对流扩散化学反应动力学方程的简化特征线解法
对流扩散方程解析解
对流扩散方程解析解对流扩散方程是一种时空连续的偏微分方程，用来描述包括物理场、热力学场等复杂的时空连续的系统的变化，它的应用非常广泛，涉及地质、海洋、流体力学、化学、生物学等领域，在物理学和数学领域也有广泛的应用。
对流扩散方程最早由瑞士数学家、物理学家和社会理论家埃德加勒索维茨（Ernst Le Saux）发现于20世纪50年代初，他首次提出了独立变量表示温度、浓度、压强等量的方程，开创了流体力学的新时代，使研究者能够更精确地描述物质在自然界中怎样运动和分布。
对流扩散方程有两种解：解析解和数值解。
解析解可以利用偏微分方程的精确解决方案，而数值解可以基于一定的算法，将偏微分方程拆分为一组数学问题来求解。
在研究和模拟流体力学过程方面，这两种方法都有其独特的优势。
解析解的优势在于它可以用更简单的数学方法来求解对流扩散方程。
解析解是由正则运动的对流、扩散和反应可以分解为普朗克方程，从而得到精确的解析解。
解析解可以更容易地揭示出物理性质，但它受限于求解复杂偏微分方程的可行性。
数值解的优势在于它可以更容易地求解复杂的偏微分方程，但由于数值近似的取样和数据处理，它不能得到物理问题的准确的解析解，它只能解决特定条件下的偏微分方程，其结果可能不如解析解的精确。
基于上述分析，求解复杂的对流扩散方程，解析解和数值解可配合使用，以求得更全面的解决方案。
首先，利用解析解可以求得对流扩散方程的精确解，但解析解有可求性和可行性的限制，因此，利用数值解可以求得更为准确的解，可以克服解析解的缺点，求得更全面的解决方案。
其次，可以利用数值解和解析解混合的方式，有效解决对流扩散方程的高精度求解，同时兼顾正确性和可行性。
最后，通过使用数值模拟计算的结果，可以更加直观地得到问题的物理结果，并可以结合解析解的结果，更好地揭示物理规律，为解决有关的实际问题提供更有效的方法。
综上所述，对流扩散方程的解析解和数值解是一种有效的解决方案，既可以提供精确的解决方案，又可以克服解析解的缺点，从而使研究者能够更加准确地描述和模拟物质在自然界中的运动和分布。
对流扩散化学反应动力学方程的简化特征线解法
６结论
（１）计算结果反映了化学反应规律．其离集指数也与实验结果的规律基本符合： （２）本文的算法克服了由于对流速度过大引起的虚假摆动．计算结果很稳定： （３）初步探讨了旋转填充床内的微观混合反应过程，为进一步研究打下了基础。
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参考文献：
ＡＩｅｘａｎｄｅｒ Ｎ，ＢＲＯＯＫＳ．Ｓｔｒｅａｍｌｉｎｅ Ｕｐｗｉｎｄ，Ｐｅｔｒｏｖ．Ｇａｌｅｒｋｉｎ ｆｏｍｕＩａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｃｏｎｖｅｃｔｉｏｎ ｄｏｍｉｎａｔｅｄ ｆｌｏｗｓ ｗｉｔｈ ｐａｎｉｃｕｌａｒ ｅｍＰｈ弱ｉｓ ｏｎ ｔｈｅ ｉｎｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ ＮａＶｉｅｒ．Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｃｏｍｐｕｔ．Ｍｅｔｈｏｄｓ ＡｐｐＩ．Ｍｅｃｈ．Ｅｎｇｒｇ， ｌ ９８２（３２）：ｌ ９９．２５９ Ａ】ｃｓｓａｎｄｒｏ Ｒｕｓｓｏ．Ｂｕｂｂｌｃ岁ｔａｂｉｌｉ功“Ｄｎ ｏｆｌ ｆｉｎｉｔｃ ｃｌｃ巾ｃｎｔ ｍｅｔｈＤｄｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｉ力ｃ盯ｉｚｅｄ ｊｎｃＤｍｐｒｅｓｓ．ｂＩｃ Ｎａｖｉｅ卜 Ｓｔｏｋｃｓ ｃｑｕａｔｉｏｎｓ，Ｃｏｍｐｕｔ．Ｍｅｔｈｏｄｓ ＡｐｐＩ，Ｍｃｃｈ．Ｅｎ夸ｇ’１９９６，１３２：３３５—３４３ Ｃｌａｕｄｉｏ
矧％２降％乱一
Ｑ，
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（３）
Ｘ（瓦）一万是物质点在前一时刻的原始位置。一般情况下，在乙一。时刻物质点的位置不一定 在网格的节点上，它经过△ｒ时间后流到节点Ｘ（瓦）上。在特定的情况下，如果流体仅在一个方
向（如工方向）匀速流动。在△ｒ时间内流体质点在工方向恰好流过一个空间网格。即
（６）
筇１＝ｅ觚，）一似驯％＝ｒ＋彳掰一孵。１一矿’）
∥＝肛７慨（掣）ｄＱ鼻二＝』『Ⅳ７崛（％）ｄＱ
４一维算例
首先讨论一维扩散对流方程的计算。分别用标准伽辽金法ＳＧ、迎风格式的ＳｕＰＧ法和本文方 法计算。初始条件：Ｘ＝０。Ｃ＝ｌ：边界条件：Ｘ＝０，Ｃ＝ｌ：Ｃ，＝０．２５．图２（ａ）： 儿：２００。７’＝２．５×１０一；图２（ｂ）：以＝２０００，ｒ＝２．５×１０＿１。可以看出，三种方法计算的结 果都足趋于稳定的。但前两种方法在液体流动前段有轻微的数值跳动。这种跳动在旋转填充床化 学反应的计算中会被放大。本文方法是没有数值跳动的，表明本文方法可以有效克服液体『日Ｊ断处
对流扩散方程解析解
对流扩散方程解析解对流扩散方程（Convection-DiffusionEquation，CDE）是描述物理系统中物质扩散和热对流运动的方程。
它源于20世纪30年代真空磁体理论中发现的电子运动方程，在50年代被普及应用于各种工程、物理学和化学领域，如电子、热传输、水力学等，具有不可缺少的重要意义。
一般来说，对流扩散方程可以被描述为：$$frac{partial y}{partial t}=afrac{partial^2 y}{partial x^2}+bfrac{partial y}{partial x}+cfrac{partial y}{partial y}+d$$其中，a、b、c和d是常数，t和x分别代表时间和物理位置。
若把空间坐标投射到它们的平面上，则可以用更具体的形式表述为： $$frac{partial y}{partial t}=afrac{partial^2 y}{partial x^2}+bfrac{partial y}{partial x}+cfrac{partial y}{partial y}+d+frac{partial y}{partial z}$$其中，z是投射后的空间坐标，a、b、c和d也可以改变以适合不同的实际应用场景。
对于对流扩散方程的解析解，有两种基本方法：一种是用不定积分法；另一种是用微分平面法，也称作渐进分析方法。
从一般的原理上来看，不定积分法是把对流扩散方程拆解成多个简单的可求解的微分方程，然后分别求解它们，最后再综合求得总解。
此外，它还可以运用标准积分法来近似求解，特别有利于解复杂的多变量方程。
而渐进分析（Perturbation Analysis）是把复杂的问题划分成几个渐进步骤，每一步把问题简化为可以近似解决的状态，依此不断迭代，最终求得近似解。
这种技术通常用来求解非线性方程，对于对流扩散方程求解也非常有效，能有效地提高准确度和计算速度。
此外，还有其他一些求解方法，比如拉格朗日法（Lagrange Method）、拉普拉斯正则化（Laplace Regularization）以及偏微分方程的泛函理论方法（Functional Theory of Partial Differential Equations）等。
对流扩散方程ppt课件
18
4.6: 隐式格式
为了提高精度，降低稳定性的要求，考虑隐式格式。
Crank nicolson型格式：
