任意角的三角函数听课笔录及随想
高中数学《三角函数》听课评课记录
高中数学《三角函数》听课评课记录1. 课程概述1.1 课程目标本节课的目标是让学生掌握三角函数的基本概念、性质和公式，并能够运用三角函数解决一些实际问题。
1.2 课程内容本节课主要讲解了三角函数的定义、周期性、奇偶性、单调性等基本性质，以及正弦函数、余弦函数和正切函数的图像和性质。
1.3 教学方法教师采用了讲授法、互动提问法和例题讲解法等多种教学方法，引导学生积极参与课堂讨论和练。
2. 听课情况2.1 学生参与度学生们在课堂上表现积极，大部分学生能够认真听讲、做好笔记，并积极参与课堂讨论和练。
2.2 学生理解程度通过教师的讲解和例题演示，学生们对三角函数的基本概念和性质有了较好的理解，但在一些复杂问题的解决上仍需加强。
2.3 教学效果本节课的教学效果较好，学生们能够掌握三角函数的基本概念和性质，并能够运用到实际问题中。
3. 评课意见3.1 教学内容教师在教学内容上讲解清晰，逻辑性强，能够引导学生逐步理解和掌握三角函数的知识。
但在讲解一些复杂问题时，可以更加深入地进行剖析，帮助学生更好地理解和解决问题。
3.2 教学方法教师采用了多种教学方法，能够激发学生的兴趣和积极性，但在课堂互动环节可以进一步加强，引导学生更深入地思考和探讨问题。
3.3 教学效果教师的教学效果总体较好，学生们能够较好地掌握三角函数的知识，但在一些复杂问题的解决上仍需加强，建议教师在教学中注重培养学生的解题能力和思维能力。
4. 建议4.1 教学内容建议教师在讲解复杂问题时，更加深入地进行剖析，帮助学生更好地理解和解决问题。
4.2 教学方法建议教师在课堂互动环节加强引导，激发学生的思考和探讨，提高学生的效果。
4.3 教学评价建议教师在教学评价中注重学生的解题能力和思维能力的培养，引导学生积极参与课堂讨论和练。
以上是对本节高中数学《三角函数》听课评课记录的详细记录，希望能够对教师的教学和改进有所帮助。
任意角的三角函数反思
《任意角的三角函数》教学反思学段: 高中学科:数学教材版本: 人教版年级/册: 必修5《任意角三角函数的》第一节课，其中心任务应该是让学生建立起计算一个任意角的三角函数与其终边上点的坐标之间的关系，并在此基础上初步建立任意角三角函数概念的意义。
首先提供“坐标系”作为脚手架，并引发学生的认知冲突—“在坐标系下，如何研究一个任意角的三角函数？”并以坐标系为平台，有层次的研究随角的变化，即第一象限下的锐角（认识研究方法的变化，以及符号表示的变化）——0~2π范围内的角（认识该范围内角的三角函数的表示方法，特别是值域的变化）——不同象限下终边相同的角（逐渐形成计算一个任意角的三角函数的操作过程）。
锐角三角函数概念教学时如果是先给一个锐角，再构造三角形，而不是象当前大多数教材中采用的直接放在一个直角三角形下，对学生概念的迁移会更有帮助。
过程中具体设计理念如下1．突出单位圆的作用。
具体表现在三个方面：第一是将锐角三角函数坐标化，引入单位圆；第二是利用单位圆写出任意角的三角函数；第三是利用单位圆写出定义域及正弦、余弦的值域；2．用函数同化三角函数。
给出任意角的三角函数的定义之后，用函数的定义对三角函数进行分析，将之纳入到已有的认知结构中，并使得原有认知结构发生顺应变化。
3．力求在数学的自然、必要和学生的认知之间寻找平衡点。
根据听课时出现的问题，在本教学设计中采取了下列处理方式。
（1）先坐标化再引入单位圆，降低认知台阶。
从锐角三角函数到任意角三角函数这一段的处理基本尊重教材，这是因为在听课过程中发现如果将“坐标化”与“单位圆”两个问题同时抛给学生，虽然能体现出做这两个工作的必要性，但是跨度较大，学生感到困难，解决问题的过程费时费力，不但不能使学生感受到学习的必要性，反而制约了学生的思维。
（2）将问题分解、具体化，通过具体认识一般。
在形成任意角的三角函数的定义时将问题解剖，并采取分组合作的组织方式，旨在将抽象的问题具体化，降低难度。
任意角三角函数的教学评价与反思(陈雪梅).doc
“任意角的三角函数”的教学反思河北师范大学数学与信息科学学院陈雪梅教学反思以学牛的学习为视角，可以对这节课的教学进行如下反思：(1)学生对课堂提问，回答是否积极？学生能否独立或通过合作探索出问题的结果？(2)学生处理课堂练习题情况如何？可能的原因是什么？(3)教学任务是否完成？下面我们着重分析一下提问的效果。
在回答教学设计屮的各项提问时，大多数学生存在一定困难，特别是“问题1：任意画一个锐角S借助三角板，找出sin a的近似值.”和“问题5：现在，角的范围扩大了，由锐角扩展到了0° ~360。
内的角，又扩展到了任意角，并且在直角坐标系中，使得角的顶点与原点重合，始边与X轴的正半轴重合.在这样的环境中，你认为，对于任意角a, sin a怎样定义好呢？”对于问题1,除了由于时间久而遗忘有关知识外，学生不熟悉独立地由一个锐角S构造直角三角形并求锐角三角函数的过程是主要原因，他们更习惯于在给定的直角三角形中解决问题。
对于问题5,教师强调“在坐标系下怎么样？”后，有学生开始尝试回答。
这说明这个问题要求的思维概括水平较高，学生仅利用锐角三角函数的有关知识，难以形成当前研究任意角三角函数的思想方法。
因此，教师必须要提供必要的脚手架。
教师在课堂上提供了练习：(1) sin270°； cosn； (2)siir&； sir?；； sin学生对(1)的回答并不理想，尤其是计算COSJI,没有一个学生回答是-1.学生的这种表现可能是他们还没有形成一个较清晰、完整的计算任意角三角函数的算法步骤，所以即使遇到一个简单的问题，也不知如何操作。
从教学进程看，原来教学设计中的教学任务过于丰富，超出学生的学习能力。
方案中一节课要完成的教学任务可能需要2至3个课时。
二、形成新的教学设计的理论基础1.数学概念二重性理论以色列数学教育家Sfard (1991, 1994)等人提出，数学中，特别是在代数屮，许多概念既表现为一种过程操作，又表现为对象。
引导学生合作交流的探究学习——任意角的三角函数教学实录及反思
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后，自然就会思考“怎 样 定 义 任 意 角 的 三 角 函 数 ”“如 何想到通过 单 位 圆 定 义 任 意 角 的 三 角 函 数”等，这 些 问题会让学生感到有一定的难度．
２ 教 学 背 景 分 析
２．１ 学 习 内 容 分 析 本节课内容是以学生在初中学习过的锐角三角
