矩阵方程的解法

两类矩阵方程的行对称矩阵解及AX=B的最佳逼近摘要本文首先介绍了行对称矩阵的定义及性质，利用矩阵的广义逆，奇异值分解，给出了矩阵方程AX=B有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式；并给出了矩阵方程解集合中与给定矩阵的最佳逼近解的表达式。

最后利用奇异值分解给出了矩阵方程T有AXA B行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式。

矩阵方程问题是指在满足一定条件的矩阵集合中求矩阵方程的解的问题。

不同的约束条件，不同的矩阵方程，就导致了不同的约束矩阵方程问题。

约束矩阵方程问题在结构设计，参数识别，主成分分析，勘测，遥感，生物学，电学，固体力学，结构动力学，分子光谱学，自动控制理论，振动理论，循环理论等领域都有重要应用。

约束矩阵方程问题的内容非常广泛. 约束矩阵方程问题又分为线性约束矩阵方程问题和非线性约束矩阵方程问题. 有关线性约束矩阵方程问题的研究成果相当丰富. 其中最简单的矩阵方程AX = B是研究最透彻的一类问题.求解线性矩阵方程一般会遇到两种情况：一是当矩阵方程有解时，如何求它的解及最佳逼近；二是当矩阵方程无解时，如何求它的最小二乘解。

对于本文所研究的AX=B 、T AXA B =这两类简单矩阵方程，国内外学者已经作了大量研究。

都在相应的文献中对其进行了大量的研究，解决了求此方程的一些约束解和最小二乘解的问题。

自从针对工程应用领域提出了行对称矩阵概念之后，这方面研究已经取得了一些成果，如对行对称矩阵的一些性质，行对称矩阵的QR 分解。

本文先对行对称矩阵进行介绍，再将行对称矩阵与约束矩阵方程结合起来，先研究了矩阵方程AX=B 有行对称实矩阵解的充要条件，有解时，用奇异值分解及广义逆求出解及最佳逼近。

再对矩阵方程T AXA B =有行对称实矩阵解的充要条件进行了研究，利用奇异值分解得出了有解时的充要条件及解的表达式。

设*m n R 表示全体n*m 阶实矩阵集合，rank(A)表示矩阵A 的秩,n J 表示次对角线上元素全为1，其余元素全为0的方阵，即n J =*0101n n⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭,显然有1,Tn n nn J J J J -==成立。

*n n OR 表示n 阶正交矩阵全体。

本文要讨论以下问题：问题1 给定矩阵A,B ∈*m n,求实行对称方阵X ，使得AX=B 。

问题 2 给定*1n nX R ∈，求X ΛE S ∈，使得11min EX SX X X X Λ∈-=-。

其中E S为问题1的解集。

问题 3 给定矩阵*,m n A B R ∈,求实行对称方阵X ，使得AXA T =B 。

定义[2]1设A = (ij a ) ∈*n m R ，若A 满足1,,1,2,,;1,2,,ij n i j a a i n j m -+===，则称A 为n *m 行对称矩阵. 所有n *m 行对称矩阵的全体记为*n m RSR 。

考查满足1,ijn i j a a =-+的矩阵A ，不难发现A 是关于行具有某种对称性的矩阵，即当阶数n 为奇数时，以将12n +行为对称线，矩阵A 的行关于该线对称；当阶数n 为偶数时，在2n 行与22n +行间做一条直线，则A 的行关于该直线对称。

或简单的说，将A 进行上下翻转后矩阵不变，我们就称这种矩阵为行对称矩阵。

为了更好的了解行对称矩阵，我们介绍一下行对称矩阵的性质：（1）当n=2k 时，*n m RSR =1*11{|}k mk A A A R J A ⎛⎫=∈⎪⎝⎭. （2）当n=2k+1时，*n m RSR =1*1*11{|,}k m m k A A A R R J A αα⎛⎫⎪=∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭定义[1]2设A=*()ij n m a ，r(A)=r,T A A 的大于零的特征值为12,,,r λλλ。

则,r λ称为A 的奇异值。

定义[1]3 设矩阵A ∈*n m R ，若矩阵X *m n R ∈满足如下四个Penrose 方程： AXA=A XAX=X ()T AX =AX ()T XA =XA则称X 为A 的Penrose 广义逆，记为A +。

设矩阵A ∈*n m R ，若矩阵X ∈*m n R 满足： AX=()R A P ， XA=()R X P ，其中L P 是子空间L 上的正交投影矩阵，则称X 为A 的Moore 广义逆矩阵。

