常微分计算习题及解答

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计 算 题（每题10分）

1、求解微分方程2

'22x y xy xe -+=。 2、试用逐次逼近法求方程

2y x dx

dy

+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x

y y y e -''+-=的通解 4、求方程组d x d t y d y d t

x y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解

5、

6、7、9、10、11、13、14、15、17、⎩dt dt 19、试用逐次逼近法求方程

2dy

x y dx

=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ. 20、利用逐次逼近法，求方程

22dy

y x dx

=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。 21、证明解的存在唯一性定理中的第n 次近似解()n x ϕ与精确解()x ϕ有如下误差估计式：

1

0|()()|(1)!

n n n ML x x x x n ϕϕ+-≤-+。

22、求初值问题

22,(1)0dy

x y y dx

=--= 在区域 :|1|1,||1R x y +≤≤ 的解的定义区间，并求第

二次近似解，给出在存在区间上解的误差估计。

23、cos cos 0y y x y dx x dy x x ⎛

⎫-+= ⎪⎝⎭ 24、2

221dy y dx x y ⎛⎫+= ⎪+-⎝⎭

25、

21210dy x y dx x

-=-= 26、ln (ln )0y ydx x y dy +-= 27、'2ln y y y y y x =+- 28、22dy y x dx xy

-=

29、222()0xydx x y dy +-=

30、y x 32、(1+35、(236、3y y 39、(4)y 41、(4)y 43、(4)y 45、2y ''47、x ''+50、x ''-52、y '''54、x ''+55、y ''57、210cos 2x y y y e x -'''-+= 58、sin ,0x x at a ''+=>

59、225cos y y x '''+= 60、4sin 2y y x x ''+= 61、234sin 2y y x '''+=+ 62、224cos x y y y e x '''-+= 63、918cos330sin3y y x x ''+=- 64、sin cos2x x t t ''+=- 65、22cos t x x x te t '''-+= 66、求微分方程22

()01y y y

'''+=-的通解。 67、求1cos x y y xe x x '''=+的通解。 68、求微分方程20y y

y x x

'''-+=的通解。

69、求微分方程2()0xyy x y yy ''''+-=的通解。 70、求微分方程32sin x y y y e x -'''++=+的通解。 71、求微分方程22144x

y y y e x

'''-+=

的通解。 72、求方程245csc x y y y e x '''-+=的通解。 73、求微分方程2220x y xy y '''+-=的通解。 74、求微分方程22222x y xy y x '''+-=+的通解。 75、利用代换

u

y =

将方程 cos 2sin 3cos x y x y x y x e '''-+= 化简，并求出原方程的通解。 76、77、78、１２3对应的齐次方程通解为

212x x Y c e c e -=+ 设方程的一个特征解为1x y Ae -=

则 1x

y A e -'=-，1x y Ae -''= 代入解得12

A =-

从而11

2x y e -=- 故方程的通解为2 11212

x x x y Y y c e c e e --=+=+- 。

4、解：它的系数矩阵是A =⎡⎣⎢⎤

⎦

⎥

0121 特征方程||A E -=--=λλλ1

210

或为?2-10?+9=0 特征根?1=1,?2=9

原方程对应于?1 =1的一个特解为y 1=e t ,x 1=-e t 对应于?2=9的一个特解为y 1=e 9t ,x 1=e 9t

?原方程组的通解为x ce ce y ce ce t t

t t

=+=-+⎧⎨⎩

--12

21222 5、解：对应的齐次方程20y xy '+=的通解为2x y ce -=

用常数变易法，可设非齐次方程的通解为2

()x y c x e -=

代入方程24y xy x '+=得2

()4x c x e x '=因此有2

()2x c x e c =+

所以原方程的通解为22

(2)x x y e c e -=+ 。

6、解：取20011()0,()()[()]x

n n y x y x y x t y t dt -==+-⎰

27、89、10则210()2x

x y x tdt ==⎰ 225

20()2220x t x x y x t dt ⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰ 因此，第三次近似解为 532211y ()2062430

x x x x x =-++-- 11、解：对应的齐次方程为20y y y '''+-= 特征方程为?2+?-2=0 解得?=1,-2

对应的齐次方程通解为

212x x Y c e c e -=+设方程的一个特征解为1x y Ae -=

?则1x y Ae -'=- ,1x y Ae -''=代入解得2A =-

?????????从而12x y e -=-故方程的通解为2122x x x y c e c e e --=+-