不等式的基本性质2

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不等式的基本性质(2)

2.3不等式的基本性质一、教学目标：（一）知识与技能1．掌握不等式的三条基本性质。

2．使用不等式的基本性质对不等式实行变形。

1．通过等式的性质，探索不等式的性质，初步体会“类比”的数学思想。

2．通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，经历从特殊到一般、由具体到抽象的认知过程，感受数学思考过程的条理性，发展思维水平和语言表达水平。

（三）情感态度与价值观通过探究不等式基本性质的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想，乐于探究的良好思维品质。

二、教学重难点教学重点：探索不等式的三条基本性质并能准确使用它们将不等式变形。

教学难点：不等式基本性质3的探索与使用。

三、教学方法：自主探究——合作交流四、教学过程：情景引入：1．举例说明什么是不等式？2．判断下列各式是否成立？并说明理由。

( 1 ) 若x－4=12, 则x＝16( )( 2 ) 若3x=12, 则 x＝4( )( 3 ) 若x－4＞12 则 x＞16 ( )( 4 ) 若3x＞12则 x＞4( )【设计意图】（1）、（2）小题唤起对旧知识等式的基本性质的回忆，（3）、（4）小题引导学生大胆说出自己的想法。

通过复习既找准了旧知停靠点，又创设了一种情境，给学生提供了类比、想象的空间，为后续学习做好了铺垫。

教师导语：当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到它是否与等式有相类似的性质。

这节课我们就通过类比来探究不等式的基本性质。

温故知新问题1．由等式性质1你能猜想一下不等式具有什么样的性质吗？等式性质1：等式两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），所得结果仍是不等式。

估计学生会猜：不等式两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），所得结果仍是不等式。

教师引导：“＝”没有方向性，所以能够说所得结果仍是等式，而不等号：“＞，＜，≥，≤”具有方向性，我们应该重点研究它在方向上的变化。

问题2．你能通过实验、猜想，得出进一步的结论吗？同桌同学通过实例验证得出结论，师生共同总结不等式性质1。

二2.不等式的基本性质

如果a>b，那么b<a
不等式传递性：
如果a>b，b>c,那么a>c
作业：百分导学2.1、2.2。
即：
例2
把下列不等式化为x >a或x< a的形式：（1）x + 6 > 5 ；（2） 3x < 2x -2 .
根据不等式基本性质1
解（ 1 ） x + 6 > 5，
不等式的两边都减去6，由不等式基本性质1，得 x +6-6 > 5-6；即： x > -1 （2） 3x < 2x -2，根据不等式基本性质1 不等式的两边都减去2x，由不等式基本性质1，得 3x -2x < 2x-2-2x；即： x < -2
-1×(- 4)____3 ＞ ×( - 4), -1÷ (- 4)____3 ＞ ÷ ( - 4) 你能再总结一下规律吗？
完成P40：做一做
如果_________, a>b且c>0
ac>bc 那么_______ (或
a b c c
)
不等式基本性质2：不等式的两边都正数，不等号乘以（或除以）同一个____ 的方向不变 ____。
练习：根据不等式的基本性质,把下列不等式化
成“x>a”或“x<a”的形式:
1 (1)5x>4x+8.(2)5+x>-2.(3)-2x< 3 . 1 1 (4)7-x<3.(5)- 5 x<-2.(6)x< 2 x+3.
例3：不等式的基本性质的应用 1.由x>y得到ax>ay的条件是 ( A A.a>0 B.a<0 C.a≥0 D.a≤0

3.2不等式的基本性质(解析版)

