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(整理)经过曲线上一点的切线方程

经过曲线上一点的切线方程例1 求经过圆222r y x =+上一点()11,y x 的切线l 方程；分析：若P 不是切线与坐标轴的交点，则11x y k OP =，由OP ⊥l 得，11y x k l -=，由点斜式方程得：()1111x x y x y y --=-，整理，得2212111r y x y y x x =+=+若P （r,0）,则l ：x=r 即rx+0y=r 2; 若P （-r,0）,则l ：x=-r 即-rx+0y=r 2; 若P （0,r ）,则l ：y=r 即0x+ry=r 2; 若P （0,-r ）,则l ：y=-r 即0x-ry=r 2;综上所述，经过圆222r y x =+上一点()11,y x 的切线l 方程为211r y y x x =+；例2 222()11,y x 的切线l 方程；)a xb y k CP --=11，by ax k l ---=11由点斜式方程得：()1111x x by ax y y ----=-即：()()()()()()()[]()()()[]()()()()()()()()()()211212111111111110r b y b y a x a x b y a x b y b y a x a x b y b y b y a x a x a x y y b y x x a x =--+---+-=--+--=----+----=--+-- 若切线的斜率不存在或为0时，切线方程都可表示为以上形式，故经过圆()()222r b y a x =-+-上一点()11,y x 的切线l 方程为：()()()()211r b y b y a x a x =--+--例3 求经过圆022()11,y x 的切线l 方程；a xb y k CP --=11，by ax k l ---=11由点斜式方程得：()1111x x by ax y y ----=- 即：()111122x x E y Dx y y -++-=-整理，得()()02202222022111121211111111111=++++++=---++-+++=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+F y y E x x D y y x x y x y y y E x x x D y y x x x x D x y y E y若切线的斜率不存在或为0时，上式仍成立，故经过圆022=++++F Ey Dx y x 上一点()11,y x 的切线l 方程为0221111=++++++F y y E x x Dy y x x 例4 求经过椭圆12222=+by a x 上一点()11,y x 的切线l 方程；()11x x k y y -=-解方程组⎩⎨⎧-+==+11222222kx y kx y b a y a x b()()()022221121122222=--+-++b a kx y a x kx y k a x k a b由△=0得，()[]()()[]0422221122222112=--+--b a kx y a k a b kx y k a()02221112221=-+--b y k y x k a x又()()()()044222212212221221211=-+=----b a y a x b b y a x y x所以22111ax y x k -=于是()()()()()()()12121212122112221222112122111122111221111=+-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+--=----=-byy a x x a x x b y y a a x x y y a b y a b a xy x a y y a xx x y x a x y y x x ax y x y y 若切线l 的斜率不存在或为0时，切线方程也符合12121=+byy a x x 综上所述，过椭圆12222=+b y a x 上一点()11,y x 的切线l 方程为12121=+b y y a x x ；例5 求经过双曲线12222=-by a x 上一点()11,y x 的切线l 方程；分析：如图所示若切线l 的斜率存在，设l ：()11x x k y y -=-解方程组⎩⎨⎧-+==-11222222kx y kx y b a y a x b()()()02)(222112112222222211222=------=-+-b a kx y a x kx y k a x k a b b a kx y kx a x b由△=0得：()()()[]()20442211122212211222221124=++--=+--+-b y k y x k a xb kx y k a b a kx y k a又()()()()0442222222221221211=---=+---b a y a x b b y a x y x故()221112211122ax y x ax y x k -=-=()()()()()1212111122222212111222111112211221111=-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+--=----=-byy a x x x y x y a y a b b a y a xy x y ay a xx x y x y y a x x x ax y x y y若切线l 的斜率不存在，切线l 的方程仍可表示为12121=-byy a x x 综上所述，经过双曲线12222=-b y a x 上一点()11,y x 的切线l 方程为12121=-by y a x x ；例6 求经过抛物线py x 22=上一点()11,y x 的切线l 方程；设切线l 方程为：()11x x k y y -=-解方程组⎩⎨⎧-+==1122kx y kx y pyx代入得 ()022112=---kx y p pkx x由△=0得：()()022082112112=+-=-+-y k x pk kx y p pk又()()02482121121=-=--py x py x故px k 1=于是切线l 方程为：()()y y p x x x x x py py x x px y y +=-=--=-112111111归纳：经过曲线()0,=y x f 上一点()11,y x 的切线l 方程可用如下方法做替代，直接写出切线方程：()()()()()()221112121212y y y x x x a y a y a y a x a x a x yy y x x x +→+→--→---→-→→。

