线性方程组的求解方法与应用

湖北民族学院理学院2016届

本科毕业论文(设计) 线性方程组的求解方法及应用

学生姓名：付世辉学号： 0

专业：数学与应用数学指导老师：刘先平

答辩时间：装订时间：

A Graduation Thesis (Project)

Submitted to School of Science, Hubei University for

Nationalities

In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree

In the Year of 2016

The calculation method and application of the system of linear equations

Student Name: Fu Shihui Student No.: 0 Specialty:Mathematics And Applied Mathematics Supervisor: Liu Xianping

Date of Thesis Defense:Date of Bookbinding:

摘要

线性方程组在数学领域中的应用非常广泛，是线性代数的主要内容之一. 矩阵及其基本理论是学习线性代数的一种基本工具，矩阵的初等变换则是线性方程组求解的工具. 线性方程组常用的求解方法有一般消元法、克拉默法则、LU分解法等一系列方法，根据问题的不同，我们在求解的过程中选择的方法也就多种多样. 这些方法可以很好地解决线性方程组的求解问题，在求解过程中，向量和矩阵起着一个不可或缺的作用. 在线性方程组的应用方面，除了跟数学理论知识有着密不可分的联系，还和我们的实际生活联系的极其紧密.

关键词：线性方程组，矩阵，初等变换，克拉默法则，LU分解法

Abstract

Linear equations are widely used in the field of mathematics and they are the main contents of linear algebra. The Matrix and its basic theory are basic tool for learning linear algebra, the elementary transformation of the matrix is the tool of the solution of the linear equations, the commonly used methods of solving linear equations have the general elimination method, Gramer, the LU decomposition method and so on, is according to the problem, we choose one from a variety of method in the process of solving. These methods can solve the problem solving linear equations, vectors and matrices play integral roles in the process of solving. In the application of linear equations, it has not only a close link to the knowledge of mathematical theory, but also very close to our real life.

Keywords: linear equations, matrix, elementary transformation, Gramer, the LU decomposition method

目录

摘要 ................................................................. Abstract ............................................................... I 1 绪言 .. (1)

课题背景 (1)

课题研究的目的和意义 (1)

国内外概况 (1)

2 预备知识 (2)

线性方程组 (2)

线性方程组的定义 .............................. 错误!未定义书签。

线性方程组有解判别定理 (2)

线性方程组解的结构 (3)

齐次线性方程组的性质 (3)

基础解系及其存在性 (4)

一般线性方程组的解的结构 (5)

3 线性方程组的求解方法 (5)

一般消元法 (5)

克拉默法则 (5)

克拉默法则求解具备的条件 (5)

克拉默法则 (6)

LU分解法 (9)

4 线性方程组的应用 (13)

线性方程组在几何学中的应用 (13)

线性方程组在高次方程理论中的应用 (14)

线性方程组在化学中的应用 (15)

5 总结与展望....................................................................... .. (16)

致谢 (17)

参考文献 (18)

1 绪言

本课题阐述与线性方程组有关的求解方法及其广泛应用，线性方程组是贯穿大学

线性代数的一个重要工具,它是贯穿向量、矩阵的桥梁. 国内外许多著名的数学学家

对线性方程组也做了不少的研究，并且取得了显著的科研成果.

课题背景

线性代数是大学数学代数学科的一个重要分支，早在中世纪就开始了对线性代数

的研究. 而方程组理论则是代数学发展的一个重要方向，也是代数学的核心内容之一. 关于线性方程组的求解，在中国历史上很早以前就进行了研究.对线性方程组的研究，

最早记录在公元初《九章算术》中，远远早于欧洲.大学所学高等代数中求解线性方

程组是用一些比较基本的方法，在解决一些比较复杂的问题上有一定的局限性. 本文

主要运用了一般消元法、克拉默法则、LU分解法等解法.针对不同的问题，我们解

决这些问题所选择的方法也不尽相同，这些相关的问题都需要我们去解决. 在现代科

学计算中的许多问题，例如生活中的营养搭配问题、电路问题均与线性方程组的求解

有关.

课题研究的目的和意义

课题研究的意义：

(1) 给出线性方程组的一些求解方法，使读者对线性方程组有更深层次的了解；

(2) 线性方程组的应用与我们的生活息息相关，特别是与我们的饮食健康、经济

平衡联系的比较紧密，我们可用它解决生活中的一些基本问题。

国内外概况

对于线性方程组求解方法的研究，国内外许多著名的数学学家对此作出了不少的

贡献.随着科学技术的进步，数学已经渗入到各学科之中，甚至渗入到我们的日常生

活中. 而我们所学线性方程组的理论知识，则是源自许多著名的国内外学家的著作.

在实际生活中，我们需要确定所需目标，并对此目标作出一系列的决策，这些决策中

的关键要素就是我们重点研究的对象.。