线性代数第一章习题解答

习
题 1.11．计算下列二阶行列式．（1）
5
324；（2）α
α
ααcos sin sin cos ．
解（1）
14620532
4=−=；（2）α
αααcos sin sin cos αα22sin cos −=．
2．计算下列三阶行列式．
（1）50
1721
33
2−−；（2）00000d c b a ；（3）2
221
11c b a c b a ；
（4）c
b a b a a
c b a b a a c b a ++++++232．
解（1）原式62072)5(1)3(12317)3(301)5(22−=××−−××−−××−××−+××+−××=（2）原式00000000000=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=d c b a c a d b ；（3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc −−−=−−−++=；（4）原式)
()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +−++++++++=3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++−+++−．
3．用行列式解下列方程组．（1）⎩
⎨
⎧=+=+3532
4y x y x ；
（2）⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++8
268
3321321321x x x x x x x x x ；
（3）⎩⎨⎧=−=+0231
3221
21x x x x ；
（4）⎪⎩⎪⎨⎧=−+=+=−−0
31231
2321
32321x x x x x x x x ．
解（1）75341−==
D ，253421−==D ，33
32
12−==D 所以721==D D x ，7
3
2==D D y ．
（2）2121111
113−==D ，21281161181−==D ，41811611
832−==D ，68
216118
133−==D ；所以111==
D D x ，222==D D
x ，333==D
D x ．（3）132332−=−=D ，220311−=−=D ，3
031
22−==D 所以1321==D D x ，13
3
2==D D y ．
（4）8113230121−=−−−=D ，81
102311
211−=−−−=D ，
81
032101112=−−=D ；
20
13130
1
213=−=D 所以111==
D D x ，122−==D D
x ，333==D
D x ．4．已知x
x x x x x f 211
12)(−−−=，求)(x f 的展开式．
解
x
x
x x x x f 211
12)(−−−=22)(11)(1)(111)(2)()(2⋅⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−−⋅⋅+−⋅⋅−+⋅−⋅=x x x x x x x x x x x
x x 23223+−−=5．设b a ,为实数，问b a ,为何值时，行列式01
0100
=−−−a b b a ．
解
01
0100
22=−−=−−−b a a b b a 0,022==⇒−=⇒b a b a ．习
题 1.2
1．求下列各排列的逆序数．（1）1527364；（2）624513；
（3）435689712；（4）)2(42)12(31n n L L −．
解（1）逆序数为14；
6
2
4
2
1527364i
t ↓
↓↓↓↓↓↓ （2）逆序数为5；
3
1
1
624513i
t ↓
↓↓↓↓↓ （3）逆序数为19；
5
54310010435689712i
t ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
（4）逆序数为
2
)
1(−n n ：
2122210000421231↓↓−−−↓↓↓↓↓−n n n n t n i L L L L
2．在由9,8,7,6,5,4,3,2,1组成的下述排列中，确定j i ,的值，使得（1）9467215j i 为奇排列；（2）4153972j i 为偶排列．
解（1）j i ,为分别3和8；若8,3==j i ，则93411)946378215(=+++=τ，为奇排列；若3,8==j i ，则1234311)946873215(=++++=τ，为偶排列；
（2）j i ,为分别6和8；若8,6==j i ，则205135231)397261584(=++++++=τ，为偶排列；若6,8==j i ，则215335131)397281564(=++++++=τ，为奇排列；3．在五阶行列式)det(ij a =D 展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？
（1）5145342213a a a a a ；
（2）2544133251a a a a a ；（3）2344153251a a a a a ；（4）4512345321a a a a a ．
解（1）因5)32451(=τ，所以前面带“-”号；（2）因7)53142(=τ，所以前面带“-”号；
（3）因10)12543()53142(=+ττ，所以前面带“+”号；（4)因7)13425()25314(=+ττ，所以前面带“-”号．
4．下列乘积中，那些可以构成相应阶数的行列式的项?为什么？（1）12432134a a a a ；（2）14342312a a a a ；（3）5514233241a a a a a ；（4）5512233241a a a a a ．解（1）可以，由于该项的四个元素乘积分别位于不同的行不同的列；
（2）不可以，由于14342312a a a a 中的1434a a 都位于第四列，所以不是四阶行列式的项；（3）可以，由于该项的五个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（4）不可以，由于5512233241a a a a a 中没有位于第四列的元素。

5.六阶行列式展开式中含有因子23a 的乘积项共有多少项？为什么？
解！5项，因为六阶行列式中每项是六个元素相乘，并且六个元素取自不同行不同列，23a 是取自第二行第三列的元素，所以其余五行从第一、二、四、五、六列里选取出其余的五个元素，共有！
5种取法。

6．用行列式定义计算下列行列式．
（1）
0001100000100100
；（2）
d
c b a 000
000000000．解（1）在展开式
43214321)
1(p p p p a a a a ∑−τ
中，
不为0的项取自于113=a ，122=a ，134=a ，141=a ，而4)3241(=τ，所以行列式值为11111)1(4=×××−．（2）在展开式
43214321)
1(p p p p a a a a ∑−τ
中，不为0的项取自于a a =11，b a =23，c a =32，d a =44，
而1)1324(=τ，所以行列式值为abcd abcd −=−1)1(．
7.在函数x
x x x x x x f 4124121
02
132)(=的展开式中，4x 的系数是什么？
解)(x f 中含x 因子的元素有x a 211=，x a =21，x a =22，x a =33，x a =41，x a 444=，因此，含有x 因子的元素i ij a 的列标只能取11=j ，212,=j ，33=j ，414,=j .