求切线方程的三种方法

求切线方程的三种方法宝子们，今天咱们来唠唠求切线方程的那些事儿。

这切线方程啊，就像是给曲线找到一个最亲密接触的直线小伙伴，可有意思啦。

一、利用导数求切线方程。

咱先说说这个用导数的方法。

导数这玩意儿啊，其实就是曲线在某一点的斜率。

比如说有个函数y = f(x)，咱们先求出它的导数f'(x)。

那在某一点x = a处的切线斜率k呢，就等于f'(a)。

这时候啊，我们已经知道了斜率，再知道这个点(a, f(a))在切线上，就可以用点斜式y - y₁ = k(x - x₁)来求出切线方程啦。

就像你知道一个朋友的走路速度（斜率），又知道他从哪个地方（点）出发，就能算出他走的路线（切线方程）啦。

二、设切点法。

再来说说设切点法。

有时候啊，题目没有直接告诉你切点是啥。

这时候咱就可以聪明点，设切点为(x₀, y₀)。

那这个点既在曲线上又在切线上哦。

如果曲线方程是y = f(x)，那y₀ = f(x₀)。

然后呢，求出函数在x₀处的导数f'(x₀)，这就是切线的斜率啦。

再根据点斜式写出切线方程y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀)。

这就像是在玩一个猜谜游戏，我们先假设一个神秘的点（切点），然后通过各种线索（曲线方程和导数）来找出这个切线方程这个宝藏呢。

三、利用已知切线方程的形式来求。

还有一种方法呢，就是利用已知切线方程的形式。

比如说对于圆的方程(x - a)²+(y - b)² = r²，在点(x₁, y₁)处的切线方程是(x₁ - a)(x - a)+(y₁ - b)(y - b)= r²。

对于椭圆、双曲线等一些特殊的曲线也有类似的固定形式的切线方程哦。

这就像是有个小秘籍一样，直接套用这个形式就能求出切线方程啦。

就好比你有一把万能钥匙，遇到特定的锁（特殊曲线在某点的切线），直接一插就能打开（求出切线方程）啦。

宝子们，这三种求切线方程的方法是不是很有趣呀？只要多练练，你就能在求切线方程这个小天地里畅游无阻啦。

求切线方程的三种类型

求切线方程的三种类型切线是曲线上与该曲线在该点处相切的直线，它在数学和物理学中有着广泛的应用。

在求解切线方程的过程中，可以根据曲线的性质和方程的形式，将其分为三种类型：直线、圆和曲线。

第一种类型是求直线的切线方程。

直线是最简单的曲线，其方程一般具有形式y=ax+b，其中a和b为常数。

对于直线，任何一点的切线都与直线本身重合，即切线方程即为直线方程本身。

因此，直线的切线方程为y=ax+b。

第二种类型是求圆的切线方程。

圆是一个具有特殊性质的曲线，其方程一般具有形式(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

对于圆，可以通过计算切线与圆的交点来求解切线方程。

根据切线与圆的几何性质，切线与半径的夹角为直角。

因此，可以利用圆心、切点和切线方程斜率的关系，结合直线的点斜式，推导出圆的切线方程。

设切点坐标为(x₀,y₀)，圆心坐标为(a,b)，切线方程斜率为k，则由直线的点斜式可得：y-y₀=k(x-x₀)（1）根据圆的方程，可以得到切线通过圆心的直线方程：y-b=k(x-a)（2）由于切线与圆的交点即为切点，因此将切点坐标代入方程（2）即可得到切线方程。

