函数展开成幂级数
函数能展开成幂级数的条件
函数能展开成幂级数的条件引言在数学的研究中，幂级数是一个非常重要的概念。
幂级数是无穷级数的一种特殊形式，其中每一项都是变量的幂次方乘以一个系数。
展开成幂级数可以帮助我们在计算中简化问题，建立起函数与无穷级数之间的关系。
那么，函数能够展开成幂级数的条件是什么呢？在本文中，我们将深入探讨这个问题。
一、函数的定义在开始讨论函数能够展开成幂级数的条件之前，我们首先需要对函数的定义进行了解。
函数是数学中的一个基本概念，表示一种变量之间的对应关系。
通常用符号f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是与x对应的函数值。
函数的定义域是指所有可能的x的取值范围，而值域则是函数在定义域上所有可能的函数值。
函数可以是实数函数，也可以是复数函数。
二、幂级数的定义2.1 幂级数的形式幂级数是一种特殊的数学级数，可以表示为：∞(x−c)n=a0+a1(x−c)1+a2(x−c)2+⋯∑a nn=0其中a n是常数系数，c是常数。
2.2 幂级数的收敛性幂级数的收敛性取决于变量x相对于常数c的距离。
如果存在一个非负数R，使得当|x−c|<R时，幂级数收敛，即级数部分和有界，那么我们称R为幂级数的收敛半径。
三、函数展开成幂级数的条件函数能够展开成幂级数的条件是存在一个与其相关的幂级数，使得该幂级数在函数的某个定义域上收敛。
下面是函数能够展开成幂级数的一些常见条件：3.1 连续性函数在展开成幂级数之前，通常要求在展开区间上具有一定的连续性。
连续性是指函数的图像没有间断点，即函数在任何点x的极限等于与该点相对应的函数值f(x)。
连续性的要求确保了函数在展开区间上的光滑性，从而使得幂级数能够更好地近似函数。
3.2 解析性展开成幂级数的函数通常要求在展开区间上是解析的，也就是说，函数在展开区间上可以用幂级数来表示。
解析性是函数展开成幂级数的确保条件，它保证了幂级数是函数的一个良好逼近。
3.3 全局收敛性幂级数的收敛半径R是一个非负数，表示幂级数收敛的范围。
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式在数学中，幂级数是一种特殊的函数表示方法，它可以用无限多个幂次项的和来表示一个函数。
幂级数的形式可以写为：f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...其中，a₀，a₁，a₂，a₃等是系数，可以是实数或复数，x是自变量。
幂级数的展开系数a₀，a₁，a₂，a₃等根据函数的性质不同而有所不同。
下面介绍几个常见函数的幂级数展开公式。
1. 指数函数(exp(x)的幂级数展开)：指数函数exp(x)可以展开为无限和的形式：exp(x) = 1 + x + (x²/2!) + (x³/3!) + ...其中，n!表示n的阶乘。
2. 正弦函数(sin(x)的幂级数展开)：正弦函数sin(x)可以展开为无限和的形式：sin(x) = x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - (x⁷/7!) + ...3. 余弦函数(cos(x)的幂级数展开)：余弦函数cos(x)可以展开为无限和的形式：cos(x) = 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ...4. 自然对数函数(ln(x)的幂级数展开)：自然对数函数ln(x)可以展开为无限和的形式：ln(x) = (x-1) - (x-1)²/2 + (x-1)³/3 - (x-1)⁴/4 + ...以上仅列举了几个常见函数的幂级数展开公式，实际上，许多其他函数也可以通过幂级数展开来表示，例如三角函数的反函数、双曲函数、指数函数的反函数等。
幂级数展开的优点是可以用有限项的和来近似计算一个函数的值，特别是在自变量比较接近展开点的情况下，保留有限项可以获得较高的精度。
此外，幂级数展开也有助于理解函数的性质和行为。
在实际应用中，幂级数展开在物理、工程、计算机科学等领域有重要的应用，例如在信号处理、图像处理、优化求解等方面都得到了广泛应用。
总之，幂级数是一种重要的函数展示方法，在数学和应用领域都有着重要的地位。
-函数展开成幂级数
1 2 1 ln( 2 1) .
2 n1 2n 1
2
在收敛区间内对幂级数逐项求导、逐项 积分后, 得到一个新的幂级数, 且它与原幂级 数具有相同的收敛半径 . 如有必要,可对它连 续进行逐项求导和逐项积分.
就是说, 在收敛区间内幂级数的和函数具 有任意阶的导数及任意次的可积性.
,
(| x|1).
例2
求
2n 1 n1 2n
之值.
n1
2n 1 2n
n1
2n 1 2n
xn
x1
符 合 积
分
n1
2n 1 2n
n1
2n 1 2n
x2n
x1
要 求 了
n1
2n 1 2n
x2 2n
n1
1
n 1
x 2n2
1
x2
x4
1 1 x2
,
故
x2n1 n1 2n 1
x1 01 x2
d
x
1 2
x 0
x
1 1
x
1 1
d
x
1 ln1 x , ( | x | 1) . 2 1 x
例3
f (n1) ( ) xn1 | e | x |
(n 1) !
| x |n1 (n 1) !
