1-4解析几何吕林根第四版

）
1
2(1
2
）
2， 2，
CG 1 AB 2 AC 1 ( AB 2AC),
3
3
3
CF AF AC 1 AB AC 1 ( AB 2AC) 3 CG
2
2
2
所以C、G、F共线。
例 .设P, Q分别是ABC的BC, AC边的中点, AP与BQ交于点M. 证明: AM = 2 AP.
联接AF，因为AP1是AEF的中线，所以有
AP1
1（AE 2
AF）.
D
又因为AF是ACD的中线，所以又有
AF
1（AC 2
AD）
12（e2
e3）.
A
e3
P1
E
e1
F
e2 C
B
D
而
AE
1 2
AB
1 2
e1，
e3
F
从而有 AP1 14（e1 e2 e3）.
A
P1
同理可得 AP2 AP3 14（e1 e2 e3）.
定理1.4.5 如果一组向量中的一部分向量线性相关，那 么这一组向量就线性相关.
证：设有一组向量a1，a2，，as，，a（r s r）其中一部分， 不妨设a1，a2，，as线性相关，即有不全为零的数1，2， ，s，使得1a1 2 a2 s as 0.
则有1a1 2 a2 s as 0as1 0ar 0.因为1，2 ，，s，0，0中至少有一个不是零，所以a1，a2，，ar 线性相关.
2014/10/3
§1.4 向量的 线性关系与向量的分解
一、向量的线性组合 二、共线向量的基底 三、共面向量的基底 四、空间向量的基底
五、向量的线性关系 六、向量线性相关的条件 七、共线向量的条件 八、共面向量的条件
一、向量的线性组合
向量的加法和向量的数乘统称为向量的线性运算. 定义 1.4.1 由向量 a1, a2, , an 与实数 1, 2, , n 所组成的向量
v 2a 2b
共线的充分必要条件是
1 2 0. 1 2
证: u, v 共线的充分必要条件是 存在不全为零的实数
, 使得 u v 0
即
(1 2 )a (1 2 )b 0
所以 1 2 0 1 2 0 这可以看作是一个关于 , 的二元一次方程组 有非零解.
证毕.
2
2
2
HG EF
C
F
G
B
D
E
H
A
3
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例6 用向量法证明:三角形三中线交于一点. . 说明 在△ABC中,G是AD与BE的交点,连接AB的中点F与G及 GC,欲证三中线共点，只须证明:G在中线CF上，从而只须证明
GF与 CG共线
证明： AG GD; BG GE;
CG AG AC AD AC
a 1a1 2 a2 nan ， 叫做向量的线性组合.
当向量 a 是向量 a1, a2, , an 的线性组合时，我们也说：向量 a 可以用向量 a1, a2, , an 线性表示.或者说，向量 a 可以分解成向量 a1, a2, , an 的线性组合.
二、共线向量的基底
定理 1.4.1 如果向量 e 0 ，那么向量 r 与向量 e 共线的充要条件是 r 可以用向量 e 线性表示，或者说 r 是 e 的线性组合，即
r xe 并且系数 x 被 e, r 惟一确定.
这时 e 称为用线性组合来表示共线向量的基底.
证 ：若r xe，则由数乘的定义知r与e共线.
r
，当r与e同向时
反过来，若r与e共线，取x
e
，
r
，当r与e反向时
e
则有r xe.
最后证明x的唯一性.若r xe x'e，则（x x'）e 0， 而r 0，所以x x'.
定义 1.4.2 对于 n 个向量 a1, a2, , an ，如果存在不全为零的 n 个数
1,2, ,n 使得
1a1 2 a2 nan＝0 ，
（1）
那么 n 个向量叫做线性相关，不是线性相关的向量叫做线性无关.
换句话说，向量 a1, a2, , an 叫做线性无关就是指：只有当
1＝2＝ ＝n＝0 时，（1）才成立. 推论 一个向量 a 线性相关的充要条件为 a＝0 .
