线性方程组的求解方法与应用

湖北民族学院理学院2016届
本科毕业论文(设计) 线性方程组的求解方法及应用
学生姓名：付世辉学号： 0
专业：数学与应用数学指导老师：刘先平
答辩时间：装订时间：
A Graduation Thesis (Project)
Submitted to School of Science, Hubei University for
Nationalities
In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree
In the Year of 2016
The calculation method and application of the system of linear equations
Student Name: Fu Shihui Student No.: 0 Specialty:Mathematics And Applied Mathematics Supervisor: Liu Xianping
Date of Thesis Defense:Date of Bookbinding:
摘要
线性方程组在数学领域中的应用非常广泛，是线性代数的主要内容之一. 矩阵及其基本理论是学习线性代数的一种基本工具，矩阵的初等变换则是线性方程组求解的工具. 线性方程组常用的求解方法有一般消元法、克拉默法则、LU分解法等一系列方法，根据问题的不同，我们在求解的过程中选择的方法也就多种多样. 这些方法可以很好地解决线性方程组的求解问题，在求解过程中，向量和矩阵起着一个不可或缺的作用. 在线性方程组的应用方面，除了跟数学理论知识有着密不可分的联系，还和我们的实际生活联系的极其紧密.
关键词：线性方程组，矩阵，初等变换，克拉默法则，LU分解法
Abstract
Linear equations are widely used in the field of mathematics and they are the main contents of linear algebra. The Matrix and its basic theory are basic tool for learning linear algebra, the elementary transformation of the matrix is the tool of the solution of the linear equations, the commonly used methods of solving linear equations have the general elimination method, Gramer, the LU decomposition method and so on, is according to the problem, we choose one from a variety of method in the process of solving. These methods can solve the problem solving linear equations, vectors and matrices play integral roles in the process of solving. In the application of linear equations, it has not only a close link to the knowledge of mathematical theory, but also very close to our real life.
Keywords: linear equations, matrix, elementary transformation, Gramer, the LU decomposition method
目录
摘要 ................................................................. Abstract (I)
1 绪言 (1)
课题背景 (1)
课题研究的目的和意义 (1)
国内外概况 (1)
2 预备知识 (2)
线性方程组 (2)
线性方程组的定义 .............................. 错误!未定义书签。

线性方程组有解判别定理 (2)
线性方程组解的结构 (3)
齐次线性方程组的性质 (3)
基础解系及其存在性 (4)
一般线性方程组的解的结构 (5)
3 线性方程组的求解方法 (5)
一般消元法 (5)
克拉默法则 (5)
克拉默法则求解具备的条件 (5)
克拉默法则 (6)
LU分解法 (9)
4 线性方程组的应用 (13)
线性方程组在几何学中的应用 (13)
线性方程组在高次方程理论中的应用 (14)
线性方程组在化学中的应用 (15)
5 总结与展望....................................................................... .. (16)
致谢 (17)
参考文献 (18)
1 绪言
本课题阐述与线性方程组有关的求解方法及其广泛应用，线性方程组是贯穿大学
线性代数的一个重要工具,它是贯穿向量、矩阵的桥梁. 国内外许多著名的数学学家
对线性方程组也做了不少的研究，并且取得了显著的科研成果.
课题背景
线性代数是大学数学代数学科的一个重要分支，早在中世纪就开始了对线性代数
的研究. 而方程组理论则是代数学发展的一个重要方向，也是代数学的核心内容之一. 关于线性方程组的求解，在中国历史上很早以前就进行了研究.对线性方程组的研究，
最早记录在公元初《九章算术》中，远远早于欧洲.大学所学高等代数中求解线性方
程组是用一些比较基本的方法，在解决一些比较复杂的问题上有一定的局限性. 本文
主要运用了一般消元法、克拉默法则、LU分解法等解法.针对不同的问题，我们解
决这些问题所选择的方法也不尽相同，这些相关的问题都需要我们去解决. 在现代科
学计算中的许多问题，例如生活中的营养搭配问题、电路问题均与线性方程组的求解
有关.