函数和高中学习的任意角 以 及 弧 度 制 为 基 础，通 过 把 角置于平面直角坐标系中，将 锐 角 三 角 函 数 定 义 推 广 为用单位圆上点的坐标来 定 义 任 意 角 的 三 角 函 数．按 照这样的脉络展开：直角三 角 形 中 定 义 的 锐 角 三 角 函 数→平面直角坐标系中坐标定义的锐角三角函数→ 单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数→单位圆上 点的坐标定 义 任 意 角 的 三 角 函 数．结 合 函 数 概 念，由 三角函数还可以加深对引入弧度制的必要性的理解． 三角函数就是以实数（弧度数）为 自 变 量，以 单 位 圆 上 点的坐标（也是实数）为函数 值 的 函 数，这 样 就 方 便 我 们用数形结合的思想理解 三 角 函 数 图 象 的 意 义、定 义 域 及 值 域 的 求 法 、同 角 关 系 式 及 诱 导 公 式 的 证 明 ． ２．２ 学 情 分 析
·课 堂 扫 描·
生 ５：角 的 度 量 可 以 用 角 度 制 也 可 以 用 弧 度 制 ．
师 ：角 的 度 量 引 入 弧 度 制 的 好 处 是 什 么 ？
任意角的三角函数听课笔录及随想
《任意角的三角函数》听课笔录及随想[1]课堂回顾一、情境创设师:在初中,我们学习了锐角,通过前面的学习我们已将角推广到任意角了. (板书:锐角任意角.)师:在初中,我们学了锐角之后,接下来研究了什么? 生:锐角的三角函数.师:包括哪几种三角函数? 生:正弦,余弦,正切.师:很好!那么,现在我们有了任意角,接下来该研究什么呢? 众生:任意角的三角函数.(由此引入课题) (点评:从大的框架入手,引入课题比较自然) 二、探究活动1、回顾锐角α的正弦sin α是如何来定义的? 生1到黑板上作图,在角α的一边上取点A,构造三角形OAB,过点A 作OB 的垂线AC,则sin ACAOα=. 师:这里所取点A 有何要求? 生1:任意取.生2:不能与点O 重合.师:对,当点A 与点O 重合时,就不能构造直角三角形了.(点评:(1)从学生熟知的锐角三角形的三角函数出发,力求在最近发展区生长出新的知识.(2)三角形OAB 的构造有点多余,只要构造直角三角形OAC 就可以了.)2、任意角的正弦如何来定义呢?老师用几何画板画了一个任意角,看上去有点象钝角.学生自己讨论后,生3上黑板作图.在角AOB 的一边上任取一点A,由点A 向另一边OB 作垂线,交其反向延长线于点C,定义sin ACAOB AO∠=.(生3一边作图,一边作解说,她一直将角AOB 说成是钝角.)正弦,余弦,正切?αCOAC BAO生4:不是钝角,是任意角. 师:有别的想法吗?(点评:学生的想法如何?对还是不对?有没有道理?缺陷在哪里?老师未作任何评价,这是本节课的一个明显的失误.)生5:建立直角坐标系,将角的顶点O 与坐标原点重合,OB 边与x 轴的正半轴重合.作以原点O 为圆心的单位圆,设圆O 与另一条边相交于点A,由点A 向x 轴引垂线,垂足为C,定义sin ACAOB AO∠=. 生6:我不知道生3与生5的方法有何区别? 师:他们没有区别吗? 部分学生:有区别. 师:还有别的想法吗?(点评:这两种想法究竟有何区别?老师又未明确,这是本节课的又一个明显的失误.)生7:与生5一样,将角放在直角坐标系中,在角的终边上任取一点A(x,y),用该点的坐标来定义角的正弦,即sin yAOB AO∠=,这样就有正负之分了. 师:改变角所在的象限,该定义还成立吗?老师用几何画板演示角的终边在其它象限内的情况,特别地,还演示了角的终边落在坐标轴上的情况.(点评:学生终于说出了老师一直在等待的话,但这位学生是如何想的?可惜这个很关键的一点没能展示出来.)三、数学建构 1、正弦的定义:sin yrα=(详略). 师:与以前的定义相比,它们都是比值,但意义不同,而且新的定义包含了以前的定义.2、余弦与正切的定义又该如何来定义呢?生8:cos ,tan x yr xαα==.生9:在正切的定义中,应该满足0x ≠. 师:0x ≠是什么意思?生10:角的终边不能落在y 轴上. 师:那么角α不能等于哪些角? 生10:()2k k Z παπ≠+∈.师:上述比值与点A 的位置有没有关系? 众生:没有.师:当角α确定时,这几个三角函数值能唯一确定吗? 众生:能.师:这样一来,就与我们前面学习的哪一个知识有关了? 众生:函数.师:对.我们通常称它们为正弦函数、余弦函数、正切函数,统称为三角函数. (点评:这里可顺提一下引入弧度制的目的之一:用实数表示角,使得三角函数符合了一般函数对定义域的要求.)四、数学应用1、已知角α的终边过点P(3,-4),求角α的正弦、余弦、正切值. 处理方法是生说师写.2、已知角α的终边落在直线y x =-上,求角α的正弦、余弦、正切值.处理方法是生说师写.sin tan 122ααα=±=±=-. (点评:这里最好分开写,即按α为第二象限角与α为第四象限角这两种情形分别求解) 五、拓展延伸通过前面的讨论,你发现了什么? 生11:22sin tan ,sin cos 1cos ααααα=+=. 生12: 0cos sin(90)αα=-.生13:以下三角函数在每个象限的符号如下:师: 考虑下列问题: (1)若sin 0,cos 0αα<>,则角α是第_______象限角. (2)若sin cos 0αα⋅<,则角α是第_______象限角. (3)若cos tan 0αα⋅<,则角α是第_______象限角.(点评:(1)“你发现了什么?”式的问题,好处在于不束缚学生的思维,缺点是指向性不明.(2)表格的制作力求规范,最好不好出现“sin ”的写法.)六、课堂小结 略 [2]听后随想1、尽管本节课上有几个明显的失误之处,但我们丝毫不应否定教者的教学思想与设计理念,教者力图通过学生的自主探究自然地建构出任意角的三角函数的定义,而不是将该定义直接强加于学生.2、导致本节课出现败笔的原因是多方面的,其中主要的可能是下面两点: (1)学生认知结构的不足.学生在初中只学习了锐角的三角函数,没有学过钝角的三角函数,因而生3与生5不知道他们给出的定义与已有的知识不符.(2)教者未能将三个函数一起研究.实际上,高一学生在物理中已用过01cos1202=-了,如果将三个函数一起研究,生3与生5可能会发现自己的想法与此结论有冲突了.3、改进的设想:(1)回顾任意角、象限角与轴线角的概念.(2)回顾锐角三角函数的定义,有了任意角之后,原来三角函数的定义有局限性,需要都其重新定义,以适用于任意的三角函数.(3)除了锐角的三角函数外,在其它学科中有没有接触到一些特殊角的三角函数值?(意图是让学生说出01cos1202=-)(4)重新定义的原则有哪些?①和谐的原则,新定义应该包含以前的定义,即当角为锐角时,其定义应与前面边的三角形边的比值等价.由此可以确定,新的定义仍应是比值的形式;②传承的原则,新定义应保留旧定义中的一些做法,如可以用样在角的终边上任取一点来定义,且所得结果应与所取点的位置无关.③相容的原则,新定义不能与一些熟悉的结论相矛盾.如当角为钝角时,其余弦值应为负值.由此可知,新的三角函数的定义应保证所得三角函数值有正负之分;④自然的原则,新定义不能出来得很奇怪,要让人接受必须顺其自然,可在我们前面讨论的象限角的基础上进行,换句话说,老师在给出一个任意角的时候,就可以将角直接放在直角坐标系下,因为前面已讨论过象限角.(5)按上述几个原则让学生自主探究.。
