互作用必定导致量子理论的非线性，相对论量子场论和考虑相互作用的非相对论量子力学的基本方程组 都是非线性的;量子理论的量子化条件是非齐次二次型非线性的i33],因此整体而言，量子理论本质上是非线性的.2测不准关系1934年K.R.Popper已经指出[34]，从量子力学的基本原理可以导出测不准关系，因此它不是具有独立地位的原理. Margemni指出只应当限于在多次测量的统计意义上理解测不准关系M l.对于时间-能量的测不准关系，争论更大.1933年 Pauli就指出，不可能引进一个时间算符，因此根本不存在能量和时间的对易关系[36].粒子在运动,有速度^和动量p,其位置就不确定;反之j确定，则不运动.特别对于波.这似乎可以联系于布朗运动.测 不准应该基于无相互作用或某种特殊的波，如线性波等.前提改变，如是非线性波、孤波等时,测不准应该有所不同.基于此可 以具体推导.第3期张一方:量子力学中测不准关系、方程和时空等基本问题的新探索25H.Dehmelt开创了俘获单个电子和原子的研究，由此获得1989年诺贝尔物理奖.20世纪80年代中期Maryland大学和 Munich大学的实验发现,打开探测器时光表现为粒子，关闭探测器时单个光子也表现出波动.1990年艾戈勒用扫描隧道显微 镜（S T M)移动氙原子排列成IBM.氙原子固定，则土 = 10_s c m,Ap = mAv —h/A x.(2)氙质量^ = 131^^.=丨.229父1051\^¥/<:2,所以加=/1/^4*=48丨.33(；111/8.氙原子每秒运动4.81[11,此时测不准关系是 否成立？1993年I B M研究可以直接看到单个电子的波动性（波函数）.这些结果与测不准的关系值得研究.量子纠缠态和远距离移物已经被实验证实.其难点在于测不准原理.但该原理在一定条件下也可能被突破.波的测不准关系= 1表示波包长度和波长之间的测不准.这是波的性质，与量子理论无关.同时，粒子波动性及其方 程导致能量的分立态（即量子化）.B o h m指出测不准原理是由三个基本假定:波粒二象性，几率，能量-动量的不可分性，互相 结合导出的[371.三者的统一体是整个量子论的基础.原子中的测不准关系4£…山=7J ,BPA{- ^j)A t = h ,(3)n所以<)=忐，(4)通常是K测不准，更一般是A(R^j)A t = 1 .(5)其中是Rydberg常数.对Z、n—定的原子，如Z= 1，n= 1的氢原子只能是山—》，或者厶K不等于0,其测不准.或者 测不准，公式不成立.这就是李兹组合原理与A t的关系，B PAvAt = 1. (7)则A—〇〇，必须承认其在时空中无法描述.而目前光谱已经相当精确.n大时更易精确检验.目前形式的波动性如果不成立[2],测不准原理就应该有所发展.例如对非线性理论[2_~.进一步，测不准关系可以推广到 各种测不准量卸,,4*,.的关系.卸相当于=(卸）2/2m，因为4£乂S九，所以(A p)2At &2mh ；(8)反之 Ap 多A/A c，则 = (4/>)2/2m 彡 /i2/2m(4*)2 ,所以AE(A x)2 3：h2/2m.(9)彡/i2除以式(8)可得(止〇2//^為/i/2m，或者多办/2m •(10)这与我们得到的光速测不准公式[3M9]是一致的.然而，测不准关系与守恒定律存在不一致之处.多A ,如果A是测量能量或能量变化4£所需的时间间隔，则光子稳 定山—0，光速不变.但如此一切稳定粒子运动速度都应该不变.场方程及其孤子解原则上可以描述粒子的轨道.它可能联系于de Broglie-Bohm的波导理论.这样孤子与测不准关系不 一致.更一般是非线性量子理论[2#]与测不准原理的关系.彼此算符化的量构成共轭量.不可对易的两个算符量不能同时测定，这就是最普适的测不准关系.在此讨论其一般的数 学形式，设[W，/V] =A f/V+順=iG.其特例是C=0时是反对易关系•C就是测不准度.彼此用算符表示：M表象中）；(ID(12)反之，W(M表象中）_dM于是AMAN ^G.(13) 3量子理论、不可逆性和统计性量子理论的根本困难，Prigogine等认为在于无法处理不可逆过程.它应该结合广义熵（信息），引人微观熵、量子熵等.量 子力学是统计性的，而统计性可以描述不可逆性，所以量子力学应该描述不可逆性.量子力学方程和分子运动论的统计方程相似，所以其具有统计性.统计性又源于摩擦和信息缺失，因为经典和量子各是 任意值和离散值.布朗运动，基态能A/2,绝对零度不能达到等都表明微观领域的永动.布朗运动在一定条件下也许可以放大为宏观布朗运 动效应，虽然放大时可能已经输入能量•根据熵的定义dS = AE/T,(14)26商丘师范学院学报2021 年引入熵必然引人温度7\而根据S = - k\gP = - 2k\g f//，必变化导致S变化.熵增大对应于波包必然扩散.由式（14)得A/r；是组合常数.这类似屮 对定态dS- - 2k(p d* + p,dy+ p Az - £d() = 2i—lV VA e x p U p j/n).此时就是d S对应于四维动量.lV dt Eip ,(15)(16)(17)(18)贝!l dS =-2k—d t.(19)lVS和 <都可逆或都不可逆，二者变化成正比.封闭系统熵增大，能量守恒是定态，所以时间也有方向性.考虑时间箭头和统计性时，发展能量为熵.Prigogint■引人微观熵算符，这可以结合粒子物理中温度和熵的引人方法.他的 超算符导致不可逆性.这可能对应于非线性算符.更一般,可重整化的量子理论应该结合半群，引人温度等，导出不可逆性.假设熵与量K共轭，AS = 4£/r，4£也=(A S)(f4<),所以T不变时[=7!AF/AY = dF/TAt = [F,S]= [F,H]/T.(20)由此表示熵的算符为S _ izi AT dt •(21)设动童通量密度7^ =服2W的共扼量是X，如果L盖，则A T^AX ^v ,T^X - XT^= iv .(22)结合测不准关系P…V,X - XP^V U = y(23)所以X = X/^,T^=-l V d{x/v J.