课题研究的目的和意义
课题研究的意义：
(1) 给出线性方程组的一些求解方法，使读者对线性方程组有更深层次的了解；
(2) 线性方程组的应用与我们的生活息息相关，特别是与我们的饮食健康、经济
平衡联系的比较紧密，我们可用它解决生活中的一些基本问题。

国内外概况
对于线性方程组求解方法的研究，国内外许多著名的数学学家对此作出了不少的
贡献.随着科学技术的进步，数学已经渗入到各学科之中，甚至渗入到我们的日常生
活中. 而我们所学线性方程组的理论知识，则是源自许多著名的国内外学家的著作.
在实际生活中，我们需要确定所需目标，并对此目标作出一系列的决策，这些决策中
的关键要素就是我们重点研究的对象.。

2 预备知识
线性方程组的定义
形如
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.
q y p y p y p
,q y p y p y p ,q y p y p y p s n sn 22s 11s 2n n 22221211n n 1212111 （） 的方程组的叫做线性方程组.
其中，n y y y 21,代表n 个未知量，s 是方程的个数，()n j s i p ij 2,1,2,1==称为方程组的系数，()s j q j 2,1=称为常数项；系数ij p 的第一个指标i 表示它在第i 个方程，第二个指标j 表示它是j x 的系数.
常记为
Q Py =.
其中
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=sn s s n n p p p p p p p p p P 2122221
11211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s q q q Q 21 当线性方程组的右端全为零时，该线性方程组就称为齐次线性方程组；
当线性方程组的右端不全为零时，该线性方程组就称为非齐次线性方程组.
线性方程组有解判别定理
定理 线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.
q y p y p y p
,q y p y p y p ,q y p y p y p s n sn 22s 11s 2n n 22221211n n 1212111 有解的充分必要条件是它的系数矩阵
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=sn s s n n p p p p p p p p p P 21
22221
11211 与它的增广矩阵
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-s sn s s n n q q q p p p p p p p p p P 2121
2222111211 有相同的秩.
证明：不妨先引入向量 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s sn n n n s s q q q Q p p p P p p p P p p p P 2121222122121111,,,, （） 于是定理中的线性方程组就可以写成
Q y P y P y P n n =++ 2211 （）
很明显，该线性方程组有解得充要条件是向量Q 可以由向量组n P P P ,,,21 线性表出，
定理证明过程如下：
必要性 假设该线性方程组有解，那么就是说向量Q 是向量组n P P P ,,,21 的线性组合，
从而可以得到n P P P ,,,21 与向量组Q P P P n ,,,,21 等价，又已知等价的向量组有相同的秩，故这两个向量组有相同的秩. 并且这两个向量组分别是系数矩阵P 与增广矩阵-
P 的列向量组. 所以，系数矩阵P 和增广矩阵P 有相同的秩.
充分性 假设系数矩阵P 与增广矩阵-P 有相同的秩，那么它们的列向量组n P P P ,,,21 与Q P P P n ,,,,21 有相同的秩，不妨让它们的秩都等于r .n P P P ,,,21 中的极大线性无关
组是由r 个向量组成的，可以假设r P P P ,,,21 是它的一个极大线性无关组，
故向量Q 可以由Pr ,,,21 P P 线性表出，再加上n r r P P P
,,,21 ++等r n -个线性无关的向量，可以知道向量Q 可以经n P P P ,,,21 线性表出. 所以，该线性方程组有解.
证毕 线性方程组解的结构
在上一节，我们解决了线性方程组有解的判别条件之后，我们这一节还需要探讨
一下线性方程组解的结构.
齐次线性方程组的性质
对于齐次线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.
0y p y p y p
,0y p y p y p ,0y p y p y p n sn 22s 11s n n 2222121n n 1212111 （） 它的解所构成的集合有以下两个重要性质：
性质1:两个解的和还是方程组的解.
假设()n 21a ,,a ,a 与()n 21b ,,b ,b 是该线性方程组的两个解. 即将这两个解代入
到方程组中，每个方程都变成了恒等式.
