矩阵方程的解法

两类矩阵方程的行对称矩阵解

及AX=B的最佳逼近

摘要本文首先介绍了行对称矩阵的定义及性质，利用矩阵的广义逆，奇异值分解，给出了矩阵方程AX=B有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式；并给出了矩阵方程解集合中与给定矩阵的最佳逼近解的表达式。最后利用奇异值分解给出了矩阵方程T

有

AXA B

行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式。

矩阵方程问题是指在满足一定条件的矩阵集合中求矩阵方程的

解的问题。不同的约束条件，不同的矩阵方程，就导致了不同的约束矩阵方程问题。约束矩阵方程问题在结构设计，参数识别，主成分分析，勘测，遥感，生物学，电学，固体力学，结构动力学，分子光谱学，自动控制理论，振动理论，循环理论等领域都有重要应用。

约束矩阵方程问题的内容非常广泛. 约束矩阵方程问题又分为

线性约束矩阵方程问题和非线性约束矩阵方程问题. 有关线性约束

矩阵方程问题的研究成果相当丰富. 其中最简单的矩阵方程AX = B

是研究最透彻的一类问题.

求解线性矩阵方程一般会遇到两种情况：一是当矩阵方程有解时，如何求它的解及最佳逼近；二是当矩阵方程无解时，如何求它的最小

二乘解。对于本文所研究的AX=B 、T AXA B =这两类简单矩阵方程，国内外学者已经作了大量研究。都在相应的文献中对其进行了大量的研究，解决了求此方程的一些约束解和最小二乘解的问题。

自从针对工程应用领域提出了行对称矩阵概念之后，这方面研究已经取得了一些成果，如对行对称矩阵的一些性质，行对称矩阵的QR 分解。

本文先对行对称矩阵进行介绍，再将行对称矩阵与约束矩阵方程结合起来，先研究了矩阵方程AX=B 有行对称实矩阵解的充要条件，有解时，用奇异值分解及广义逆求出解及最佳逼近。再对矩阵方程

T AXA B =有行对称实矩阵解的充要条件进行了研究，利用奇异值分解

得出了有解时的充要条件及解的表达式。

设*m n R 表示全体n*m 阶实矩阵集合，rank(A)表示矩阵A 的秩,n J 表示

次对角线上元素全为1，其余元素全为0的方阵，即n J =*0

101n n

⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝

⎭,显然有1,T

n n n

n J J J J -==成立。*n n OR 表示n 阶正交矩阵全体。

本文要讨论以下问题：

问题1 给定矩阵A,B ∈

*m n

,求实行对称方阵X ，使得AX=B 。

问题 2 给定*1n n

X R ∈，求X ΛE S ∈，使得11min E

X S

X X X X Λ

∈-=-。其中E S

为问题1的解集。

问题 3 给定矩阵*,m n A B R ∈,求实行对称方阵X ，使得AXA T =B 。

定义[2]1设A = (ij a ) ∈*n m R ，若A 满足1,,1,2,,;1,2,,ij n i j a a i n j m -+===，

则称A 为n *m 行对称矩阵. 所有n *m 行对称矩阵的全体记为

*n m RSR 。

考查满足1,ij

n i j a a =

-+的矩阵A ，不难发现A 是关于行具有某种

对称性的矩阵，即当阶数n 为奇数时，以将

1

2n +行为对称线，矩阵A 的行关于该线对称；当阶数n 为偶数时，在2n 行与2

2

n +行间做一条直线，

则A 的行关于该直线对称。

或简单的说，将A 进行上下翻转后矩阵不变，我们就称这种矩阵为行对称矩阵。

为了更好的了解行对称矩阵，我们介绍一下行对称矩阵的性质：

（1）当n=2k 时，*n m RSR =1*11{|}k m

k A A A R J A ⎛⎫=∈

⎪⎝⎭

. （2）当n=2k+1时，*n m RSR =1*1*11{|,}k m m k A A A R R J A αα⎛⎫

⎪=∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭

定义[1]2设A=*()ij n m a ，r(A)=r,T A A 的大于零的特征值为12,,,r λλλ。则

,r λ称为A 的奇异值。

定义[1]3 设矩阵A ∈*n m R ，若矩阵X *m n R ∈满足如下四个Penrose 方程： AXA=A XAX=X ()T AX =AX ()T XA =XA

则称X 为A 的Penrose 广义逆，记为A +。 设矩阵A ∈*n m R ，若矩阵X ∈*m n R 满足： AX=()R A P ， XA=()R X P ，

其中L P 是子空间L 上的正交投影矩阵，则称X 为A 的Moore 广义逆矩阵。

Moore 广义逆矩阵与Penrose 广义逆矩阵是等价的。因此A +通常称为Moore-Penrose 广义逆。

显然，当A 为非奇异矩阵时，有A +=1A -。

定义[1]

4

设A=*()ij n n a *n n

R ∈，令21/2

,1

()n

ij

i j A a ===∑，则•称为

*n n R 上的Frobenius 范数。

引理[2]1 A *n m RSR ∈，当且仅当A=n J A 。

n J 的第i 行为1

(0,

0,1,0

,0)n i -+

⇔n J A 的第ｉ行j 列位置的元素为1,n i j a -+ ⇔1,ij n i j a a -+= ⇔ A *n m RSR ∈

设A=*()ij m n a ，

,r λ为A 的奇异值分解，则A 有如下分解：

A=UD T

V ，

D=*0

0m n

⎫⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝

⎭， 其中U ，V 分别为m 阶和n 阶的正交矩阵。 上式称为A 的奇异值分解。。 对任意A ∈*m n

，A +存在并且唯一。

给定矩阵A,B ∈

*m n

，若矩阵A 的奇异值分解为

A=U 000∑⎛⎫

⎪⎝⎭

T

V

其中∑=diag 1,2,

,

()r a a a ，i a >0,(i=1,2,…,r),

r =rank(A),U=1,2()U U ,V=(1,2V V ),U 为m 阶正交矩阵，V 为n 阶正交矩阵，1U *m r

∈

， 1V ∈

*n r

,

则矩阵方程AX=B 有解的充分必要条件是2T U B=0,且有解时的一般表