于是含4
x 的项中元素列下标只能取11=j ，22=j ，33=j ，44=j ，相应的4个元素列标排列只
有一个自然顺序排列1234，故含4x 的项为4044332211(1234)
842)1()1(x x x x x a a a a =⋅⋅⋅−=−τ，
故)(x f 中4x 的系数为8.
习
题 1.3
1．判定下列等式或命题是否正确，并说明理由．
（1）2
22111222
111
8222c b a c b a c b
a c
b a
c b a c b a
=；（2）2
2211122
2
111
c b a ck c bk b ak a ck
bk ak c b a c b a c b a +++=；（3）如果n （1>n ）阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行元素对应成比例；（4）如果n （1>n ）阶行列式的值等于零，则行列式中必有一行元素全为零；
（5）3
332221
113332221113333322222
11111
e c a e c a e c a d b a d b a d b a e d c b a e d c b a e d c b a +=++++++．解（1）不正确，提取公因子是某一行（列）的元素有公因子；
（2）不正确，2
2
2111
222222*********c b a c b a c b a
k c b a ck bk ak ck bk ak c b a c b a ck bk ak c b a ck c bk b ak a ck bk ak =+=+++；（3）不正确，01
112103
21=，但是没有两行元素对应成比例；
（4）不正确，例子同上；（5）不正确，
3
333222*********
22221111333332222211111e d c a e d c a e d c a e d b a e d b a e d b a e d c b a e d c b a e d c b a +++++++=++++++3
3
3
2221
1133
3
22211133
3
22211133
3
222
111e c a e c a e c a d c a d c a d c a e b a e b a e b a d b a d b a d b a +++=．2．设033
3231232221
13
1211
≠==a a a a a a a a a a D ，据此计算下列行列式．（1）131211
232221
33
3231
a a a a a a a a a ；（2）33
32
31
232221
131211
555a a a a a a a a a ；（3）33
32
313123222121
13
121111
254254254a a a a a a a a a a a a −−−；（4）32
32
3331
22222321
12121311
273227322732a a a a a a a a a a a a −−−−−−．
解（1）a a a a a a a a a a r r a a a a a a a a a −=−↔33
3231
23222113
1211
31131211232221
333231
；（2）a a a a a a a a a a
k c a a a a a a a a a 55)0(555533
32
31232221
13
12
11
3333231
232221
131211
=≠÷，（3）33
32
31
2322211312113331312321211311113332
3131
23222121
13121111
242424545454254254254a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a −=−−−a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 88082033
32
31
23222113
1211333131232121
131111
−=−=−=．（4）32333122
232112
13113
2323233312222232112121311232232232c 27c 25732257322732a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a −−−−−−−−−−a a a a a a a a a a c c a a a a a a a a a c c c 121212)
2(32
33
323123222113
12113
2323331222321121311321=↔−÷÷÷．
3．用行列式性质计算下列行列式．
（1）111210
3
21；
（2）；ef cf bf
de cd bd
ae ac ab
−−−；（3）y
x y x x y x y
y x y x
+++；（4）
9
876876554324321
；（5）
2
6
5232112131412−．解（1）01
112100
001
11210
3
213
21=−−r r r ；（2）0
20200132
1c e
e
c b adf r
r r r e c b e c b e c b adf ef cf bf
de cd bd
ae ac ab
−++−−−=−−−abcdef e
c e
c b adf r r 42000203
2=−−↔；
（3）y x y
x x y x y x y x y
y
x c c c y x y x x y x y
y x y x
222222321++++++++++x
y y y x
y
x y
y x r r r r −−−++−−00)(21223
2)22()()22(y y x x y x y x +−−+=)(2))((23322y x y x xy y x +−=−−+=；
（4）0
98768765131197131197r r r r 98768765543243213241=++（5）00
0002321121314122605232112131412214=−−−−r r r ．
4．把下列行列式化为上三角行列式，并计算其值．
（1）3351110243152113−−−−−−；
（2）
1078255133
15271391−−−−−−−；
（3）
3
214
214314324321；（4）7
222227222227
222227222227．解
（1）2113110243153351335111024315211341−−−−−−−↔−−−−−−r r 11101605510019182403351325141312−−−−−−−
−−+r r r r r r 111016019182401120335155323−−−−−−↔÷r r r 2
00032001
1203
3515
33200760
011203351581243432423−−−−−↔+−−−−−−+r r r r r r r r 402)2(215=×−×××−=；