《任意角三角函数》课后反思
谈《任意角的三角函数》的教学反思金堂实验中学吴华一、本班学生认知水平本班是高一年级的普通班，虽然有71人，有70%的人几乎不能听懂，有22%左右能听懂但不能把习题完全做对，有8%的人听懂也能正确完成习题，几乎没有人能超前思维，无主动自发学习习惯，这是本班的现状。
二、学习本节需要的基础知识初中锐角三角函数知识；特殊锐角直角三角形三边关系；直角坐标系下坐标在四个象限的符号特征；弧度制和角度制的互化；终边落在Y轴的角表示方法；函数的定义和三要素。
三、教材设计安排《任意角的三角函数》共分三个课时，第一课时主要是引入任意角的三角函数的定义，也是本节的教学重点和难点；第二课时诱导公式一的应用；第三课时利用单位圆有向线段表示三角函数。
（1）课堂设计安排我上的是《任意角的三角函数》的第一课时，。
第一节课定义占了本节课15分钟左右，在上课之前我认真看了教材上的李柏青老师课堂实录，并认真记录下他在每个知识点如何提问，如何由锐角三角函数过渡到任意角三角函数以及他在每个知识点上的时间分配。
结合本班实际我在设计这堂课时改变了教材编排体系，在设计了任意角三角函数的定义和定义域之后我没有直接评讲例1“给定一个角求三角函数值”，我先给出一组“判断三角函数值的符号”练习，让更多的同学参加学习中来，通过练习学生很快总结出“任意角三角函数在四象限的符号特征”。
比起求值，判断符号肯定更简单。
同时我将例2“给定坐标求三角函数值”移至第二课时，例2用单位圆的方式解答会无形中增加本题难度，两种方法对比学更能让掌握此题的方法。
第一课时的时间已经比较紧，即使能讲完，学生也不能完成课堂练习。
对定义域和值域两个内容在指导老师的建议下分成两节学习。
学生学习“任意角的三角函数这个概念是以顺应为主的认知过程，我把它分成如下四个阶段：直角三角形中的锐角三角函数---直角坐标系中的锐角三角函数---单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数---单位圆上点的坐标表示的任意角的三角函数---任意角终边上任一点坐标定义三角函数，层层引入，所以学生就理解了任意角的三角函数。
“任意角的三角函数”教学设计与反思.doc
“任意角的三角函数"教学设计与反思课例：任意角的三角函数教学内容解析任意角三角函数在考试中也占•有十分重要的地位。
在角由“锐角”到“任意角”的推广过程中，研究的视角由“静态”到“动态”，同时研究的平台也由“平面图形”过渡到了“平面直角坐标系二借助直角坐标系研究角，一方面引入象限角，使“角”的研究统一转化为“转动的边”的研究；另一方面也提供了用代数方法研究几何的思路。
三角函数是一类特殊的函数，因此本节课侧重于在一般函数概念的指导下组织教学，让学生知道三角函数的是角与坐标（或比值）之间的对应关系。
学生虽有锐角三角函数的概念, 但其认识只停留在三角函数是反映直角三角形的角与边之间关系的层面上，有必要让学生从角与比值的对应角度重新认识。
“任意角三角函数”是“锐角三角函数”概念的因袭和扩张，但为什么要作这样的推广呢？更合适的理由是任意角三角函数是描述周期变化为重要数模型。
在弧度制下（用单位圆的半径度量角）实现角的集合与实数集的一一对应，再实现数到坐标的对应，会造成一定的理解困难，为了突出重点，分散难点，本节课暂时不作过度的解释。
教材中对任意角三角函数的定义有两种一一单位圆的定义和欧拉的传统定义［1］。
从任意角三角函数的使命看，单位圆的定义显得形式简单，便于研究性质，同时借助圆周运动可以更直观地体现函数的周期性，某种意义上说，任意角三角函数就是圆的性质的几何表示。
但两个定义本质相同，相互之间一点就通。
教学目标1.正确理解任意角三角函数的定义，经历“单位圆法”定义三角函数的过程。
2.会用定义求特殊角的三角函数值，会求已知终边位置的角的三角函数值。
3.体会定义三角函数过程中的数形结合、化归、数学模型等思想方法。
教学过程一、复习前面学习了任意角的概念，你对它的哪些特点印象比较深？设计意图：对任意角的概念的理解和掌握是本课的一个基础。
二、问题的提出任意角是一条射线绕端点O旋转生成的。
在角的旋转过程中，终边上的点都绕O点作着圆周运动。
三角函数的应用课堂实录及教学反思
"三角函数的应用"课堂实录及教学反思我很高兴为您讲解三角函数的应用。
在数学中，三角函数是用来描述三角形边长和角度大小的函数。
在笛卡尔平面中，如果一个点的坐标为 (x,y)，那么它到原点的距离 r 就是这个点的极径，与横坐标轴的角度为这个点的极角。
这些概念可以用三角函数来描述。
六个基本的三角函数是：正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)、反正弦(arcsin)、反余弦 (arccos) 和反正切 (arctan)。
这些函数的图像与单位圆有关。
正弦函数（sin）描述的是极角为θ 的点的 y 坐标与极径的比值。
余弦函数（cos）描述的是极角为θ 的点的 x 坐标与极径的比值。
正切函数（tan）描述的是极角为θ 的点的 y 坐标与 x 坐标的比值。
反正弦函数（arcsin）描述的是给定 y 坐标的极角。
反余弦函数（arccos）描述的是给定 x 坐标的极角。
反正切函数（arctan）描述的是给定 y 坐标与 x 坐标的比值的极角。
三角函数在很多领域都有应用。
例如，在计算机图形学中，三角函数是用来描述图形旋转、缩放和平移的。
在物理学中，三角函数可以用来描述正弦波和余弦波，这在电动力学、声学和振动学中都很常见。
在工程学中，三角函数可以用来解决各种类型的几何问题，如求解三角形的面积和周长、确定平面内两点间的距离等。
在教学三角函数时，我通常会让学生先了解三角函数的定义，然后给出一些例子来帮助学生理解三角函数的性质。
然后，我会讲解如何使用三角函数解决具体的问题，如如何求解三角形的面积和周长、如何求解向量的叉积等。
在教学过程中，我也会给学生提供一些工具，如图表、视频和模拟器等，来帮助他们理解三角函数的概念。
我还会给学生安排一些练习题，让他们练习使用三角函数解决问题的能力。
在教学反思中，我会考虑如何提高学生对三角函数的理解程度。
我会回顾我使用的教学方法，并考虑是否有更好的方法可以帮助学生理解三角函数。
三角函数的应用课堂实录及教学反思
在本课的教学过程中，我注意到了几个问题：
1.对于一些学生来说，三角函数的概念并不是很容易理解。我发现，许多学生在学习三角函数时缺乏充分的解释，导致他们
这是一堂三角函数的应用课。在本课中，我们将学习如何使用三角函数来解决实际问题。
