分形时间_空间
分形理论及其应用
X 1 ： ( x1，x2，，xm )
X X
2 3
：
(
x
，
2
x
3，，
x
m
1
)
：
(
x
，
3
x
4，，
x
m
2
)
X
4
：
(
x
，
4
x5，，
x
m
3
)
把相点X1，X2，…，Xi，…，依次连起来就是一 条轨线。因为点与点之间的距空间共生成
个相点X1，X2，…，XN，给定一个数r，检查有 多少点对(Xi，Xj)之间的距离|Xi-Xj|小于r，把距离 小于r的点对数占总点对数N2的比例记作C(r)，
•分形理论及其应用
Cantor集合 ，考虑多重分形，把同样的均匀质量棒
从其左端3/5处一分为二，然后把左段压缩为长度
r1=1/4，其质量P1=3/5，而右段保持原长度r2=2/5，其
质量P2=2/5；第二步按着上述的比例对两段分别进行
同样的变换就得到4段，左两段的长度分别为 r12 r1r2
质量分别为 P12 ，P1 P2 ，右两段的长度分别为 ， r2 r1 r22 ，
质量分别为
， P2 P1
P
2 2
；如此操作下去就会得到一个不
均匀的Cantor集合。在这个集合中分布着众多长宽相
同的线条集合，它们构成单分形子集合。对每一个
单分形子集合，其标度指数为α，分维为f(α)。
•分形理论及其应用
最后每段线条的质量相当于二项式 (P1 P2)n展开中的
一项， n。因此可以用P1的q阶矩 Piq 取代单分形 i
分形图形与分形的产生
分形图形分形理论是非线性科学的主要分支之一，它在计算机科学、化学、生物学、天文学、地理学等众多自然科学和经济学等社会科学中都有广泛的应用。
分形的基本特征是具有标度不变性。
其研究的图形是非常不规则和不光滑的已失去了通常的几何对称性；但是，在不同的尺度下进行观测时，分形几何学却具有尺度上的对称性，或称标度不变性。
研究图形在标度变换群作用下不变性质和不变量对计算机图形技术的发展有重大的意义。
说到分形（fractal），先来看看分形的定义。
分形这个词最早是分形的创始人曼德尔布诺特提来的，他给分形下的定义就是：一个集合形状，可以细分为若干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。
分形这个词也是他创造的，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。
分形的概念出现很早，从十九世纪末维尔斯特拉斯构造的处处连续但处处不可微的函数，到上个世纪初的康托三分集，科赫曲线和谢尔宾斯基海绵。
但是分形作为一个独立的学科被人开始研究，是一直到七十年代曼德尔布诺特提出分形的概念开始。
而一直到八十年代，对于分形的研究才真正被大家所关注。
分形通常跟分数维，自相似，自组织，非线性系统，混沌等联系起来出现。
它是数学的一个分支。
我之前说过很多次，数学就是美。
而分形的美，更能够被大众所接受，因为它可以通过图形化的方式表达出来。
而更由于它美的直观性，被很多艺术家索青睐。
分形在自然界里面也经常可以看到，最多被举出来当作分形的例子，就是海岸线，源自于曼德尔布诺特的著名论文《英国的海岸线有多长》。
而在生物界，分形的例子也比比皆是。
近20年来，分形的研究受到非常广泛的重视，其原因在于分形既有深刻的理论意义，又有巨大的实用价值。
分形向人们展示了一类具有标度不变对称性的新世界，吸引着人们寻求其中可能存在着的新规律和新特征；分形提供了描述自然形态的几何学方法，使得在计算机上可以从少量数据出发，对复杂的自然景物进行逼真的模拟，并启发人们利用分形技术对信息作大幅度的数据压缩。
数学的分形几何
数学的分形几何分形几何是一门独特而迷人的数学领域，它研究的是自相似的结构和形态。
分形几何的概念由波蒂亚·曼德博（Benoit Mandelbrot）在1975年首次提出，之后得到了广泛应用和发展。
本文将介绍分形几何的基本概念和应用领域，旨在帮助读者更好地了解这一令人着迷的学科。
一、分形几何的基本概念分形（fractal）是一种非几何形状，具有自相似的特点。
简单来说，分形就是在各个尺度上都具有相似性的图形。
与传统的几何图形相比，分形图形更加复杂、细致，其形状常常无法用传统的几何方法进行描述。
分形几何的基本概念包括分形维度、分形特征和分形生成等。
1. 分形维度分形维度是分形几何中的重要概念之一。
传统的几何图形维度一般为整数，如直线的维度为1，平面的维度为2，而分形图形的维度可以是非整数。
分形维度能够描述分形的复杂程度和空间占据情况，是衡量分形图形特性的重要指标。
2. 分形特征分形几何的分形特征是指分形图形所具有的一些独特性质。
其中最著名的就是自相似性，即分形图形在不同尺度上具有相似的形态和结构。
此外，分形图形还具有无限的细节，无论放大多少倍都能够找到相似的结构。
3. 分形生成分形图形的生成是分形几何中的关键问题之一。
分形图形可以通过递归、迭代等方式进行生成，比如著名的分形集合——曼德博集合就是通过迭代运算得到的。
分形生成的过程常常需要计算机的辅助，对于不同的分形形状，生成算法也有所不同。
二、分形几何的应用领域分形几何的独特性质使其在许多领域中得到广泛应用。
以下列举了几个典型的应用领域。
1. 自然科学分形几何在自然科学中有着广泛的应用。
例如，分形理论可以用来研究自然界中的地形、云雾形态等。
通过分形几何的方法，我们能够更好地理解和描述自然界的复杂性，揭示出隐藏在表面之下的规律。
2. 经济金融分形几何在经济金融领域也有着重要的应用。
金融市场的价格走势往往具有分形特征，通过分形几何的方法可以更好地预测未来的市场走势和波动。
自然辩证法问题
一、辨析题：1、自然辩证法是一门交叉的自然科学。
答：错。
因为：自然辩证法的性质是一门自然科学、社会科学和思维科学相交叉的哲学学科。
2、工业革命进程的加速，加剧了人与自然的对立。
答：正确。
因为：工业革命的发展进程，随科学技术的迅猛发展和广泛运用，人对自然的控制与支配能力急剧增强，人与自然的关系发生了重大转变，人的自我意识极度膨胀，自视为自然的主人和统治者，逐渐漠视自身对自然环境和自然资源的依赖性，对自然一味地强取豪夺，从而激化了人与自然的矛盾，加剧了人对自然的对立。