因为
lim an 0 n n !
( 在 0 与x 之间)
2 x2 (2 x2 )2
3.
x1
函数展开成幂级数的条件
函数展开成幂级数的条件一、引言在数学领域，函数展开成幂级数是一种常见的技巧，用于将非多项式函数表示为多项式的形式。
通过将函数展开成幂级数，我们可以更好地理解函数的性质和行为，从而解决一些复杂的问题。
本文将会深入探讨函数展开成幂级数的条件。
二、什么是幂级数在介绍函数展开成幂级数的条件之前，我们先来了解一下什么是幂级数。
幂级数是指以自变量的某个值为中心展开的无穷级数，其中每一项的系数是自变量的幂函数。
一般来说，幂级数可以表示为：∞(x−c)nf(x)=∑a nn=0其中a n为常数系数，c为展开点。
三、函数展开成幂级数的条件要将函数展开成幂级数，需要满足一定的条件。
下面是函数展开成幂级数的三个基本条件：1. 函数在展开点附近存在幂级数展开的条件函数展开成幂级数的前提是函数在展开点的某个邻域内要有幂级数展开的充分条件。
也就是说，我们需要找到一个点c，使得函数f(x)在c的某个邻域内可以被展开成幂级数。
这个点c被称为展开点。
2. 函数在展开点附近具有无穷多项可导函数展开成幂级数的第二个条件是函数在展开点的某个邻域内具有无穷多项可导。
这意味着函数在展开点附近可以展开为一个无穷级数，并且每一项都可以求导。
只有在这种情况下，我们才能得到一个收敛的幂级数展开。
3. 函数的导数与函数本身的关系函数展开成幂级数的第三个条件是函数的导数与函数本身有一定的关系。
具体来说，如果函数f(x)在展开点的某个邻域内可以被展开成幂级数，那么函数f(x)的每一阶导数乘上相应的多项式系数后的和应该等于函数本身。
也就是说，我们需要满足以下等式：f(n)(x)=a n⋅n! (n=0,1,2,…)其中f(n)(x)表示函数f(x)的n阶导数。
四、幂级数的收敛半径幂级数的收敛性是判断幂级数是否能够收敛到一个有限值的重要标准。
幂级数的收敛半径是指幂级数的展开点到最近的发散点（使得级数发散）之间的距离。
在判断幂级数的收敛性时，我们需要考虑幂级数的收敛半径。
函数怎么展开成幂级数
函数怎么展开成幂级数
展开函数成幂级数是将一个函数表示为幂级数的形式，其中幂级数是以自变量的幂次递增的一系列项的和。
下面是展开函数成幂级数的一般步骤：
1. 确定展开点：选择一个适当的展开点，通常是函数定义域内的某个特定点，例如0点或其他常用点。
2. 确定幂级数的形式：幂级数的一般形式是
f(x) = c? + c?(x-a) + c?(x-a)2 + c?(x-a)3 + ...
3. 求取各项系数：通过求导、积分或其他方法，计算幂级数的每一项系数c?, c?, c?, ...
4. 写出幂级数展开：将求得的各项系数代入幂级数的一般形式中，得到展开后的幂级数表达式。
需要注意的是，在某些情况下，函数可能只能在给定的展开点的某个特定范围内展开为幂级数。
具体来说，有几种常见的方法可以用来展开函数成幂级数：
1. 泰勒级数：使用泰勒级数展开函数，其中泰勒级数是在展开点附近的无穷项幂级数。
泰勒展开通常基于函数在展开点处的各阶导数。
2. 麦克劳林级数：麦克劳林级数是一种特殊的泰勒级数，其中只考虑展开点的0阶到n阶导数项。
此方法适用于将函数在0点处展开的情况。
3. 广义幂级数：广义幂级数是一种在非零展开点附近展开的级数形式，通过将函数表示为其他函数的级数和来展开。
请注意，展开函数成幂级数是一个复杂的过程，对于某些函数可能很难获得完整的幂级数表达式。
此外，幂级数可能只在某个收敛域内是收敛的。
因此，在实践中，特定函数的幂级数展开需要根据具体情况使用适当的方法和技巧。
函数展开成幂级数的方法
函数展开成幂级数的方法幂级数是指一种形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n
x^n$ 的函数展开方法。
这种展开方法可以将函数展开成一个关于 $x$ 的无限多项式。
对于给定的函数 $f(x)$，我们可以使用以下步骤将其展开成幂级数：
1.选择幂级数的中心 $x_0$。
2.将函数 $f(x)$ 以 $x_0$ 为中心进行平移，得到函数
$f(x-x_0)$。
3.使用泰勒展开式将函数 $f(x-x_0)$ 展开成如下形
式：
$$f(x-x_0) = \sum_{n=0}^{\infty}
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$$
其中 $f^{(n)}(x)$ 表示函数 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数。
通过以上步骤，我们就可以将函数 $f(x)$ 展开成幂级数：
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$$
注意，幂级数的收敛性取决于函数 $f(x)$ 在
$x_0$ 处的可微性以及 $x_0$ 周围的情况。
如果函数
$f(x)$ 在 $x_0$ 处不可微或者 $x_0$ 周围的函数值发生快速变化，那么幂级数可能会不收敛。
例如，对于函数 $f(x) = |x|$，无论选择任何值作为幂级数的中心，幂级数都不会收敛。
展开成幂级数的方法
展开成幂级数的方法
展开成幂级数的方法有多种，以下是其中两种常见的方法：
1. 泰勒级数展开：该方法适用于将一个函数展开为无穷级数的形式。
泰勒级数的一般形式为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...