（2）
7
8130210017251307
139121078255133
152713*********−−−−−−++−−−−−−−−−r r r r r r r 31224
000210017
251307
139117324−=−−−−−++r r r ．
（3）
32142143143243213214
21431432
111
1
104321r r r r +++3
21421431432
111
110
423141213r r r r r r −−−1
231211
21101
2
301
2101
21
01
1111032142143
1432
111110423141213−−−−−−=−−−−−−=−−−r r r r r r 16016104
400401
211031
31
2=×=−−−+−r r r r ；
（4）5
00000500000500000501111
115222272222272222
2722222721111
11572222272222
2722
222722222715141
2135
4321r r r r r r r r r r r r r −−−−++++9375
355555155=⋅=××××=5．用行列式性质证明下列等式．
（1）3
2
2
)(22111a b b
b a a b
ab a −=+；（2）0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2
2
2
2
2222
2
2222
222
=++++++++++++d d d d c c c c
b b b b a a a a ．
解（1）左边2
22
2
321
2222
21
31
2)(220
1)(2200
1a b a ab a a b a
b a r r r r a b a b a a b a ab a
c c c c −−−−↔↔−−−−−−=−=−−−=−−−−−32
22222
22
3)()(02001)(220012a b a b a ab a a b a a b a ab a a b a b a c c 右边（2）左边
96441
29644129
644129
644122
2
2
2141312++++++++++++−−−d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 06
2126212621262123222221
31
2=++++−−d d c c b b a a c c c c 6.计算下列四阶行列式．
（1）d
c b a c b a b a a
d c b a c b a b a a d
c b a c b a b a a
d c b a ++++++++++++++++++=3610363234232D ；
（2）3
3
5
1
1102
4
315
2113−−−−−−=
D ．
解
（1）
从第4行开始，后行减前行：
c b a b a a c
b a b a a
c b a b a a
d c b a r r r r r r +++++++++−−−363023*********D b a a b a a c b a b a a d
c b a r r r r +++++−−30020002
33
44340002000a a b a a c
b a b a a d
c b a r r =++++−．
（2）2113110243153351335111024315211341−−−−−−−↔−−−−−−r r 11101605510019182403351325141312−−−−−−−
−−+r r r r 111016019182401120335155323−−−−−−↔÷r r r 2
00032001
1203
3515
33200760
011203351581243432423−−−−−↔+−−−−−−+r r r r r r r r 402)2(215=×−×××−=；7．计算下列n 阶行列式．
（1）0)1(3210321102113011321−−−−−−−−−−−−−−n n
n n n
n n
n L L M
M M M M L L L ；（2）1
1211
2211
2111
211111−−−−−+++n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a L M
M M M L L L ；（3）x y y y y x y y y y x y y y y x L M M M M L L L ；（4）n
L M M M M L L L 001030100211111．
解（1）0)1(3210321102113011321−−−−−−−−−−−−−−n n n n n n n n L L M M M M M L L L !0000210002)1(23002)1(262021321,,3,21n n
n n n
n n
n n n n i r r i =−−−−=+L L M M M M M L L L L ；
（2）112112
21
121
112
11111−−−−−+++n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a L M M M M L
L L ∏−=−−==−1
1
1
21
1211
0000
00001,,3,2n i i n n i b b b b a a a n i r r L M M M
M L L L L ；
（3）x
y y y y x y y
y
y x y y
y y x L M M M M L
L L x
y
y y
x y y x y y
x y
y x y x y y y y x L M M M M
L L L )1(n )1(n )1(n )1(n c c n 2i i 1−+−−+−+−++∑=n
i r r i ,,21
L =−y
x 0000y
x 000
0y x 0y
y
y y x −−−−+L M M M M L L
L )1(n )(])1(n [1
n y x y x −−+=−；
（4）n
L M
M M M L L L 0
010301
00211111n
c n c c c )1()31()21(321−++−+−+L n
i n
i L M M M M
L L L 00
0300
0020111112∑=−n i n
i L 32112⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝⎛
−=∑=.习
题 1.4
1．求行列式1
22
305
4
13
−−中元素3和4的余子式和代数余子式．解
3的余子式4221
323=−−=
M ，3的代数余子式4)1(233223−=−=+M A ．
4的余子式102
20513
−=−=M ，4的代数余子式10)1(133113−=−=+M A ．2．已知70008
34133
32
31
23
22
21
13