u n1 j
u
n j
2
(
u
n j 1
u
n j 1
u n1 j 1
u
n1 j 1
)
a 2h
2h
2
(
u
n j 1
由 于 1 cos h 0,2, 条 件 化 为 ：
2(r 2 ) 2r 2 0和 2(r 2 ) 2r 2 2（r 2 (r 2 )2） 0
9
而 2(r 2) 2r 2 2(r 2 (r 2)2 ) 2(r 2)(1 (r 2)) 0 1 (r 2) 0
2 得到如下差分格式：
6
u n1 j
u
n j
a
u
n j 1
u
n j 1
（
a
2）u
n j 1
2u
n j
u
n j 1
2h
2
h2
稳 定 性 分 析 完 全 类 似 于中 心 差 分 格 式 ， 显 然 有
h2
1（a ）2
2h
1 2
7
4.3: 迎风差分格式
在 中心 显 式差 分 格式 的稳 定性 条 件中 ， 当G
un j 1
2u
n j
un j 1
对流扩散方程解析解
对流扩散方程解析解
《流体力学中的湍流扩散方程解析解》
一、什么是湍流扩散方程？
湍流扩散方程是描述物理流体扩散过程数学模型，是由流体力学中的湍流动力学概念推导出来的一种方程，是一种常用的偏微分方程。
它是一种描述在空间中湍流的扩散过程的数学方程，其目的是描述物质和能量在湍流中的传播。
二、湍流扩散方程的公式：
湍流扩散方程的公式为：
∂C/∂t = D∇2C
左侧的第一项是物质的局部变化率，t 代表时间；右侧的第一项用来描述物质在空间中的传播，D 为扩散系数，∇2C 为Laplace 算子。
三、湍流扩散方程的解析解：
1.快速波动方法：即快速 Fourier 过程，是一种快速处理湍流扩散方程的方法，其大致操作是用离散傅立叶变换把扩散方程转化为一个秩为 0
的傅立叶方程，然后使用傅立叶级数解决得出结果；
2.有限差分方法：给定的湍流扩散方程先采用有限的体积分解，即在时间及空间的二维平面上将扩散方程的计算区域划分成均匀的小单元，然后在每个区间内建立一个线性的有限差分矩阵，把扩散方程就变为简单的线性方程组；
3.格式方法：即 Finite Element 方法，用此方法可以把湍流扩散方程从不同的坐标方程中任意变换到球形坐标系，然后用有限元计算机程序解决；
4.积分方法：则是用数值积分的方法解决湍流扩散方程，包括 Runge-Kutta 方法、Adams 方法及其它积分的方法。
四、总结
湍流扩散方程是描述物理流体扩散过程的数学模型，是由流体力学中的湍流动力学概念推导出来的一种方程。
解决该方程有几种方法，即快速波动方法、有限差分方法、格式方法及积分方法。
以上是关于湍流扩散方程解析解的相关介绍，希望能够帮助到大家。
对流扩散方程clank
对流扩散方程clank标题：对流扩散方程的概述引言概述：对流扩散方程是数学中常见的描述物质传输过程的方程。
它在众多领域中都有广泛的应用，如流体力学、热传导、质量传输等。
本文将从五个大点出发，详细阐述对流扩散方程的相关内容。
正文内容：1. 对流扩散方程的基本概念1.1 对流扩散方程的定义1.2 对流扩散方程的一般形式1.3 对流扩散方程的物理意义2. 对流项与扩散项的影响2.1 对流项的作用2.2 扩散项的作用2.3 对流项与扩散项的相互作用3. 对流扩散方程的解析解与数值解3.1 解析解的求解方法3.2 数值解的求解方法3.3 解析解与数值解的比较4. 对流扩散方程的边界条件和初值条件4.1 边界条件的选择与影响4.2 初值条件的确定与影响4.3 边界条件和初值条件的耦合效应5. 对流扩散方程的应用领域5.1 流体力学中的应用5.2 热传导中的应用5.3 质量传输中的应用总结：对流扩散方程是描述物质传输过程的重要方程，其基本概念包括方程的定义、形式和物理意义。
对流项和扩散项是方程中的两个关键因素，它们分别对物质传输起到对流和扩散的作用，并且相互作用影响着传输过程。
对流扩散方程的求解可以采用解析解和数值解两种方法，它们各有优劣，需要根据具体情况选择。
边界条件和初值条件是方程求解中必要的条件，它们的选择与确定对结果有重要影响。
对流扩散方程在流体力学、热传导和质量传输等领域都有广泛应用，它为我们理解和解决实际问题提供了重要的数学工具。
总之，对流扩散方程是一个复杂而重要的数学方程，它在物质传输过程中起着关键作用。
深入理解和研究对流扩散方程，对于解决实际问题具有重要意义。
对流方程及其解法
对流方程及其解法对流方程是描述流体运动的最基本方程之一，涉及热、动量、物质等的传递现象，对于各种物理问题的研究都具有重要意义。
本文将从对流方程的基本形式和意义出发，探讨其常见解法及相关应用。
一、对流方程的基本形式与意义对流方程是描述流体中质量、热量和动量传递的方程，其基本形式可以写作：$$ \frac{\partial\phi}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\phi =\nabla\cdot(\Gamma\nabla\phi) $$其中，$\phi$为描述流体量的变量，如温度、密度、浓度等；$\mathbf{v}$为流体的流速，$\Gamma$为扩散系数。
对该方程的解析求解较为困难，故通常采用数值方法进行求解。
下面介绍几种常见的数值解法。
二、有限差分法有限差分法是在连续方程的基础上，利用有限差分代替导数，将微分方程变为代数方程组，从而利用计算机求解的方法。
其基本思想是将求解区域划分为有限个网格，对每个网格内的量用差分代替导数，从而得到有限差分方程。
以简单的二维对流扩散为例，其对流方程为：$$ \frac{\partial\phi}{\partial t} + u\frac{\partial\phi}{\partial x} + v\frac{\partial\phi}{\partial y} = \Gamma\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} + \Gamma\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} $$其中，$u$和$v$分别代表$x$和$y$方向的流速。
对该方程进行离散，假设$\phi_{i,j}$为$x=i\Delta x$，$y=j\Delta y$处的$\phi$值，则可以得到：$$ \frac{\phi^{k+1}_{i,j} - \phi^k_{i,j}}{\Delta t} +u\frac{\phi^k_{i+1,j} - \phi^k_{i-1,j}}{2\Delta x} +v\frac{\phi^k_{i,j+1} - \phi^k_{i,j-1}}{2\Delta y} $$$$ = \frac{\Gamma\Delta t}{(\Delta x)^2}(\phi^k_{i+1,j} -2\phi^k_{i,j} + \phi^k_{i-1,j}) + \frac{\Gamma\Delta t}{(\Deltay)^2}(\phi^k_{i,j+1} - 2\phi^k_{i,j} + \phi^k_{i,j-1}) $$其中，$k$为时刻，$\Delta x$和$\Delta y$分别为$x$和$y$方向的网格间距。
对流扩散方程解析解
对流扩散方程解析解对流扩散方程（CDE）是用来描述流动物质或能量在物理系统中的流动的基础的方程，它是热力学的基础，被广泛应用于大气科学、流体力学、热力学和非均匀物质动力学领域。