其中，f(a)是函数在点a处的值，f'(a)是函数在点a处的导数，以此类推。
使用泰勒级数展开的前提是函数在展开点附近是可导的。
2. 幂级数展开：对于某些特定函数，可以直接将其展开成幂级数的形式。
一些常见的例子包括指数函数、三角函数和对数函数。
例如，e^x的幂级数展开形式为：
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...
sin(x) 的幂级数展开形式为：
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
ln(1+x) 的幂级数展开形式为：
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...
根据具体的函数形式，选择合适的幂级数展开方程可以更快
地得到展开结果。
请注意，展开成幂级数的方法不一定对于所有函数都适用，有些函数可能没有幂级数展开形式，或者幂级数展开的收敛区间有限。
因此，在实际应用中，需要对函数的性质和展开方法进行合理的选择。
函数展开成幂级数
1. 直接展开法
把函数 f (x) 展开成 x 的幂级数的步骤:
第一步 求出 f (x) , f (x) , , f (n) (x) , ,
第二步 求出 f (0) , f (0) , f (0) , , f (n) (0) , ,
第三步 写出幂级数
f (n) (0) xn ,并求出收敛半径 R .
n2 n 1
x (1)n1(2n 1) xn (1 x 1) .
n2 n(n 1)
例
将函数
sin
x
展开成
x
π 4
的幂级数.
解
sin x
sin
π 4
x
π 4
sin
π 4
cos
x
π 4
1 2(1
x)
1 2(3
x)
1
1
,
4 1
x 1 2
8 1
x
1 4
将 1 (1)n xn 中的 x分别换成 x 1 和 x 1 ,
1 x n0
24
可得
1
4
1
x
1 2
1 4
n0
(1)n 2n
n1 n
例 把函数 f (x) (1 x) ln(1 x) 展开成 x 的幂级数.
解
f (x) (1 x)
(1)n1 xn
n1 n
(1)n1 xn
函数展开成幂级数11-4
§ 11.4 函数展开成幂级数一、泰勒级数1． 函数)(x f 展开成幂级数的概念给定)(x f 能否在某区间内展开成幂级数，即是否找到一幂级数，它在某区间内收敛且和等于)(x f ．若能，就称)(x f 在该区间内能展开成幂级数。
泰勒公式()()()()()()()()()()200000002!!n nn f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ (1)()()()()()1100(1)!n n n f R x x x x x n ξξ++=-+在与之间()()()()()()()()()200000002!!n nn f x f x p x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-(2)如果()f x 在点0x 的某邻域内具有各阶导数,设想(2)的项数趋向无穷而成为幂级数()()()()()()()()()200000002!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-+(3)称为)(x f 的泰勒级数定理 设函数)(x f 在点0x 的某一邻域()0U x 内具有各阶导数, 则)(x f 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是)(x f 的泰勒公式中的余项()n R x 当n →∞时的极限为零.即 ()()()0lim 0n x R x x U x →∞=∈.证略。
2. )(x f 的马克劳林级数()()()()()()200002!!n n f f f x f f x n '''=+++++注（1）若)(x f 能展开成x 的幂级数，则该展开式是唯一的，它与)(x f 的麦克劳林级数一致。
（2）反之，若)(x f 的麦克劳林级数在点0x =0的某邻域内收敛，却不一定收敛于)(x f .因此，若)(x f 在0x =0处具有各阶导数，则)(x f 的麦克劳林级数虽能作出来，但该级数是否能在某个区间内收敛、是否收敛于)(x f 需进一步考察。
函数展开为幂级数
所以
x e (n 1,2,), f 0 f 0 f 0 f ( n) 0 1,
f
n
x
于是我们得到幂级数 1 1 1 x x2 xn ，收敛域为(, ) 2! n! 可以验证余项lim Rn x 0，x (, )(从略)
( n 1)
(0 1)
二、函数展开为幂级数 1．直接展开法
f ( n) ( x0 ) ; 步骤: (1) 求幂级数系数an n!
(2) 讨论 lim Rn ( x) 0 ,
n
则级数在收敛区间内收 敛于 f ( x).
例1 试将函数f x ex展开成x的幂级数．
这个级数的敛域为(, ).
2.间接展开法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法, 求展开式.
ex 1 x 1 2 1 x xn (＜x＜ )． 2! n!
1 3 1 5 x2n1 n sin x x x x (1) 3! 5! (2n 1)!
(n 1)π sin x n 1 2 n 1 x | Rn x | x ０ (n 1)! (n 1)!
因此有
1 3 1 5 x2n1 n sin x x x x (1) ， 3! 5! (2n 1)!
n
所以 e x 1 x
1 2 1 x xn (＜x＜ )． 2! n!