1211
==
a a a a a a a a a D ，求33
3231
23222113
1211
a a a a a a a a a ．
解因为7)1(10008
341333231
232221131211
1133
323123
222113
1211
=−⋅==
+a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ，所以733
323123222113
12
11=a a a a a a a a a ．3．已知四阶行列式D 的第1行元素分别为4,3,2,1，而它们的余子式依次为1,2,2,1−−，求行列式D ．
解将行列式D 按第一行元素降阶展开，有
14
14131312121111A a A a A a A a D +++=1511)(42)(1)(321)(21)(1)(143312111−=⋅−⋅+−⋅−⋅+⋅−⋅+−⋅−⋅=++++13
=4．设四阶行列式的第2行元素分别为0,1,,2x ，它们的余子式分别为y ,2,6,2−，第3行的各元素的代数余子式分别为5,1,6,3，求此行列式．
解因03424332332223121=+++A a A a A a A a ，即05011632=×+×++×x ，
所以6
7
−=x ．
从而24
24232322222121A a A a A a A a D +++=y
x ⋅−⋅+−⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=++++42322212)1(0)2()1(16)1(2)1(297262−=−−=+−=x ．
5．按第3行展开并计算下列行列式．
（1）5021011321014321−−−；（2）4
004030300224321．
解（1）原式5
012
114
31)1()1(502210
43
2)1(33213−−⋅−+−−⋅=++0
211
013
21)1(0521201421)1()1(4333++−⋅+−−⋅−+24
181218−=−+−=（2）原式0
040
223211)(04040224211)(34040024311)(04000024321)(343332
313++++−⋅+−⋅+−⋅+−⋅=92
1)1623(8324)(3−=−−×+−×=6．已知四阶行列式
5
21534120
8131711−−=
D ，求44342414A A A A +++及44434241M M M M +++的值，其中ij M 、ij A 分别为行列式D 中元素ij a 的余
子式和代数余子式．
解（1）由于44
342414443424141111A A A A A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅=+++相当于用1,1,1,1代替D 中第4列元素所得的行列式，由行列式按行（列）展开定理知
44342414A A A A +++1215
14121813
1711−=
00
5040303010217
11141213=−−−−−−r r r r r r 同样
1
111
34120813
17114443424144434241−−−−=
+−+−=+++A A A A M M M M 682
824331
121)(2
8024
3031
1021
71121141213−=−−−−−=−−−−−−−+r r r r r r 。

7．计算下列各行列式．
（1）
0100111010100111；（2）
3
214214314321111；（3）a
b c d e e d c b a 0100000
10000010；（4）0
100002000010L L M M M M
L
L n
n −；（5）
b
a b a b a b a b a 000
00000
00000000000L L M M M M M M L L L ．
解（1）
01
001
1101
010
11100
10
111101
1)(111=−⋅=+（2）原式
1231211
211
234
1213
1212
0001
4,3,21−−−−−−=−−−−−−=−i c c i 1
2304012112−−−−−−r r 161
31
14=−−−−=；
（3）依次按第二行、第三行、第四行降阶展开，有
a
b c d e
e d c b a 010********
001022e a a e e
a −==
；（4）0
001
0000
2000
010L L M M M M
L L n n −!n n n n n n n 111)1()1(n 21)1(10
00
2000
1)
1(+++−=−×××⋅−⋅=−−⋅=L L M M
M L
L ；（5）
b
a b a b a b a b a 0000
000000000
0000000L
L M M M M M M L L L a
b a a b a b b a b b a b a 000000
0000)1(000000
0000n
1L L M M M M L L L L M M M M L L +−⋅+⋅ 111)1(−+−⋅−+⋅=n n n a b b a 。

习
题 1.5
1．用行列式定义计算行列式
001
1,22111
,111L M M N M L L n n n
n a a a a a a −−．解
11-11211-1
1,22111,11110
0n n n n n n n n n a a a a a a a a a L L M M N M L L L ，）
）（（）（τ−=−−1
1-112
1-1n n n n n a a a L ，）
（）
（−=2．计算下列各行列式．（其中k D 表示k 阶行列式）
（1）x
a a a a a a a x a a a a a a a x a a a a a a a x a a a a a a a a n n n n
n n n
n n n n
n n
−+−+−+−+=−−−−−−−113
211232113221
13
21113
21L
L M M M M M L L L D ；
（2）n n n
n n −−−−−=110
0000
2
200
00
111321L M
M M M M L L L D ；
（3）n
n a a a +++=1111
1111121L
M M
M L
L
D ，其中021≠n a a a L ；（4）x
y y
x x y x y x n 000000000
00
000
00L L M
M M M M L L L =
D ；（5）n n
n n n n n n a a a n a a a n
a a a )()1()()1(1
11
111
11−−−−−−=−−−+L L M
M M L
L D ；（6）n
n n
n
n d c d c b a b a O
N
N
O
1
1
112=
D ，其中未写出的元素都是０．
解
（1）