它的核心思想是基于大自然中的物理原理，探讨流体的对流和扩散过程，并可以帮助我们更好地理解和研究物理系统。
CDE属于非线性方程，它包含一个变量和三个参数，它在相应区域内表示流体物质的分布。
它有三种不同的形式：经典、非独立和独立。
经典和非独立的形式是在空间中的，独立形式是在时间中的。
由于CDE的复杂性，一般情况下不能用微分方程的定性法来解决，而是需要采用数学解析方法，以解决其解析问题。
解析法是从方程解析出给定条件下物质分布的解，方程的解通常是指方程的普通解，它包含位置和时间，而其求解方法又叫解析解法，是一种以求解物质分布，描述流体运动情况的精确方法。
然而，由于CDE的公差与方程的解析解有很高的复杂性，所以一般来说，解析解法只能求解出较简单的CDE。
为了求解CDE，然而，采用迭代收敛法是一种有用的解析解方法。
在这种方法中，首先假设一个物质分布，这是一种接近解的分布，然后，将这个分布代入CDE，求出初始的物质分布，再根据初始物质分布求出更加精确的物质分布，最终得到CDE的解析解。
此外，可以将CDE进行小扰动分析，以研究它在空间上的分布特性及其影响。
在这种分析中，假设CDE中参数存在较小的变化，即将CDE的解看作基本解加上一个微小的扰动，从而证明CDE的解可以在特定条件下发生变化。
最后，可以采用谱方法来求解CDE，它是在不同频率下求解CDE 的一种有效方法，它可以很好地描述CDE的物质分布的解的特性，并有助于分析CDE的影响。
总而言之，解析解是求解CDE最有效的方法之一，它可以根据不同的方法来求出CDE的解析解，为研究CDE的影响提供有力支持。
《对流扩散方程》课件
环境科学
描述污染物在大气、水体等环境 介质中的扩散、输移和归宿。
在环境科学中，对流扩散方程用 于模拟污染物在大气、水体等环 境介质中的扩散、输移和归宿过
程。
在环境保护、污染治理等领域， 对流扩散方程具有重要的应用价
值。
化学反应动力学
描述化学反应在流体或固定床 反应器中的传递和反应过程。
在化学反应动力学中，对流 扩散方程用于模拟化学反应 在流体或固定床反应器中的
初始条件
指定在求解开始时刻的解的性质，如 常数、函数等。
03 对流扩散方程的应用
流体动力学
01
描述流体在运动状态下的物质传递和扩散现象。
02
在流体动力学中，对流扩散方程用于模拟流体中的物质传递过
程，如温度、浓度、速度等。
在航空航天、船舶、汽车等领域的流体动力学分析中，对流扩
03
散方程被广泛应用。
应用于多尺度问题
研究对流扩散方程在多尺度问题中的应用，如 微纳尺度流动、大气污染扩散等。
探索新的应用领域
将该方程应用于其他领域，如生物医学、环境科学等。
与其他领域的交叉研究
与流体动力学结合
研究对流扩散方程与流体动力学之间的相互 作用和影响，探索更深入的物理机制。
与偏微分方程理论的交叉
将对流扩散方程的研究与偏微分方程理论相 结合，推动数学理论的发展。
02
03
有限体积法
将连续的求解域离散化为有限个小的 体积，在每个体积上近似函数，将微 分方程转化为代方程进行求解。
有限差分法
向前差分法
将微分方程中的导数项用前一步的函数值近似代替，得到向前差 分方程。
向后差分法
将微分方程中的导数项用后一步的函数值近似代替，得到向后差 分方程。
偏微(10)对流扩散方程
n1
uj
n
a
u j1 u j1
n n
2h
2 u j1 2 u j u j1 a .7 ) (3 2 2 h
n n n
逼近对流扩散方程（3.1）的截断误差为
O h
2
2
（3.7）与（3.3）的区别在于用
uj
n
a
u j1 u j1
n n
2h
2 u j1 2 u j u j1 a .7 ) (3 2 2 h
（3.4）和（3.5）知（3.7）的稳定性条件为： 2 1 2 , 2
a
h
2
用
2 2 2 代入第一式有 2 a , 即 2 a 2 a 2
uj
n1
2 a
2
, (3 .4 )
h
2
1 2
(3 .5 )
那么逼近（3.1）式的迎风差分格式为
uj
n
a
u j u j1
n n
u j1 2 u j u j1
n n n
h
h
2
.9 ) (3
可以把（3.9）式写成（3.3）式的形式，即
2
x
2
, （ 3 .1 ）
uj
n
u u
a
u j1 u j1
n n
u j1 2 u j u j1
n n
2h
2
h
2
.3 ) (3
2 u a a 2 t x 2 x
对流扩散方程解析解
对流扩散方程解析解对流扩散方程（Convection-DiffusionEquation）是流体动力学领域里一个基本的求解方程，它表示物理系统的流体流动特征，可用于模拟和分析气体的湍流流动、热力学和传热运算等问题。
新的求解方法对对流扩散方程的解析解具有重要意义。
对流扩散方程的一般形式为：$$frac{partial c}{partial t}+ucdotabla c-DDelta c=f$$其中，u表示大尺度的流体速度，D表示流体扩散系数，f表示质量源期（如，物质沉积或物质释放），c表示浓度。
一般情况下，形式如上的对流扩散方程是无法求解的，因其难以确定恰当的初始条件。
在这种情况下，研究者们提出了不同的解析解算法，其目的是通过特定的分析步骤来求解该方程。
为此，研究者们将对流扩散方程分解成多个子方程，以便更容易的进行解析解析。
其中有许多不同的解析方法，这些方法大多建立在以下基础之上：1.量分离：将变量从原始方程分离出来，然后重新组合，使方程具有更好的求解性。
2.分替换：通过将复杂的积分变换成容易求解的形式，从而更容易求解对流扩散方程。
3.征方程：由于对流扩散方程的变量分离及积分替换，可以将其转换为简单的特征方程，从而可以更快地求出解析解。
4.值方法：这种方法采用计算机进行数值计算，可以从多个精度接近系统中求出解析解。
上述方法都可以用来求出对流扩散方程的解析解，但也存在一些潜在的问题，如数值误差、边界条件不易计算等。
对流扩散方程的解析解技术可以用来分析流体流动特性，模拟和分析气体湍流流动、热力学和传热运算等问题。
有了这些技术，研究者们可以更好地模拟或理解物理系统的流体特性，从而更好地解决实际中存在的问题。
例如，研究者可以利用对流扩散方程的解析解算法来分析汽车的空气动力学运动特性，有效改善汽车的燃油经济性和可靠性；或者用来研究空气流动的特性、助力涡轮机的性能改善；或者用来研究飞行器在进入大气时的热阻力特性，提高航天设备的安全性，等等。
算子分裂法求解对流-扩散-反应方程