3、用系统思想来看，技术进步和技术发展表现为技术的结构和技术的功能之间的矛盾。
答：正确。
因为：技术进步和技术发展是由技术内外的矛盾相互作用的结果。
从技术体系内在动因来看，劳动过程中各种要素及其它们之间的矛盾是技术进步和技术发展的内在原因。
它们以技术规范和技术实践的矛盾表现出来。
技术是功能的基础，结构决定功能，技术改变、创造结构，从而开发功能。
4、自然辩证法是人类认识自然和改造自然的一般规律辩证法。
答：错。
因为：人类认识自然和改造自然的一般规律是科学技术研究的自然辩证法，是自然辩证法的一个有机组成部分。
自然辩证法的研究对象应当是自然界发展和科学技术发展的一般规律、人类认识自然和改造自然的一般方法以及科学技术与人类社会发展的关系。
5、世界古代自然科学的产生奠定了自然辩证法的科学基础。
答：错。
因为：世界古代自然科学的为人类打下了自然科学基础，奠定了自然辩证法科学基础的是以三在科学发现的18、19世纪一系列科学成果。
二十世纪产生的相对论、量子力学、粒子物理学、现代宇宙学、系统论、自组织理论、生态学等为自然辩证法提供了新的支撑，增添了新的内容（系统自然观、生态自然观）。
6、整体性是系统的最本质特征。
答：正确。
因为：系统的其他特征都是建立在整体基础上的，并从各个不同侧面反映整体而表现出来的特性。
7、事物的发展具有可逆性，是指任何事物在一切条件下都能够使该物质系统和外界环境完全复原。
分形理论在生态系统评价中的应用
分形理论在生态系统评价中的应用随着现代生态学领域的不断发展，人们对于生态系统的认知逐渐加深。
为了更加准确地评估生态系统的健康和可持续性，人们逐渐将分形理论应用到生态系统评价中。
分形理论是一种描绘自然系统的新兴理论，通过这种理论，人们能够更加准确地描述自然系统的复杂性和多样性。
本文将介绍分形理论在生态系统评价中的应用，并探讨它的重要性和实际价值。
一、什么是分形理论?分形理论是描述和研究复杂系统的一种数学方式。
这种方式能够更好地描绘自然界的形态和变化过程。
分形理论的基本思想是将整体看作若干个局部的复制，即整体的形态由局部的复制所组成。
和传统数学理论不同，分形理论强调复杂系统的整体具有局部特征的复制物所组成，而不是由整体的简单组成单元所组成。
因此，分形理论适用于自然环境等复杂的系统中，它能真正反映这些系统的真实状态。
二、分形理论在生态系统评价中的应用生态系统的评价是指对某个生态系统的功能、结构和组成要素进行定量和定性的描述与分析。
而分形理论的特点，能够更准确地描述生态系统的复杂性和多样性。
因此，分形理论在生态系统评价中的应用逐渐被人们重视。
1. 生态系统结构分析生态系统的结构是指其中物种、地形、地貌等所有有形无形的且可定性描述的组成部分。
分形理论能够结合计算机图像处理技术，对生态系统的结构进行分析，对生态系统的物理结构和空间分布进行深入了解。
生态系统的分形组成结构的层次增加了对生态系统的理解。
例如，通过分析林分的空间分布结构，我们可以了解到不同种类的植物如何相互作用，以及它们在生态系统中的位置和关系。
这种分析能够对生态系统的结构特征和物种分布规律进行研究，并提供了科学依据，以利于生态系统的保护和管理。
2. 生态系统空间模式分析生态系统的空间模式是指在某一时间和某一空间范围内物种、地貌、地形等有机组成件的构成。
分形理论可以在不同空间尺度上，通过分析这些元素的分布模式，获取生态系统状态和演化的深入了解。
例如，在对一片森林中的中空位置进行分析，分形理论可以通过计算中空区域的边界形态和大小，推测该区域能否成为生物发展的空间场所。
经典的分形算法 (1)
经典的分形算法小宇宙2012-08-11 17:46:33小宇宙被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。
它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。
它承认世界的局部可能在一定条件下，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。
分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。
1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。
1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。
1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。
这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。
1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。
1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。
1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。
1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。
以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。
真正令大众了解分形是从计算机的普及肇始，而一开始，分形图的计算机绘制也只是停留在二维平面，但这也足以使人们心驰神往。
多维时间运动分形论
多维时间运动分形论多维时间运动分形论是一种探讨时间运动特性的理论，它将时间视作一个多维的结构，并通过分形理论研究其中的规律和特征。
这一理论的提出旨在深化我们对时间运动本质的理解，以及时间与空间之间的关系。
传统的时间理论将时间视为一条线性的流动过程，而多维时间运动分形论则认为时间并非单一的线性运动，而是具有多个维度的运动形式，每个维度代表着时间的不同层次或者视角。
这意味着时间的运动不仅存在于过去、现在和未来这三个纬度，还可能存在其他维度，我们只是尚未完全探索和理解。
在多维时间运动分形论中，分形理论被广泛应用于研究时间的不同层次和频率。