x a a a a a a a x a a a a a a a x a a a a a a a x a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n −+−+−+−+−−−−−−−113211232113221132111321L L M
M M M M L L L x
a x a x
a x a a a a a a n i r r n n n
n i −−−−=−−−−122113
21100
0000000000000
0,,3,2L
L M M M M M L L L L )())((1211x a x a x a a n −−−=−L ．
（2）n
n
n n c c n
n n
n n
n n −−−+−+−−−−−=100000
0220000111321110000
02
20000
1113
211-L M
M M M M L L L L M M M M M L L L ）（D
n
n n n i
i i n n i c c n
i n i n i i
i −−−+−=+∑∑∑===10
00
000
200
000
10
122-1-3
2
1
1-L
M M M
M M L L
L L ）（，，，()2
11211121111212
1
-2
1
-2
1-1
）！（）（）（）！（）（）！
（）（）（））（（+−=+−−=+++−−=−−−=∑=n n n n n n i
n n n n n
i L L （3）n
n
n
n
n n
i n
a a a a a a a n i c c D +−−−−=−−1100100
1001
,,2,11
21L L
M M
M M L L L X
a a a r a a
r n n i i
i
n n 00
010*******
1211
1L L M M M M L
L −−=∑+（其中∑−=++=1
11n i i
n n a a
a X ）
)1
1(11(1211
1121∑∑=−=−+=++=n
i i
n n i i n n n a a a a a a a a a a L L ；
（4）按第１列降阶展开，有
y
x y y x y y x y x x y x x D n n L L M M M M L L L
L M M M
M L L
000000
000
)1(00000000001+−+=n n n y x 1)1(+−+=；（5）n
n
n n n n n n a a a n a a a n a a a D )(1)()()1(11
111111
−−−−−−=−−−+L L L L L
L
L L ，该行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥+++−−+−=
1
11)]1()1[(j i n n j a i a D ∏∏≥>≥+++−+≥>≥+−⋅
−=−−=1
12
1
1)n 1
1)][()
1()][j i n (n j i n j i j i (L ；
（6）n
n
n
n
n d c d c b a b a D 0
1
1112O
N
N
O
=n
n n n n n
d d c d c b a b a a 00
0000
00
11111111
−−−−L
O
N
M N
O
展开
按第一行0
00
0)
1(11
1
1111
1
1
2n
n n n n n
n c d c d c b a b a b −−−−+−+O
N
N
O
2222−−−n n n n n n D c b D d a 展开
都按最后一行
，
由此得递推公式222)−−=n n n n n n D c b d a D ，所以∏=−=
n
i i i i
i
n D c b d
a D 2
22)(，而
111111
1
1
2c b d a d c b a D −==，所以∏=−=n i i i i i n c b d a D 1
2)(．3．解下列方程．
（1）
08814412211111
32=−−x x x ；（2）09132513232213
2112
2=−−x x ；
（3）
0)1(11111)2(1111
12111111111111=−−−−−−x
n x n x x L L M
M M M M L L L ．
解
（1）()()()()()()）（）（）（2222112122212212211
1118814412
21111
13
3
32
2
232−−−−−−−−−=−−−=−−x x x x x x
x x x ()()()0
22112=+−−=x x x 所以解为221−===x x x ，，．
（2）因
2
2341222
4000513200103211913
2513232213211x x r r r r x x −−−−−−1
221)4)(1(22x x −−=0)4)(1(322=−−=x x 所以解为1±=x ，2±=x ．
（3）因左边
n i r r i ,,3,21L =−x
n x n x x −−−−−−)2(00000)3(0000
01000
00011111L L M M M M
M L L L 0])2[()1(=−−−−=x n x x L ，
所以解为2,,2,1,0−=n x L ．
4．证明等式
1432
12)(010010
001−−−−−+=−−−n n n n n x a a a
ax ax ax ax a ax ax a ax a L M M M M M L L L ．证明：从第二列开始把第二列的元素乘以（x −）加到第一列，把第三列的元素乘以（x −）加到第二列，……，把第n 列的元素乘以（x −）加到第1−n 列，可得143
2
1
2)(0000010000100001010010001−−−−−+=−+−+−+=−−−n n n n n x a a a
x a x a x a a
ax ax ax ax a ax ax a ax a L M M M M M L L L L M M M M M L L L ．习
题
1.6
1．用克莱姆法则解下列方程组．
（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+−+=++=+−+54322512432143213214321x x x x x x x x x x x x x x x ；（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−+=++=+−+=++−1212124313214
3214321x x x x x x x x x x x x x x ；
（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−−−=+++−=+−+=+++25320
11232
425
4321
432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ；（4）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++111322132