算子分裂法求解对流-扩散-反应方程贾宏恩;李开泰;钟贺【摘要】The convection-diffusion-reaction equation is solved by virtue of the first order Lie splitting in this paper. At each time step, an ODE along characteristic and an parabolic equation need to be resolved after the methods of the characteristic and Euler discrete with respect to time. Intermediate boundary condition and splitting error are further conducted. The numerical result shows that the proposed method can be used to solve the convection-diffusion-reaction equation effectively. '%采用一阶精度的Lie分裂求解对流-扩散-反应方程,在每个时间步内,对于要求解的两个方程,关于时间分别采用特征线和欧拉方法进行离散,空间采用P2元进行离散.这两个方程,一个沿着特征线为常微分方程,另一个为典型的抛物型方程.同时导出了适合分裂方程的中间边界条件,分析了其分裂误差.数值结果表明,所提方法能够有效的求解对流-扩散-反应方程.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2012(029)001【总页数】7页(P89-95)【关键词】算子分裂;特征线方法;中间边界条件;分裂误差【作者】贾宏恩;李开泰;钟贺【作者单位】太原理工大学数学学院,太原030024;西安交通大学理学院,西安710049;西安交通大学理学院,西安710049【正文语种】中文【中图分类】O241.821 引言对流–扩散–反应方程可以用于描述大气、海洋、河流等环境和化工领域中的传质、传热等对流扩散现象．由于其应用的广泛性与重要性，出现了许多求解对流–扩散–反应方程的数值方法，如有限差分法、有限元法、边界元法、以及特征线方法等．但这些方法在求解对流占优的对流–扩散问题时，普遍存在数值弥散和振荡现象，因而影响了数值模拟结果的精度．近年来，算子分裂法已成为求解对流–扩散–反应问题的有效的方法之一．其主要优点是分裂后的方程更加容易求解且格式灵活，稳定性好．但其也存在两个缺点，一是算子不可交换时，分裂误差不可避免；二是分裂方程中间边界条件的确定．在文献[1]中把对流–扩散–反应方程分裂为三个方程(对流–扩散–反应)，从理论上分析了分裂误差．在文献[2]中，在标准的Lie分裂、Strang分裂(这里把对流扩散反应项分裂为三个算子)、Sourec分裂(这里把对流和扩散项看作一个算子，反应项作为一个算子)和近似矩阵分解四种不同的分裂格式下对对流–扩散–反应方程的求解方式进行了对比．本文将对流–散–应方程按一阶精度的Lie分裂进行求解，其中对流和反应项看作一个算子，扩散项看作一个算子，并结合特阵线方法进行计算，同时与其它的Lie分裂方法进行对比，以检验这些算法的性能．2 模型与方法考虑的模型如下这里Ω是Rd的一个区域(d=1,2,3)，u(x,t)是速度场，K是扩散张量，二者均已知，c是未知量．对于反应项R在不同的情况下有不同的表达式，如在放射性衰变中R(u)=−au；在Logistic模型中R(u)=au−bu2；在生物降解模型中2.1 分裂方法对于A→B型的Lie分裂．一般有两种分裂格式：1) 令A= −u·∇c+R(c),B= ∇·(K∇c)．这种分裂在文献[3]中被提出，重点介绍了软件积分技巧的应用(诸如dynamical link library(DLL)or component object model(COM))．这样，在每一个时间步[tn,tn+1]内，我们将要解如下的方程于是2) 令P=−u·∇c+∇·(K∇c),O=R(c)．这样，在每一个时间步[tn,tn+1]内，我们将要解如下的方程于是2.2 分裂方程的边界条件对流–扩散–反应方程包含三个同时进行的过程：对流、扩散、反应，控制方程的边界条件也反应了这些过程同时的影响．当用两个算子A,B分裂它们为并顺序求解时，意味着假设这两个过程是顺序发生的．因此，在使用算子分裂法时，导出适合分裂方程的边界条件，既所谓的中间边界条件[4]是十分重要的．正如在文献[5]中所指出的，算子分裂法的边界条件常会导致“serious confusion”．对于中间边界条件的研究可以追溯到文献[6,7]．在本节中，基于Leveque[4]针对双曲方程提出的概念，我们导出分裂方程(3)和(4)的Dirichlet边界条件．为了使问题更加简单，考虑速度场u与时间无关，R(c)=Kc的情况．对于u与时间有关的情况，可通过一定的积分法则来转化；对于R(c)为非线性的情况，可通过一定的迭代技巧转化为线性的情况．把方程(3)看作一个Cauchy问题，并且在一个时间步长∆t内积分，则可得到如下表达式这里A1=−u·∇，由于此处我们采用的是一阶精度的Lie分裂．因而也可作一阶近似令f1(tn+1)是方程(3)恰当的边界条件，则上面的方程能被表示为对于方程(4)在假设f充分光滑的前提下，可以采用文献[7]中所导出的边界条件但正如文献[8]中所指出的，上述中间边界条件与算子分裂算法是不相容的．因此类似于文献[8]中对流–扩散方程的情况，在每一次计算循环末尾，我们仍使用原方程的边界条件，即在(7)式中c(tn,x0)=f(tn,x0)，其中cx(tn,x),cy(tn,x)通过下面的方程来求解．对方程，关于空间变量x,y微分可得：其中为全导数．对于上式，采用与文献[8]类似的技巧来处理边界条件．2.3 求解分裂方程所采用的数值解法对于(3)，如果令沿特征方向定义的微商算子其中当，则(3)式可以写为如下的等价形式设由点(x,tn+1)出发，沿反特征方向与直线t=tn交点的横坐标为n+1，则在t=tn+1时，有这里可以通过特征线方法来确定．对任意的x，通过(x,tn+1)的特征线X(t,x,tn+1)满足按矩形公式，积分方程(13)可得利用等式(14)，可以用下式来近似(12)式对于(15)式的情况，由于式(15)中同时含有ˇxn+1和u(ˇxn+1,tn)，因而要想确定ˇxn+1，须迭代求解，如牛顿迭代法，进而确定u(ˇxn+1,tn)的值．有时，逆着时间层到达前一时间层之前，可能已到边界，这时候有此时(12)式可用下面的式子来近似则问题(11)可以被离散为如下的格式对于方程(4)，由于分裂是一阶精度的，因而采用一阶精度的向后欧拉离散．3 分裂误差分析在一般情况下，由于算子的不可交换性，分裂误差不可避免．基于Lie分裂而带来的分裂误差可以被表示为其中A和B是算子A和B对应的Lie算子，且如果算子A是线性的，则A′(c)=A(c)．对分裂格式一，其分裂误差的表达式为由文献[1]可知，如果反应项R关于c是线性且与x无关，则分裂扩散与反应项带来的误差可以消除；如果D和u是与x无关，则分裂对流和扩散项带来的误差可以避免．如果二者同时成立，则分裂误差不存在．对于分裂二，其分裂误差的表达式为如果▽·u=0且R不依赖于x，则分裂对流和反应项带来的误差可以消除；如果反应项R关于c是线性的且与x无关，则分裂扩散与反应项带来的误差可以避免．如果二者同时成立，则分裂误差为零．4 算例分析对比两种分裂格式可以发现：在每一个时间步内，它们均要解一个ODE和一个PDE，但分裂一须求解的ODE需要沿着特征线方向，而分裂二要解的ODE则是沿着时间方向；对于要求解的PDE而言，分裂二更复杂些，因为对流和扩散项带来的困难并没有解决．为了便于比较，对于空间采用P2元，同时考虑到求解顺序对于误差的影响，不同次序的分裂也将被求解．算例：ct+u·▽c=▽·(D▽c)+Kc．初始条件：此处(xc,yc)和σ>0分别是中心和标准偏差，扩散系数D>0，速度场u=(−4y,4x),K是一常数，则其精确解可以表示为其中(x∗,y∗,0)是过点(x,y,t)的特征线在t=0时的交点，即参数选择：表1和表2对A−B型分裂分别采用欧拉离散和特征线离散的计算结果进行对比．