分形是一种重复出现自相似的图案或者结构的数学概念，它可以用于描述自然界和人类活动中的一些复杂现象。
例如，自然界中的树叶、云朵和山脉都具有分形结构。
多维时间运动分形论认为，时间的运动也具有类似于分形的特征。
也就是说，时间的不同层次和频率之间存在着自相似的关系。
在这个理论中，时间可以通过不同的尺度去观测和理解。
也就是说，无论是微观的瞬间，还是宏观的年代，都有可能具有相似的时间结构。
多维时间运动分形论提出了一种全新的时间观念，即时间并非单一线性的流动过程，而是具有多个维度和层次的运动。
在这个理论中，时间可以被分解为多个独立但相互关联的分形模式。
这些模式可以用统计学方法进行测量和分析，从而揭示时间的内在规律和特征。
这一理论对于深化我们对时间本质的理解具有重要意义。
它不仅使我们重新审视时间的运动方式，更加强调了时间与空间之间的紧密关系。
在多维时间运动分形论中，时间和空间被视为相互嵌套和相互作用的概念，二者的变化和演化是相互影响的。
通过研究时间和空间之间的这种相互关系，我们可以更加准确地理解时间的运动特性和它对事物演化的影响。
然而，多维时间运动分形论还需要进一步的实证研究和理论探索。
目前，该理论的应用仍然处于探索阶段，尚未形成完整的理论框架和实证证据。
因此，在进一步研究之前，我们需对多维时间运动分形论持审慎态度。
分形维数
分形fractal 分形
具有一定内在规律的支离破碎、参差不齐的极端 复杂的几何图形。分形最重要的特征是它的具有无穷 层次的自相似性，即分形的任一局部区域放大之后仍 具有分形整体上相似的复杂性和不规则性。 自相似是分形几何的本质 某些理想的数学模型，自相似性是严格的，称为 有规分形。 在物理学或自然界存在的分形，自相似是近似的 或统计的，称为无规分形。
分形的应用范围: 分形的应用范围 即分形所涉及的领域,几乎所有领域.有几何分形,广义分形,自然分形, 社会分形等. 1)广义分形:是不只包含在形态和结构上具有自相似性的几何分形或 分形几何学,在信息,功能,(组成)和时间上的相似性也包含在自相似性 概念中.于是,把形态,结构,信息,功能,[能量,物质.(从DNA到蛋白质再 到活生命体的物质组份,组成的分形,能量,信息分形,重演分形,遗传分 形,组织胚胎分形等多元分形)]时间或空间上具有自相似性的客体称 为广义分形. 2)自然分形:是自然界客观存在的或经过理论抽象的,具有自相似性的 客体.范围很广,遍及数学,物理,化学,材料,表面,计算机,电子,微电子, 生物学,医学,农学,天文学,气象,地理,地质,地震,特别是中医(经络)等 等很多.按系统的具体特点,又可分为几何分形,功能分形,能量分形,信 息分形和重演分形等.线状分形(经络缝隙分形),表面分形(经络截面 分形),体积分形(经络细胞充填,填充分形),(中医经络，藏象的全息分 形,包括几何分形,功能分形信息分形能量分形等的组合)等.生物分形 是重要一环. 3)社会分形
" 英国的海岸线有多长?"。答案是:取决于你的尺子。 详细的解释就是:当你用一把固定长度的直尺(没有刻度) 来测量时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线， 只能用直线来近似。因此，测得的长度是不精确的。 如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会发现， 这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。随着 你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越多， 你测得的曲线长度也就越大。如果尺子小到无限，测 得的长度也是无限。如果问题仅止于此，那么这个论 文不但没什么意义，而且还有点无聊了。但是，海岸 线的长度有着极有规律之处。那就是:海岸线长度的某 次幂与尺子长度成正比。
混沌时间分型
混沌时间分型全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：混沌时间分型是一种研究时间序列数据的方法，可以用来描述时间序列数据中混沌现象的特征。
混沌时间分型是将时间序列数据分解成不同的混沌组分，对每一组分进行分析，从而得到时间序列数据的混沌特征。
混沌时间分型方法的应用领域涉及到金融、气象、生物、医学等各个领域。
小波变换是一种将时间序列数据进行多尺度分解的方法，可以将时间序列数据分解成不同的频率段，从而得到不同频率的信号成分。
通过小波变换，可以将时间序列数据中的混沌特征和规律进行分析，并提取出有用的信息。
分形分析是一种研究时间序列数据中自相似性和自相异性的方法，可以揭示时间序列数据中的混沌特征和规律。
通过分形分析，可以得到时间序列数据中的分形维数和分形特征等信息。
动态系统方法是一种研究时间序列数据中演化轨迹和吸引子等信息的方法，可以揭示时间序列数据中的混沌特征和规律。
混沌时间分型方法在金融领域的应用是比较广泛的，可以用来分析股票、期货、外汇等金融市场的时间序列数据，揭示市场的混沌特征和规律，为投资者提供决策支持。
在气象领域，混沌时间分型方法可以用来分析气象数据，揭示气象系统中的混沌现象和规律，从而提高气象预测的准确性。
在生物和医学领域，混沌时间分型方法可以用来研究生物系统和医学数据中的混沌现象和规律，为疾病预防和治疗提供参考。
第二篇示例：混沌时间分型是一种描述动态系统中时间序列的特性的方法。
混沌时间分型理论在探讨复杂系统中的规律性和不确定性方面有着重要的应用，可以帮助人们更好地理解系统的动态行为。
时间序列分析是研究一组数据在时间上的变化规律的方法。
在传统的时间序列分析中，人们通常假设数据是平稳的，即数据的均值和方差在时间上保持不变。
在很多实际应用中，数据往往呈现出不规则、不稳定的特性，这种数据就被称为混沌时间序列。
混沌时间序列具有以下特点：（1）非线性：混沌时间序列往往由非线性动力学系统产生，系统中的各种相互作用导致数据的非线性变化；（2）不可预测性：混沌时间序列的未来状态很难通过当前状态来预测，小幅度的扰动可能引起系统状态的巨大变化；（3）长程相关性：混沌时间序列中的数据点之间存在长程相关性，即当前数据点与过去的数据点之间存在一定的关联。