在本课的开始，我向学生们介绍了三角函数的基本概念，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。我还向学生们展示了如何使用三角函数解决简单的问题，如计算角的正弦、余弦和正切值。
接下来，我让学生们尝试解决一些更复杂的问题，如求解三角形的面积和周长。为了帮助学生理解如何使用三角函数解决这些问题，我给出了一些模拟题目，帮助学生熟悉三角函数的应用。
总的来说，本课是一堂有益的课程，学生们都对三角函数的应用有了更深入的了解。在未来的课程中，我将继续努力解决上述问题，以帮助学生更好地理解和应用三角函数。
难以理解这些概念。因此，我需要更多地解释这些概念Байду номын сангаас并给出更多的例子来帮助学生理解。
2.另一个问题是，对于一些学生来说，在解决问题时缺乏足够的耐心。他们常常会想要快速得出答案，但是这种方法往往会导致错误。我需要向学生们讲解如何仔细解决问题，并告诉他们，在解决问题时需要耐心。
3.最后，我发现，对于一些学生来说，使用计算机软件来解决问题是一个挑战。他们缺乏使用这些软件的经验，因此很难使用这些软件来解决问题。为了帮助这些学生，我需要给他们更多的使用计算机软件的机会，并给他们提供更多的支持。
听课记录：新2024秋季高一必修数学第一册人教A版第五章三角函数《三角函数的应用》
听课记录：新2024秋季高一必修数学第一册人教A版第五章三角函数《三角函数的应用》教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解并掌握三角函数在解决实际问题中的应用，如解三角形、解决物理中的波动和振动问题等。
2.数学建模：通过实际问题的解决过程，培养学生的数学建模能力，学会将实际问题抽象为数学问题并求解。
3.问题解决：提高学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，增强数学应用的意识。
导入教师行为：•展示一幅包含不同角度和边长的三角形图片，提问：“如果我们知道这个三角形的一些边和角的信息，能否求出其他未知的量？”•引导学生思考并讨论，然后引出三角函数在解三角形中的应用。
•接着，可以简述一个物理中的波动或振动问题，如声波的传播，提问：“这些问题中，哪些数学工具可以帮助我们描述和分析？”从而引出三角函数在物理中的应用。
学生活动：•观察图片，思考并尝试回答教师的问题。
•讨论并分享自己的想法，对三角函数在解决实际问题中的应用产生兴趣。
过程点评：•导入环节通过具体实例和提问，有效激发了学生的学习兴趣和求知欲。
•引导学生从已知到未知，自然过渡到新课主题。
教学过程教师行为：•解三角形：•讲解正弦定理、余弦定理的内容及推导过程。
•通过例题演示如何运用正弦定理和余弦定理解决三角形的边、角问题。
•组织学生分组练习，教师巡回指导。
•物理应用：•简述声波、电磁波等波动现象，说明三角函数（如正弦函数）在描述这些波动中的作用。
•引入简谐运动模型，解释振幅、周期、相位等概念，并说明它们与三角函数的关系。
•通过案例分析，展示三角函数在解决物理问题中的应用。
学生活动：•认真听讲，记录正弦定理、余弦定理的内容及解题步骤。
•积极参与例题讨论，尝试独立或合作解决练习题。
•思考并讨论物理中的波动现象，理解三角函数在其中的应用。
过程点评：•教学过程条理清晰，理论讲解与例题演示相结合，有助于学生理解和掌握知识点。
•通过分组练习和案例分析，增强了学生的实践能力和问题解决能力。
任意角的三角函数评课
任意角的三角函数评课“任意角的三角函数”评课听了张春晓老师的“任意角的三角函数”这节课后，我认为其整个教学过程有序、完整、思路清晰，突出了任意角三角函数单位圆定义这个核心概念．在学生原有知识框架的基础上，带领学生经历了任意角三角函数的形成过程，教学符合新课程的理念，比较好地实现了教学目标．我个人认为有以下几点做得比较好：1．引入问题新颖好的开头是成功的一半，在教学中，教师并未简单地从复习锐角三角函数出发，直接推广到任意角的三角函数，而是创设情境，以解决实际问题为背景，引入任意角三角函数概念，突出了“三角函数是刻画客观世界周期性变化规律的数学模型”这个核心思想．在解决数学问题的过程中，让学生了解到数学新概念引入的必要性、合理性．2．对概念本质把握精准、到位在任意角三角函数概念的形成过程中，教师一反从锐角三角函数到任意角三角函数的认识过程，而是紧紧抓住角的变化与终边与单位圆交点坐标之间的函数关系这一本质，进而沟通锐角与任意角三角函数间的联系，突出了对概念本质的理解，防止了锐角三角函数对任意角三角函数概念的负迁移．3．教学过程流畅、自然，有效突破重难点张老师的课在整个教学过程中，均是以问题为中心，进行教学设计的．以问题作为教学的起点，由教师提出问题，引发学生思考，引导学生根据已有的知识经验，通过思考分析来获得知识．将问题贯穿于教学过程的始终，让学生感受理解知识发生发展的过程．4．解题教学层次清晰，方法总结归纳到位例题1、2的设计虽然简单，但在解决问题的过程中，分别从“给角求值”和“给值求角”两个方面，让学生进一步熟悉了定义，学会了用单位圆解决任意角三角函数的步骤．例题3、4的设计，均采用问题解决在先，方法提炼在后的方式，让学生在学习过程中充分发挥其主观能动性，积极参与数学活动，体会数学知识“再发现、再创造”的过程．培养了学生的探究精神和科学精神．当然，本节课也存在一些值得讨论的地方，如：在解决摩天轮中点P 的高度h 随时间t 的变化关系时，重点是想解决如何将|MP| 两种情况统一，用比值来表示函数关系．从而不用考虑020、040、0120等特殊情况．总之，希望通过对该节课的分析、研究，促进我们实际教学水平的提高．。
《任意角的三角函数》教学反思(可打印修改)
《任意角的三角函数》教学反思 市教育局举办的青年教师讲课比赛结束了，作为参赛选手，我觉得自己的课上得很失败。
我不是一个逃避失败的人，但是心里真的很难受。
关于比赛的种种总是在自己的脑海中萦绕着挥之不去，每次看到自己比赛的课件、教案、学案时，心里总是咯噔一下。
也许，我真的该好好反思一下了，这种反思是方方面面的。
从一定程度上讲，教学反思就是在课堂教学后的“自我揭短”，这对一般人来讲是痛苦的行为，对我也不例外。
但我想，只有经历这种“痛苦”的洗礼，自己才能成长起来，业务能力才能更上一个新的台阶。
以前我写教学反思都是在教案的最后一个狭小的空隙里写上寥寥数笔，记录下自己当时上课的情况和学生的反应情况，真正静下心来写教学反思还是第一次。
这也许就是我这次上课不成功的一个重要原因吧。
因为不反思就没有进步，自己的确原地踏步太久了。
首先我非常感谢在这次比赛中给予我支持和帮助的各位领导和同事。
在校内试讲的时候，符校长在百忙之中听我的课并给予指导。
黄主任在听完课后写了一整张纸的建议，包括一些细节，并且当我不知如何处理突发状况时，黄主任给出了很好的建议。