其中A−B特征对于算子A所在的方程采用特征线离散，算子B所在方程采用欧拉时间离散；A−B欧拉则对算子A,B所在方程均采用欧拉时间离散，数值结果显示，A−B特征的效果明显好于A−B欧拉．表3和表4对于A−B特征、B−A特征、O−P特征、P−O特征的计算结果做了比较．模拟结果显示，用算子分裂处理对流–扩散–反应方程得到的解能够较好地逼近精确解，对于分裂一而言，B→A型的要稍好于A→B型，对于分裂二，P→O型的要好于O→P．这与文献[9,10]所得到的结论“在每一个时间步内将反应项的计算放在最后，可以提高精度”相一致，且如果采用更高精度的时间离散格式，效果会更好．但从所花时间的角度考虑，B−A型的明显好于A−B型的，P−O型的明显好于O−P型的．综合考虑，B−A型的又好于P−O型的．对于A?B型分裂，由于R关于c是线性的，且与X无关，因而分裂扩散与反应项不会带来误差，误差主要来源于对流和扩散项被分裂所带来的分裂误差以及采用数值算法带来的误差．而对于O?P型的算子分裂，由于方程系数满足对流与反应项，扩散与反应项的交换条件，因而由分裂带来的误差不存在，这时误差的主要来源在于其所采用的数值解法．同时，模拟结果也说明，对于双曲部分采用特征线方法进行离散可以有效的消除数值震荡，采用P2元可以降低线性元带来的数值扩散，采用算子分裂则可以减少所求解的代数方程组的规模，大大减少计算时间．因而，本文所采用的数值方法是一种高效的数值算法．表1: 不同扩散系数的计算结果比较(t=1,60×60)扩散系数D=1.0e-1 D=1.0e-2 D=1.0e-3方程类型A−B特征A−B欧拉A−B特征A−B欧拉A−B特征A−B欧拉L1误差1.93210e-2 1.91422e-2 4.09864e-3 9.09981e-3 3.36201e-31.70693e-2 L2误差1.83997e-2 1.83961e-2 9.79666e-3 1.47512e-27.60752e-3 3.69475e-2 CPU(s)289.008 256.505 286.438 255.418 286.112 255.753表2: 不同扩散系数的计算结果比较(t=1,60×60)扩散系数D=1.0e-4 D=1.0e-5 D=1.0e-6方程类型A−B特征A−B欧拉A−B特征线A−B欧拉A−B特征线A−B 欧拉L1误差3.84579e-3 1.91689e-2 4.09625e-3 1.96641e-2 4.13151e-3 1.99539e-2 L2误差9.57636e-3 4.46175e-2 1.01133e-2 4.58663e-21.01932e-2 4.59662e-2 CPU(s)288.060 255.754 292.200 255.699 294.056 255.595表3: 不同类型分裂的计算结果比较(t=1,D=1.0e-02,60×60)A→B B→A O→PP→O L1误差4.09864e-03 4.09535e-03 4.09864e-03 4.09864e-03 L2误差9.79666e-03 9.78728e-03 9.79667e-03 9.79667e-03 CPU(s)286.438 212.352 370.818 256.865表4: 不同类型分裂的计算结果比较(t=1,D=1.0e-03,60×60)A→B B→A O→PP→O L1误差3.36201e-03 3.36172e-03 3.36201e-03 3.36201e-03 L2误差7.60752e-03 7.60712e-03 7.60746e-03 7.60746e-03 CPU(s)286.112 213.008 368.326 256.154参考文献：[1]Lanser D,Verwer J G.Analysis of operator splitting for advection-dif f usion-rection problems from air pollution modelling[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,1999,111:201-216[2]Blom J G,Verwer J G.A comparison of integration methods for atmospheric transport-chemistry problems[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2000,126:381-396[3]Liu J,Ewing R.An operator splitting method for nonlinear reactive transport equations and its implementation based on DLL andCOM[C]//Lecture Notes in Computer Science and Engeneering,Springer-Verlag,New York,2005:93-102[4]Leveque R J.Intermediate boundary conditions for time split methods applied to hyperbolic partial dif f erential equations[J].Mathematics of Computation,1986,47:37-54[5]Perot J B.An analysis of the fractional step method[J].Journal of Computational Physics,1993,108:51-58[6]Yanenko N N.The Method of Fractional Steps[M].Berlin:Springer-Verlag,1971[7]Aiyesimoju K O,Sobey R J.Process splitting of the boundary condition for the advection-dispersion equation[J].International Journal for Numerical 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对流扩散方程
所 以 迎 风 格 式 的 稳 定 性条 件 是
h2 2 ah
当a 0时 ， 情 况 类 似 ， 稳 定 性条 件 是
h2 2 a h
也可以利用中心显格式来讨论稳定性,于是将上面格式改为:
u n1 j
u
n j
a
un j 1
只需验证 G 1,由于 1 cos wh 0，条件转化为：
4 4 2 (1 cos wh) r 2 (1 cos wh) 0
即 4 - 2r 2 (4 2 r 2 )(1 cos wh) 0
由于 1 cos wh 0,1,上述不等式转化为
2
4 2r 2 0, 4 2r 2 2(r 2 4 2 ) 0
为了简单方便,设a>0,先对方程作扰动,得到另外一对流
扩散方程
u t
a u x
1
1 R
2u x 2
其中R 1 ha
2
对上面的方程构造迎风格式
u n1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
h
1
1 R
un j 1
2u
n j
h2
u
n j 1
称为逼近对流扩散方程的Samarskii格式.
