几类常微分方程的典型解法文献综述

毕业论文文献综述

数学与应用数学

几类常微分方程的典型解法

一、前言部分(说明写作的目的,介绍有关概念、综述范围,扼要说明有关主题争论焦点)

常微分方程,是一个有长期历史,而又正在不断发展的学科;是一个既有理论研究意义,又有实际应用价值的学科;是一个既得力于其他数学分支的支持,又为其他数学分支服务的学科,是一个表现客观自然规律的工具学科,又是一个数学可以为实际服务的学科.

常微分方程的形成于发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展相互促进和相互推动的.数学的其他分支的新发展如复变函数、组合拓扑学等都给常微分方程的发展已深刻地影响.当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.现在,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题.但是,数学家发现,不是所有的微分方程的通解都能求出,从以前的”求通解”到”求解定解问题”的转变,所以能求出问分方程的解是十分重要的.本文主要总结了几种常微分方程的典型解法及其相关应用.

二、主题部分(阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向,以及对这些问题的评述)

当牛顿、莱布尼兹创立了微积分以后,数学家便开始谋求用微积分这一有力的工具去解决愈来愈多的物理问题,但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题,这类问题不能通过简单的积分解决,要解决这类问题需要专门的技术,这样,微分方程这门学科就应运而生了.

常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一.常微分的发展主要可以分为四个阶段: 常微分的经典阶段--以通解为主要研究内容、常微分方程的适定性理论阶段--以定解问题的适定性理论为研究内容、常微分方程的解析理论阶段--以解析理论为研究内容、常微分方程的定性理论阶段--以定性与稳定性理论为研究内容

[1].

尽管在耐皮尔(John Napier,1550-1617)所创立的对数理论及达芬奇提出的饿狼扑兔问题中都已涉及到微分方程发展的思想萌芽,但微分方程作为一门学科是伴随着微积分的形成而产生的.就像微积分在17世纪后期与18世纪前期的著作一样,常微分方程最早的著作出现在数学家门的彼此通信中,1676年,莱布尼兹在给牛顿的通信中,第一次提出”微分方程”这个数学名词.17世纪到18世纪是常微分方程发展的经典阶段,以求通解为主要内容.牛顿和莱布尼兹在建立微分方程与积分运算时就指出了它们的互逆性,实际上是解决了最简单的微分方程()y f x '=的求解问题.此外,牛顿、莱布尼兹也都应用了无穷级数和待定系数法解出了某些初等微分方程[1]

.伯努利一家(这个非凡的瑞士家族在三代时间里出了八个数学家,其中Jacob Bernoulli ,1654-1705;Johann Bernoulli,1667-1748和他的儿子Daniel Bernoulli,1700-1782的工作较突出)对变量分离法和换元法;欧拉(Euler,1707-1783)对降阶法、积分因子法和求常系数齐次线性方程的通解;达郎帕尔(D ’Allmbert,1717-1783)关于非齐次线性方程通解的叠加原理;拉格朗日(Lagrange,1716-1813)有齐次线性方程通解经常数变易法得出非齐次方程的特解;克莱洛(Clarant,1713-1765)关于全微分方程的充要条件和奇解的概念[2],以及十九世纪末引进算子方法和拉普拉斯(Laplace,1749-1827)变换等,都是求通解时期的成就[3]. 莱布尼兹最早使用变量分离法解微分方程.他用这种方法解决了形如()()dx y f x g y dy

=的方程,因为只要把它写成()()dx dy g x f x y

=就能在两边进行积分.但莱布尼兹没有建立一般的方法.可以用变量分离法求解的方程的特点是右端为仅含有x 的函数和仅含有y 的函数的乘积,焦宝聪等将此类方程分成了当()0g y ≠以及存在实数α,使得()0g α=两种情况进行讨论[4].同时,在文献[5]、[6]、[7]、[8]、[9]中同样也详细介绍了变量分离法,且举了些例子帮助读者进行理解.文献[5]除了介绍()()dy h x g y dx

=类型的方程用变量分离法求解之外,还介绍了1122()()()()0f x g x dx f x g x dy +=这一类型的方程用变量分离法求解.由此,我们可以看出,变量分离方程的求解思路主要分为三步:(1)分离变量,(2)对方程两边同时积分并整理得通解,(3)由初始条件求方程的特解[10].

在莱布尼兹使用变量分离法求解出形如()()dx y f x g y dy

=微分方程的同一年,他又解出了一阶齐次方程()y y f x '=.他令y vx =代入方程,即可使用变量分离法求解方程.而过了50余年之后,欧拉用自变量代换t x e =把欧拉方程线性化而求得

110110n n n n n n n d y d y a x a x a y dx dx ---+++=的通解,其中(1,2,,)i a i n =是常数.一些方程,常

常可以通过引入适当变量代换,化为变量已分离型方程或是其他已知解法的方程.文献[9]介绍了齐次方程dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭

用变量代换法求解.求解齐次方程的关键是对未知函数进行变量替换y u x

=,用一个新的未知函数u 代替原来的未知函数y ,得出一个变量分离方程,故可以通过变量分离法求得它的解.文献[7]介绍了形如

111222a x b y c dy dx a x b y c ++=++的方程用变量代换法来求解,作者针对121212,,,,,a a b b c c 的不同取值,分了三种情况进行讨论.文献[4]、[5]、[6]、

[9]、[10]、[11]、[12]也详细介绍了上述两种类型的方程用变量代换法求解.除此之外,还有一些文献介绍了其他类型的方程用变量代换法求解,例如:文献[5]还介绍了()()0yf xy dx xg xy dy +=类型的方程,文献[12]介绍了诸如(,)()(,)()0M x y xdx ydy N x y xdy ydx ++-=(,M N 为,x y 的齐次函数,次数可以不同)用变量代换法求解.文献[13]通过对一阶常微分方程中的齐次方程的推广形式--齐次型方程进行研究,并将齐次方程使用”变量代换”求解推广应用到齐次型方程,从而证明了齐次型方程是可积方程,得到了包括部分黎卡提方程和伯努利方程的一阶微分方程的几种新的可积类型.可以看出,变量分离和变量代换的结合使用,是求解微分方程的重要方法,很多方程并不是一开始就可以用变量分离法求解的,而是要通过变量代换之后才可以使用.

1693年惠更斯在《教师学报》中明确提到了微分方程,而莱布尼兹同年则在另一家杂志的另一篇文章中称微分方程为特征三角形的边的函数,并给出了线性方程

()()dy p x y q x dx

=+的通解表达式()()()(())p x p x dx y x e q x e dx c -⎰⎰

=+⎰,其中c 是任意常数.对于上述类型的方程,我们通常采用常数变易法来求解.常数变易法是前人专门针对一阶线