例2 试将函数f x sin x展开成x的幂级数．
解 因为 nπ ) (n 1, 2,), 2 所以 f 0 0, f (0) 1，f (0) 0, f (0) 1,, f
函数展开为幂级数的公式
函数展开为幂级数的公式
函数展开成幂级数公式为：1/(1-x)=∑x^n(-1），幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方，n是从0开始计数的整数，a为常数。
幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
常用的全面的幂级数展开公式：f(x)=1/(2+x-x的平方)
每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方，n 是从0开始计数的整数，a为常数。
幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
扩展资料：
函数展开成幂级数的一般方法是：
1、直接展开
对函数求各阶导数，然后求各阶导数在指定点的值，从而求得幂级数的各个系数。
2、通过变量代换来利用已知的函数展开式
例如sin2x的展开式就可以通过将sinx的展开式里的x全部换成2x 而得到。
3、通过变形来利用已知的函数展开式
例如要将1/(1+x)展开成x−1的幂级数，我们就可以将函数写成x −1 的函数，然后利用1/(1+x)的幂级数展开式。
4、通过逐项求导、逐项积分已知的函数展开式
例如coshx=(sinhx)′，它的幂级数展开式就可以通过将sinhx的展开式逐项求导得到。
需要注意的是，逐项积分法来求幂级数展开式，会有一个常数出现，这个常数是需要我们确定的。
确定的方法就是通过在展开点对函数与展开式取值，令两边相等，就得到了常数的值。
5，利用级数的四则运算
例如sinhx=(e^x−e^{−x})/2，它的幂级数就可以利用e^x和e^{−x} 的幂级数通过四则运算得到。
函数展开成幂级数公式
函数展开成幂级数公式在数学中，幂级数是一种以自变量的幂次递增的项构成的级数。
它的一般形式可以表示为：f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...其中，a₀、a₁、a₂、a₃等为系数，它们可以是实数或复数，而x则是自变量。
为了展开一个函数成幂级数公式，我们通常需要计算系数a₀、a₁、a₂、a₃等的值。
这可以通过不同的数学方法来实现，比如泰勒级数展开和麦克劳林级数展开。
泰勒级数展开是一种常用的函数展开方法，它可以将一个光滑函数在一些点(x=c)的附近展开成幂级数。
泰勒级数的一般形式可以表示为：f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+f'''(c)(x-c)³/3!+...其中，f(c)、f'(c)、f''(c)、f'''(c)等为函数在点c处的各阶导数值。
麦克劳林级数展开是一种特殊的泰勒级数展开，它将一个函数在原点x=0处展开成幂级数。
f(x)=f(0)+f'(0)x/1!+f''(0)x²/2!+f'''(0)x³/3!+...与泰勒级数展开类似，麦克劳林级数的各阶导数值需要在点x=0处计算。
通过以上两种展开方法，我们可以将各种函数表达式转化为幂级数形式，从而更好地理解和分析函数的性质。
这种转化不仅可以简化函数的计算，还可以为进一步的数学推导和应用提供基础。
需要注意的是，幂级数展开并不适用于所有函数。
一些函数可能无法用幂级数的形式来表示，或者幂级数展开在一些点上不收敛。
因此，在进行幂级数展开时，要注意函数的条件和适用范围，以免产生错误的结果。
总结起来，函数展开成幂级数公式是一种重要的数学方法，可以将复杂的函数表达式转化为一组无穷和的形式。
它为数学、物理和工程领域的问题提供了一种有效的分析和处理工具，有助于进一步研究和应用各种函数。
函数展开成幂级数泰勒公式
解 f ( x) sin x cos 2x 1[sin 3x sin x]
2 sin x x 1 x3 1 x5 (1)n
x 2n1
3! 5!
(2n 1)!
1 ( 1)n (3 x)2n1 1 ( 1)n x2n1
2
2
f (2n) (0) 0, f (2n1) (0) (1)n , (n 0,1,2,)
且 f (n) ( x) sin( x n) 1 x (,)
2
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
4 2x 在 x 2 展开成 幂级数
经济数学
三、小结
1.如何求函数的泰勒级数; 2.泰勒级数收敛于函数的条件; 3.函数展开成泰勒级数的方法.
经济数学
思考题
什么叫幂级数的间接展开法？
经济数学
思考题解答
从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运 算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数 展开式的方法称之.
解:
x2
1 4x
3
(x
1 1)( x
3)
x1
x1
2
4
1 (1)n (x 1)n
4 n0
2n
( x 1 2)
(1)n
n0
1 2n2
1 22n3
(x 1)n
(1 x 3 )
经济数学
思考： sin x 展开成 x 的幂级数
二、泰勒级数
上节例题 (1)n1 xn ln(1 x) (1 x 1)
《高等数学》第五节 函数展开成幂级数
(12) n 1 1 当x 1时，它成交错级数 (1) 收敛； 2n 1 n 1
收敛区间为 [-1,1]
1 当x -1时，它成交错级数 (1) 收敛. 2n 1 n1
n
例4
x 解：利用例1的展开式(6)，将x换成 有： 3 n 1 x n (-1) ( ) n! 3 n0
x
| x|
e| x| lim | x |n 1 0，即： lim Rn 0 n ( n 1)! n
得到展开式： 2 n x x x e 1 x ( x ) (6) 2! n!
