第16讲 剩余类环

例1
写出剩余类加群Z15的
(5) 全部理想； ([0]), ([1]) = Z15, ([5])={[0], [5], [10]}= ([10]), ([3])={ [0], [3], [6], [9], [12]} = ([6])= ([9])= ([12]). (6) 全部可逆元； { [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]} (7) 全部零因子； { [3], [5], [9], [10], [12]}
nZ={nk: k∈Z} ◁Z.
每个理想都是主 理想的环称为主 理想环.
商环 Z /nZ= {[0], [1], [2], …, [n 1]}
其中 [k]=k+nZ.
(一) Z 的理想 设N是 Z 的非零理想, 考察 N 的生成集. a, b ∈N, 联系 a 和 b 的是它们的最大公因数 d = ua + vb, u, v∈Z.
推 论
Zn = Z ⁄ (n)是域 n是素数.
前面的推理告知了如何构造素数个元的有限域. 第三章将介绍如何构造 p k ( p素数) 个元的有限域. 下面看一看Zp的妙用. 例1 证明 x3 +13x+121 在Z[x]中不可约. 证明 对系数取模2得 x3 +x+1, 作为域Z2上的多项式, 在 Z2={[0], [1]}中没有根, 因而在Z2[x]中不可约. 所以, 在Z[x] 中不可约. 根据是 命题2 设 p 是素数, 从 Z[x] 到 Zp[x]有环同态
:

i 0
n
ai x i ai x i ,
i 0
n
ai ai ( p).
证明 由于 a a 是Z到Zp的自然同态, 直接验证即得.
根据命题2, f(x)在Z[x]中可约, 则 ( f(x))在Zp[x]中必然可约.
♥2.4 剩余类环Zn
定义 环R中的元素 a 称为 可逆的,如果有 b∈R 使得 ab=ba=1.
结论 而 a 和 b 可由 d 生成: 由理想的吸收性得 d∈N,
定理1 整数环是主理想环
启示: N的极小生成集只能有一个数.
a = qd , b = hd, q, h∈Z.
即N是主理想, 其生成元必然是
Ｎ中绝对值最小的数, 设为 n, 则 N = (n) = nZ = {qn: q∈Z}
二 商环的结构
(8) Z15是域吗？说明理由。
不是。因为有零因子。
作业：P92, 2,3,4.
设n= p p p
e1 1 e2 2 er r 是n的素因子分解,
则
1 1 (n) n1 1 . p p 1 r
设 [a], [b]∈Zn, 若[a] = [b], 则称a 与 b 模 n 同余, 记为 a ≡b (mod n). 欧拉-费尔马定理 若(a, n)=1, 则 a (n), ≡1 (mod n). 推论 设 p 是素数, 且 p∤a, 则 a p 1 ≡ 1 (mod p).
分析
设 n ≠0.
a + (n) ∈ Z∕(n) ,
0 r < n. ?
设
a = qn + r,
则 a + (n) = r + q n + (n) = r + (n) .
命题1
商环 Zn =Z⁄ (n) = {[0], [1], …, [n 1]}, [k]=k+(n).
பைடு நூலகம்
称为模 n 的剩余类环 .
例1
写出剩余类加群Z15的
(2) 全部生成元; { [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]} (4) 每个元素的负元； (6) 全部可逆元；
(1) 全部元素； { [0], [1], …, [14]} (3) 全部全部子加群； (5) 全部理想；
(8)[1]=[14], [2]=[13], (7) [1]= Z15, Z15是域吗？ [0], 全部零因子； [3]=[12], [4]=[11], [5]={[0], [5], [10]}= [10], 说明理由。 [3]={ [0], [3], [6], [9], [12]} [5]=[10], [6]=[9], [7]=[8]. = [6]= [9]= [12].
三 Z的极大理想
定理2
主理想 (n) 证明 充分性
设 n 是素数,
必要性 设 (n) 是极大理想. 若有 (n) (m) Z, 则 m|n,
m|n, 则 1, -1, n 或 Z, m = (n) (m) -n,
是Z的极大理想
n是素数.
(m) = Z 或 (n), = 1, -1, 或 n, -n, 所以,m (n) 是极大理想. 所以, (n) 是极大理想。
命题 [k]∈Zn关于乘法可逆 当且仅当 k与n互素.
证明 (k,n)=1 有s,t∈Z使得 sk+tn=1 [s][k]= [sk]=[1] [k]可逆
♥2.4 剩余类环Zn 推论 Zn中所有可逆元组成乘法群. 它的阶是
1, 2,…, n中所有与n互素的元的个数(n), 称为欧拉函数.
第15讲
剩余类环Zn
•数学是打开科学大门的钥匙; •数学是科学的语言; •数学是思维的工具;
•数学是理性的艺术;
•数学是一种理性精神.
问题：
有限域的特征是一个素数. 给出了非常有用的 2元域F2. 问: 对任一素数 p, 有特征为 p 的有限域吗? 如果有, 怎么构造?
下面, 我们利用整数环模极大理 想来回答上述问题.