01=∑=n
j j ij a p , ),,2,1(s i =
01=∑=n
j j ij b p , ),,2,1(s i =
将这两个解的和
()n n b a b a b a +++,,,2211
代入到该线性方程组中，可以得到
()=+∑=n 1j j j ij b a p +∑=n 1j j ij a p 000b p n
1j j ij =+=∑= )s ,,2,1i ( =. （）
这就说明了两个解的和还是方程组的解.
证毕
性质2：一个解的倍数还是方程组的解.
设()n 21a ,,a ,a 是该线性方程组的一个解，则有
0a p n 1
j j ij
=∑= )s ,,2,1i ( =. （） 将这个解的c 倍代入到方程组中，就可以得到 ()00c a p c ca p n 1j j ij
n 1j j ij =⨯==∑∑== )s ,,2,1i ( =. （）
这就说明了一个解的倍数还是方程组的解.
证毕
基础解系及其存在性
（1）如果满足
a.方程组的任意一个解可以表示成n P P P ,,,21 的线性组合；
b.n P P P ,,,21 线性无关.
那么这组解n 21P ,,P ,P 就称为齐次线性方程组的一个基础解系.
（2）在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含 有的解的个数等于r n -，这里r 表示的是系数矩阵的秩.
一般线性方程组的解的结构
（1）线性方程组的两个解的差是它的导出组的解；
（2）线性方程组的一个解与它的导出组的一个解之和还是这个线性方程组的一个解；
（3）在方程组有解的情况下，解是唯一的充要条件是它的导出组只有零解.
3 线性方程组的求解方法
一般消元法
例 求消元法求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-.10y 4y 2y 4,8y 10y 4y 8,2y 6y 2y 4321
321321
解：下面对这三个方程进行加减运算从而达到消元的目的.
第二个方程减去第一个方程的2倍，得
4y 2y 832=-,
第三个方程减去第一个方程得
8y 2y 432=-,
将第一个方程、第四个方程、第五个方程综合起来就得到一个新的方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧.8y 2y 4,4y 2y 8,2y 6y 2y 43232321=-=-=+-
再分别对这个方程组中的第二个和第三个方程进行加减运算，即第二个方程减去第三个方程的2倍就可以得到
⎪⎩
⎪⎨⎧-==-=+-.122,824,2624332321y y y y y y 可以解出
⎪⎩⎪⎨⎧-=-==.6y ,1y ,9y 3
21
从而原方程组的解为（9，-1，-6）.
一般消元法用来计算一些比较简单的线性方程组，是最简单最直接最有效的方法，它的基本思想就是将方程进行加减和代入运算，要转换成矩阵的行初等变换来求解.
克拉默法则
克拉默法则求解具备的条件
利用克拉默法则求解线性方程组时需要具备两个条件：
（1）线性方程组的方程个数必须与未知量的个数相等；
（2）线性方程组的系数行列式不等于零.
克拉默法则
设含有n 个未知数的线性方程组的系数行列式
Q =
nn
n n n n
p p p p p p p p p
21
2222111211
≠ （） 则该线性方程组有解，且只有唯一解，其解可以表示为
Q
Q y ,,Q Q y ,Q Q y n n 2211===
（）
其中),,2,1(n j Q j =是把系数行列式Q 中第j 列的元素用常数项n b b b ,,21代替后所得到的n 阶行列式，即
nn
j n n
j n n n j j n j j j p p b p p p p b p p p p b p p Q
1
,1,121,221,22111,111,111+-+-+-=
n j ,2,1= （）
定理中包含着三个结论：
)1(方程组有解；
)2(解是唯一的； )3(解由公式给出.
下面来证明一下克拉默法则： 证明：1.该线性方程组简写成
n i b y p
n
j i j ij
2,1,1==∑=. （）
首先需要证明（）是（）的解. 将（）代入到第i 个方程，那么左端就为
∑∑===n
j j ij n
j j
ij Q p Q Q Q p 111.
（）
由于 ∑==++=n
s sj s nj n j j j A b P b P b P b Q 1
2211 .
