现代设计方法及其应用(习题集)

答案
多元函数对自变量的二阶导数矩阵。
8:凸集
答案
若设计空间中任意两点连成的直线上的所有点都在设计空间中，则称该设计空间为凸集。
9:凸函数
答案
若设计空间中任意两点连成的直线上的某点通过两个端点的函数值的线性插值大于等于该点的目标函数值,则称该函数为凸函数。
10:一维搜索
答案
在求解优化问题时,将从某一点出发、沿着某个方向搜索极小点的过程称为一维搜索。
16:Matlab软件的工作方式有几种？在变量的作用范围上有各有什么特点？
3:无约束问题的最优性条件是什么？
答案
对于标准形式的优化问题,无约束问题的最优性条件：
(1)必要条件:目标函数在极值点的梯度为零向量。
(2)充分条件:海森矩阵在极值点正定。
4:约束问题的最优性条件是什么？
答案
约束问题的最优性条件是K-T条件，该条件可表述如下：
(1)极值点处目标函数的负梯度可以用该处约束条件的梯度的非负线性组合来表达。
二.简答题
1:优化设计数学模型的基本要素是什么？
答案
优化设计的数学模型有三个基本要素，它们是设计变量、目标函数和约束条件。
2:为什么一维搜索是优化问题求解的基础？
答案
绝大部分的优化问题在求解时,都是不断地重复从某一个点出发、沿着某个选择好的方向搜索极小点的过程，这一过程就是一维搜索。因此，一维搜索是优化问题求解的基础。
第一章测试题
一.名词解释
1:数学模型
答案
描述客观对象的某些指标与其相关因素的数学表达式。
2:设计变量
答案
设计过程中的可变参数。
3:目标函数
答案
联系设计目标和影响因素的数学表达式。
4:约束条件
答案
设计变量必需遵从的一些条件。
5:方向导数
答案
函数沿某一方向的变化率。
6:梯度
Baidu Nhomakorabea答案
函数值增加最快的方向。
7:海森矩阵
8:什么是牛顿法？为什么当目标函数为二次函数时，牛顿法只需一步即可到达极小点？
答案
牛顿法从某一点开始，用该点处的、与原目标函数相关的二次函数的极小值，近似原目标函数的极小值,这样反复操作,直到满足收敛条件。
当原目标函数为二次函数时，用于近似的二次函数与原目标函数重合,因此二次函数的极小值就是原目标函数的极小值。这样,只箱一步即可到达极小点。
功效系数法:先初步确定各个分目标函数的最优值。当分目标函数为一般值时，它与其最优值之比将成为一个在0〜1之间变动的正的无量纲数。将所有的分目标函数都做类似处理，并将处理结果组合成某一个新的目标函数，通过使新的目标函窣尽可能取得接近于1的结果，来统筹地协调各个分目标函数对总体目标的贡献。
乘除法:将分目标函数分为希望越大越好和越小越好两大类，然后用第二类的和做分子、第一类的和做分母，形成一个新的目标函数。通过使新的目标函数取得最小值，来实现总体目标的最优。
15:统一目标法分为几种？解释每一种的基本思想。
答案
统一目标函数法分为加权组合法、目标规划法、功效系数法和乘除法。各种方法的基本思想简介如下。
加权组合法:将各分目标函数按照某种标准，加权组合成为新的目标函数。
目标规划法:先初步确定各个分目标函数的最优值，然后按照多目标函数设计的总体要求,调整各个分目标函数,从而制定出合理的目标函数。
(2)极值点在可行域的边界上。
5:简述一维搜索的步骤。
答案
分为两步:①确定搜索区间;②确定极小点。
6:比较黄金分割法与二次插值法的特点。
答案
相同点:都要判断所求点是否满足收敛条件;都要不断缩小搜索区间。
不同点:搜索极小点的方法不同。黄金分割法只是判断极小点所在区间,判断时只需知道两个点，但无法判断极小点在当前区间中的位置;二次插值法需要知道三个点,求出的拟合函数的当前极小点在区间中的位置准确。
13:分别说明惩罚函数法中的外点法和内点法与混合法的异同。
答案
(1)外点法与混合法的比较。
相同点:都将有约束优化问题转换为无约束优化问题;都要判断收敛。
不同点:外点法从可行域外部向着可行域边界搜索;混合法的迭代点可以任意。
(2)内点法与混合法的比较。
相同点:都将有约束优化问题转换为无约束优化问题;都要判断收敛。
坐标轮换法和鲍威尔法的联系:都属于直接法，不需要求解目标函数的导数。
11:写出外点法惩罚函数法的一般表达式,并解释其中各项的含义。
答案
外点法惩罚函数法的一般表达式为
12:为什么内点法惩罚函数法的罚因子是一个递减的正数序列？
答案
对于不含有等式约束的优化问题
按照无约束优化问题求解时,从可行域内部选择一点开始迭代搜索过程。当搜索到可行域边界时,的极值点应该趋近的极值点。为此,必须趋近于零。因此，是一个递减的正数序列。
7:什么是梯度法？为什么在接近目标函数的极值点时，梯度法的收敛速度会变慢？
答案
在一维搜索中，采用负梯度作为搜索方向的搜索方法称为梯度法。
梯度法所指示的方向具有局部性，并不能表明该方向指向目标函数的极小点。当目标函数在极小点附近的等值线为一组椭圆时,按照梯度法搜索形成的搜索路径会绕着极小点转圈,但
不直接到达抿小点，使得搜索速度会越来越慢。
不同点:牛顿法要计算海森矩阵及其逆矩阵，变尺度法不用。
10:简述坐标轮换法和鲍威尔法的基本思想，两者有什么联系？
答案
坐标轮换法:顺次沿着不同的坐标方向捜索敬值点的方法。
鲍威尔法:每一轮的第一次搜索采用坐标轮换法,以后每汝都用前一次形成的新的搜索方向替换前一轮的最后一个方向(鲍威尔法）或某一个不的方向(鲍威尔改进算法)。
不同点：内点法从可行域内部向着可行域边界搜索，且只能处理不等式约束;混合法的迭代点可以任意，既可以处理不等式约束，也可以处理等式约束。
14:多目标函数的优化方法分为几种？各有什么特点？
答案
多目标函数的优化方法分为统一目标法和主要目标法。
统一目标法可以分别统筹处理各个分目标函数，使整体设计结果较为协调，但难度较大，有明显的主观因素;主要目标法选择某一个分目标函数为目标函数,将其他分目标函数当做约束条件处理,不能较好地协调各个分目标函数指标，但比较容昜处理。
9:试分别比较梯度法和牛顿法与变尺度法的异同。
答案
(1)梯度法与变尺度法的比较。
相同点:都要判断收敛;都用到一阶导数。
不同点:梯度法开始搜索时较快,但接近极值点时变慢;变尺度法开始可能不快，但接近极值点时，速度较快。
(2)牛顿法与变尺度法的比较。
相同点:都要判断收敛;都要计算一阶导数;都能在接近极值点时很快收敛。