进一步地，可以将方程（2）展开，得到切线方程的其他形式。

第三种类型是求曲线的切线方程。

曲线的方程形式较为复杂，通常需要使用微分学的知识来求解。

曲线的切线方程可以通过求取曲线上一点的导数来实现。

设曲线方程为y=f(x)，其中f(x)为连续可导函数。

对于曲线上的一点(x₀,y₀)，其切线的斜率k等于函数在该点处的导数f'(x₀)。

因此，切线方程可以写为：y-y₀=f'(x₀)(x-x₀)（3）方程（3）即为曲线的切线方程，其中(x₀,y₀)为切点坐标，f'(x₀)为函数在该点处的导数。

注意到切点的选择是任意的，因此曲线上每一个点都有一个对应的切线。

而对于曲线上的垂直切线，即斜率不存在的情况，可以通过在曲线上求取该点的极限值来求解。

过一点求曲线的切线方程的三种类型知识分享

过一点求曲线的切线方程的三种类型过一点求曲线的切线方程的三种类型舒云水过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明.1•已知曲线y f(x)上一点P(x o,f(x o))，求曲线在该点处的切线方程.这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型•其求法为：先求出函数f(x)的导数f (x)，再将x o代入f (x) 求出f (x o)，即得切线的斜率，后写出切线方程y f(x o) = f (x o) (x x o)，并化简.例1 求曲线f(x) x3 3x2 3在点P(1,1)处的切线方程.解：由题设知点P在曲线上，J y 3x2 6x，二曲线在点P(1,1)处的切线斜率为f (1) 3，所求的切线方程为y 1 3(x 1)，即y 3x 4 •2.已知曲线y f(x) 上一点A(X1, f(xj)，求过点A的曲线的切线方程.这种类型容易出错，一般学生误认为点A一定为切点，事实上可能存在过点A而点A不是切点的切线，如下面例2,这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为P(x o, f (x o))，先求出函数f (x)的导数f (x)，再将x o代入 f (x)求出f (x o)，即得切线的斜率(用x o表示)，写出切线方程y f(x o) = f (x o) (x X o)，再将点A坐标(X1,yJ代入切线方程得y i f (X o ) = f(X o) (X i X o)，求出X o，最后将X o代入方程y f (X o) = f (X o) (X X o)求出切线方程.例2 求过曲线y X3 2X上的点(1,1)的切线方程.解：设切点为点(X o,X o32X o)，y 3X2 2，切线斜率为3x。

22 ,切线方程为y (X o32X o) (3X o22)(X x°) •又知切线过点(1, 1)，把它代入上述方程，得31 (X o 2X o) (3X o 2)(1 X o) •1解得X o 1，或X o •所求切线方程为y (1 2) (3 2)(X 1),或13 1 、y ( — 1) ( 2)(X-)，即X y 2 0 ,或5X 4y 1 0 •8 4 2上面所求出的两条直线中，直线X y 2 O是以(1, 1)为切点的切线，而切线5X 4y 1 O并不以(1, 1)为切点，实际上它是经过了点(1,1)且以(1,7)为切点的直线，如下图所示•这说明过曲线上一点2 8的切线，该点未必是切点.3.已知曲线y f(x)外一点A(X1, f(xj)，求过点A作的曲线的切线方程.这种类型的题目的解法同上面第二种类型.例3过原点0作曲线y x4 3x2 6的切线，求切线方程.(2009年全国卷I文21题改编)解：由题设知原点0不在曲线上，设切点坐标为P(X o,x。

求曲线在某点的切线方程方法

求曲线在某点的切线方程方法引言在数学和物理学中，研究曲线的切线是很常见的问题。

切线可以帮助我们了解曲线的局部特征和性质，它在微积分、力学和工程学等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍一些常见的方法来求解曲线在某点的切线方程。

切线的定义在数学中，曲线上某点的切线可以被定义为通过该点并且与曲线在该点附近重合的直线。

切线的斜率即为曲线在该点的导数。

方法一：求导法一种常见的方法是使用导数来求解曲线在某点的切线方程。

设曲线的方程为y=f(x)，我们要求解曲线在点(x0,y0)处的切线方程。

1.首先求曲线的导数f'(x)。

2.将点(x0,y0)带入导数函数，求出导数的值f'(x0)。

3.使用切线方程的一般形式y-y0=f'(x0)(x-x0)，将(x0,y0)和f'(x0)代入，得到切线方程。

方法二：斜率和点法另一种常用的方法是使用斜率和已知点来求解切线方程。

同样假设曲线的方程为y=f(x)，我们要求解曲线在点(x0,y0)处的切线方程。

1.计算曲线在点(x0,y0)处的斜率，即f'(x0)。

2.使用点斜式切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0)，将(x0,y0)和f'(x0)代入，得到切线方程。