故有 ∑∑∑====n
1j n
1
s sj s ij n 1j j ij P b p Q 1Q p Q 1
=∑∑==n 1s s n
1j sj ij b )P p (Q 1
=
i i b Qb Q
1
=. 这就与第i 个方程的右边是一致的，故（）是该线性方程组的解. 2.假设)c c ,c (n 21 是该线性方程组的一个解，那么就有那个恒等式
n ,,2,1i ,b c p n
1
j i j ij ==∑=. （）
下面证明Q
Q c k
k =
，不妨取矩阵中第k 列元素的代数余子式nk k 2k 1P ,,P ,P ，再用他们乘上面这n 个恒等式，就可以得到 ∑===n
1
j ik i j ij ik n ,,2,1i ,P b c p P .
将它们加起来，就可得
∑∑∑====n
1
i n
1
j n
1
i ik i j ij ik P b c p P . （）
再来看（）的左边，
∑∑∑∑=====n 1
i n 1
j n 1i n
1
j j
ik
ij j
ij ik
c
P p c p P
=∑∑==n 1
j j n
1
i ik ij c )P p (.
已知
∑=⎩
⎨⎧≠==n
1j ik ij .k j ,0,
k j ,Q P p 当当
故有 .Qc c P p k j n
1j n 1i ik ij =⎪⎭⎫
⎝⎛∑∑==
就可得 .n ,,2,1k ,Q
Q c k
k ==
即方程组的一个解为)c ,,c ,c (n 21 ，它必为
⎪⎭⎫
⎝⎛Q Q ,,Q Q ,Q Q n 21
故方程组最多有一组解.
证毕
例 用克拉默法则解线性方程组：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-+-=+--=++-=++-.
4y y 3y y 3,3y 2y y y 3,5y 2y 3y 3y 3,6y 2y 3y y 2432143214
3214321 解：该线性方程组的系数行列式为
0701********
3332
312Q ≠-=------=
， 070131
4
21132
3352
3
1
6Q 1≠-=------=
， 0701********
3532
3
6
2Q 2≠-=--=
， 0701
41323
132
5332
6
12
Q 3≠-=-----=
， 0704
3
1
3
31135
3336
3
1
2Q 4≠-=-----=
，
从而该线性方程组的唯一解为
1,1,1,144332211========
Q
Q
y Q Q y Q Q y Q Q y . （） 克拉默法则只适用于系数行列式不等于0的线性方程组，那么对于系数行列式为0的情况就不能用克拉默法则解题了，克拉默法则主要在于理论上的应用.
定理 如果齐次线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.
0y p y p y p ,0y p y p y p ,0y p y p y p n nn n 2n n 1n n
n 2222221n n 1212111 （）
的系数矩阵的行列式，那么它只有零解. 即，如果该齐次线性方程组有非零解，那么必然有0Q =. 下面来证明一下定理：
证：对该齐次线性方程组应用克拉默法则，因为行列式j Q 中有一列全为零，则有
.0Q Q Q n 21==== （）
故它的唯一解为()0,0,0 . 从而定理得证.
例 求λ在什么条件下，方程组
()()⎩
⎨
⎧=+λ+=λ++.0x x 1,
0x 1x 2121 有非零解.
解:根据定理，若该齐次线性方程组有非零解，那么系数矩阵的行列式 ()
,01
1112=λ+λ-=λ
+λ+
故1,021-=λ=λ.
可以验证当1021=λ=λ或时，该齐次线性方程组确有非零解.
克拉默法则在计算一些基本的线性方程组是可行的，但是对于n 个未知量n
个方程的线性方程组就必须得计算1+n 个n 级行列式，相对而言计算量非常大.
LU 分解法
LU 分解法，又称三角形分解法，是求解线性方程组的重要方法之一. 当方程组
左边的系数矩阵不变，仅仅是方程组右边列向量发生改变，能够很好地求解方程组.
设n 阶线性方程组为
.Q Py =
若可以将方程组左边的系数矩阵P 分解成两个三角阵的乘积，即可以写成LU P =，其中，L 为主对角线以上的元素均为零并且主对角线元素均为1的下三角矩阵，U 为主对角线以下的元素均为零的上三角矩阵。

⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n nn n n n n U U U U U U L L L P P P P P P
P P P
222112112
1
21
2122221
11211111 故有
Q LUy =，
令
x Uy =，
则有
Q Lx =.