3.2 不等式的基本性质考查题型一不等式的基本性质11．若m<n，且m+6<n+?，则“？”不一定可以为（）A．8B．7C．6D．5【答案】D【分析】根据不等式的性质即可得．【详解】解：由m<n得：m+6<n+6，∵n+6<n+7<n+8，∴“？”可以为6，7，8，不一定可以为5，故选：D．【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键．A．若a+c>b+c，那么a>b B．若a<b，那么a+c<b+cC．若a―c>b―c，那么a>b D．若ab>bc，那么a>b【答案】A【分析】根据图形及不等式的性质求解即可．【详解】解：由第一个图得出：a+c>b+c，由第二个图得出：a>b，∴说明若a+b>b+c，那么a>b，故选：A．【点睛】题目主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键．考查题型三不等式的基本性质34．设m>n，下列式子不能用“>”连接的是（）A．m―5___n―5B．m+5___n+5C．5m___5n D．―5m___―5n【答案】D【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【详解】解：A．∵m>n，∴m―5>n―5，故本选项不符合题意；B．∵m>n，∴m+5>n+5，故本选项不符合题意；C．∵m>n，∴5m>5n，故本选项不符合题意；D．∵m>n，∴―5m<―5n，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．5．已知m<n，则下列不等式错误的是（）A．■B．●【答案】B位上的数字交换，得到新数m．若m与k的差是“四倍数”，求出所有符合条件的正整数k．【答案】(1)p是“四倍数”；理由见解析(2)15，19，26，37，48，59【分析】（1）p=(2n+2)2+(2n)2+(2n―2)2，化简即可求解；（2）根据题意可得m―k=9(y―x)，进一步可求出m―k的范围．再由m―k是“四倍数”即可求解．【详解】（1）解：p是“四倍数”，理由如下：∵p=(2n+2)2+(2n)2+(2n―2)2=12n2+8=4(3n2+2)，∴p是“四倍数”；（2）解：由题意得m=10y+x，则m―k=10y+x―(10x+y)=9(y―x)．∵1≤x<y≤9，其中x,y为整数，∴1≤y―x≤8．若9(y―x)．是4的倍数，则y―x=4或y―x=8．当y―x=4时，符合条件的k是15，26，37，48，59；当y―x=8时，符合条件的k是19．∴所有符合条件的正整数k是15，19，26，37，48，59．【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了数字类的整除问题．正确理解题意是解题关键．17．阅读：通过作差的方式可以比较两个数的大小．例如比较a，b两数的大小：当a―b>0时，一定有a> b；当a―b=0时，一定有a=b；当a―b<0时，一定有a<b．反之亦成立．解决问题：甲、乙两个班分别从新华书店购进了A，B两种图书，A种图书的进价为4元/本，B种图书的进价为10元/本．现甲班购进m本A种图书和n本B种图书，乙班购进m本B种图书和n本A种图书．(1)分别用含m，n的式子表示甲、乙两个班的购书总费用．(2)若m<n，请比较哪个班的购书总费用较少．【答案】(1)甲班购书总费用为(4m+10n)元，乙班购书总费用为(4n+10m)元(2)乙班的购书总费用较少【分析】（1）根据购书总费用=A种图书的进价×购进A种图书的数量+B种图书的进价×购进B种图书的数量即可得；（2）将两个班的购书总费用通过作差的方式比较大小即可得．【详解】（1）解：甲班购书总费用为(4m+10n)元，乙班购书总费用为(4n+10m)元．（2）解：(4m+10n)―(4n+10m)=4m+10n―4n―10m。

不等式的基本性质2

成立.
（不等号方向改变）
我来尝试
例1：已知a＜0，试比较2a与a的大小.
例2：若 x y ，且 (a 3)x (a 3) y 求 a 的取值范围。
一、用适当的不等号填空,并说明是根据不等式的哪一条性质：
比一比谁更聪明
（1）∵ 0 ﹤ 1， ∴ a ﹤a+1（不等式的基本性质___）
这节课你学到了什么？
A.4a ﹤ -4 B. -4a ﹤-4 C. a+2 ﹤ 1 D .2-a ﹥ 3
３、下列变形正确的是（ D ）
Ａ．由a ﹥ b,得b ﹤ -a
Ｂ. 由-a ﹥ - b,得a ﹥ b
Ｃ. Ｄ.
由-2x 由- 12x
﹥ ﹤
a,得x y,得x
﹥ ﹥
1
- 2a -2y
三、选择适当的不等号填空:
(1)已知a>b,则-3a+2 ﹤ -3b+2
1不以等若若、所不等)式a同a(请(不的＜得或﹥不等式仍一说等理不不b减的b等（式的成，个，明式由等等去不号传两两立b正b下的:式式)＜等﹥方递边边.同(数列正基性性c式c向性同都一，，，等数本质质仍不）时乘个则所则式不性21成变加以数a得a成变质立＜)上﹥(,的或立向不除)
（不1等）式若的a两=b边,b都=乘c,以(或
我来推测
2、上述式子中，“=”改成“＜” 或“＞ ”号还成立吗？ (1) 如果a＜b，而b＜c，
除以)同则一a个=负c数，必须把不那么 a__＜__c 。
等号的方向改变，所得的
（不等2）式若成a立=.b(,负数要变向)
如果a＞b，而b＞c，
那么 a__＞__c 。 (2) 如果a＜b, 则a+1__＜__b+1。