n j
u n1 j
2 得到如下差分格式：
u n1 j
u
n j
a
u
n j 1
u
n j 1
2h
（
2
a
2）u
n j 1
2u
n j
h2
u
n j 1
稳 定 性 分 析 完 全 类 似 于中 心 差 分 格 式 ， 显 然 有
对流扩散方程
对流扩散方程
1 流体扩散方程
流体扩散方程是一个历史悠久、解决常见力学概念的重要方法和
工具，它可以定量衡量复杂流体在双向运动和定向变化中经历的变化。
因此，它被广泛应用于流体动力学，比如在水动力和海洋动力学中。
2 原理
流体扩散方程基于小块体强迫传播的假定，从力学上讲，它是一
种可以解释流体物质的收支问题的方程。
由于流体受到外部力的影响，对某一点的流体运动行为可以用某种单元强迫块的形式进行观察，而
该点的微量物质的多元流变形式可以通过该块的公式来表示。
3 表达式
流体扩散方程的表达式如下：
$$\frac{\partial f}{\partial t}+ \vec{u} \cdot \nabla f = D \nabla^{2} f$$
其中：
$f$是流体属性函数；$\vec{u}$是流体速度；t是时刻；
$\nabla$和$\nabla{2}$是偏导数和二阶导数全称；D表示流体扩散率。
4 应用
流体扩散方程的应用广泛，可以解决流体运动与转移复杂问题。
比如在海洋科学中，它可以用来研究海洋的水文特征；在水力学中，
可以用来模拟水位和洪水洪峰等问题；在大气学领域，可以用来描述
大气给热扩散等问题；在机械工程中，可以模拟非稳定流、结构层HTML等问题。
5 结论
流体扩散方程是一种研究流体运动和转移问题的重要工具，它可
以分析流体行为，以便为设计解决复杂的流体问题提供有价值的答案。
此外，流体扩散方程也被应用于一些现实问题，例如气象学和机械工
程中的装配问题。
对流方程及算法介绍
1 引言2 对流方程及算法介绍2.1对流方程的概述对流：是指由于流体的宏观运动，从而使流体各部分之间发生相对位移，冷热流体相互掺混所引起的热量传递过程。
对流仅发生在流体中，对流的同时必伴随有导热现象。
人们研究对流扩散方程，主要的研究对象是流体在流动过程中，流体所携带的某种物质的物理量的变化规律，例如传热过程中温度的变化规律或者溶解于流体中溶质的物质浓度等物理量的变化规律。
这些变化通常包括对流、扩散以及由于某种物理或者化学的因素而引起的物理量的自身衰减或增长。
最简单的一维对流扩散方程形如(2-1)式: （2-1）其中C 是常数，它属于双曲型方程，可以被用来描述流体的运动等物理现象。
2.2水对流现象的简易演示2.2.1 基本步骤用两只相同的小烧杯，各装上冷水，再如图1所示插入长短两根吸管，虹吸管由普通化学实验用玻璃管在酒精灯上加热弯成，一根查到被子底部，一根只插入水的表面，再在右杯中滴入几滴墨水并搅拌均匀，现在开始用酒精灯加热左边的烧杯，一段时间后就可以明显的看到染了颜色的水从右杯源源不断的流入左杯，左杯的水源源不断的流入右杯，最后两杯水都变成了墨水的颜色，与此同时用手摸右边的杯子，右边的水也热了起来，这就是冷热水发生了对流的缘故。
2.2.2 实验注意事项短虹吸管只插入水的表面，不能过深。
玻璃管宜选壁较厚一些的，这样绝热性好一些，效果也好一些。
0=∂∂+∂∂xuC t u2.2.3 实验原理分析对左边的水杯用酒精灯加热，水受热密度变小开始上升，右边水杯的冷水从下边的吸管流向左边的水杯进行补充，左边水杯的热水从上边的吸管流向右边的水杯，这样一会儿两杯水都变成墨水的颜色了[1]。
在冷水里面掺热水也是一样的道理，在不搅拌的情况下，最后水温基本都是一个温度，这就是水的对流，除了水的对流还有刮风是空气的对流，气压高的一方向气压低的一方补充空气，这就形成了对流，就会产生风；还有冬天在家里开空调，形成空气对流，最后整个房间的温度都升了起来。
对流扩散方程推导过程
对流扩散方程推导过程对流扩散方程是描述物质在流体中传输的数学模型。
它可以用来描述物质的浓度、温度、速度等在流体中的传播过程。
本文将从推导过程的角度，详细介绍对流扩散方程的推导过程。
我们考虑一维情况下的对流扩散方程。
假设物质在流体中的传输速度为u，浓度为C，扩散系数为D。
根据质量守恒定律，我们可以得到物质的传输速度和扩散速度之和等于物质的净传输速度。
接下来，我们考虑扩散的部分。
根据菲克定律，扩散速度与浓度梯度成正比，扩散的方向是从浓度高的地方向浓度低的地方传播。
因此，扩散的速度可以表示为-D乘以浓度的梯度。
然后，我们考虑对流的部分。
对流是由流体的流动引起的物质传输。
对于一维情况，对流的速度可以表示为u乘以浓度的梯度。
需要注意的是，对流速度的正负取决于流动的方向。
综合考虑扩散和对流，我们可以得到一维情况下的对流扩散方程：∂C/∂t + u*∂C/∂x = D*∂^2C/∂x^2其中∂C/∂t表示时间对浓度的偏导数，∂C/∂x表示空间对浓度的偏导数，∂^2C/∂x^2表示浓度的二阶空间导数。
接下来，我们考虑二维情况下的对流扩散方程。
假设物质在流体中的传输速度为(u,v)，浓度为C，扩散系数为D。
同样根据质量守恒定律，我们可以得到物质的传输速度和扩散速度之和等于物质的净传输速度。
对于扩散部分，我们仍然可以应用菲克定律，扩散速度与浓度梯度成正比。
因此，扩散的速度可以表示为-D乘以浓度的梯度。
对于对流部分，我们需要考虑两个方向上的流动速度。
对流的速度可以表示为(u,v)乘以浓度的梯度。
需要注意的是，对流速度的正负取决于流动的方向。
综合考虑扩散和对流，我们可以得到二维情况下的对流扩散方程：∂C/∂t + u*∂C/∂x + v*∂C/∂y = D*(∂^2C/∂x^2 + ∂^2C/∂y^2)其中∂C/∂t表示时间对浓度的偏导数，∂C/∂x和∂C/∂y表示空间对浓度的偏导数，∂^2C/∂x^2和∂^2C/∂y^2表示浓度的二阶空间导数。
对流扩散方程及其解法
对流扩散方程及其解法对流扩散方程是物理学中最常见的一类偏微分方程，与流体力学、传热传质学等学科密切相关。
解析求解对流扩散方程可以揭示物理现象的本质，并在实际应用中提供有效的工程计算方法。
一、对流扩散方程对流扩散方程是将扩散项和对流项结合在一起的偏微分方程，一般形式如下：$$\dfrac{\partial u}{\partial t} = D\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} - v\dfrac{\partial u}{\partial x} + f(x,t)$$其中 $u$ 是未知函数，$D$ 是扩散系数，$v$ 是速度场，$f(x,t)$ 是源项。
对流扩散方程描述了时间 $t$ 和空间 $x$ 上的某一物理量 $u$ 随时间的变化规律。
二、对流项与扩散项对流扩散方程中的对流项和扩散项代表不同的物理过程，互相作用形成物理现象。
对流项描述了物质由一点向另一点的移动，通常由质量流或者粒子流的线性变化来表示。
扩散项描述了物质的热或质量分布率随空间位置的二次变化。
对流项和扩散项的比值通常称为对流性能。
三、有限差分方法有限差分法是对流扩散方程的求解方法之一，将空间和时间的连续域离散化成离散点，并通过有限差分逼近偏微分方程的微分项，从而转化成一个代数问题。
常见的有限差分格式有向后差分法、向前差分法、中心差分法等。
假设在 $(x_i,t_n)$ 的数值解已知，设网格步长为 $\Delta x$ 和$\Delta t$，则有：$$u(x_i,t_{n+1}) \approx u(x_i,t_{n}) + \Delta tf(u(x_i,t_n),x_i,t_n)$$其中 $f(u(x_i,t_n),x_i,t_n)$ 是对流扩散方程右端的非线性项。
将$u(x_i,t_n)$ 用它四周的$u(x_{i-1},t_n)$、$u(x_{i+1},t_n)$、$u(x_i,t_{n-1})$ 替代，可以得到向后差分格式：$$u(x_i,t_{n+1}) \approx u(x_i,t_{n}) + D\dfrac{\Delta t}{\Deltax^2}[u(x_{i+1},t_n) - 2u(x_i,t_n) + u(x_{i-1},t_n)]-v\dfrac{\Deltat}{\Delta x}[u(x_{i+1},t_n) - u(x_{i-1},t_n)] + \Delta tf(u(x_i,t_n),x_i,t_n)$$四、求解方法对流扩散方程的解法包括解析解和数值解，主要取决于方程的形式和边界条件的选取。
对流-扩散-反应方程的变分多尺度解法
对流-扩散-反应方程的变分多尺度解法
朱海涛;欧阳洁
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2009(026)006
【摘要】根据变分多尺度的思想求解了对流项和反应项占优的对流-扩散-反应方程.在变分多尺度思想的理论框架内,推导了附加于Galerkin变分弱形式的稳定化结构和具体的稳定化系数;阐述了这种稳定化结构和经典的SUPG稳定化结构之间的关系;数值算例表明,该稳定化系数可以适应均匀和非均匀的计算网格.通过网格的恰当加密,变分多尺度方法消除了算例中的数值伪振荡.