方法三：曲线近似法第三种方法是使用曲线的近似来求解切线方程。

此方法适用于那些难以计算导数的曲线。

1.在点(x0,y0)处取曲线的一个非常小的线段，该线段基本上与切线重合。

2.使用线性函数来拟合这个线段，得到近似切线方程。

方法四：参数法对于参数方程表示的曲线，我们可以使用参数法来求解切线方程。

假设曲线的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，我们要求解曲线在参数值t0处的切线方程。

1.计算参数值t0对应的点的坐标(x0,y0)。

2.求解参数方程的导数dx/d t和dy/dt。

3.使用点斜式切线方程y-y0=(dy/d t)/(dx/d t)(x-x0)，将(x0,y0)、dx/d t和d y/dt代入，得到切线方程。

椭圆上一点处切线方程的几种求法

答案
椭圆上一点处切线方程的几种求法
段落一：椭圆是一种二次曲线，它是由两个椭圆轴组成的，椭圆上的任意一点都可以过椭圆的长轴和短轴的中点，椭圆上的任意一点都可以求出其切线方程，有多种方法可以求出椭圆上一点处的切线方程。

段落二：其中一种求法是使用对称性，利用椭圆的对称性来求出椭圆上一点处的切线方程。

例如，当椭圆中心在原点时，椭圆的一条对称轴上的任一点A（x，y）处的切线方程可以求得，它的斜率为-xy，切线方程为y=xk，其中k= -xy。

段落三：另一种求法是使用椭圆的椭球坐标系。

椭球坐标系是一种直角坐标系，由长短轴和椭圆中心组成，可以用椭球坐标系求出椭圆上任意一点处的切线方程。

例如，椭圆上任一点A（x，y）处的切线方程可以用椭球坐标系求得，斜率为xy，切线方程为y=xk，其中k= xy。

总之，椭圆上一点处的切线方程可以采用对称性和椭球坐标系等多种求法来求解。

用导数求切线方程的四种类型

用导数求切线方程的四种类型在微积分中，切线是曲线上某一点的切线。

通过使用导数，我们可以求解给定曲线上某一点的切线方程。

在本文中，我们将探讨四种使用导数求解切线方程的常见类型。

1. 曲线方程已知的情况首先，我们考虑的是当曲线方程已知时求解切线方程的情况。

假设我们有一个曲线y=f(x)，其中f(x)是一个可导函数。

要求解曲线上某一点(x1,y1)处的切线方程，我们可以执行以下步骤：1.计算函数f(x)在点(x1,y1)处的导数f′(x1)。

2.使用点斜式或一般式等方程形式得到切线方程。

点斜式切线方程的一般形式为y−y1=m(x−x1)，其中m是斜率。

一般式切线方程的一般形式为ax+by=c，其中a,b,c是常数。

2. 给定两个点的情况其次，我们考虑的是当曲线上两个点已知时求解切线方程的情况。

与上一种情况不同，我们不知道曲线的具体方程，但我们已知曲线上的两个点(x1,y1)和(x2,y2)。

为了求解这种情况下的切线方程，我们可以按照以下步骤进行：1.使用点斜式求解斜率。

2.写出点斜式的一般方程形式y−y1=m(x−x1)。

3.将另一个点(x2,y2)替代初始点(x1,y1)。

4.解方程得出切线方程。

3. 已知切线方程的情况接下来，我们讨论已知切线方程的情况。

假设我们已经知道了曲线上某一点处的切线方程，我们的目标是求解曲线方程。

我们可以按照以下步骤进行操作：1.确定切线方程的斜率m。

2.使用导数的定义f′(x)=m来设置方程。

3.解方程以获得曲线方程。

4. 求解切线与坐标轴的交点最后，我们研究切线与坐标轴相交的情况。

为了求解切线与x轴和y轴的交点，我们可以按照以下步骤进行：1.求解切线与x轴的交点：将y值设为0，然后解方程得到x坐标的值。

2.求解切线与y轴的交点：将x值设为0，然后解方程得到y坐标的值。

通过上述四种类型的方法，我们可以使用导数来求解切线方程。

这些方法在解决微积分问题以及实际问题中的应用非常广泛。

求切线的方程(教师版)