不等式的基本性质

不等式的基本性质不等式是数学中常见的一种关系式，它描述了两个数或者两个代数式之间的大小关系。

在学习不等式的过程中，了解不等式的基本性质是非常重要的。

本文将介绍不等式的基本概念、用于解不等式的基本性质以及不等式的图像表示方法。

1. 不等式的基本概念不等式是表示数或者代数式之间大小关系的数学符号。

常见的不等式符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。

例如，对于实数a和b，a>b表示a大于b，a<b表示a小于b，a≥b表示a大于等于b，a≤b表示a小于等于b。

在不等式中，等号“=”可以出现，表示两个数或者代数式相等。

2. 不等式的基本性质（1）加法性质：如果对于任意实数a、b和c，如果a>b，则a+c>b+c。

同样地，如果a<b，则a+c<b+c。

也就是说，不等式两边同时加上同一个数，不等式的方向不变。

（2）减法性质：如果对于任意实数a、b和c，如果a>b，则a-c>b-c。

同样地，如果a<b，则a-c<b-c。

也就是说，不等式两边同时减去同一个数，不等式的方向不变。

（3）乘法性质：如果对于任意实数a、b和c，如果a>b且c>0，则ac>bc。

如果a<b且c<0，则ac>bc。

也就是说，不等式两边同时乘以同一个正数，不等式的方向不变；不等式两边同时乘以同一个负数，不等式的方向改变。

（4）除法性质：如果对于任意实数a、b和c，如果a>b且c>0，则a/c>b/c。

如果a<b且c<0，则a/c<b/c。

也就是说，不等式两边同时除以同一个正数，不等式的方向不变；不等式两边同时除以同一个负数，不等式的方向改变。

（5）取反性质：对于任意实数a和b，有a>b当且仅当-b<-a。

也就是说，不等式的两边取反，不等号的方向改变。

（6）传递性质：如果对于任意实数a、b和c，如果a>b且b>c，则a>c。

4.2.2不等式的基本性质2

-a < -b
结论
不等式基本性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
即如果a>b，c <0，那么 ac < bc,
a b c < c.
例3
用“>”或“<”填空： 3b ； -b .
（1）已知 a>b，则3a （2）已知 a>b，则-a
（3）已知 a<b，则-a +2 3
议一议不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同点和不同点？
练习
1. 已知a > b，用“>”或“<”填空：
（1）2a > 2b ；（2）-3a < -3b ；
+1 < （3）-a 2
b . +1 2
2. 用“>”或“<” 填空：
（1）如果1-x>3，那么-x > 3-1，即x < -2 ；（2）如果 x+2<3x+8，那么 x-3x < 8-2，即 -2x < 6，即 x > -3.
.-b +2
3
a +2 （3）已知 a<b，则 3
> -b +2 .
3
因为 a<b，两边都除以-3，
由不等式基本性质3，得
-a > -b ； 3 3
因为 -a > -b 两边都加上2，由不等式基本性质1，得
3
3
-a +2 > -b +2 . 3 3
说一说
下面是某同学根据不等式的性质做的一道题：在不等式 -4x+5>9的两边都减去5，得 -4x > 4 在不等式-4x> 4的两边都除以 -4，得 x > -1 x < -1 请问他做对了吗？如果不对，请改正. 不对

2.1(2)不等式的基本性质Ⅱ

n 1
n 1
iff = b时号立 a 等成
ax>b
例4
ax<b
( 解:移项整理得: m 1) x < m ( )当m 1 = 0 即m = 1时, 0 x < 1 x ∈ φ Ⅰ
解关于 x的不等式 (1) m ( x + 2) < x + m
m (Ⅱ )当m 1 > 0 即m > 1时, x < 1 m m (Ⅲ )当m 1 < 0即m < 1时, x > 1 m 综上: m =1 , 等解为当时不式集 φ
3,预习2.2节
�
b (2)a > 0 x > a b (3)a < 0 x < a
小结 1,掌握比较两个实数大小的基本方法——作差法. 2,会利用不等式的基本性质比较两实数的大小或证明简单的不等式. 3,解带有参数的不等式(或方程),要对系数进行分类讨论. 作业
1,习题2.1 A组ex6 ex8,B组(做在习题册上) 2,《一课一练》 1(2) 2.
性质7. 性质 . a > b > 0, 那么(0 < ) 1 < 1 如果 a b
证明: 证明:
1 1 ba = a b ab
∵ b a < 0, ab > 0 1 1 ∴ <0 a b
1 1 ∴ 0< < a b
1 1 如果a < b < 0, 那么 ____ (< 0) a b
(同号倒数性质同号倒数性质) 同号倒数性质
性质1.如果性质如果性质2.如果性质如果
1 性质3. 性质 . 2
(传递性传递性) 传递性 (加法性质加法性质) 加法性质 (乘法性质乘法性质) 乘法性质 (同向相加同向相加) 同向相加 (正数同向相乘) (正数同向相乘) 正数同向相乘 1) (乘方性质乘方性质) 乘方性质 2) (开方性质开方性质) 开方性质