分形理论概述
分形理论概述分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。
分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。
1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。
海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。
我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体形态的相似。
在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似。
事实上，具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。
1975年,他创立了分形几何学(fractal geometry)。
在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论(fractal theory)。
分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科。
作为一种方法论和认识论，其启示是多方面的：一是分形整体与局部形态的相似，启发人们通过认识部分来认识整体，从有限中认识无限；二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序；三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。
分形理论的原则自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。
它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。
由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。
分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。
标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。
这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形。
浅析刘慈欣科幻小说《三体》中的叙事艺术
29神州文化浅析刘慈欣科幻小说《三体》中的叙事艺术李硕河南省平顶山市第一中学摘要：刘慈欣是中国当代科幻小说作家中的代表人物，2008年出版的长篇科幻小说《三体》在连载之后就引起了中国科幻小说界的关注，具有深刻的社会影响。
这部作品也被人们称为中国科幻文学的代表作。
叙事是科幻小说的一个重点，为此，文章就科幻小说《三体》中的空间叙事问题进行了探究。
关键词：刘慈欣；《三体》；空间叙事《三体》是中国科幻小说作家刘慈欣的代表作品，在出版之后就得到了科幻爱好者的关注，并在之后获得了一系列的文学奖项。
《三体》主要讲述了地球人类文明在和三体文明产生联系之后生死决斗的漫长过程，以及宇宙变化。
其中，叙事是解读这部小说的一个重点内容，通过对文本的叙事解读，能够帮助人们更好地理解文本内涵。
从当前对《三体》作品的研究实际情况来看，大多数学者都是紧紧围绕作品主题、现实意义、影响力等方面进行研究，针对作品的叙事研究较少。
《三体》作为一个科幻类小说，在小说的整体构造和表达上来看，需要应用空间叙事理论，为能更好地帮助读者了解这部小说的内容，本文结合空间虚实学基本理论，就《三体》的叙事艺术问题进行探究。
一、空间叙事基本理论来源叙事是紧紧围绕在人们实际生活中的一项活动，在发展的过程中拥有长久的历史。
一直到20世纪60年代，叙事学正式进入学者的研究范围，发展成为一种学科。
叙事学在经过一段时间的发展后，从传统叙事学逐渐转变为经典叙事学，发展为一门成熟的学科。
空间叙事主要是指从空间角度来考察和分析各类叙事现象，是和时间共同构成的一种叙事范畴。
从发展实际情况来看，空间叙事具体可被分为三个层面的内容，分别是语言空间形式、故事物理空间、读者的心理空间等。
二、《三体》的叙事空间形式1.空间形式基本理论小说创作的空间形式是将文本叙事结构设计为一种空间的形式，在故事的叙述上，和传统因果线性叙事模式，存在很大不同。
小说的创作依赖文字，受文本排列和阅读方式的限制，小说的叙述一般会存在时间逻辑，因而传统的叙事作品大多是遵循时间顺序进行的。
分形公式大全
分形公式大全在数学中，分形是一种具有自相似性的几何图形或数学对象。
它们通常通过递归或迭代的方式构建，并且无论观察其任何一部分，都能看到整体的特征。
分形在自然界中广泛存在，例如树枝、云朵、山脉等都展现出分形的特征。
为了描述和生成分形，数学家们创造了许多分形公式和算法。
以下是一些常见的分形公式和它们的特点：1. 曼德勃罗集(Mandelbrot Set)：由法国数学家Mandelbrot于1975年引入的分形集合。
曼德勃罗集是复平面上一组复数的集合，满足迭代公式：Z_(n+1) = Z_n^2 + C，其中C是一个常数，Z是复数。
通过迭代计算，可以将复平面上的点分为属于集合内或集合外，形成具有分形特征的图像。
2. 朱利亚集(Julia Set)：与曼德勃罗集相对应，朱利亚集也是由C 值所确定的复平面上的一组复数。
朱利亚集的迭代公式为：Z_(n+1) = Z_n^2 + C，其中Z是复数。
朱利亚集的形状和曼德勃罗集不同，但同样展现出分形的特征。
3. 希尔伯特曲线(Hilbert Curve)：希尔伯特曲线是一种填充空间的曲线，它具有自相似性和紧凑性。
希尔伯特曲线是通过递归地将二维空间划分为四个子空间，并将曲线从每个子空间的一个角落延伸到另一个角落而生成的。
4. 科赫曲线(Koch Curve)：科赫曲线是一种无限细分的曲线，它由自相似的三角形构成。