课题
求切线的方程
上课教师
上课班级
主备人
丰文伟
审核人
上课时间
教学目标
进一步理解导数的几何意义，并会应用求曲线的切线方程．
教学重点与强化方法
会利用导数的几何意义求曲线的切线的方程．
教学难点与突破方法
会区分在曲线上一点和过曲线上一点的切线．
前置学案
1．导数的几何意义：在处的导数________就是在处的___________．
（二）分析诱导
（三）解题步骤
（四）变式训练
变式1.在曲线上求一点P，使过点P点的切线与直线平行．
变式2.已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程．
变式3.求曲线过点(0,－1)的切线方程.
（五）小结提炼
四、当堂检测
1．曲线在处的切线方程为____________．
2．如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则 =.
二、基础训练
曲线在点处的切线方程为__________．
二、例题选讲
类型一：已知斜率，求ຫໍສະໝຸດ 线的切线方程例1．求与直线平行的抛物线的切线方程．
类型二：已知过曲线上一点，求切线方程
例2．求过曲线上的点的切线方程．
类型三：已知过曲线外一点，求切线方程
例3．求过点且与曲线相切的直线方程．
（一）选题目的
3．曲线在点A处的切线的斜率为3，求该曲线在A点处的切线方程．
4．过原点作曲线的切线，求切点的坐标．
五、课堂总结
六、课后作业
1．已知曲线
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程.
2．已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为，求函数的解析式．

过一点求曲线的切线方程的三种类型

舒云水过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒1.已知曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x P ，求曲线在该点处的切线方程﹒这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型﹒其求法为：先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率，后写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，并化简﹒例1 求曲线33)(23+-=x x x f 在点)1,1(P 处的切线方程﹒解：由题设知点P 在曲线上，∵x x y 632-='，∴曲线在点)1,1(P 处的切线斜率为3)1(-='f ，所求的切线方程为)1(31--=-x y ，即43+-=x y ﹒2. 已知曲线)(x f y =上一点))(,(11x f x A ，求过点A 的曲线的切线方程﹒这种类型容易出错，一般学生误认为点A 一定为切点，事实上可能存在过点A 而点A 不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为))(,(00x f x P ，先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率（用0x 表示），写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，再将点A 坐标),(11y x 代入切线方程得)(01x f y -=)(0x f ')(01x x -，求出0x ，最后将0x 代入方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -求出切线方程﹒例2 求过曲线x x y 23-=上的点)1,1(-的切线方程﹒ 解：设切点为点)2,(0300x x x -，232-='x y ，切线斜率为2320-x ，切线方程为))(23()2(020030x x x x x y --=--﹒又知切线过点)1,1(-，把它代入上述方程，得 )1)(23()2(100030x x x x --=---﹒ 解得10=x ，或210-=x ﹒所求切线方程为)1)(23()21(--=--x y ，或)21)(243()181(+-=+--x y ，即02=--y x ，或0145=-+y x ﹒上面所求出的两条直线中，直线02=--y x 是以)1,1(-为切点的切线，而切线0145=-+y x 并不以)1,1(-为切点，实际上它是经过了点)1,1(-且以)87,21(-为切点的直线，如下图所示﹒这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点﹒3. 已知曲线)(x f y =外一点))(,(11x f x A ，求过点A 作的曲线的切线方程﹒这种类型的题目的解法同上面第二种类型﹒例3 过原点O 作曲线6324+-=x x y 的切线，求切线方程﹒（2009年全国卷Ⅰ文21题改编）解：由题设知原点O 不在曲线上，设切点坐标为P )63,(20400+-x x x ， x x y 643-='，切线斜率为（03064x x -），切线方程为：))(64()63(00302040x x x x x x y --=+--﹒ 又知切线过点)0,0(，把它代入上述方程，得))(64()63(000302040x x x x x --=+--﹒ 整理得：0)2)(1(2020=-+x x ﹒ 解得20-=x ，或20=x ﹒ 所求切线方程为：x y 22-=或x y 22=﹒练习：1.求曲线14)(23+-=x x x f 在点)2,1(-P 处的切线方程﹒2. 求过曲线34313+=x y 上的点)4,2(的切线方程﹒3.过点)2,0(作抛物线12++-=x x y 的切线，求切线方程﹒ 答案：1.035=-+y x ；2.044=--y x 或02=+-y x ；3.023=+-y x 或02=--y x ﹒。