三、共面向量的基底
定理 1.4.2 如果向量 e1, e2 不共线，那么向量 r 与 e1, e2 共面的 充要条件是 r 可以用向量 e1, e2 线性表示，或者说向量 r 可以分 解成 e1, e2 的线性组合，即
r xe1 ye2 并且系数 x, y 被 e1, e2 惟一确定.
这时 e1, e2 叫做平面上向量的基底.
六、向量线性相关的条件
定理 1.4.4 在 n 2 时，向量 a1, a2, , an 线性相关的充要条件是 其中有一个向量是其余向量的线性组合.
证：设a1，a2 , an线性相关，则（1）成立，且1，2 , n中至少有一
个不是0，不妨设n
0，则有an
1 n
a1
2 n
a2
n-1 n
an-1；
反过来，设a1，a2 , an中有一个向量，不妨设是an可由其余向量线性表出， 即an 1a1 2 a2 n-1an-1，则有1a1 2 a2 a n-1 n-1 （ 1）an 0. 因为1，2,n-1， 1不全为零，所以a1，a2,an线性相关.
若x
x'，则e1
yΒιβλιοθήκη Baidux
y' x'
e2，即e1与e2共线，与定理的假
设矛盾，所以x x'，同理y y'，因此x，y被唯一确定.
四、空间向量的基底
定理 1.4.3 如果向量 e1, e2, e3 不共面，那么空间任意向量 r 可以由向量 e1, e2, e3 线性表示，或者说空间任意向量 r 可以分解成向量 e1, e2, e3 的线性 组合，即
3
A
A
Q M
S
Q
T
B
P
CB
P
C
由条件可知: BC = 2BP, AC = 2AQ.
设AS
=
2 3
AP,
BT
=
2 3
BQ,
往证点S与点T重合, 即AS = AT.
AS 1 AB AC 1 AB 2 AQ 1 AB 2 AB 2 BQ AB BT AT
3
3 3 333
五、向量的线性关系
e2
C
E e1
所以
AP1 AP2 AP3，P1，P2，P3，三点重合.
B
例3. 已知两点A,B 及AB直线上一点 P , 满 足 AP PB（ 1 ). 求证 OP 1 (OA OB). 1
解: 设 P如图所示,则
A
AP PB
P
AP OP OA
B
PB OB OP
o
OP OA (OB OP )
r xe1 ye2 ze3 ，
C
并且其中系数 x, y, z 被
e1, e2, e3, r 惟一确定.
P
向量 e1, e2, e3 叫做空间向量的基底.
E3 e3 r
E1 e1 O e2 E2
B
A
例1 已知三角形OAB,其中OA a, OB b, 而M、N 分别
是三角形OA，OB 两边上的点,且有OM a 0 1 ,
因为OA / /e1, OB / /e2,
B
由定理1.4.1，可设OA xe1，OB ye2，
P
所以，
OP OA OB，
E2
e2
r
即
r xe1 ye2.
O e1 E1
A
反过来，设 r xe1 ye2，若x，y有一个是0， 例如x 0， 则r ye2与 e2共线,从而与e1，e2，共面.
p b n(a b) na (1 n)b
B
因为
a,b 不共线，
b
N
P
所以
(1 m) n, m (1 n).
b O a
p
M
a
A
解得
m (1 ) , n (1 ) .
1
1
所以
p (1 ) a (1 ) b. 1 1
例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.
推论 一组向量如果含有零向量，那么这组向量必线性相关.
4
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七、共线向量的条件
定理 1.4.6 两向量共线的充要条件是它们线性相关.
证：设两向量 a，b，若它们线性相关，则有 a b 0， 且，不全为零，不妨设 0，则有a b，即a，b共线.
反过来，由a，b共线，若b 0，则存在x，使得 a xb，即a xb 0，a，b线性相关；若b 0，a，b 显然线性相关.
1
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证：因为e1，e2不共线，所以有e1 0，e2 0.
设r与e1，e2共面，若r与e（1 或e2）共线，由定理1.4.1，有 r xe1 ye2，其中y （0 或x 0）.