【总页数】8页(P997-1004)
【作者】朱海涛;欧阳洁
【作者单位】西北工业大学应用数学系,西安710072;西北工业大学应用数学系,西安710072
【正文语种】中文
【中图分类】O241
【相关文献】
1.求解变系数对流扩散反应方程的指数型高精度紧致差分方法 [J], 田芳;葛永斌
2.瞬态对流-扩散方程的变分多尺度解法 [J], 朱海涛;欧阳洁
3.一维定常对流扩散反应方程的高精度紧致差分格式 [J], 祁应楠;武莉莉
4.对流占优扩散反应方程的定制有限点法 [J], 杨红红;秦新强
5.求解对流扩散反应方程的一种高精度紧致差分方法 [J], 杨苗苗;葛永斌
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数）。用伽辽金法离散方程（４）得：
肘ｅ，＝ＥＣ，．Ｚ
ｆ＝彳，Ｂ，尺，Ｓ
（５）
其中系数腓膨２｜｜ｆⅣ『劂Ｑ肛ｆ』ｃ筹筹＋等》Ｑ
Ｅ＝ｆｒⅣ７＾珉（ｃｆ）ｄＱ
万
／＝彳，曰，尺
用改进欧拉法解（５）式，在第甩个时间步有：
口＝ｃ箸１＋今｝［肘’１（Ｅ吖～一Ｆ”１）＋Ｍ一（ＥｃｚＰ—只二）］ｆ＝彳，曰，尺，ｓ
其中
Ｊ＝比・△ｒ＝赵・那么物质点在乙一，时刻的原始位置也在节点上，该节点值在乏一，时刻已经求
得。则
亡，＝号争＝古Ｂ（ｘ（Ｌ），Ｌ）一ｑ（ｘ（７：－）一硝，瓦．１）】
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（４）
选取四节点矩形单元划分网格，每个节点取三个自由度（分别为节点的浓度及其工枷方向的导
（６）
筇１＝ｅ觚，）一似驯％＝ｒ＋彳掰一孵。１一矿’）
∥＝肛７慨（掣）ｄＱ鼻二＝』『Ⅳ７崛（％）ｄＱ
４一维算例
首先讨论一维扩散对流方程的计算。分别用标准伽辽金法ＳＧ、迎风格式的ＳｕＰＧ法和本文方 法计算。初始条件：Ｘ＝０。Ｃ＝ｌ：边界条件：Ｘ＝０，Ｃ＝ｌ：Ｃ，＝０．２５．图２（ａ）： 儿：２００。７’＝２．５×１０一；图２（ｂ）：以＝２０００，ｒ＝２．５×１０＿１。可以看出，三种方法计算的结 果都足趋于稳定的。但前两种方法在液体流动前段有轻微的数值跳动。这种跳动在旋转填充床化 学反应的计算中会被放大。本文方法是没有数值跳动的，表明本文方法可以有效克服液体『日Ｊ断处
对流扩散化学反应动力学方程的简化特征线解法
吕和祥，邱岜玉，陈建峰 大连理工大学工程力学系工业装备结构分析国家重点实验室，大连ｌ
１６０２３
对流扩散化学反应动力学方程可以用通常的对流扩散方程的解法，如，迎风格式，泡函数等 方法。但当流体的流动速度很大时，这些方法都不能克服在流体前端物理量的间断处出现的计算 虚假摆动。参考文献【５】给出的方法，虽然能确保在计算域内不出现极值，但计算方法太复杂。 层状扩散模型中的无量纲速度较大．若采用以上所述常规方法计算，流体前端物理量会出现 虚假的数值摆动，而反应项对浓度变化极为敏感，这可能引起计算失真，并导致算法无效。本文 采用特征线解法．在Ｌａｇｒａｎｇｅ描述下确定物理量的时间导数，这时没有对流项出现。但在时间导 数离散时却出现非节点值计算的困难。针对流体是匀速流动的，在方程空间离散时选择特定的网 格划分，使特征线上的质点在每个时间步的空间位置都在空间节点上，回避了特征线解法非节点 值的计算。算例表明，该算法是有效的。
加，但是在截面尸１．ｏ上却是逐渐减小的，这是扩散的结果。枷物质和Ｂ物质交界的地方，迅速反
应生成尺物质，故尸１．ｏ附近Ｒ物质的浓度最大，两侧的浓度逐渐减小。图３给出的物质浓度的分布 规律体现了化学反应和扩散作用。
ｌ Ｏ．８ Ｏ．６ Ｏ．４ ０．２ Ｏ Ｏ １．Ａ ３．Ａ ２０ Ｉ Ｏ．ｅ Ｏ．５
Ｏ．４
动。
６结论
（１）计算结果反映了化学反应规律．其离集指数也与实验结果的规律基本符合： （２）本文的算法克服了由于对流速度过大引起的虚假摆动．计算结果很稳定： （３）初步探讨了旋转填充床内的微观混合反应过程，为进一步研究打下了基础。
１７５
参考文献：
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Ｂａｉｏｃｃｈｉ，Ｆ啪ｃｏ
Ｂｒｅｚｚｉ．Ｖｉｎｕａｌｂｕｂｂｌｃｓ锄ｄ Ｇａｌｅｒｋｉｎ－ｌｅ丛ｔ．Ｓｑｕａｒｃｓ ｔ”ｅ ｍｅｔｈｏｄｓ（Ｇ乱Ｌ．Ｓ．）．Ｃｏｍｐｕｔ． Ｍｅ也ｏｄ．４ｍ ｃｄ．Ｖｏｌｕｍｅ ２．ＭｃＧＲＡＷ．ＨＩＬＬ Ｂｏｏｋ
Ｍｅｔｈｏｄｓ Ａｐｐｌ．Ｍｅｃｈ．Ｅｎｇｒ２，１９９３，１０５：１２５－１４ｌ Ｚｉｃｎｋｉｅｗｉｃｚ ０Ｃ，Ｔａｙｌｏｒ Ｒ Ｌ．Ｔｈｅ Ｆｉｎ沁Ｅｌｃｍｅｎｔ
Ｔ＝ｔＤ｜舻；Ｃｉ＝ｃｌ｜ｃ贿：ｙｘ＝ｖ１６｜Ｄ：Ｘ＝ｘ｜６・Ｙ＝ｙ｜６；Ｍ＝ｋｆ∞ａ铲｜Ｄ・
１７３
３方程的离散
将方程（１）ｒｆｌ对时同导数的描述，改为Ｌａｇｒａｎｇｅ描述・即
在时间步阢－ｌ’瓦】内计算当前时刻的物质导数ｄＧ／ｄ ７＇。将当前时刻瓦计为参考时刻，在此
参考时刻物质点的位置为Ｚ（瓦）。所以・在参考时刻的参考物质点的物质导数可以表示为：
图ｌ层状扩散模型
坠＋圪坠：姿＋磐一枫
反应项为：
心＝鲁ｃ。ｃ口
＾２ Ｌ ＾２
％＝鲁巳ｃ矗＋ｃ占ｃ胄
厅２
ＲＲ＝一｝Ｃ＾Ｃ８＋ｃ ８ＣＲ
Ｒ酚、对氨基苯磺酸重氮盐、一次产物、二次产物。
匕为工方向的速度：Ｇ为ｆ组分的浓度：Ｒ为化学反应项；‘和七：为速率常数：无因次变量