不等式的基本性质

第一讲不等式和绝对值不等式 1、不等式的基本性质
一、实数比较大小的理论依据
a b 0

ab ab ab
a b 0 a b 0
要比较两个实数的大小，只要考察他们的差与0 的大小就可以了.
二、不等式的基本性质
性质1：如果 a > b ，那么
如果 b < a ，那么 a>b b<a b<a；
例5：已知f ( x) ax c, 且 4 f (1) 1,
2
1 f (2) 5, 求f (3)的取值范围。

【方法指导】(1)利用排除法(利用特值)可解， (2)利用两命题间的关系可解. 【解析】(1)当c<0时，ac<bc，A不正确;当 a>0>b时，B不正确;当a＝1，b＝－2时， a2<b2，C不正确;因为a>b，所以ea>eb，D正确. (2)若(a－b)a2<0，则必有a－b<0，即a<b;而当a<b时，不能推出(a－b)a2<0，如a＝0，b ＝1.所以“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件.
a > b.
性质2：如果 a > b ，且 b > c ，那么 a > c .
a > b ，b > c a>c
等价命题是：
c<b, b<a c<a
性质3：如果 a > b，那么 a + c > b + c。
(1) 等价命题：如果 a < b，那么
a+c<b+c (2) 移项法则：如果 a + b > c，那么 a > c－b 也就是说，不等式中任何一项都可以改变符号后移到

不等式的基本性质(第2课时)

ca cb ac bd
【解题指南】先分析各不等式的特点，分析待证式与已知条件的关系，然后结合不等式的性质证明.
【证明】1.因为a＞b＞0,所以 0＜1 ＜1 , 因为c＞d＞0,所以 0＜1 ＜1 , 所以 1 1 ＜0, 1 1 ＞0,
c d a b
2.因为a>b,所以-a<-b,又c>a>b>0,
a
3. 已知a，b，c，d为实数，且c＞d，则“a＞b”是“a－c＞ b－d”的( ) B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
c＞d
A．充分而不必要条件 C．充要条件
a－c＞b－d, 【解析】选B.由 a＞b；
而当a＝c＝2，b＝d＝1时，满足
a＞b, 但a－c＞b －d不成 c＞d,
立，所以“a＞b”是“a－c＞b－d”的必要而不充分条件.
4.已知0<a<b<1,x a b , y log ba,z log 1 b, 则x,y,z的大小关系为
a
( A.x>y>z C.y>x>z B.x<y<z D.z>x>y
)
【解析】选C.因为0<a<b<1,所以x=ab>0,
y log b a 0, z log 1 b 0,
【拓展提升】利用不等式性质证明简单不等式
利用不等式性质证明简单不等式的实质就是根据性质把不等式进行变形，要注意不等式性质成立的条件.若不能直接由不等式性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构.利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件.
【变式训练】1.已知a＞b＞0,c>d>0.求证： ac ＞ bd . 2.已知c>a>b>0,求证： a b .

2.1(2)不等式的基本性质Ⅱppt课件

(C)a c b c
(D)
a c2 1

b c2 1
5
练习 1、下列结论能成立的是：（_1_）_（_3_）_（_4_）_ （1） a b a b
a (2)
c

b
d

ac

bd
a (3)
cபைடு நூலகம்

b
d

a3

d
3

b3

c3
ab (4)
cd

0 0
证明： 1 1 b a a b ab
b a 0, ab 0
1 1 0 ab
0 1 1
ab
如果a b 0,那么1 ____ 1 ( 0) ab
(同号倒数性质)
4
练习
1、如果x y, m n, 那么下列不等式中正确的是( B )
( A)x m y n (B)x m y n
糖水中加糖变甜
b ab a 0
又b 0, c 0,b c 0
(b a)c 0 b(b c)
ac a bc b
问： b c __<___ b ?
ac
a
7
例2
a, b R ,比较a5 b5与a3b2 a2b3的大小
解：(a5 b5 ) (a3b2 a2b3 ) a3 (a2 b2 ) b3 (b2 a2 )
iff a b时等号成立
8
练习
ex1、比较两数 (a 1)2与a2 a 1的大小． ex2、比较两数 x2 3与3x的大小．
说明：