213221x c cx x x b bx x x a ax x ，其中c ,b ,a 互不相等．
解
(1)184********
1111112−=−−=
D ,184
13511220
11511
111
−=−−=
D ,36415
11121015111122−=−−=
D ,36453112210
51
111123−==D ,185
131
21215
11111124=−−=
D ,
由克拉默法则知
111==
D D x ，222==D D x ，233==D D x ，144−==D D
x (2)12110101111
2112111−=−−−=
D ,10110101121211211
11
−=−−−=
D ,9111101211
2112
1112−=−−=D ,
51101
0211111121113−=−−=
D ,31
1
01
21111
211
11114−=−−=
D ,由克拉默法则知
6511==
D D x ，4322==D D x ，12533==D D x ，4
144==D D x ．(3)142513
211213412
11111=−−−−=
D ，1425132112104122111
51=−−−−−−=D ,284512211203412111512=−−−−−=D ，4265
232
110134
22115113=−−−−=
D ，1422
13
2
02132
12151114
−=−−−−−=D ，
由克拉默法则知
111==
D D x ，222==D D x ，333==D D x ，144−==D
D
x ．（4）))()((111222b c a c a b c c b b a a D −−−==,))()((1112
2
2
1b c a c a b c c b b a a D −−−==,
0111111222
2==c b a D ,0
1
111113==c b a D 由克拉默法则知
111==
D D x ，022==D D x ，033==D
D
x ．2．求二次多项式)(x f ，使得0(1)=f ，3)2(=f ，28)3(=−f ．
解：设二次多项式c bx ax x f ++=2)(,把0(1)=f ，3)2(=f ，28)3(=−f 带入二次多项式，得
⎪⎩⎪
⎨⎧=+−=++=++28393240
c b a c b a c b a ，20139124111−=−=D ，401328123
1101−=−=D ，6012891341012==D ，2028
393240
1
1
3−=−=D ，由克拉默法则知
21==
D D a ，32−==D D
b ，13==D
D c ，所以132)(2+−=x x x f ．
3．问λ取何值时，齐次线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=−+=−+=++−0)4(20)6(2022)5(31
2
1321x x x x x x x λλλ有非零解？
解
系数行列式
)210(4)4)(6)(5(40
2
0622
25λλλλλ
λ
λ−−−−−=−−−=
D )8)(2)(5()82410)(5(2−−−=−+−−=λλλλλλ，
当0=D 时，即8,2,5===λλλ时，齐次线性方程组有非零解．
4．问λ取何值时，齐次线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=++=+−0202021
321321x x x x x x x x λλ有非零解？
解
系数行列式
()623110
20311
110212111
23112−λ−λ=λ
−λ−=λ−λ−−λλ
−=+r r D ，
当0=D 时，即32=λ−=λ 时，齐次线性方程组有非零解．
复习题（A）
一、填空题．
1．排列632514的逆序数为
10
；排列321)2)(1(L −−n n n 的逆序数为
2
)
1(−n n ．解
2
4
1
2
1
415236
i
t ↓
↓↓↓↓↓排列1
2321012321−−−↓↓↓↓↓↓↓−−n n n t n n n i
L L 排列
2．在五阶行列式)det(ij a 的展开式中，包含因子45342311a a a a 的项是52a ．3．偶排列经过一次对换变成
奇
排列，奇排列经过两次对换变成
奇
排列．
4．设x
x x x x
x f 211
232321
01)(=
，则3
x 的系数为-1．
解x a =11，x a =12，x a =22，x a =33，x a =44，因为每项取自不同行不同列，所以取x a =12，
x a =33，x a =44，121=a ，然后3)2134(443321121)1(x x x x a a a a −=⋅⋅⋅−=τ．
5．已知4231214a a a a j 是四阶行列式中的一项，则__3__=j ；该项所带符号为
负
．
解
2
2
1
2
134i
t ↓
↓↓↓排列
，奇排列，所以带负号。

6．行列式3
42102
3
2
1−=D 中的元素3的代数余子式为8，元素3−的代数余子式为
-4
．
解
84202)1(3
113=−=+A ,4022
1)1(3333−=−=+A .7．已知行列式1
2
3762
5
4−=a
D 中元素221=a 的代数余子式521=A ,则__5_−=a .解
5101
25
)1(1
221=+=−−=+a a A ，所以，5−=a .8．若三阶行列式零元素的个数超过6个，则该行列式值为
；若n 阶行列式零元素的个数超过
)1(−n n 个，则行列式值为0
．解见课本例1.8.
9．已知四阶行列式D 的第3行元素依次为1,1,2,2−，它们的余子式依次为4,3,2,5，则行列式=D 13
．解
13
4)1(312252)1()1()1()1(34
3433333232313134344333333332322331311334
34333332323131=×−−×+×−×=−+−=−+−+−+−=+++=++++M a M a M a M a M a M a M a M a A a A a A a A a D .
10．n 阶行列式)det(ij a =D 中元素ij a 的余子式ij M 与代数余子式ij A 的关系为
ij
M A j
i ij 1-+=）（．
11．四阶行列式D 的值为91，它的第一行元素为5332−+,t ,,，第一行元素的余子式依次为9,6,0,1−，则____t =．
解因为
919)5(6)3(03)1(2)1()1()1()1(14
1413131212111114144113133112122111111114
14131312121111=×−−×++×−−×=−+−=−+−+−+−=+++=++++t M a M a M a M a M a M a M a M a A a A a A a A a D ,
所以，5
=t 12.若将n 阶行列式)det(ij a =D 中的每个元素添上负号得一新行列式)det(ij a −=Δ，则
__D 1-__Δn
）（=.