科赫曲线的构造方法是在每条线段的中间插入一个等边三角形，然后重复该过程。
除了以上几种常见的分形公式外，还有许多其他有趣的分形公式和算法，如分形树、分形花朵等。
这些分形公式不仅在数学研究中有着重要的应用，还被广泛应用于计算机图形学、自然科学、艺术创作等领域。
总之，分形公式是描述和生成分形图形的重要工具。
通过这些公式，我们可以深入研究分形的特性和美妙之处，并将其应用于各个领域，探索自然界和数学世界中的无限奇妙。
分形几何概述
分形几何的应用
图像，数据压缩方面的研究。 如：对某一个静态场景的分形压缩。
自然景物的模拟 如：雪花，海岸线，分形山，分形树叶
分形生长模型
整理课件
对某一个静态场景的分形压缩
原图
分形压缩得到的图形
整理课件
分形山
整理课件
分形树叶
整理课件
分形树叶(续1)
整理课件
整理课件
Koch曲线的生成过程 —第0步、第1步
整理课件
Koch曲线的生成过程 —第2步、第3步
整理课件
Koch曲线与雪花曲线
—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线
整理课件
Koch曲线的一些基本性质
Koch曲线具有与Cantor集，Sierpinski垫 片类似的性质.
长度等于无穷.
一般地，E的“分形维数”（以某种方式 定义）大于它的拓扑维数。
在大多数令人感兴趣的情形下，E以非常 简单的方式定义，可能由迭代产生。
整理课件
分形几何的研究方法 ——维数和测度
我们仅讨论维数 传统意义下的维数：
点是0维的，线是1维的，平面是2维的， 立方体是三维的，… 用这个维数去刻画分形集合时的困难：
空紧子集所组成的集合。 H(X)上的度量h如下定义：
d ( x , B ) m d ( x , y ) |y i B n ,x X , B H ( X ).
d(x,B )0 x B
d ( A , B ) m d ( x , B ) | a x A , x A , B H ( X ).
是“不规则的或者断裂的”拉丁语“fractus”派 生
出来.
整理课件
分形几何的历史(续)
发展期：二十世纪八十年代至今. 1. Hutchinson, 1981, 分形与自相似. 给出了自相似集合的数学理论基础. 2. Mandelbrot, 1982, 《自然界的分形几何》. 3. Barnsley, 1988, 《Fractal everywhere》. 4. Falconer, 1990, 《分形几何——数学基础 及其应用》.
中国城市空间形态分形维及时空演变
第２卷 ６
２０ ０ ７年
第 ２期
４月
地域研究 与开发
ＡＲＥＡＩ ＲＥＳ ， 】 ＡＲＣＨ ＡＮＤ ＤＥＶＥＬ０Ｐ Ｅ ＮＴ Ｍ＿
Ｖ０． ６ Ｎｏ ２ Ｉ２ ．
Ａｐ ．２ ０ ｒ ０７
中 国城 市 空 间形态 分 形 维 及 时 空演 变
数。 我们 只需在 不 同大 小正方 形格 网覆 盖下 获得 不同 的点对 （ Ｎ（ ）ｌＭ （ ） ）然后拟合这些点对 ， １ ｒ， ｎ ｎ ｒ ， 求得 回归 方程 ， 其斜率即为 Ｄ 的估值 。
２ ２ 基于周长一 ． 尺度关系定义的分形维数
使用不 同大小 的正方形格 网覆盖城 市平面轮廓 图
余瑞林 ， 王新生 ， 孙艳玲 ， 张 红 ，帅方敏 ，朱超平
（ 湖北大学 资源环境学院 ， 武汉 ４ ０ ６ ） ３０ ２
摘要 ：基于国家资源环境 数据 库土地利用数据 ， 了 １９ 年 和 ２０ 年我 国 ３ 个大城 市的分形 维， 估算 ９０ ００ １ 讨论 了基 于面积一 周长 关系定 义的分形维和基 于周 长一 尺度关 系定 义的分形维之 间关系， 明二者之 间虽有差异 ， 表 但存在 显著 的线性正相关关 系， 即随着基于周长一 尺度 关 系定 义的分 形维数值增加 ， 基于 面积一 长关 系定义 的分形 维数值 也增 周
２ 定义和估值 方法
常用 的分形 维有 Ｈ ｕｄｒ 维数 、 ａｓｏｆ ｆ 计盒 维数 、 相似
维数 、 信息维数 和关联维数 等 ， 在地理学应用研究 中广 城市有着复杂的 、 非线性 的空 间形 态 ， 种空 间形 泛应用 的是计 盒 维数 。在 城 市 空 间形 态 的分维 计 算 这 态具有分形特征 ， 具有内在的 自组织 、 自相似和分形 生 中， 又将其细分 为边 界维 数 、 径维数 和格 网维数 等 。 半
空间特征名词解释
空间特征名词解释
以下是常见空间特征名词的解释：
1. 拓扑结构：描述了空间对象之间的关系，包括邻近、接触、相交等，是几何结构的基础。
2. 分形特征：指物体在不断缩放时保持一定的自我相似性，即局部与整体的结构相似。
3. 点簇模型：用来描述空间中一组点的分布情况，其中每个点表示一个空间位置，点的距离代表它们之间的相似性。
4. 空间群体特征：指由一组具有相同属性的空间对象构成的群体所呈现出的特征和规律，如城市发展的空间形态，人口分布的空间格局等。
5. 空间关联度：表示空间对象之间的相关性，即空间位置的接近性或联系性。
6. 空间异质性：指空间上的不均匀分布特征，如地球表面的海陆分布、气候和生态环境的异质性等。
7. 空间自相关性：指空间对象之间的相似性和相关性，即空间上的近邻对象通常具有相似的属性，而离得远的对象则有较大的差异。
8. 空间交互作用：指地理单元之间通过物质、能量和信息等媒介的相互作用，如人口和环境之间的关系、城市之间的相互联系等。
以上是常见空间特征名词的解释，不同的学科视角和背景下可能会有
不同的定义和解释。
分形、混沌和灰色理论
性”，它有别于由系统外部引入不确定随机影
响而产生的随机性。为了与类似大量分子热运
动的外在随机性和无序性加以区别，我们称所
研
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的混沌为非线形动力学混沌，而把系统处于平衡态时 究所呈现的杂乱无章的热运动混乱状态称为平衡态热 力学混沌。
它们间的重要差别在于：平衡态热力学混沌所表
现出的随机现象是系统演化的短期行为无法确定。比
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下面我们来讲混沌的特性。
（1）确定系统的内在随机性.