我们的组长符老师，有一次听我试讲完，很晚了都顾不上吃饭来给我指导，当时天气很冷，我真的非常感动。
在处理知识的衔接方面，倪老师和曾老师给予了我很大的启发。
高三的赵老师、王老师虽然教学任务很繁重，但当我在制作课件遇到难题请教他们时，他们都很耐心地给予我帮助。
教研室的李主任在我准备的过程中一直给予我很大的帮助，甚至在比赛那天还到比赛现场告诉我一些比赛中需要注意的细节，包括如何利用有限的课间时间和学生沟通、拉近师生距离等。
在这里我还要特别感谢学校生物实验室的管理员老师，每次我试讲要用多媒体时都有求必应。
要感谢的人实在太多太多，真的很感谢同事、朋友给我的关心和帮助，在这里真诚地说一声：谢谢大家。
这次比赛失败的一个很重要的原因是缺乏实战经验。
实战经验包含很多方面的内容，比如课题选择、授课容量、课件制作、师生互动、临场反应等，反映了平时上课的积累和学习情况。
探究,让课堂焕发生命活力——“任意角的三角函数”教学实录与反思
生 １ 可用 直 角坐 标 系将 圆周 上一 点 Ｐ 的 位 ： 置表示 出来． 圆 心 为 原 点 ， 条 水 平 直 径 为 ｚ 以 一
２１ ０ ２年第 ８ 期
中学数 学月 刊
生 ５：ｉ ＝ ，ｃ ｓａ一 羔 ， ｓｎａ＝ ＝ ｏ
ｒ ｒ
・２ ・ １
轴 ， 这条 直径 垂直 的直径 为 ｙ轴 ， 与 建立 直角 坐标 系 ， Ｐ 的位置 可用 坐标 （ ） 表示 （ １ ． 点 ｚ， 来 图 ）
师 ： ， 有其 他表 示法 吗 ？ 好 还
ｔ ｎ 口 一 ａ
Ｚ
．
生 ２ 我想 还可 用 圆的半 径 ｒ 过点 Ｐ 的半径 ： 及
和一条 水 平半径 夹 角 ａ表点 Ｐ 的位置 （ ２ ． 图 ）
师 ： 些 关 系 是 函数 吗？ 若 这 是， 自变量是 什么 ？谁是 函数 ？
根据 高 中数 学课 程 标 准 ， 据教 材 内容 和学 依 生 情况 ， 确定本课 时的教学 目标 如下 ： （ ） 识 到定义任 意角 三 角 函数 的 必要 性 和 １认 任意 角三角 函数定 义 的合 理性 ， 从 函数 的概 念 能 理解 三角 函数 的定 义 ， 根据 已知 角 的终 边 求 出 会 角 的三角 函数值 ．
和正切 线表 示任 意角 的正弦 、 弦 、 余 正切 函数值 ．
初 中学 习 了 函数 的初 步 概念 ， 研究 了一 次 函
２ 教 学过 程
２ Ｉ 授课对 象 ． 授课 对 象为 四星级 重 点高 中普 通班 学 生 ， 基 础 较好 ， 一定 的推 理能力 及运 算能力 ． 有 ２ ２ 创设 情境 。 ． 激发 兴趣 （ 幕显 示）日出 日落 ， 屏 寒来 暑往 …… 自然 界
第22讲课后反思
高考一轮复习第22讲：任意角的三角函数
课后反思
通过本堂课的复习，要让学生了解任意角的概念，了解弧度制的概念，能进行弧度制与角度制的互化。
理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，掌握三角函数的符号规律及三角函数的定义域。
掌握扇形的弧长公式及面积公式。
三角函数的内容，涉及到角度的运算，三角函数的定义的理解，扇形弧长公式及面积公式的计算。
在教学过程中，力求从基本知识入手，尽可能地使计算简单化，然后逐步地加深提高，但从实际的效果上来看，学生的基础知识太差，计算能力薄弱，训练量在增加，但效果却不明显。
在以后的教学过程中，继续不断钻研教材教法，力争讲的通俗易懂，让学生学会举一反三。
任意角三角函数的定义之教学感悟
一
０
传统解法 ：
些 变 化
Ｉ ｌ ２ ＝ ＋ １ ｙ ｇ ｏｉ
：
（ １ ） 由 于单 位 圆 定 义 法 的 直 观 性 ， 学 生 可 以从 定 义 中看到具体 的 、直接 的 自变量和 函数值 的对应关 系， 即： 任意 给定一 个角 ， 其 终边 与单位 圆就 有 唯 的一 个 交 点 ， 交 点 的纵 坐 标 定 义 为Ｏ ｔ 的正 弦函数 ， 横坐标 定义为Ｏ ／ 的 余 弦 函数 ，这 给 学 生 理 解 三 角 函 数对应关 系提供 了极大 的方便 。 （ ２ ） 在单位 圆中， 可 以直接用弧长来度量任意 角 的大小 ， 有利于学生理解三角函数是“ 数集到数集 的
一
４ 日 上运动， 若
最大值。
魂 ， 其中， ， ｙ ∈ Ｒ， 求卅ｙ 的
角 所 对 应 的 比值 的唯 一 性 （ 即 与 点 的选 取 无关 ） 也 需 要证明 。 以往的教学实践表明 ， 许多学生在结束 了三 角 函 数 的 学 习后 还 对 三 角 函 数 的对 应 关 系 不 甚 了 解， 与“ 终边定义法 ” 的 这 些 问 题 不 无关 系 。
’ ． ．
ｌ ０ ’ 詈 １
＋ 的 最 大值 是 、 ／ ２
“ 单位 圆定 义法” 与“ 终边 定义法” 本质上是一致 的 。正 因为 如 此 ， 教 改 以来 ， 教 科 书 在 这 个 知 识 点 上 改来改去 ， 最终两种定义方法都采用。 对 于老师们熟 悉 的“ 终边定义法” ， 北师大２ ０ １ ４ 年７ 月第８ 版１ ５ 页例 １ 中给 出了更加直观 、 方便 学生理解 的推导思路 。 可让 学生进 一步理解 ： 正弦、 余弦、 正 切都是 以角为 自变
“任意角三角函数的概念”教学实践后的反思
“任意角三角函数的概念”教学实践后的反思陶维林（江苏南京师范大学附属中学，210003）本次课题组活动中，笔者以“任意角三角函数的概念”为课题进行了实际教学．本文是实施教学后的几点反思，为进一步的教学设计、一线教师的教学提供参考．1．复习锐角三角函数的反思（1）实际教学片段上课始，教师用几何画板任意画一个锐角，提出问题1：“任意画一个锐角α，借助三角板，找出sin α，cosα，tanα的近似值．”然后走进学生中间，观察他们的学习行为．结果发现，有一部分同学画出角之后，一片茫然．教师又不愿意把结果告诉学生，提示同桌的两位同学可以商量一下，并提示，完成的同学请举手示意，以便教师了解情况，结果举手的人很少．之后，教师提问一位举手的学生，问：“你是怎么做的？”她要求上黑板，教师非常赞成．她在黑板上画出一个直角三角形，并不熟练地写出一个锐角的正弦是它的对边比斜边以及余弦、正切等三个三角函数．之后，教师又与学生讨论了问题2：能否把某条线段画成单位长，有些三角函数值不用计算就可以得到？学生比较一致认为把斜边长画成单位长比较好，为“单位圆定义法”做必要的铺垫．接着讨论问题3：锐角三角函数sinα作为一个函数，自变量以及与之对应的函数值分别是什么？在教师类比正方形的面积s＝a2的提示下，学生说出锐角三角函数中自变量以及与之对应的函数值分别是角、比值，最后讨论问题4：你产生过这个疑问吗：“三角函数只有这三个？”有学生举手，表示想过这个问题，应该是六个，另外三个可以把现有的三个倒一下得到．至此，时间已经过去20多分钟．