高考复习第二单元曲线的切线求法

．
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 • 例4
1 0) 且与曲线 y 相切的求过点 (2， x
直线方程．
1 解：设 P( x0，y0 ) 为切点,则切线的斜率为 y |x x0 2 ． x0 1 1 1 y y ( x x ) 2 ( x x0 ) ． ∴切线方程为 0 0 ，即 y 2
解：设 P( x0，y0 ) 为切点，则切点的斜率为 y| ． 2 x 2 x x0 0 ∴ x0 1 ， 1) ．由此得到切点 (1 故切线方程为 y 1 2( x 1) ，即， 2 x y 1 0 故选Ｄ．
x0 1
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程
则在(1,-1)点处率 k
即
y 3x 2
，因而选Ｂ．
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 • 例2 与直线 2 x y 4 0 平行且与抛物线 2 y x 切线方程是（ D ）Ａ． 2 x y 3 0 Ｂ． 2x y 3 0 Ｃ． 2 x y 1 0 Ｄ．2 x y 1 0
A．－e B．－1 C．1 (2)求下列函数的导数：
D． e
e ＋1 ① y＝ x ； e －1 1 ③ y＝ 4；（1－3x）
x
x x ②y＝x－sin cos . 2 2 ④y＝x 1＋x .
2
1 (1)解析 f′(x)＝2f′(1)＋x， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1.
用导数求切线方程的四种类型
• 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 3 2 y x 3 x 1 在点 (1， 1) 处的切线例1 曲线方程为（ B ）
Ａ．y=3x-4 Ｂ．y=-3x+2 Ｃ．y=-4x+3 Ｄ．y=4x-5