间接展开法
利用一些已知的函数展开式、
幂级数运算(如四则运算、逐项求导、逐项积 分)以及变量代换等，将所给函数展开成幂级 数.
f ( n 1) ( ) n 1 R ( x ) ( x x ) (在x0与x之间) (4) 其中： n 0 (n 1)！
公式(3)称为函数f(x)的泰勒公式，余项(4)
称为拉格朗日余项.
定理2 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内
具有各阶导数，则f(x)在该邻域内可展开成泰
(-1 x 1)
将(9)、(10)式分别从0到x逐项积分，得：
1 2 1 3 n 1 x ln(1 x) x x x (1) 2 3 n (1 x 1) (11)
2 n 1 1 3 1 5 x arctan x x x x (1) n 1 3 5 2n 1 n
1 2 n 1 1 q q q 1 q (-1 q 1) 分别令q=−x、−x2有： (8)
1 1 x x 2 (1) n 1 x n 1 1 x (-1 x 1) 1 1 x
函数展开成幂级数
其收敛半径为
对任何有限数 x , 其余项满足
故
( 在0与x 之间)
故得级数
例2. 将
展开成 x 的幂级数.
解:
得级数:
其收敛半径为
对任何有限数 x , 其余项满足
对上式两边求导可推出:
例3. 将函数
展开成 x 的幂级数, 其中m
为任意常数 .
解: 易求出
于是得级数
由于
级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
该邻域内有 :
为f (x) 的泰勒级数 .
则称
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .
1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？
2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
待解决的问题 :
若函数
的某邻域内具有任意阶导数,
定理1 .
各阶导数,
则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
(2014级期末考试题)
3.
将函数 展开成 x 的幂级数 ，并求 其收敛域 (10分) .
(2015级期末考试题)
4.
提示：
将函数 展开成 x的幂级数 ，并 求其收敛域 (9分) .
利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,
例4. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: 因为
把 x 换成
, 得
将所给函数展开成 幂级数.
例5. 将函数
展开成 x 的幂级数.解: ຫໍສະໝຸດ 从 0 到 x 积分, 得
定义且连续,
域为
利用此题可得
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 ,
所以展开式对 x ＝1 也是成立的,
函数展开成幂级数
函数展开成幂级数分布图示★引言 ★泰勒级数的的概念★麦克劳林级数★函数展开成幂级数—直接法 ★例1★例2 ★例3 ★例4 ★例5★常用麦克劳林展开式★函数展开成幂级数—间接法 ★例6★例7 ★例8 ★例9 ★例10★例11 ★例12 ★例13★函数的幂级数展开式的应用★内容小结 ★课堂练习★习题7-5内容要点一、泰勒级数的概念：函数的泰勒展开式；函数的麦克劳林展开式；如果函数)(x f 能在某个区间内展开成幂级数，则它必定在这个区间内的每一点处具有任意阶的导数. 即，没有任意阶导数的函数是不可能展开成幂级数的. 可证明，如果)(x f 能展开成x 的幂级数，则这种展开式是唯一的，它一定等于)(x f 的麦克劳林级数.二、函数展开成幂级数的方法：直接法：直接将函数展成泰勒级数；间接法：利用已知的函数展开式（七个基本函数的麦克劳林展开式），通过线性运算法则、变量代换、恒等变形、逐项求导或逐项积分等方法间接地求得幂级数的展开式. 这种方法我们称为函数展开成幂级数的间接法.三、级数的主要应用之一是利用它来进行数值计算. 在函数的幂级数展开式中，取前面有限项，就可得到函数的近似公式，这对于计算复杂函数的函数值是非常方便的，可以把函数近似表为x 的多项式，而多项式的计算只需用到四则运算，非常简便.四、计算定积分：许多函数, 如xx x e x ln 1,sin ,2-等，其原函数不能用初等函数表示，但若被积函数在积分区间上能展开成幂级数，则可通过幂级数展开式的逐项积分，用积分后的级数近似计算所给定积分.五、求常数项级数的和：在本章的前三节中，我们已经熟悉了常数项级数的求和的几种常用方法，包括利用定义和已知公式直接求和、对所给数拆项重新组合后再求和、利用推导得到的递推公式求和等方法. 这里，我们再介绍一种借助幂级数的和函数来求常数项级数的和的方法，即所谓的阿贝尔方法，其基本步骤如下： （1）对所给数项级数,0∑∞=n n a 构造幂级数∑∞=0n n n x a ;（2）利用幂级数的运算性质，求出∑∞=0n n n x a 的和函数)(x s ;（3） 所求数项级数).(lim 10x s a x n n -→∞==∑ 例题选讲利用直接法将函数展开成幂级数例1（E01）将函数xe xf =)(展开成x 幂级数.解 由,)()(x n e x f =得1)0()(=n f ),,2,1,0( =n 于是)(x f 的麦克劳林级数为 +++++n x n x x !1!2112 该级数的收敛半径为.+∞=R 对于任何有限的数x 、ξ(ξ介于0与x 之间)，有 |)(|)(x R n 1)!1(++=n x n e ξ.)