Moore 广义逆矩阵与Penrose 广义逆矩阵是等价的。

因此A +通常称为Moore-Penrose 广义逆。

显然，当A 为非奇异矩阵时，有A +=1A -。

定义[1]4设A=*()ij n n a *n nR ∈，令21/2,1()niji j A a ===∑，则•称为*n n R 上的Frobenius 范数。

引理[2]1 A *n m RSR ∈，当且仅当A=n J A 。

n J 的第i 行为1(0,0,1,0,0)n i -+⇔n J A 的第ｉ行j 列位置的元素为1,n i j a -+ ⇔1,ij n i j a a -+= ⇔ A *n m RSR ∈设A=*()ij m n a ，,r λ为A 的奇异值分解，则A 有如下分解：A=UD TV ，D=*00m n⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭， 其中U ，V 分别为m 阶和n 阶的正交矩阵。

上式称为A 的奇异值分解。

对任意A ∈*m n，A +存在并且唯一。

给定矩阵A,B ∈*m n，若矩阵A 的奇异值分解为A=U 000∑⎛⎫⎪⎝⎭TV其中∑=diag 1,2,,()r a a a ，i a >0,(i=1,2,…,r),r =rank(A),U=1,2()U U ,V=(1,2V V ),U 为m 阶正交矩阵，V 为n 阶正交矩阵，1U *m r∈， 1V ∈*n r,则矩阵方程AX=B 有解的充分必要条件是2T U B=0,且有解时的一般表X=20A B V G ++ 其中0G ∈()*n r n-是任意的。

在*n n R 上，矩阵乘上一个正交矩阵后，它的Frobenius 范数不变。

2.问题1的解先对后面证明要用到的两个矩阵做奇异值分解： 矩阵A 的奇异值分解为 A=U 000∑⎛⎫⎪⎝⎭TV（1）其中∑=diag 1,2,,()r a a a ，i a >0,(i=1,2,…,r),r =rank(A),U=1,2()U U ,V=(1,2V V ),U 为m 阶正交矩阵，V 为n 阶正交矩阵，1U *m r∈， 1V ∈*n r。

矩阵W=22n V J V -*()n n r R -∈的奇异值分解为W=P 000Λ⎛⎫⎪⎝⎭TQ （2） 其中Λ=diag(12t b b b ),i b >0,(i=1,2,,t),t=rank(W),P=(12,P P )*n n OR ∈,Q=(12,Q Q )()*()n r n r OR --∈,*1n t P R ∈,()*1n r t Q R -∈. 给定矩阵A,B ∈*m n,求实行对称方阵X ，使得AX=B 。

将A ，W 分别按（1），（2）进行分解，则问题1有解的充分必要条件是2T U B=0，2T P N=2T P （n J A B A B ++-）=0 （3）且有解时的一般表达式为X=2A B V ++（2W N Q G ++） （4） 其中()*n r r G R -∈是任意的。

证明：由引理4，AX=B 有解的充要条件为2T U B=0， 它的通解为X=20A B V G ++。

由引理1，X 为行对称矩阵的充要条件为X=n J X 即（20A B V G ++）=n J （20A B V G ++） （22n V J V -）0G =n J A B A B ++- 令 W=22n V J V - , N=n J A B A B ++- ，由引理4，则问题1有解的充要条件是2T U B=0， 2TP N=2T P （n J A B A B ++-）=0当问题1有解时，可以解得0G =2W N Q G ++， ()*n r r G R -∈是任意的。

所以有解时，方程的行对称矩阵解为X=2A B V ++（2W N Q G ++），()*n r r G R -∈是任意的。

问题 2 给定*1n nX R ∈，求X ΛE S ∈，使得11min EX SX X X X Λ∈-=-。

其中E S为问题1的解集。

给定*1n n X R ∈，若问题1的解集合E S 非空，则问题2在E S 中存在唯一解X Λ，并且X Λ=22[()]TA B V Q M W N +++- （3） 其中M=21()T V X A B +-。

证明： 因为问题1的解集合E S 非空，则E S 是Hilbert 空间*n n R 中一个非空闭凸锥。

所以问题2有唯一解X Λ[4,5,6]E S ∈。

把（4）代入，有221221()X X A B V W N Q G X ++-=++-左乘T V ，利用引理5，上式=2221(())T V A B V W N Q G X ++++-=2221()()V W N Q G X A B +++--=212212(())T T V A B V W N Q G X V ++⎛⎫++- ⎪⎝⎭因为1T V 2V =0，所以上式=2221()T W N Q G V X A B +++--+211()T V X A B +- =22()Q G M W N +--+211()T V X A B +- 左乘T Q ,上式=22()TG Q M W N +--+21()T Q M W N +-+211()T V X A B +-因此，要使得21X X -=min则 G=2()TQ M W N +-，其中M=21()T V X A B +-， 所以X Λ=22[()]TA B V Q M W N +++-，其中M=21()T V X A B +-。