由LU P =，由矩阵的乘法公式：
,n ,,2,1j ,U P j 1j 1 ==
,n ,,2,1i ,U L P 111i 1i ==
推出
,n ,2,1j ,P U j 1j 1 == ,n ,,2,1i ,U P L 11
1
i 1i ==
这样就可以确定出U 的第一行元素和L 的第一列元素. 以此类推，设已经确定了U 的第1-k 行元素和L 的第1-k 列元素，由矩阵乘法：
∑==n
1
r rj k r k j U L P .
当k r >时，有1,0==rr kr L L ，因为
∑=+=n
r rj kr kj kj U L U P 1
.
所以
∑=-=n
r rj kr kj kj U L P U 1
n ,,1k ,k j +=,
同理可以求出L 的第k 列的公式：
kk
n
r rj
kr ik ik U U L P L ∑=-=
1 n k k i ,,1, +=,
所以可以得到如下算法——杜利特（Doolittle ）算法： （1）将矩阵分解为n ,2,1k ,LU P ==对
∑=-=n
r rj kr kj kj U L P U 1 ,n ,,1k ,k j +=
kk
n
r rj
kr ik ik U U L P L ∑=-=
1
,n ,,1k ,k i +=
1L k k =. （2）解Q Lx =
n ,,2,1k ,x L Q x 1
k 1r r k r k k =-=∑-=.
（3）解x Uy =
1,,1n ,n k ,U x U
x y k k
n
1
k r r
k r
k k -=-
=
∑+=.
LU 分解法的证明过程如下： 证明:
对n n P ⨯，当1=n 时上述结论显然成立.
假设当1-=k n 上述结论成立，现证明k n =时结论成立.
对A 进行分块得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-nn 1n p C Q P P ，令⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=---1CP E L 11n 1n 1，易得.Q CP p 0Q P L P 11n nn 1n 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---
其中Q Q CP P 1
1n nn =---.已知对1k P -成立1k P -22U L =,其中2L 为单位下三角矩阵2U 为非奇
异上三角矩阵，于是
.q L U 100L L q 0
Q U L L P 1
2
2
212
21⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=-
令L =⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛10
021L L ,=U ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-q L U 122
，显然易见L 为单位下三角矩阵，U 为非奇异上三角矩阵.
例 求解方程组
.4722239y y y y 40115618962569262
424321⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
解：由上面的分解法第一步的公式可得出
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1233121121L ， ⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=1633216242U 于是可以化为两个方程组
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛472223912331211214321x x x x ， ⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛432143
211633216242x x x x y y y y . 利用第二步和第三步的公式可得出该线性方程组的解为
()()T
T
y x 1,3,2,5,1,3,5,9-=-=.
4 线性方程组的应用
线性方程组的应用包括理论和实际方面的应用，下面我们来介绍一下它的具体应用. 线性方程组在数学理论的应用还是很广泛的，特别在解析几何、代数上有重要的应用. 我们可以用齐次线性方程组来解决初等数学的一些基本问题，应用起来可以适当避免一些繁琐的过程.
线性方程组在几何学中的应用
定理
任意三点不在同一直线上的不同四点
i Q ()i i b a , ()4,3,2,1=i
共圆的充分必要条件是
01
11
144
24
24332
32
322
2
2
22112
121=++++b a b a b a b a b a b a b a b a . 证明：先证必要性：
我们假设()i i i b a Q ,()4,3,2,1=i 在圆()022=++++F Eb Da b a A ()0≠A 上，那么我们就可以将这四个点带入到圆方程中去,就可以得到
()()()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++.
0F Eb Da b a A ,0F Eb Da b a A ,
0F Eb Da b a A ,0F Eb Da b a A 442424332
323222
222112
121 我们已知0≠A ，故此方程组是关于F E D A ,,,的齐次线性方程组，它必有非零解，从而可以知道它的系数行列式等于零，即
01
11144
24
243323232222
22112
121=++++b a b
a b a b a b a b a b a b a .