!1(||1||+⋅<+n x e n x 因x e 有限,而)!1(||1++n x n 是级数∑∞=++01)!1(||n n n x 的一般项，所以)!1(||1||+⋅+n x e n x 0→),(∞→n 即有,0)(lim =∞→x R n n 于是 x e ,!1!2112 +++++=n x n x x ).,(+∞-∞∈x例2（E02）将函数x x f sin )(=展成x 的幂级数.解 )()(x f n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin πn x ),2,1,0( =n )0()(n f 顺序循环地取 ,1,0,1,0-),,2,1,0( =n 于是)(x f 的麦克劳林级数为++-+-+-+)!12()1(51!311253n x x x x n n 该级数的收敛半径为.+∞=R 对于任何有限的数x 、ξξ(介于0与x 之间)，有)(x R n =1)!1(2)1(sin ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++n x n n πξ)!1(1+<+n x n 有 )(x R n )!1(1+<+n xn 0→),(∞→n于是 x sin ,)!12()1(!31123 ++-++-=+n x x x n n ).,(+∞-∞∈x例3（E03）将函数x x f cos )(=展成x 的幂级数.解 利用幂级数的运算性质,由x sin 的展开式x sin ,)!12()1(!5!31253 ++-+-+-=+n x x x x n n ),(+∞-∞∈x 逐项求导得x cos ,)!2()1(!4!21242 +-+-+-=n x x x n n ),(+∞-∞∈x例4（E04）将函数)1ln()(x x f +=展成x 的幂级数.解 因为,11)('xx f +=而 x+11,)1(132 +-++-+-=n n x x x x )1,1(-∈x 在上式两端从 0 到x 逐项积分,得 )1ln(x +,1)1(!3!2132 ++-+-+-=+n x x x x n n ]1,1(-∈x 上式对1=x 也成立.因为上式右端的幂级数当1=x 时收敛，而上式左端的函数)1ln(x +在 1=x 处有定义且连续.例5（E05）将函数)()1()(R x x f ∈+=αα展开成x 的幂级数. 解 )(x f ',)1(1-+=a x a)(x f '',)1)(1(2-+-=a x a a …)()(x f n ,)1)(1()2)(1(n a x n a a a a -++---= … 所以,1)0(=f ,)0('a f =),1()0(''-=a a f …),1()1()0()(+--=n a a a f n … 于是)(x f 的麦克劳林级数为+-++2!2)1(1x a a ax ++--+n x n n a a a !)1()1( )1( 该级数相邻两项的系数之比的绝对值n n a a 1+1+-=n n a 1→),(∞→n 因此，该级数的收敛半径,1=R 收域区间为).1,1(-设级数(1)的和函数为),(x s 则可求得 ,)1()(n x x s +=)1,1(-∈x即 +++=+ ax x a 1)1( ++--n x n n a a a !)1()1()1,1(-∈x (2) 在区间的端点1±=x 处，展开式(2)是否成立要看a 的取值而定.可证明:当1-≤a 时，收敛域为);1,1(-当01<<-a 时，收敛域为];1,1(-当0>a 时，收敛 域为].1,1[-公式(2)称为二项展开式.特别地,当a 为正整数时，级数成为x 的a 次多项式，它就是初等代数中的二项式定理. 例如，对应21=a 、21-=a 的二项展开式分别为 ,64231421211132 +⋅⋅⋅+⋅-+=+x x x x ];1,1[-∈x ].1,1(,64253142312111132-∈+⋅⋅⋅⋅-⋅⋅+-=+x x x x x例6 将函数x sin 展开成()4/π-x 的幂级数.解 )]4/(4/sin[sin ππ-+=x x)4/sin()4cos()4(cos )4sin(ππππ-+-=x x)]4sin()4[cos(21ππ-+-=x x --+--=!4)4/(!2)4/(1[2142ππx x --+---+!5)4/(!3)4/()4/(53πππx x x ]!3)4/(!2)4/()4/(1[2132 +-----+=πππx x x ).(+∞<<-∞x利用间接法将函数展开成幂级数例7（E06）将函数x x f arctan )(=展开成x 的幂级数.解 ⎰+=201arctan x dx x x dx x x x n n x ⎰+-+-+-=])1(1[2420 ,12)1(51311253 ++-+-+-=+n x x x x n n ).1,1(-∈x 当1=x 时，级数∑∞=+-012)1(n n n 收敛;当1-=x 时，级数∑∞=++-0112)1(n n n 收敛.且当1±=x 时，函数x arctan 连续，所以,12)1(5131arctan 1253 ++-+-+-=+n x x x x x n n ].1,1[-∈x例8 将函数x x x x x f -+-+=arctan 2111ln 41)(展开成x 的幂级数. 解 由于11121)1111(41)('2-+⋅+-++=x x x x f,111114044∑∑∞=∞==-=--n n n n x xx且,0)0(=f 所以dx x dx x f x f n n x x )()()(1400∑⎰⎰∞=='=).1,1(,14114-∈+=∑∞=+x n x n n例9（E07）将函数213+x 展开成x 的幂级数. 解3ln 2221213333x x x e =⋅=+=,23ln !3123ln !2123ln 133322⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++ x x x ).,(+∞-∞∈x例10 将函数 ()234ln x x --展开成x 的幂级数.