13．
=
64
2781169414
3211
111．解12)34)(24)(23)(14)(13)(12(432143214
3211111642781
1694143211111333222=−−−−−−==．
14．方程03214214
314321=x x x
的全部根是
．解0
)4)(3)(2(40000300002043213214214314321=−−−=−−−=x x x x x x x x x 所以4,3,2===x x x .
15.设3
21421431
4324321D =，则____43242322212=+++A A A A .
解
03
24421331
422431143242
322212==+++A A A A .16．
_______a b a b b a b a =4
4
3322110
0000
000．解类似于例1.31.17．当=λ，______=µ时，齐次线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
200
321
321321x x x x x x x x x µµλ有非零解？
解
）
）（（）
）（（））（（2-3-11-2-11-1---11-20-11-011-1211111-1211111µλµλλµλµλµλ
µµλµµλ=+====D ，
齐次方程有非零解，0=D ，所以3
2
-1==µλ，二、选择题．
1．线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧−=−−=−+=+−10
431212321
321321x x x x x x x x x 的系数行列式的值等于
．
（A ）14；（B ）14−；（C ）28；（D ）28−．
解
28
4
311121
21−=−−−−=D 2．n 阶行列式展开式中1,1342312n n n a a a a a −L 的符号为D （A ）正；
（B ）负；
（C ）n 1)(−；
(D)11)(n-−．
解
1
00001
1432−↓↓↓↓↓↓−n t n i L L 排列3．六阶行列式D 的展开式共有
B
项．
（A ）2
6；（B ）!6；（C ）12；
（D ）24．
4．下列排列是偶排列的是A
．
（A ）13524876；（B ）51324867；（C ）38124657；
（D ）76154283．
5．设31
00100
011−==
x
x x
x x x D ，则=x C
．（A ）32
−
；（B ）32；（C ）3
2
±；（D ）以上都不对．
解满足箭型行列式，见例1.23.
6．多项式x
x
x x x x f 17
1
5427432
013)(2−−−−=
中的常数项是
A ．
（A ）5；（B ）5−；（C ）20；（D ）20−．
解常数项中不含x ，所以选取534=a ，112−=a ，013=a ，221=a ，323=a ，141=a ，7-42=a ，
143=a ，则
51-1-1-423421133
41342312343
3421122
=++a a a a a a a a a a a a ）（）（）（．
7.行列式01
1
10
22
1
=−k k 的充分条件是B
．（A ）2=k ；
（B ）2−=k ；（C ）0=k ；（D ）3−=k ．解按第二行展开，01-k k -61
11k k 1-1-12121-1
11022
13212==+=−++）（）（）（k k ，所以，2-k 3k ==，．
8．若0D 333231
232221
131211≠==a a a a a a a a a a ，则___a 4a 4a 4a 3a 3a 3a 2a 2a 233
3231
1312
1123
2221A =．（A ）a 24−；（B ）a 24；
（C ）a 8；（D ）a 12．
解
a 24-24-a a a a a a a a a 432a 4a 4a 4a 3a 3a 3a 2a 2a 233
323123222113
12
113332311312112322
21333231
131211232221
==⋅⋅=a a a a a a a a a ．9．若0D 33
3231232221
13
1211
≠==a a a a a a a a a a ，则=
−−−=13121113331232113123
22211333222a a a a a a a a a a a a D A ．
（A ）a 3；（B ）a 3−；（C ）a 6；
（D ）a 6−．
解
a 3333322232-3333222-33333322233
32
31
23222113
12
111312
11
1312112322211312
11
333231
23222113
12111312112322211312113332
31232221131211133312
3211
312322
21
1==⋅==−−−=a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D 10．若齐次线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=+−=−+=++0200
z y x z ky x z y kx 有非零解，则k
C
．
（A ）1−≠k 或4≠k ；（B ）1−≠k 且4≠k ；（C ）1−=k 或4=k ；（D ）1−=k 且4=k ．
解
））（（）（））（（4-112-12--22-011011-2
1-11
1-11-11-21-111k k k k k k
k k k k k k k D +=++=++===所以系数矩阵0=D 时有非零解，41-==k k ，．
复习题（B）
一、计算题．1．计算n 阶行列式
1111
101111
10111110111110L L M M M M M L L L ．
解把n ,,,L 32各行均加至第一行，则第1行有公因数1−n ，提取公因数1−n 后，再把第1行的1−倍加至第n ,,,L 32各行，可化为上三角行列式，即
01
11110111110111110111110L
L M M L M M M L L L )1()1(1
00
00010000
01000
00101
1111)1(1−−=−−−−−=−n n n L L M M M M M M L L L ．
2．利用范德蒙德行列式的结果计算行列式
n
n n
n n n n L M M M L L L 2
2
2
333222111=D ．
解
!133
1
221111111n n n n n n n ⋅=−−−L L L L L L L L D 1
112
2
2
321321
3211111!−−−=n n n n n n n L L L L L L L
L L ∏≤≤≤−=n
i j j i
a a
n 1)
(!