不等式的基本性质

题型一
题型二
题型三
题型四
反思对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等
式的相关性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、
取倒数、开方、平方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去
选正确的选项,这种方法一般要注意选取的值应具有某个方面的代
表性,如选取0、正数、负数等.
题型一
题型二
谢谢！
≤ .
2 2 2 2
2
2
2
题型一
题型二
题型三
题型四
π+ππ≤ 和− ≤2
2
2
2
-
π

π
≤ 的错误,导致该种错误的原因是忽视了 , 不能同时取到
2
2
2 2
4
π
和 − 以及忽视了α,β 的大小关系.
4
错因分析:在解答本题的过程中易出现 − ≤
题型一
题型二
正解: ∵
题型三
题型四
π
π
− 2≤α<β≤2,
π π -
π
即
的取值范围为 - ,
,
的取值范围为 - ,0 .
2
2 2 2
2
题型一
题型二
题型三
题型四
反思求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面,严
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.
在使用不等式的性质时,如果是由两个变量的取值范围求其差的取
值范围,一定不能直接作差,而要先转化为同向不等式后再求和.
第一讲不等式
和绝对值不等式
一不等式
1.不等式的基本
性质
学习目标：

不等式及其基本性质2

这个不等式的解在数轴上的表示
3x-2x﹤1
0
1
注意：解不等式时也可以“移项”，即把
不等式的一边的某项变号后移到另一边，而
不改变不等号的方向．
自我检测
利用不等式的性质解下列不等式用数轴表示解集．
(1) x+3>-1
解：根据不等式性质1，得 X>-4
(2) 6x<5x-7
解：根据不等式性质1,得 X<-7
? (1) x-７＞26
0
33
解：根据不等式性质1，得
X-7+7>26+7
X>33
(2) -4x﹥3
解：根据不等式性质3，得
? 4x ? 3 ?4 ?4
3
X<― 4
解未知数为x的不等式，就是要使不等式逐步化为x﹥a
或x﹤a的形式．
30
? 4
(3) 3x<2x+1
解：根据不等式性质1，得
3x-2x﹤2x+1-2x x﹤1
-4 0
(3) 4x>-12
解：根据不等式性质2，得 X>-3
-3 0
-7 0
(4) －２3 x﹥50
将未知数系数化1
x，解根：为据了不使等不式等的式性－23质x２﹥，50不中等不式等的号两的边一都边乘变3为
不等号的方向不变，得
2
x﹥75
这个不等式的解集在数轴的表示如图
０
75
(4) 5x ? 1 ? 2 ? x ? 5
1 不等关系
不相等处处可见
在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工作原理，
并且根据这一原理设计出了一些简单机械，
并把它们用到了生活实践当中．

八年级上册数学-不等式基本性质(二)

x+2
3x
> y+2 >3y
x-2
-3x
y-2 >
-3y
＜
x-y > 0
x+y
2y
>
例2.将下列不等式化成x>a或x<a的形式.
4 (1)2x>4;(2) - x > -1 5
解:(1)两边都除以2,得x>2;
(2)两边都除以
4 4 4 5 得 x ( ) 1 ( ) 即x < 5 5 5 4
不等式的基本性质(二)
不等式的基本性质(二)
一、教学目标
（1）使学生理解不等式的基本性质2、3. （2）能灵活运用不等式的基本性质将不等式进行变形。
二、教学重点难点
重点：不等式的基本性质2、3及其应用。难点：不等式基本性质3的应用。
复习回顾
1.写出等式基本性质的数学表达式 2.写出不等式基本性质1的数学表达式,这条性质怎样描述?
B. a>-a>b>-b
D. -a>b>-b>a
总结：
1.不等式的基本性质有3条，而等式的基本性质只有两条. 2.注意不等式的基本性质3在应用的过程中要改变不等号方向.
等式的性质
1、如果 a b ，那么 a c b c
不等式的性质
1、如果 a b 那么： a c b c 2、如果 a b ， c0 a b 那么 ac bc ,
√
× ×
中考名题
3 1.若0<x<1,则x, x 2， ,的大小关系是 ( x
)
2
C
A.x < x < x