解 )4)(1ln()34ln(2x x x x +-=--)4ln()1ln(x x ++-=而)](1ln[)1ln(x x -+=- --+---=3)(2)()(32x x x )11(<≤-x )41(4ln )4ln(x x +=+)41ln(4ln x ++= -⋅+⋅-+=32)4(31)4(2144ln x x x )44(≤<-x 所以)34ln(2x x --= -⋅+⋅-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----332232434244ln 32x x x x x x).11(192633217434ln 32<≤-----=x x x x例11 将函数()21x x f =展开成()2-x 的幂级数. 解 因为2)2(11+-=x x 221121-+⨯=x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-- 32222222121x x x n n n n x )2(2)1(210--=∑∞=).2|2(|<-x 逐项求导,得 ,)2(2)1(211112-∞=--=-∑n n n n x n x所以 11112)2(2)1(1)(-+∞=+--==∑n n n n x nx x f ).40(<<x例12（E08）将函数341)(2++=x x x f 展开成)1(-x 的幂级数. 解 341)(2++=x x x f )3)(1(1++=x x )3(21)1(21x x +-+==,4118121141⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 而 ∑∞=--=-+0)1(2)1(41)211(41n n n nx x ),31(<<-x n n n n x x )1(4)1(81)411(810--=-+∑∞=),53(<<-x 故 n n n n n x x x )1)(2121()1(34132202---=++++∞=∑).31(<<-x例13（E09）将x x x f --=41)(展开成1-x 的幂级数, 并求).1()(n f 解 )1(3141--=-x x )311(31--=x ],)31()31(311[312 +-++-+-+=n x x x ,3|1|<-x ∴x x x x --=--41)1(41=,3)1(3)1(3)1()1(313322 +-++-+-+-n n x x x x .31<-x 于是,31!)1()(n n n f =故.3!)1()(n n n f =。
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令 x = x0 , 即得
1 (n) an = f ( x0 ) n!
泰勒系数是唯一的, 泰勒系数是唯一的
(n = 0,1,2,L )
泰勒系数
∴ f ( x )的展开式是唯一的 .
定义
x
1 1 1 , = 解 Q = x −1 4 − x 3 − ( x − 1) 3(1 − ) 3 1 x −1 x −1 2 x −1 n ) +L+ ( ) + L] = [1 + +( 3 3 3 3 x −1 < 3 x −1 1 ∴ = ( x − 1) 4− x 4− x
1 ( x − 1) 2 ( x − 1) 3 ( x − 1) n = ( x − 1) + + + L+ +L 2 3 n 3 3 3 3 x −1 < 3 (n) f (1) = 1 , n! (n) 于是 故 f (1) = n . n 3 n! 3
∴ lim Rn ( x ) = lim[ f ( x ) − sn+1 ( x )] = 0 ;
n→ ∞ n→ ∞
充分性
n→ ∞
Q f ( x ) − sn+1 ( x ) = Rn ( x ),
n→ ∞
∴ lim[ f ( x ) − sn+1 ( x )] = lim Rn ( x ) = 0,
(n)
x ∈(−∞,+∞)
f x . 例3 将 ( x) = (1+ x) (α ∈ R)展开成 的幂级数
α
解 Q f ( n ) ( x ) = α(α − 1)L(α − n + 1)(1 + x ) α− n ,
f
( n)
(0) = α(α − 1)L(α − n + 1),
( n = 0,1,2,L)
α(α − 1) 2 α(α − 1)L(α − n + 1) n 1 + αx + x +L+ x +L 2! n!
α−n a n +1 = = 1, Q lim n→ ∞ a n+1 n
∴ R = 1,
在(−1,1)内, 若设 −
α(α − 1)L(α − n + 1) n s( x ) = 1 + αx + L + x +L n! α(α − 1)L(α − n + 1) n−1 s′( x ) = α + α(α − 1) x + L + x +L ( n − 1)!
n→∞
证明 必要性 设f ( x )能展开为泰勒级数 ,
Q f ( x) = ∑
i =0
n
f ( i ) ( x0 ) i ( x − x0 ) + Rn ( x ) i!
n→ ∞
∴ Rn ( x ) = f ( x ) − sn+1 ( x ), Q lim sn+1 ( x ) = f ( x )
∑
n=0
∞
∞
处任意阶可导, 如果 f ( x ) 在点 x0 处任意阶可导,则幂级数
f ( n ) ( x0 ) n ( x − x0 ) 称为 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数. 泰勒级数. n!
f ( n ) ( 0) n x 称为 f ( x ) 在点 x0 的麦克劳林级数. 麦克劳林级数. n!