混沌现象是由系统内部的非线性因素引起
的，是系统内在随机性的表现，而不是外来随 即扰动所产生的不规则结果。混沌理论的研究 表明，只要确定性系统中有非线性因素作用， 系统就会在一定的控制参数范围内产生一种内 在的随机性，即确定性混沌。
混沌现象是确定性系统的一种“内在随机
第 三 种 ： 当 x0 是 无 理 数 时 ， 则 序 列 {xn} 是 不 规 划 的 。 例 如 取 x0=1 /2就属于这种情况。 但是，从本质上看，上述三种情况表征的都是一种形态——混 沌。为此进一步分析前面三种初值x0的情况。对于第二种情况， 所取初值为
x0 =13/28=0.46428571428571428571…… 可发现，从n=2开始就有：
如掷骰子，第一次掷的结果就无法确定，而长期则服
从统计规律；非线形动力学混沌则不然，系统的短期
演化结果是确定的，是可以预测的；只有经过长期演
化，其结果才是不确定的，不可预测的。比如天气预
报，三天以内的天气状况是可以预测的，三天以后的
旧无法预测了。
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（2）对初值的敏感性。
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分形几何
度量Koch曲线（续）
现在，长度为１／3的无刻度的尺子来度量 Koch曲线。 此时Koch曲线的近似长度为 L1 = 4/3. 于是 Koch 的长度大于 4/3.
度量Koch曲线（续）
进一步，在每两个相邻的节点间加入三个 节点，这样用由16条长度为1/9的线段组成 的折线逼近Koch曲线。同样发现Koch曲线 的长度大于折线长度 L2 = 16/9 = (4/3)2.
分形几何的提出
由于不规则现象在自然界是普 遍存在的，因此分形几何又称 为描述大自然的几何学。分形 几何建立以后，很快就引起了 许多学科的关注，这是由于它 不仅在理论上，而且在实用上 都具有重要价值。
分形几何的提出
当你用一把固定长度的直尺(没有 刻度)来测量海岸线的长度时，对 海岸线上两点间的小于尺子尺寸的 曲线，只能用直线来近似。因此， 测得的长度是不精确的。
Ａ
则称子集类
i 1 为Ａ的一个
Ｕ
i
｛U i｝
―覆盖。
豪斯道夫(Hausdorff)维数
Hausdorff测度 d ) 设Ａ是度量空间 ( R , 的任一有界子集 ｓ≥0，对于任意的 >0，定义：
H ( A) inf{ | U i | : {U i } A的－覆盖}
分形的定义（续） 分形看作具有下列性质的集合F：
１）F具有精细结构，即在任意小 的比例尺度内着复杂的结构。 ２）F是不规则的，以致于不能用 传统的几何语言来描述。
分形的定义（续）
3）F通常具有某种自相似性，或许是 近似的或许是统计意义下的。 4）F在某种方式下定义的“分维数” 通常大于F的扑维数。 5）F的定义常常是非常简单的，或许 是递归的。
Mandelbrot集(4)
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1996年10月第19卷第4期河北师范大学学报(社会科学版)Journal of H ebei N o r m al U niversity(Social Science)O ct.1996V o l.19N o.4・科学哲学・分形时间、空间刘和平摘 要 本文从分形哲学角度探索时间、空间的基本特征,以及时间、空间的起源,混沌运动的时间意义,时间、空间维数演变的动力。
关键词 分形 时间 空间一、时间、空间新观念的先声自本世纪后期以来,新的科学革命正在悄然兴起。
70年代以来,曼德尔布罗特(B.M andelbro t)分形几何学专著《分形:形状、机遇和维数》、《自然界的分形几何学》相继问世。
仅仅十几年时间,在世界范围内掀起了空前仅有的分形理论的浪潮。
分形理论向人类展示了,自然界事物的变化既体现出相同因素自始至终的支配作用,同时又是通过突变和分叉的途径实现的。
世界的本性就在于其极不光滑、处处不可微。
众多非线性学科理论和应用研究所遇到许多难题,因分形分维(Fyactal di m ensi on)方法得以迎刃而解。
混沌运动奇异吸引子(Strange attracto r)自相似分形体系的揭示,众多分维计算方法应用于混沌运动相空间轨迹的解析处理,表明了分形理论强大的生命力,展示了广阔的发展前景。
如果说,下一个世纪是非线性科学为带头学科的世纪,那么,分形理论将构成下一个世纪科学技术发展重要的数学支撑。