脚吲ｍ阿嘲
刘骥．旋转填充床内微观混合研究及｝瘦＿液相法制各碳酸锶纳米粉体：【博士论文】，北京化工大学
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｊｓ ｐａＤｅｒ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ａ ｋｊｎｅｔｊｃｓ∞ａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｃｏｎｖｅｃｔｊＤｎ－ｄｉｆｆｈｓｉｏｎ ｃｈｅｍｉｃａｌ ｒｅａｃｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｔａ】ｃｃｓ ｐｌａｃｅ ｗｈｃｎ ｔｗｏ ｃｈｅｍｉｃａｌ Ｉｉｑｕｉｄｓ ｆｌｏｗ ｐａｒａＩＩｅｌ ａｎｄ ｄｉ觚ｓｅ ｉｎｔｏ ｅａｃｈ ｏ椭ｃｒ，ｂｙ ｍｅａｎｓ ｏｆ ｓｉｍｐＩｉｆｉｃｄ ｃｈａｒａｃｔｅ“ｓｔｉｃ ｇａｌｅｒｋｉｎ ｍｅｔｌｉｏｄ．
２基于层状扩散模型的二维对流扩散化学反应动力学方程
旋转填充床是一种新型高效化工设备．工业上有着极为广阔的应用前 景。本文研究了两个液膜在通过填料层后的混合、扩散、反应。为旋转填充 床内混合机理的研究提供基础。本文采用层状扩散模型。模型如图ｌ所示，两 片厚度为占◇轴方向），它们在（Ｏ，０）处相遇，然后一起沿着ｘ轴方向流动。从 雷诺数可判断它们的流动是层流。由此推导出的对流扩散无量纲化学反应动 力学方程为：
的数值跳动。
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图２三种方法的～维算例
５旋转填充床内化学反应的计算
计算域划分为１９９×１２的网格，工方向的间距为０．４．ｙ方向间距为０．１６６７。无因次速度 以＝１００：混合模数＾仁０．２：速率常数七ｌ＿３８００ｍ３ｍｏＩｑｓ～．七２＝１．５６ ｍ３ｍｏｌ。１ｓ～。图３给出了不同截面 上物质彳、物质用铂物质Ｂ的变化。可以看出，沿流动方向，一次产物ＪＲ基本上随ｘ坐标的增加而增
Ｕｎｄｃｒ
ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｎ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｃｈｅｍｉｃａｊ ｒｃａｃｔｉｏｎ传ｒｍ ｃａｕｓｅｄ ｂｙ ｎｕｍｅｆｉｃ翻ＯｓｃｆｉＩａｔｉｏｎｓ ｄｉｓａｐｐｅａｒｓ．Ｎｕｍｅ—ｃａｌ ｓｈｏｗ ｔＩｌａｔ ｔｈｉｓ ａＩｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｃｆｆｂｃｔｉｖｃ．
ｃ娜Ｉｐｊｅｓ
Ｏ．２ Ｏ
４０
６０
８０
Ｏ
Ｏ．５
ｌ
Ｉ．５ ３．Ｂ ６．Ｂ
２
ａｔ尸ｊｏ ８３３ ２．Ｒ砒）‘毋．８３３
ｌ Ａ砒Ｊ＝７６ ２ ４．Ａ砒Ｊ＝２
ａｔ．尸１．０
４．Ｒ砒．尸１．０
Ｒ砒乒７６ ５．Ｒ砒垆２
ａｔ炉７６
ａ【萨２
图３％２１００时各种物质沿不同截面的浓度分布 无因次速度为２００时的浓度分布与无因次速度为１００时的浓度分布大体相同，这里不做详细介 绍。但是速度增大时，流动相同距离所用的时间减少，即反应扩散的时间减少。所以速度为２００时 生成的Ｒ物质和Ｓ物质相对少一些。 离集指数工。＝２Ｃ。／２Ｃ。＋Ｃ。，表征微观混合质量的好坏的参数。实验中测得数据在 （Ｏ．０２．Ｏ．３）的区间，且随着速度增大而减小．无因次速度为１００时。计算所得离集指数为０．０３ｌ；无 因次速度为２００时计算所得离集指数为０．０２１５。它们都在取值区间。并且符合离集指数的变化规 律。以上算例表明算法是有效的，结果符合反应规律，并且克服了由于无因次速度引起的虚假摆
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ａ ｇｉｖｅｎ伊ｉｄ ｗｈｉｃｈ ｍａｋｅｓ ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｔｌｅ ｐａｒｔｉｃｌｅ ａｔ ｅＶｅｒｙ ｔｉｍｃ ｓｔｃｐ ｉｓ ｒｉｇｈｔ ｏｎ ｔｈｅ ｓｐａｃｅ ｎｏｄｅ，ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｎｉｃｌｅ ｗｈｉｃｈ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｓ ｎｏｔ ｏｎ ｎｏｄｃ ｉｓ ａｖｏｉｄｅｄ，ａｔ ｔｈｃ ｓａｍｅ ｔｉｍｅ ｓｐｕｒｉｏｕｓ ｎｕｍｅｒｉｃａＩ ｏＳｃｉｌｌａｔｉ∞ｓ ｉｎ ｃａｌｃｕＪａｔｊｏｎ ｃａｕｓｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｎｏｗ ｄｉｓｃｏｎ￡ｉｎｕ晦ｉｎ ｆ．ｒｏｍ ｏｆ ｔｈ＃ｍａｔｅｒｉ出ｓ ｉｓ ａｌｓｏ ｏｂｖｉａｔｅｄ，缸ｎｈｅ腑ｐｒｅ ｂａｄ
矧％２降％乱一
Ｑ，
割ｗ＝古【ｅ（碱地Ｈ（崛Ｍ矗。）】
（３）
Ｘ（瓦）一万是物质点在前一时刻的原始位置。一般情况下，在乙一。时刻物质点的位置不一定 在网格的节点上，它经过△ｒ时间后流到节点Ｘ（瓦）上。在特定的情况下，如果流体仅在一个方