若r 与e1，e2都不共线，把它们归结到共同的起点O, 并设OEi e（i i 1，2）, OP r，过P分别作OE2，OE1 的平行线并交OE1，OE2于A，B.
2
1 2
(4a
5b )
1
q,
2
p
//
q.
例 7 设 OPi ri (i 1, 2, 3) ，试证 P1, P2, P3 三点共线的充要条件 是存在不全为零的实数 1,2,3 使得 1r1 2 r2 3 r3 0 ，且 1 2 3 0 .
证：设P1，P2，P3三点共线，那么P1 P3，P2 P3共线从而 线性相关，所以存在不全为0的实数m，n，使得
5
=
1
(
1 AB AC)
AC
1 2
=
2(1
）AB
2(1
2）AC
CG BG BC BE BC 1
= ( AE AB) BC 1
= (1 AC AB) ( AC AB) 1 2
= 1 AB ( 1)AC
1
2(1 ）
AB与AC不共线;
2(1
）=
1
1
2(1
八、共面向量的条件
定理1.4.7 三向量共面的充要条件是它们线性相关. 定理1.4.8 空间任何四个向量总是线性相关.
推论 空间四个以上向量总是线性相关.
例6
设
p
a
b
5
1
b
b
3a
,
q
4a
5b ,
2
5
试证明:
p
//
q.
证明:
p
(1
5
3)a 5
1
5 2
5
1 5
b
2a
5
b
ON b 0 1，设AN 与BM 相交于P ，试把向量
OP p 分解成a 、b 的线性组合。
B b
N
P
解： p OM MP, p ON NP
b p
O a
Ma
A
设 MP mMB m(b a), NP nNA n(a b)
所以 p a m(b a) (1 m)a mb,
e2
=
|
e2
|
e1
|
e1
|
e2
1 | e1 |
| e1 | | e2 |
| e2 |
例5 试用向量方法证明：空间四边形相邻各边中点 的连线构成平行四边形.
证: 只要证 HG EF
EF EB BF 1 AB 1 BC 1 AC
2
2
2
HG HD DG 1 AD 1 DC 1 AC
若xy 0，则xe1 / /e1, ye2 / /e2,由向量加法的平行四边 形法则可知 r与xe1，ye2共面，从而有r 与 e1，e2共面.
最后证明x，y由 e1，e2，r 唯一确定.如果
r xe1 ye2 x'e1 y'e2 ,
则
（x x' )e1 ( y y' )e2 0.
证 设四面体ABCD一组
对边AB, CD的中点E, F的连
D
线为EF , 它的中点为P1, 其余
两组对边中点连线的中点分
别为P2 , P3, 下只需证P1, P2 , P3
e3
F
三点重合就可以了.
P1
e2
C
A
E
e1
B
2
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取不共面的三矢量AB e1, AC e2, AD e3, 先求 AP1用e1，e2，e3线性表示的关系式.
A
得
OP
1 (OA OB). 1
B
p
例4 在ABC 中,设 AB e1, AC e2
(1) 设D,E 是BC 边 三等分点,将矢量 AD, AE 分解为 e1, e2 的线性组合
解（1）
BC
AC
AB
e2
e1 ,
BD
1 3
BC
1 3
e2 e1
AD
AB
BD
1 3
e2
e1
1 3
e1
2 3
e1
1 3
m P1P3 nP2P3 0，
即
m（r3 r1） （n r3 r2） 0，
整理可得
mr1 nr2 （m n）r3 0，
令1 m，2 n，3 （ m n），则有1，2，3 不全为0，使
1 r1 2 r2 3 r3 0且1 2 3 0.
例8 设 a , b 是两个不共线的矢量, 证明矢量 u 1a 1b ,
e2
同理
AE
2 3
e2
1 3 e1
(2) 设 AT是角A的平分线(它与 BC交于T 点),将 AT 分解
,
为 e1, e2 的线性组合
解： 因为 | BT | = | e1 | | TC | | e2 |
且 BT与TC方向相同
所以 BT＝| e1 | TC
| e2 |
所以
AT
=
e1
| |
e1 e2
| |