教师本以为，学生在初中既然学习过锐角三角函数，对给出的一个锐角，借助三角板构造直角三角形，找出它的正弦、余弦的近似值是很容易的事，而恰恰在这一点上，学生耗费了大量的时间，而教师又不想越俎代庖地告诉学生，这就严重影响了后续建立任意角三角函数的概念，并通过特殊角的求值体验、把握内涵的时间保证，造成体验不够，概括过早，应用更少的现象．（2）问题出在哪里问题在教学设计不够合理，当中的“教学问题诊断分析”不够准确．没有准确把握学生的知识基础与认识能力，对学生在学习中可能出现的困难估计不足．尤其是，对学生关于锐角三角函数的理解估计过高．主要表现在两个方面，一是初中学习锐角三角函数是在直角三角形中进行的，并不要求给出一个锐角，两边是射线，求出它的三角函数值．二是并不要求把“锐角三角函数”作为函数来认识，比如关注它的自变量是角，对应的函数值是比值，更不关心它的定义域、值域以及对应法则这些函数的要素．只要求运用符号sin A，cos A，tan A的意义来进行有关的计算，等．现在，要求学生从函数角度建立任意角三角函数概念这就失去了概念的上位支持．关于锐角三角函数，在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中，是在“空间与图形”的“图形与变换”部分．标准指出：“通过实例认识锐角三角函数（sin A，cos A，tan A），知道30°，45°，60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．”以及“运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题．”笔者查阅了按照“课程标准”编写的几套初中教材，给出sin A的方式基本上一致，是：如图（图略），在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sin A，即”（对cos A，tan A有类似的定义）并指出“锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数．”以后的内容（包括解实际问题），都是有关三角函数值的计算，并不强调它们的函数特征．有的教材虽然指出“对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A是A的函数．同样地，cos A，tan A也是A的函数．”作出了锐角三角函数是一种特殊的函数的提示，由于缺少必要的练习，作用并不大．应该说，这些都不违背“课程标准”的要求．可见学生在初中学习过的函数有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，锐角三角函数并不纳入“函数”这个系统．初中学习锐角三角函数有一个特定的载体，这就是直角三角形，因此，当他们面对任意画出的一个锐角，其两条边是射线，要求出这个角的三角函数的近似值这个新情境时，竟不知如何是好，手足无措，无计可施，也说明学生对锐角三角函数并不理解．这样看来，画出一个锐角，要求学生会取点、画垂线、度量、计算比值的要求是必要的．有教师认为，不必复习锐角三角函数，直接提出问题“同学们已经学习过锐角三角函数，你认为应该怎样来定义任意角的三角函数？”这种“大撒手”的问题跨度太大，学生更难回答．原因是对锐角三角函数的“函数”特征认识不足、理解不到位，要让学生直接建立任意角的三角函数，又要突出“函数”这一特征，很困难．因此，为建立任意角的三角函数的概念，需要先复习初中锐角三角函数的概念，因为从锐角（三角函数）到任意角（三角函数）又是由下位到上位的学习．教材要求首先把直角三角形中边长的比值扩展到坐标或者坐标的比值，在直角坐标系中认识锐角三角函数，并引导学生从“函数”的角度认识它，也就是弄清自变量以及与之对应的函数分别是什么是必要的．（3）对教学的反思高中教师应该了解义务教育阶段的数学课程标准，了解初中教材，了解学生在初中学习过哪些内容，尤其是相应的教学目标是什么，关注学生的认知结构．应该做好初、高中的衔接工作，不仅注意知识的衔接，还要注意思想方法、能力要求等各方面的衔接，为学习高中的相关内容做好铺垫．以为已经学习过锐角三角函数，学生就能够把它理解为一种特殊的函数，是一个明显的例子．教科书在节首提出的“思考”是：“我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗”其实，学生只知道锐角三角函数是直角三角形中边长的比值，并不完全知道“它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数”，这就需要通过复习，来帮助学生补上这一点．2．其他反思（1）由于学生在复习阶段花了较多的时间，影响了新课的学习，用任意角三角函数概念解题的时间不多，体验不够，有教师提出“下课后练习不好做”，说明复习锐角三角函数没有必要．笔者认为，当“预设”与“生成”发生矛盾时，教师宁可选择“生成”．尊重学生的认知水平，尊重学生的认知心理过程，决不简单化，把结论直接告诉给学生，追求“结果”，追求“完成”教学任务．教师不能认为我已经把这个概念告诉你了，你就应该知道了．数学教学不是“告诉教学”，概念不能靠学生“复制”，对概念需要的是理解，需要学生用自己的体验建立起对概念的理解．什么是“教学任务”，不能仅限于知识要求，要注意学生的全面发展．比如，当学生不能正确选择在角的一边上取点，画垂线时，启示学生互相讨论、启发一下，借助于同伴的帮助解决问题．当学生不能说出“作为函数的锐角三角函数，自变量以及它的函数分别是什么”（属性）意义不清，不好回答时，教师降低难度，启发类比S＝a2中a表示边长，而S表示正方形的面积．突出线段长、面积，等等．“任意角三角函数的概念”与作为第一节课的“任意角三角函数的概念”不是同一个概念．对“任意角三角函数的概念”的认识、理解不是一蹴而就的，不是一节课可以完成的任务，需要一个长期的过程．比如，把角度化成弧度到底是为了什么？即便化成弧度，又为什么省略不写呢？建立角的弧度与实数间的一一对应有什么必要呢？任意角三角函数的自变量明明白白是角，为什么偏要把它说成实数呢？刚刚接触任意角三角函数就要求理解这一切是十分困难的．随着学习的深入，尤其是三角函数的应用，学生才能慢慢消除这些疑问，逐渐理解它．比如，在三相交流电路中，某一相电路中的电流强度I A＝I m sin（ωt）（其中I m是电路中电流强度的峰值），三角函数是刻画现实世界中周期现象的基本数学模型；再比如，当学生接触到函数y＝sin（cos x）后，再来看三角函数的定义域，会认识到抽象后的任意角三角函数的自变量作为实数更具广泛性．这一节课把教学的基本要求定位在，弄清任意角三角函数与锐角三角函数的区别，接受用坐标（或坐标的比值）表示三角函数就够了．如同在建立数轴之后，一个知道把向东2公里表示为2公里而向西2公里表示成－2公里，接受“路程也可以是负数”的学生，就已经开始接受有理数，逐渐成为中学生了．