数学建模案例分析2 随机存储模型--概率统计方法建模

§2 随机存储模型

模型一、销售量为随机的存储模型

报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖出的报纸退回。如果购进报纸太少不够卖，会少赚钱；如果购进太多买不完，将要赔钱。报童应如何确定每天购进的报纸数量，以求获得最大的收入。

模型假设1、报纸每份购进价b ，零售价a ，退回价c ，且c b a >>

2、市场需求量是随机的，报童已通过经验掌握了需求量r 的随机规律，r 视为连续随

机变量，其概率密度函数)(r p 。

模型建立 记 n —每天购进量，报童每天的收入R 是n 的函数

()()()()()⎩

⎨⎧>----≤-=r n r n c b r b a r n n b a n R ,, 但目标函数不应是报童每天的收入，而应是他长期卖报的日平均收入。从大数定律的观点看，这相当于每天收入的期望值，即日平均收入：

()()()()[]()()()⎰⎰∞-+----=n n dr r p n b a dr r p r n c b r b a n G 0 ()()()()()()()()⎰⎰∞-+-----=n n dr r p b a n np b a dr r p c b n np b a dn dG 0 ()

()()()⎰⎰∞-+--=n n

dr r p b a dr r p c b 0 令0=dn

dG ，得到 ()()c b b a dr r p dr

r p n n

--=⎰⎰∞

又因为()10=⎰∞

dr r p ，上式又可表示为 ()c

a b a dr r p n

--=⎰0 （1） 使报童平均日收入最大购进量n 由（1）确定

评注 由()()c b b a dr r p dr r p n

n --=⎰⎰∞0，()⎰=n

dr r p p 01是卖不完的概率， ()⎰∞

=n dr r p p 2是卖完的概率。上式表明，购进的份数应使卖不完与卖完的概率之比等于卖出一份赚的钱b a -与退回一份赔的钱c b -之比。

模型二、到货时间为随机的存储模型

模型假设1、商品订货费1c ，每件商品单位时间的储存费为2c ，缺货费3c ，单位时间需求量为r ；

2、当储存量降至L 时订货，订货量使下周期初的储存量达到固定值Q ；

3、交货时间x 是随机的，如下图中的,...,21x x ，设x 的概率密度函数()x p 。 模型建立

为使总费用最小，选择合适的目标函数建立模型，确定最佳订货点L 。

t

由储存量()t q 的图形可写出一个订货周期内的储存量和缺货量分别为

()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<--=r L x r

Q r L x r rx L Q t q ,2,2222 ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<=r L x r L rx r L x t q ,2,02 于是得到一个订货周期的平均费用为

()()()()()⎰⎰∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++--+=r

L r L dx x p r L rx c r Q c dx x p r rx L Q c c L c 0

23222221222 目标函数应取为单位时间的平均费用()L S ，由于订货周期的平均长度为

()()x E r L Q L T +-=

这里()()⎰+∞

=0dx x xp x E

所以 ()()()

L T L c L S = 由0=dL

dS ，可以解出最佳订货点*L 满足方程 ()()

()x rE Q L c L c L +='-**

*