拉阿伯判别法

拉阿伯判别法

在数学专业用的微积分教科书中，关于正项级数敛散性判别法，除常用的柯西判别法(即根值判别法)和达朗贝尔判别法(即比值判别法)外，还有其他的判别法。下面的拉阿伯(J.L.Raabe)判别法就是其中之一。

拉阿伯判别法 设有正项级数1

(0)n n n u u ∞=>∑. 若有

1lim 1()n n n u n l l u →∞+⎛⎫-=-∞≤≤+∞ ⎪⎝⎭

则当1l >(包括+∞=l )时，级数收敛；而当1l <(包括∞-=l )时，级数发散。

【像比值判别法那样，当1=l 时，不能由此得出级数的敛散性】

证 当1l >(包括+∞=l )时，取r 满足1l r >>. 根据数列极限的定义，则有正整数N 使

11n n u n r u +⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭

)(N n ≥ 从而 （※）11n n u r u n

+≥+)(N n ≥ 另一方面，再取正数满足p 1r p >>，因为有

()()10x 01110lim lim 01

p p x x p x p r x -→→+-+⎛⎫==< ⎪⎝⎭ 所以有正整数N N ≥1，使当1N n ≥时有

1111p

n r n

⎛⎫+- ⎪⎝⎭<，即111p r n n ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭ 因此，当1N n ≥时，根据式（※），则有 1111p n n u r u n n +⎛⎫≥+>+ ⎪⎝⎭ 或 1

1(1)(1)11p p n n

p

u n n p u n n ++⎛⎫<=> ⎪+⎝⎭ 根据p –级数的收敛性，所以级数1

(0)n n n u u ∞=>∑也是收敛的【比较判别法的推论】

。 其次，当1

111n n u n u +⎛⎫-< ⎪⎝⎭

， 即1

1111n n u n n u n n

++>=+

【注】比值判别法是同等比级数做比较，而拉阿伯判别法是同p -级数做比较。因此，后者是比前者更精细的正项级数判别法。事实上， 当有极限1lim 1n n n u l u +→∞=≠时，必有1lim 1n n n u n u →∞+⎛⎫-=±∞ ⎪⎝⎭

即比值判别法是拉阿伯判别法的极端情形，或者说拉阿伯判别法是比值判别法的推广。