还需要注意的是，应该通过什么方式让学生建立起用坐标（或比值）表示任意角三角函数，以及领会建立这个概念过程中所蕴涵的数学思想方法．（2）在求cosπ时，一个学生说出的结果是0.9985．教师追问“你是怎么算出来的？”他回答：“用计算器．”后来，笔者用计算器做了实验，发现他用计算器计算时，把计算器中的角度模式（Mode）设置成了角度制（Degree）．在这种模式下，计算cosπ可以得到0.9985（即计算的是cosπ°）．如果把角度模式设置成了弧度制（Radian），计算cosπ仍可以得到－1．这件事的出现给我以及所有听课教师引发诸多思考．第一，这位同学没有关注到这节课刚学习过的概念，运用新概念解决当前的问题，而是停留在“三角函数值是能够用计算器算出来的”这个认识水平上；第二，反映了计算器的过度使用，会形成对学具的依赖，影响学生思维能力的发展．学具的功能越全面越强大不一定是好事．比如，具有解方程（Solve）功能的计算器在初中使用可能会削弱解一元二次方程的学习；具有图象功能的计算器的过早使用可能会干扰函数的学习．因此，教师应该注意技术在教学中的“辅助”作用，适度使用教具，重视算理分析，重视算法的来源，重视思维能力的培养，而不是追求计算结果．借班上课，对学生的不熟悉是教师的苦恼，加上教学进度等问题，学生的知识储备不足（在教学任意角三角函数概念之前仅上过一堂“任意角”的课），是教学并不理想的一个重要原因．教学过程是师生双边活动的过程，离不开师生之间的交流，生疏是交流的障碍之一，生疏更难以做到师生之间配合默契．另外，学生对教师的教学风格的适应或认可也有一个过程，比如教师希望学生积极发言而不仅是听讲，等等．（3）讨论中，老师们提出了许多有价值的教学应该遵循的一般规律以及一些先进的教学理念，但是，要求一节课全面体现各种先进教学理念，去承担反映数学教学规律中太多的东西是不现实，也是不应该的．课堂教学是一项实践性很强的工作，除了认真的课前准备外，对教学过程中出现的“突发事件”，随机应变十分重要．教师需要关注学生的学习行为，关注学生的认识过程，随时修改自己的教学设计，调整教学内容、教学要求，改变策略，选择恰当的方法实施教学，以达到最佳教学效果．这一切都需要教师有很强的基本功．参考文献1 普通高中课程标准实验教科书·数学必修4（A版）．北京：人民教育出版社，2007，2．第2版2009-03-25 人教网。
高中数学三角函数的图像与性质实习生听课记录
中学数学听课记录：三角函数的图像与性质
教学过程
一、引入：
让同学们倾听一段音乐——梁祝小提琴协奏曲，同时观看这一段音乐的波形图，展示数学和音乐的交汇，科学和艺术的融合。
介绍傅里叶对音乐的贡献，由此引出课题：三角函数的图象与性质的探讨.
二、新课探究：
问题1：对正弦函数，你知道些什么？你打算如何探讨之？
介绍三种作图方法：即描点法、五点法、几何法。
挖掘数学的文化内涵，体现数学的文化价值，提高学生学习三角函数的爱好。
这是一个总领整个课堂的问题，试图唤醒学生的原认知结构，打通新旧学问的联系。
引导学生说出周期性，实现探讨范围由到的过渡——以性作图。
由此得出的图象——正弦曲线。
由图象得出正弦函数的性质：
围绕定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等绽开。
问题2：你如何作出余弦函数的图象？
（引导学生发觉正余弦函数的关系，得到余弦函数的图象。
）
引导学生“看图说话”——余弦函数的性质.。
三、练习反馈
例：用“五点法”作出下列函数的简图.
①；②。
四、归纳、总结、提高
①学问技能层面：正余弦函数的图像与性质、作图；
②思想方法层面：数形结合思想——以性作图、以图识性、以图记性。
③数学文化层面：与音乐联姻，数学是理性的音乐、音乐是感性的数学。
在奇妙的音乐声中结束！。
高中数学教学课例《任意角的三角函数》课程思政核心素养教学设计及总结反思
过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、分析 自然现象、解决实际问题的策略,使学生认识到数学原 来就来自身边的现实世界,是认识和解决我们生活和工 作中问题的有力武器,同时也获得了进行数学探究的切 身体验和能力。增进了他们对数学的理解和应用数学的 信心。
作用。
1.借助摩天轮的情景问题很好地融合初中对三角
函数的定义，也能很好入在直角坐标系中，很好将锐角 教学目标
三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，从通过问题
引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而
很好理解任意角的三角函数的定义；
2.从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数
值的符号；
3.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关
高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学
知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素
材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理
解。这个数学模型很好融合初中对三角函数的定交，也
能放在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向
任意角三角函数过渡，揭示函数的本质。
1.教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角 课例研究综
的三角函数的理解上。背景创设的身心发展规律
——具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利 学生的思考。
2.情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函 数的定义，也能很好引入在直角坐标系中，很好将锐角 三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，同时能够揭 示函数的本质。
与，乐于探究，勤于动手，培养学生学生收集和处理信
息的能力，获得新知识的能力，分析与解决问题的能力
以及交流合作的能力。
第一部分——情景引入。
第二部分——复习回顾锐角三角函数。
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《任意角的三角函数》听课笔录及随想
[1]课堂回顾
一、情境创设
师:在初中,我们学习了锐角,通过前面的学习我们已将角推广到任意角了. (板书:锐角
任意角.)