(24)而〜又是算符m dxv量子力学和统计力学都基于平均值.二者应该类比发展.密度p方程是刘维定理，其对应Heisenberg方程，而不是 Schrodinger方程.量子力学类似于统计力学发展为量子统计;统计力学类似于量子力学发展为动力学、方程.特别是量子统计 应该包括托马斯-费米方程.量子力学、量子场论和统计性都是对多个粒子事件，对系综成立.应该用统计学的方法全面整理、表述、修改量子力学、量 子场论，然后再推广、发展量子论.4量子力学方程的研究Dim e提出[w] “不应认为量子力学的现在形式是最后的形式”，它只是“迄今为止人们能够给出的最好的理论”，可能将来“会得到一个改进了的量子力学，使其回到决定论.”但这必须放弃某些现在认为没有问题的基本思想:4〇].笔者在探讨微观相 对论的基础上，提出对极小时空,光速应存在统计起伏.特别在高维柱形卷曲空间中光速是可变的和量子化的.由此讨论修 改、发展相对论和量子论的可能的某些方法，并且定量提出存在势和相互作用时几种新的量子力学方程4M2].Heisenberg方程只是Poisson括号变形的经典方程.Schrodinger方程(25)只是/>,的算符表示方程，而它都可以化为方程Pi= 4念(11^).(26)这和一般的算符方程a dP,= lV T~ ^dX i(27)又有所不同.如/(必）=_ :=〇，则 dj l i//)= + md^//= 〇，即~= 0 »(28)也就是Klein- Gord〇n(K G)方程•这是K G方程和Dime方程之间的又一种关系.对此再求导，= 〇,(29)第3期张一方:量子力学中测不准关系、方程和时空等基本问题的新探索27艮P( m2i/f) +m(m2i//)=0.(30)这是0'的D irac方程，是求导二次的结果.这是波函数的标度变换.广义函数类似算符，前者可用于多重产生，粒子理论等;后者已用于量子理论,并将用于多重产生等.Poisson括号都是对 易关系，应该可以推广为反对易关系等广义形式.5量子理论中的二象性问题衍射中运动的非全同性导致整体的统计性.量子理论的各种不足可能基于原来就无法完全一致的波粒二象性:2],因此波 尔才发展出互补原理.Y u tak a等的实验证明[431单个光子具有粒子性（在缝隙处不劈裂为两半）和波动性（具有隧穿效应，显示 出自干涉，最后反射和折射各占50% ,符合粒子波的几率性）.单个光子在远处平板上看不到干涉条纹.二象性把连续、不连续统一起来.波动有周期性就会有一种不连续，对应着粒子.光子和粒子的衍射、折射、反射、色散等 反映连续性;而光子和粒子的发射、吸收等瞬时过程则是不连续的.最小能量、心是不连续的，而频率。
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1、粒子做一维运动，其哈密顿量为 )(2ˆ2x V m
p H x += 且假设具有断续谱
n
n n E H ψψ=ˆ证明：dx x dx p
m n m x n ψψαψψ∫∫=**ˆ，其中α为依赖于的常数，并求出该常数。
m n E E −2、 利用测不准关系估算一维线性谐振子的零点能。
3、 设粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，如果粒子的状态由波函数 a x
a x
a x ππψ2cos sin 4
)(=
描述，求粒子能量的可能取值与相应的几率。
4、在由正交规一基矢{}32u u 所张成的三维空间中考虑一物理体系，
算符1,u H
ˆ和B ˆ定义如下： ，
⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=1000100010ω=H ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝
⎛=010100001b B 其中0ω和b 是实常数。
（1）H
ˆ和B ˆ是否是厄米算符； （2）证明H
ˆ和B ˆ可对易； （3）求H
ˆ和B ˆ的共同本征矢。
5、 在由正交规一基矢{32,u u 所张成的三维空间中，物理体系的能量
算符1,u H
ˆ和另外两个物理量A ˆ与B ˆ的矩阵形式如下： ， ，
⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=2000200010ω=H ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=010100002a A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝
⎛=100001010b B 其中0ω，a，b 均为正的实常数。
0=t 时体系处于 3212
12121)0(u u u t ++=
=ψ 所描述的状态。
（1）对)0(=t ψ所描述的状态，指出能量的取值及相应的取值几率，并计算出差方平均值2H
Δ；
（2）对)0(=t ψ所描述的状态，计算可观测量的取值及相应的取值几率；
A ˆ（3）计算的任意时刻体系的态矢0>t )(t ψ；
（4）对)(t ψ所描述的状态，计算B ˆ的平均值，并解释其依赖时间的原因； （5）如果在t 时刻测量A
ˆ，说明其结果与（2）中的结果相同的理由。
6、在的表象中， 1=l )ˆ,ˆ(2z
L L ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=010*******=x L ， ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝
⎛−=100000001ˆ=z L （1） 给出它们的本征值和本征态矢；
（2） 给出)ˆ,ˆ(2z
L L 表象到)ˆ,ˆ(2x L L 表象变换的S 矩阵； （3） 通过S 矩阵，求出在)ˆ,ˆ(2x L L 表象中x L ˆ和z
L ˆ的矩阵表示。