[])1()2()24)(23)(1()13)(12(!−−−−−−−−=n n n n n L L L ⎣⎦[]!1!2)2(21)1(21!⋅−⋅−⋅=L L L n n n !)!1()!2(!3!2!1n n n −−=L .
3．计算五阶行列式
a
a a a a a a a a −−−−−−−−−=
11000110001100
01100015D ．解对于三对角型a
c b a c b
a c b
a 行列式，主要用递推法，对于本题，注意到第2至4行的数位相反数，
故可把第2至5列均加至第1列，得
a
a a
a a a a a a −−−−−−−−=1100110001100
0100
0015D +−−−−−−−=
a
a
a a a a a 11001100
110
01a
a a a a a a a −−−−−−−+1100110
01000)1)((15．
即4
1545)(-1)(-a a ++=D D ，类似地
31434)(-1)(-a a ++=D D ，21323)(-1)(-a a ++=D D ．
将这三个等式相加得
54325a a a −+−==D D D ，
而221111a a a
a
a +−=−−−=
D ，所以54321a a a a a −+−+−=D ．
4．计算n 阶行列式)det(ij n a =D ，其中||j i a ij −=．
解：
4321401233
10122210113210)det(L L L L L L L L L L L −−−−−−−−=
=n n n n n n n n a D ij n L ,3221r r r r −−0
432111111
1111111111
1111
1L
L
L L
L
L
L
L L L L −−−−−−−−−−−−−−n n n n L ,,141312c c c c c c +++1
5
24232102
2210
022100
02100001−−−−−−−−−−−−−−−n n n n n L L L L L L L L L L L 212)1()1(−−−−=n n n ．
二、证明题．
1．设c b a ,,为互异实数，证明行列式0222
=+++=b
a a c c
b
c b a c b a D 的充分必要条件是0=++c b a ．
1．证明
D 1
3r r +c b a c b a c b a c b a c b a ++++++222111)(222c b a c b a c b a ++=2
221
11
)(c b a c b a
c b a ++=)-)()()((a b b c a c c b a −−++=．
又由c b a ,,为互异的实数，故0=D 的充分必要条件是0=++c b a ．
2．用行列式性质证明y
x z x
z y z
y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(3
3+=+++++++++证明bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开
列
按第左边1bz ay by ax x by
ax bx az z bx
az bz ay y b +++++++bz
ay y z
by ax x y bx
az z x ab bz ay x z
by ax z y
bx az y x
a +++++++2
2分开
列分别再按第
bz ay y x by ax x z bx az z y b bz ay x x
by ax z z
bx az y y ab ++++++++2z y z y x y x z
x ab y y z x x y z z x b a z x z y z y x y
x b a y x z
x z y
z y x
a 2223
3+++分开
列分别再按第z y x
y x z x z y b y y x x x z z z y ab z x x
y z z x y y ab y x
x
x z z
z y y b a 3222++++z y
x y x z x z y b y x z x z y
z y x a 330000+++++==−+=y
x
z
x z y z
y x b y x
z
x z y
z y x a 323)1(右边．3．证明等式
4444
22
2
2
1
111d c b a d
c b a d
c b a ))()()()()()((
d c b a d c d b c b d a c a b a +++−−−−−−=．证明：
左边4
44
44
442222222
0001a d a c a b a a d a c a b a a d a c a b a
−−−−−−−−−=)
()()(2222222222
22222a d d a c c a b b a d a c a b a d a c a b −−−−−−−−−=)
()()(1
1
1
))()((222a d d a c c a b b a
d a c a b a d a c a b ++++++−−−==×−−−))()((a d a c a b )
()()()()(0
0122222a b b a d d a b b a c c a b b b
d b c a b +−++−++−−+×
−−−−−=))()()()((b d b c a d a c a b )
()()()(1
12222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a −−−−−))((d c b a d c +++−．
4．设四阶行列式
p
d d d p c c c p b b b p a a a 3
2
1
321321
3214=D ，证明它的第一列各元素的代数余子式之和为零，即
041312111=+++A A A A ．
证明当0=p 时，易知01=i A （4321..,=i ），故
41312111=+++A A A A 当0≠p 时，由行列式展开定理的推论知
41312111=+++pA pA pA pA 也即
(41312111=+++)A A A A p 所以
041312111=+++A A A A ．
5．设平面上有不在同一直线上的三个点),(),,(),,(332211y x y x y x ，321,,x x x 互异，求证过这三个点且轴线与坐标轴y 平行的抛物线方程的表达式为
01
1113
23
3
222212112=x x y x x y x x y x x y ．
证明
设所求的抛物线方程为c bx ax y ++=2
．由于三点在抛物线上，所以坐标
),(),,(),,(332211y x y x y x 都满足方程，从而得到齐次线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++−=+++−=+++−=+++−0
00
032
3322
2212
112c bx ax y c bx ax y c bx ax y c bx ax y ．将),,,1(c b a −视为上述齐次线性方程组的一组非零解，则有
01
11
13
233
222212112=x x y x x y x x y x x y ，这就是满足题设条件的抛物线方程的表达式．。