与此相对应的,哲学领域里的深刻变革亦随之兴起。
“被誉为大自然的几何学的分形理论,是现代数学的一个新分支,但其本质却是一种新的世界观和方法论。
”①1992年1月,分形理论应用于哲学研究的首门分支学科《矛盾分形学》问世。
②1993年12月,世界首部分形理论哲学问题研究专著《分形理论的哲学发轫》由四川大学出版社正式出版。
③书中荟集了国内外分形哲学问题研究的最新进展,为分形哲学的诞生提供了全方位探索。
1994年7月,分形哲学诞生;④并且,完成了分形哲学本体论研究的前期工作(分形哲学基本原理)。
如此短时期内发生在哲学领域里的研究进展表明了分形理论对于新的世界图景的潜在的刻画能力。
许多被传统哲学视为截然对立的二极范畴(如偶然与必然、原因与结果、简单与复杂、原因与结果等等)在分形哲学研究背景下以动态转化的形式相容为一体。
最终完成了对立二极之间的完美统一,给哲学家以耳目一新的感受。
有关分形哲学探索的论文正在增长着,分形哲学显示出新兴哲学学派旺盛的青春活力。
分形的时间、空间观念探索将为建立分形哲学体系奠定理论基础。
一种新的哲学思潮及流派对哲学发展所施加的影响以其对时间、空间认识的贡献为衡量尺度。
分形理论的哲学探索从一开始就以对时间、空间的崭新认识顺势展开。
高安秀树率先提出宇宙物质分布的分数维特征。
⑤高歌随之进一步指出:空间与时间的维数都不是整数而是分数,这意味着三维空间不能被物质本身也不能被物质运动的轨迹填满。
真实的空间和时间更象是充满大小不同尺度空洞的海绵。
分维理论和现象破坏了时间平移对称性及空间的均匀性及旋转,时空观的这种改变势必引起自然科学与哲学的戏剧性变化。
”⑥几乎同时,张一方提出了分维时空理论,高维时间和分维时间以及与时间不可逆之间关系分析亦表明了分形时间、空间理论研究的深化。
⑦尔后,张国祺等关于维数就是一定时空的数值特征的论断,维数本身的进化等具体分析则标志着分形时空探索进一步规范与成熟。
⑧因此,在某种意义上可以说,分形理论的哲学探索伴随着分形时间,空间理论研究的进化。
这就从某个侧面显示出分形理论哲学探索的深远意义和划时代的影响。
随着分形时间、空间探索的持续进展,分形哲学时间、空间理论研究的系统化也将提到分形哲学理论研究的具体日程上来。
虽然分形理论有关时间、空间探索取得了众多的具体成果;但是,它们之间尚缺乏必要的内在联系,仍停留在早期离散无序状态。
并且,真正达到哲学世界观层次的成果并不多。
早期开拓型探索先于分形哲学基本原理形成时期,也就无法实现分形时间,空间探索由具体到抽象,由特殊到一般乃至时间、空间新概念的形成。
随着分形哲学本体论和基本原理的初步确立,初步建立分形哲学时间、空间理论体系亦构成分形哲学发展所必不可少的中间环节,分形哲学时间、空间理论探索系统化的条件已经成熟。
二、时间、空间起源自相似时间、空间。
面对自牛顿力学以来形形色色有关时间、空间的各种不同的理论探索,虽然它们之间很难找到具体形态方面的相同之处;但是,隐藏在其背后的本质性联系却体现了惊人的一致。
所有的时间、空间形态都是满足自相似性的分形体系。
让我们从下面的一些具体分析中开始时间,空间自相似特征的追寻。
按照牛顿经典力学的时间、空间理论,空间是平坦的,时间是一条直线。
时间、空间是欧几里德几何时空,满足伽利略变换下保持关系性质不变。
因而,时空可以任意分割。
时空、空间表现为局部与整体在任意情况下完全相同的均匀线性自相似分形体系。
呈现为最为简单的自相似分形几何形态。
爱因斯坦的狭义相对论的时空理论,同样渗透着自相似分形特征。
狭义相对论时空将时间与空间紧密联系在一起,空间距离作为不变量与类时间隔等价且满足洛仑兹变换,对应于闵可夫斯基四维空间几何。
时间、空间被视为线性变换下保持不变的关系式。
因此,这里需要指出的是,无论是牛顿力学时空还是爱因斯坦狭义相对论时空理论,二者都是建立在时空均匀,对称这一相同基础之上的。
即物理学的规律与原点的选择无关;同时,物理学规律还与空间空标原点的选择无关。
无论是伽利略变换还是洛仑兹变换,二者都是线性变换,都呈现为线性变换下的不变性。
因而,均可视作线性自相似体系。
本世纪以来化学振荡的动力学研究为时间、空间的认识增添了许多新的知识。
著名的化学振荡模式B —Z 反应(贝洛索夫——扎博廷斯基反应)揭示了振荡与时间之间的深刻联系。
由化学品离子浓度的等间隔规则性转换造就了独特的化学钟。
这将意味着,时间是某种局部稳定的极限环。
相同的化学品改变控制方式和参数则形成离子成分和浓度的非均匀分布——即靶形、涡旋形、多支涡旋形空间分布花样。
时间的等间隔、极限环式的振荡表明了时间具有非均匀自相似特征。