从而必要性得证. 再证充分性： 如果
01
11144
24
243323232222
22112
121=++++b a b
a b a b a b a b a b a b a ，
那么关于F E D A ,,,的齐次线性方程组
()()()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++.
0F Eb Da b a A ,0F Eb Da b a A ,
0F Eb Da b a A ,0F Eb Da b a A 442424332
323222
222112
121 就会存在非零解. 我们可以假设()1111,,,F E D A 是该齐次线性方程组的一组非零解. 又已知四点中任意三点都不共线，那么可以假设01≠A ，否则的话111,,F E D 不同时为零,从而导致三点共线. 即可得出这四个点都在圆()0111221=++++F b E a D b a A ()01≠A 上，充分性得证。

从而该定理得证。

线性方程组在高次方程理论中的应用
定理
若d c b a ,,,为互不相等的四个实数，则四个方程
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++.0c bx ax dx ,0b ax dx cx ,
0a dx cx bx ,0d cx bx ax 232
32
323 没有公共实根。

证明：我们可以用反证法进行证明.
假设这四个方程有公共实根0x ，那么关于d c b a ,,,的齐次线性方程组就会有一组非零解，即
01
11130
20
2030
020
30
2030
=x
x x x x
x x x x x x x .
可以得到10-=x ，将10-=x 带入到原方程组中，就可以得到c b =，这与已知d c b a ,,,互不相等矛盾，从而可以得出这四个方程没有公共实根.
线性方程组在化学中的应用
线性方程组在化学中的应用也比较广泛，特别是配平化学方程式，根据守恒规律，可得出相应的方程，从而求解出方程组的解，就可以配出化学方程组的系数了. 例 在高温条件下，一氧化碳可以还原四氧化三铁生成单质铁和二氧化碳，请配平该化学方程式
243CO Fe O Fe CO +→+
解：为了配平该化学方程式，我们不妨假设反应物和生成物的量分别为4321,,,x x x x ，根据守恒定律，各原子的数目在发生化学反应前后保持不变，则
根据铁原子守恒，有
233x x =,
根据碳原子守恒，有
41x x =,
为了平衡氧原子，有
42124x x x =+,
将这三个式子综合起来并进行移项，就可以得到
⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=-=-.
0x 2x 4x ,
0x x ,0x 3x 421
4123 由于方程的个数少于未知量的个数，我们可以知道该线性方程组必定有非零解，且每一个分量必须为正数解，简化其增广矩阵就有
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=010400013000041020410100100130B .
我们将2x 取作自由未知量，就有
⎪⎩⎪
⎨⎧===.
x 4x ,x 3x ,
x 4x 24
2321 特别地，取
,1x 2=
此时可求出
.4x ,3x ,4x 431===
此时化学方程式有以下形式：
243434CO Fe O Fe CO +→+
5 总结与展望
本文系统介绍了线性方程组相关的知识，主要有两大模块：求解方法和应用.线性方程组求解比较常见的方法有一般消元法、克拉默法则、LU分解法等方法，对这三种方法我们分别进行了举例以便于理解，在其应用方面，我们分为了理论应用和实际应用，并进行了举例.
关于线性方程组的求解方法，本文只列举了三种，还有其它的一些方法并没有引用进来，有待进一步了解.关于线性方程组的应用，还有其它方面的应用，比如电路问题、营养搭配问题、维他命的配方等等都可以列举相关的例子.
致谢
在论文完成之际，我要特别感谢刘先平老师给予我无私的指导，然后根据老师的指导进行修改.
在论文写作的这段时间里，我碰到了各种各样的障碍，包括论文选题、论文写作等方面，在论文写作这方面我还是显得经验不足，有待进一步加强.
在这里，我还要感谢各位老师和同学们给我无私的帮助，正是各位老师和同学们兢兢业业的指导个帮助之下，我才能够顺利完成本论文.
由于本人学识是有限的，加之时间非常仓促，文中不免有错误和待改进之处，真诚欢迎各位师长、同行提出宝贵意见.
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