师:在初中,
我们学了锐角之后,接下来研究了什么? 生:锐角的三角函数.
师:包括哪几种三角函数? 生:正弦,余弦,正切.
师:很好!那么,现在我们有了任意角,接下来该研究什么呢? 众生:任意角的三角函数.(由此引入课题) (点评:从大的框架入手,引入课题比较自然) 二、探究活动
1、回顾锐角α的正弦sin α是如何来定义的? 生1到黑板上作图,在角α的一边上取点A,构造三角形OAB,过点A 作OB 的垂线AC,则sin AC
AO
α=
. 师:这里所取点A 有何要求? 生1:任意取. 生2:不能与点O 重合.
师:对,当点A 与点O 重合时,就不能构造直角三角形了.
(点评:(1)从学生熟知的锐角三角形的三角函数出发,力求在最近发展区生长出新的知识.(2)三角形OAB 的构造有点多余,只要构造直角三角形OAC 就可以了.)
2、任意角的正弦如何来定义呢?
老师用几何画板画了一个任意角,看上去有点象钝角.学生自己讨论后,生3上黑板作图.在角AOB 的一边上任取一点A,由点A 向另一边OB 作垂线,交其反向延长线于点
C,定义sin AC
AOB AO
∠=.(生3一边作图,一边作解说,她一
直将角AOB 说成是钝角.)
正弦,余弦,正切
?
αC
O
A
C B
A
O
生4:不是钝角,是任意角. 师:有别的想法吗?
(点评:学生的想法如何?对还是不对?有没有道理?缺陷在哪里?老师未作任何评价,这是本节课的一个明显的失误.)
生5:建立直角坐标系,将角的顶点O 与坐标原点重合,OB 边与x 轴的正半轴重合.作以原点O 为圆心的单位圆,设圆O 与另一条边相交于点A,由点A 向x 轴引垂线,垂足为C,定义sin AC
AOB AO
∠=
. 生6:我不知道生3与生5的方法有何区别? 师:他们没有区别吗? 部分学生:有区别. 师:还有别的想法吗?
(点评:这两种想法究竟有何区别?老师又未明确,这是本节课的又一个明显的失误.)
生7:与生5一样,将角放在直角坐标系中,在角的终边上任取一点A(x,y),用该点的坐标来定义角的正弦,即sin y
AOB AO
∠=
,这样就有正负之分了. 师:改变角所在的象限,该定义还成立吗?
老师用几何画板演示角的终边在其它象限内的情况,特别地,还演示了角的终边落在坐标轴上的情况.
(点评:学生终于说出了老师一直在等待的话,但这位学生是如何想的?可惜这个很关键的一点没能展示出来.)
三、数学建构 1、正弦的定义:sin y
r
α=
(详略). 师:与以前的定义相比,它们都是比值,但意义不同,而且新的定义包含了以前的定义.
2、余弦与正切的定义又该如何来定义呢?
生8:cos ,tan x y
r x
αα==.
生9:在正切的定义中,应该满足0x ≠. 师:0x ≠是什么意思?
生10:角的终边不能落在y 轴上. 师:那么角α不能等于哪些角? 生10:()2
k k Z π
απ≠+
∈.
师:上述比值与点A 的位置有没有关系? 众生:没有.
师:当角α确定时,这几个三角函数值能唯一确定吗? 众生:能.
师:这样一来,就与我们前面学习的哪一个知识有关了? 众生:函数.
师:对.我们通常称它们为正弦函数、余弦函数、正切函数,统称为三角函数. (点评:这里可顺提一下引入弧度制的目的之一:用实数表示角,使得三角函数符合了一般函数对定义域的要求.)
四、数学应用
1、已知角α的终边过点P(3,-4),求角α的正弦、余弦、正切值. 处理方法是生说师写.
2、已知角α的终边落在直线y x =-上,求角α的正弦、余弦、正切值.
处理方法是生说师写.sin tan 122
ααα=±
=±=-. (点评:这里最好分开写,即按α为第二象限角与α为第四象限角这两种情形分别求解) 五、拓展延伸
通过前面的讨论,你发现了什么? 生11:22sin tan ,sin cos 1cos α
αααα
=
+=. 生12: 0cos sin(90)αα=-.
生13:以下三角函数在每个象限的符号如下:
师: 考虑下列问题: (1)若sin 0,cos 0αα<>,则角α是第_______象限角. (2)若sin cos 0αα⋅<,则角α是第_______象限角. (3)若cos tan 0αα⋅<,则角α是第_______象限角.
(点评:(1)“你发现了什么?”式的问题,好处在于不束缚学生的思维,缺点是指向性不明.(2)表格的制作力求规范,最好不好出现“sin ”的写法.)
六、课堂小结 略 [2]听后随想
1、尽管本节课上有几个明显的失误之处,但我们丝毫不应否定教者的教学思想与设计理念,教者力图通过学生的自主探究自然地建构出任意角的三角函数的定义,而不是将该定义直接强加于学生.
2、导致本节课出现败笔的原因是多方面的,其中主要的可能是下面两点: (1)学生认知结构的不足.学生在初中只学习了锐角的三角函数,没有学过钝角的三角函数,因而生3与生5不知道他们给出的定义与已有的知识不符.
(2)教者未能将三个函数一起研究.实际上,高一学生在物理中已用过
01
cos1202
=-了,如果将三个函数一起研究,生3与生5可能会发现自己的想法与此
结论有冲突了.
3、改进的设想:
(1)回顾任意角、象限角与轴线角的概念.
(2)回顾锐角三角函数的定义,有了任意角之后,原来三角函数的定义有局限性,需要都其重新定义,以适用于任意的三角函数.
(3)除了锐角的三角函数外,在其它学科中有没有接触到一些特殊角的三角函
数值?(意图是让学生说出01
cos1202
=-)
(4)重新定义的原则有哪些?
①和谐的原则,新定义应该包含以前的定义,即当角为锐角时,其定义应与前面边的三角形边的比值等价.由此可以确定,新的定义仍应是比值的形式;
②传承的原则,新定义应保留旧定义中的一些做法,如可以用样在角的终边上任取一点来定义,且所得结果应与所取点的位置无关.
③相容的原则,新定义不能与一些熟悉的结论相矛盾.如当角为钝角时,其余弦值应为负值.由此可知,新的三角函数的定义应保证所得三角函数值有正负之分;
④自然的原则,新定义不能出来得很奇怪,要让人接受必须顺其自然,可在我们前面讨论的象限角的基础上进行,换句话说,老师在给出一个任意角的时候,就可以将角直接放在直角坐标系下,因为前面已讨论过象限角.
(5)按上述几个原则让学生自主探究.。