空间的自同构则与分形理论的,具有标度不变性的物体,在不同的空间特征尺度上的相似结构的模式,实现了直接的统一。
时间、空间起源。
我们知道,时间具有相应的特征尺度,特征尺度周而复始的再现体现了事物运动过程的周期性特点。
纵观众多的时间形态,从秒、天、月、年、乃至形形色色的数学变换式,均以自然界事物运动的周期性为基础。
因此,时间与周期总是形影不离。
顺着这条思路,我们接着会问,周期从何而来?自然界事物若要维持自身的持续存在则必须不断地实现自身运动形式的复制。
由此形成漫长的自复制系列。
如动物心脏相同振荡频率周而复始的再现。
天体运行旋转尺度稳定性重复。
人类某些思想或观念长达数千年之久的代代相传。
化学振荡体系3分钟频率的持续重演。
激光器谐振腔内原子偶极距同相振动形成的优美的正弦波。
“在宏观空间及时间尺度内72刘和平 分形时间、空间82河北师范大学学报(哲学社会科学版)1996年第4期物质构型的出现,意味着体系不同的部分之间出现并保持了再现、复制的关系。
”⑨正是运动形式复制的客观必要性形成了事物存在的周期形式。
因此,是自复制系列造就了时间。
如果沿着运动形式自复制的踪迹继续追寻下去,我们将获得时间形成的微观机制。
本世纪70年代以来诞生的耗散结构理论揭示了时间形成的微观层次实体及其相互作用机制。
普里高津(I.P ri-gogine)发现,形成化学钟的体系本身是由大量相同子系统组成的简单巨系统。
由于分子之间关联状态呈现以长程相关为特征的相干型共振,使得体系内部所有的子系统产生相互作用的一致性,由此构成离子成分和浓度的周而复始的自复制过程。
“按照更本质的观点,整个体系参加的振荡过程的进行,意味着它的各个部分通过保持它们之间明确的相位关系而协调一致的行动”,βκ从微观层次子系统之间相互作用的一致性(亦称共振),经宏观整体型振荡,通过以振荡为载体的运动形式自复制,由周期进而到时间,构成时间形成的因果序列链。
虽然我们将子系统之间相互作用视为时间形成的微观机制,但是,子系统相互作用本身则需要相应的条件。
化学钟只有在对化学试剂施加充分搅拌的前提下才会生成,构成化学钟的分子之间的长程相关,由此决定的离子浓度变化的周而复始造就了严格的3分钟振荡。
“周期与振幅只决定于实验参数。
”βλ所以,系统与外部环境之间的相互作用是子系统之间相互作用形成的物质推动力。
由此构成时间形成的外部条件。
有趣的是,空间与时间具有共同的相同起源机制。
让我们回到B—Z反应体系,考察其中另一种反应机制——扎博廷斯基反应。
取与贝洛索夫反应相同的化学物质,不加搅拌,我们将获得化学反应体系的空间构型模式,呈现靶形、螺旋形花样。
究其内部原因,同样起源于分子之间以长程相关为特征的同步型振荡,并且,并不依赖严格的时间周期。
因此,对时间起源内在机制的探索也同样适合于空间形态的起源研究。
“时间空间具有相同的本质,即它们都是运动着的物质的存在形式,都是由物质存在(并存的或非并存的)之间相互联系相互作用决定的,它们都构成了一切物质存在之间最基本的联系,它们都从不同的侧面表现同一内容”βµ。
时间、空间起源的相互作用机制观点将从根本上消除的时空悖论。
有一种较为流行的观点认为时间和空间之间是某种互为因果的封闭式循环圈。
时间依赖于空间,只有用空间的形态定义时间。
反过来也是一样,空间要持续地维持自身的存在需要时间相助。
因此,时空不可分割,二者之间是两个方面的对立统一。
这种纯粹思辨型的结论,并没有使我们对时间、空间本身的起源的认识,获得多少进展。
时间、空间具有相同的起源,子系统之间相互作用是时空之母,系统环境相互作用为时空之父。
时间和空间是自然界相互作用孕育的一对孪生兄弟。
至此,我们已无必要在时空关系之间使用循环论证的方式舞文弄墨,与时空悖论实行彻底决裂的时代已经到来。
对称性破缺自相似时间、空间。
当我们将视角从给定条件下时间、空间概念的抽象分析,时间空间的起源机制,转向对大自然真实时间、空间形态的具体分析时就会发现,时间、空间总要与不断变化的外部环境密不可分地联系在一起。
并且,外部环境对体系物质、能量流的输入呈现非线性临界特点。
这就导致了时间、空间存在的外部条件发生质的改变。
并且,通过一系列相应的变化,最终导致时间、空间的转变。
这样一来,原有时间、空间的某种自相似性和对称性就被打破,取而代之的是另一种新的时间、空间自相似形态。
新的自相似时间、空间形态相对于原来的自相似时间、空间形态而言是某种对称性破缺。
我们将这种自相似性时间、空间形态的转变过程简称为对称性破缺、自相似时间、空间。
70年代以来兴起的非平衡自组织理论给出了对称性破缺自相似时间、空间内在机制的详尽描述。