(n)
Байду номын сангаас
x
(n)
1 2 1 n ∴e = 1 + x + x + L+ x + L 2! n!
x
由于M的任意性 由于 的任意性, 即得 的任意性
1 2 1 n e = 1 + x + x +L+ x +L x ∈(−∞,+∞) 2! n!
x
f x . 例2 将 ( x) = sin x展开成 的幂级数
∑
n=0
问题
f (n) ( x0 ) n f ( x) ? ∑ ( x − x0 ) == n! n=0
∞
泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定 泰勒级数在收敛区间是否收敛于 不一定.
e , x ≠ 0 例如 f ( x) = 0, x=0
− 1 x2
点任意可导, 在x=0点任意可导 且 f 点任意可导
∞
(n)
(0) = 0 ( n = 0,1,2,L)
∴ f ( x )的麦氏级数为 ∑ 0 ⋅ x n
n= 0
该级数在( −∞ ,+∞ )内和函数 s( x ) ≡ 0.
除 x = 0外, f ( x )的麦氏级数处处不收敛 于 f ( x ).
的泰勒级数, 定理 2 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数, 在U δ ( x0 ) 内收 敛于 f ( x ) ⇔ 在U δ ( x0 ) 内 lim Rn ( x ) = 0 .
定理1 定理 1 如果函数 f (x)在Uδ ( x0 )内具有任意阶导 的幂级数, 数, 且在Uδ ( x0 )内能展开成( x − x0 )的幂级数, 即 f ( x) =
an ( x − x0 )n ∑
n=0
∞
1 (n) 则其系数 an = f ( x0 ) n!
且展开式是唯一的. 且展开式是唯一的.
n
f ( x) = ∑an ( x − x0 )
n=0
存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 域内以 为和函数
问题: 如果能展开 如果能展开, 是什么? 问题 1.如果能展开 a n 是什么 2.展开式是否唯一 展开式是否唯一? 展开式是否唯一 3.在什么条件下才能展开成幂级数 在什么条件下才能展开成幂级数? 在什么条件下才能展开成幂级数
三、小结
1.如何求函数的泰勒级数 如何求函数的泰勒级数; 如何求函数的泰勒级数 2.泰勒级数收敛于函数的条件; 2.泰勒级数收敛于函数的条件; 泰勒级数收敛于函数的条件 3.函数展开成泰勒级数的方法 函数展开成泰勒级数的方法. 函数展开成泰勒级数的方法
0
− R, x0 + R)
二、函数展开成幂级数
1.直接法(泰勒级数法) 1.直接法(泰勒级数法) 直接法 步骤: 步骤 (1) 求a n =
(n)
f
( x0 ) ; n!
( 2) 讨论 lim Rn = 0 或 f ( n ) ( x ) ≤ M ,
n→ ∞
则级数在收敛区间内收 敛于 f ( x ).
得 ln s( x ) − ln s( 0) = α ln(1 + x ),
即
ln s( x ) = ln(1 + x ) α ,
∴ s( x ) = (1 + x )α , x ∈ (−1,1) −
∴ (1+ x)α α(α − 1) 2 α(α − 1)L(α − n + 1) n x +L+ x +L = 1+ αx + 2! n! 牛顿二项式展开式 注意: 在x = ±1处收敛性与 α的取值有关 . 注意: α ≤ −1 收敛区间为 ( −1,1); −1< α < 1 收敛区间为 ( −1,1]; α >1 收敛区间为 [ −1,1].
( n = 0,1,2,L), 则 f ( x ) 在 ( x 0 − R, x 0 + R ) 内可展 的泰勒级数. 开成点 x0 的泰勒级数.
证明
n+1 f ( n+1) (ξ ) n +1 x − x0 Q Rn ( x ) = ( x − x0 ) , ≤M ( n + 1)! ( n + 1)!
即 lim sn+1 ( x ) = f ( x ),
n→ ∞
∴ f ( x )的泰勒级数收敛于 f ( x ).
定理 3 上有定义, 设 f ( x ) 在 U ( x0 ) 上有定义 , ∃M > 0 , 对 ∀ x ∈ ( x0 − R, x0 + R ), 恒有 f ( n ) ( x ) ≤ M
∞ n=0
(n = 0,1,2,L )
证明 Q ∑ a n ( x − x 0 ) n 在 u ( x 0 )内收敛于 f ( x ), 即
f ( x ) = a 0 + a1 ( x − x 0 ) + L + a n ( x − x 0 ) + L
n
逐项求导任意次,得 逐项求导任意次 得
f ′( x ) = a1 + 2a 2 ( x − x0 ) + L + na n ( x − x0 ) n−1 + L
1 当α = −1,± 时, 有 2 1 = 1 − x + x 2 − x 3 + L + ( −1) n x n + L ( −1,1) 1+ x
1 1 2 1⋅ 3 3 n ( 2n − 3)!! n 1+ x = 1+ x − x + x + L + ( −1) x +L 2 2⋅ 4 2⋅4⋅6 ( 2n)!! [−1,1]
1 1 1⋅ 3 2 1⋅ 3 ⋅ 5 3 n ( 2 n − 1)!! n x − x + L + ( −1) x +L = 1− x + 1+ x 2 2⋅4 2⋅4⋅6 ( 2n)!!
双阶乘
[−1,1]