专题一：用导数求切线方程的四种类

用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，与斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型与解法．类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（）Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 1解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．练习：1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交答案 B 2.已知函数y ＝f (x )的图像如右图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定答案 B2．曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )A ．－4B ．0C ．4D ．不存在答案 B10．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( )A ．2B ．4C ．6＋6·Δx ＋2·(Δx )2D ．6答案 D4．函数y ＝sin 2x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率是( )A. 3B.33C.12D.32答案 D分析将函数y ＝sin 2x 看作是由函数y ＝u 2，u ＝sin x 复合而成的．解析 ∵y ′＝2sin x cos x ， ∴y ′|x ＝π6＝2sin π6cos π6＝322．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60°答案 B6．y ＝x 3的切线倾斜角的围为________．答案 [0，π2)解析 k ＝y ′＝3x 2≥0.8．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，点P 处切线倾斜角为α，则角α的取值围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，56π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π答案 D解析由y ′＝3x 2－3，易知y ′≥－3，即tan α≥－ 3. ∴0≤α<π2或23π≤α<π.14．已知曲线C ：y ＝x 3，求在曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程．解析将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1， ∴切点P (1,1)．∵y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0x ＋Δx 3－x 3Δx＝lim Δx →03x 2Δx ＋3x Δx2＋Δx3Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.14．求曲线y ＝sin x 在点A (π6，12)处的切线方程．解析 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x . ∴y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，k ＝32.∴切线方程为y －12＝32(x －π6)．化简得63x －12y ＋6－3π＝0. 6．曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋1答案 D例3 求曲线y ＝1x 2－3x 在点(4，12)处的切线方程．[思路分析] 将函数变形为y ＝(x 2－3x )－12，将其看做是由函数y ＝u －12、u ＝x 2－3x 复合而成．[解析] ∵y ＝1x 2－3x＝(x 2－3x )－12， ∴y ′＝－12(x 2－3x )－32·(x 2－3x )′＝－12(x 2－3x )－32·(2x －3)．∴曲线y ＝1x 2－3x在点(4，12)处的切线斜率为 k ＝y ′|x ＝4＝－12(42－3×4)－32·(2×4－3)＝－516.∴曲线在点(4，12)处的切线方程为y －12＝－516(x －4)，即5x ＋16y －28＝0. 探究3 此题不要将函数y ＝1x 2－3x看做是由y ＝1u ，u ＝v ，v ＝x 2－3x 三个函数复合而成的，这样求导就麻烦了．思考题 3 (1)曲线y ＝3x 2＋1在点(1,2)处的切线方程为__________________．[答案] 3x －2y ＋1＝0(2)y ＝11－x 2的水平切线方程是________．[解析] 令y ′＝0，得x ＝0，∴y ＝1.12．求曲线y ＝2x －x 3在点(－1，－1)处的切线的方程与此切线与x 轴、y 轴所围成的平面图形的面积．答案 x ＋y ＋2＝0；28．曲线y ＝e 12 x在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2答案 D解析 ∵y ′＝12·e 12 x，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝4＝12e 2.∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)．∴横纵截距分别为2，－e 2，∴S ＝e 2，应选D.11．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.答案 3解析 f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋2＝52，∴f (1)＋f ′(1)＝3.5．如图是函数f (x )与f (x )在点P 处切线的图像，则f (2)＋f ′(2)＝________.答案 98解析由题图知，切线方程为x 4＋y4.5＝1，f (2)＝4.5·(1－24)＝94，f ′(2)＝－4.54＝－98.∴f (2)＋f ′(2)＝94－98＝98.类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --=2 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，应选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，应选Ｄ．练习：3．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(1,1)，(－1，－1) C ．(2,8) D ．(－12，－18)答案 B13．若曲线y ＝2x 3上某点切线的斜率等于6，求此点的坐标．解析 ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →02x 0＋Δx3－2x 30Δx＝6x 20，∴6x 20＝6.∴x 0＝±1.故(1,2)，(－1，－2)为所求． 3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12答案 A解析 y ′＝12x －31x ，由12x －3x ＝12.得x ＝3或x ＝－2.由于x >0，所以x ＝3.3．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)>0D ．f ′(x 0)不能确定答案 B5．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在答案 B7．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)答案 D2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析 ∵l 与直线x ＋4y －8＝0垂直， ∴l 的斜率为4.∵y ′＝4x 3，∴由切线l 的斜率是4，得4x 3＝4，∴x ＝1. ∴切点坐标为(1,1)．∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.应选A.11．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程是________．答案 4x －4y －1＝0解析 k ＝4－12－－1＝1，又y ′＝2x ，令2x ＝1，得x ＝12，进而y ＝14，∴切线方程为y －14＝1·(x －12)，即4x －4y －1＝0.13．如果曲线y ＝x 2＋x －3的某一条切线与直线y ＝3x ＋4平行，求切点坐标与切线方程．答案切点坐标为(1，－1)，切线方程为3x －y －4＝0 13．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．答案 3x －y －11＝0解析 y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3≥3，当且仅当x ＝－1时取等号，当x ＝－1，时y ＝－14. ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.9．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b的值为________．答案 ln2－14．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1答案 A14．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.答案 2解析由题意得y ′＝a e ax ，y ′|x ＝0＝a e a ×0＝2，a ＝2. 10．函数f (x )＝a sin ax (a ∈R )的图像过点P (2π，0)，并且在点P 处的切线斜率为4，则f (x )的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2 D.π4答案 B解析 f ′(x )＝a 2cos ax ，∴f ′(2π)＝a 2cos2πa . 又a sin2πa ＝0，∴2πa ＝k π，k ∈Z . ∴f ′(2π)＝a 2cos k π＝4，∴a ＝±2. ∴T ＝2π|a |＝π.6．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( )A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．0 答案 A解析 y ′＝22x －1＝2，∴x ＝1.∴切点坐标为(1,0)．由点到直线的距离公式，得d ＝|2×1－0＋3|22＋12＝ 5. 19．曲线y ＝x (x ＋1)(2－x )有两条平行于y ＝x 的切线，则两切线之间的距离为________．答案 16272解析 y ＝x (x ＋1)(2－x )＝－x 3＋x 2＋2x ，y ′＝－3x 2＋2x ＋2，令－3x 2＋2x ＋2＝1，得x 1＝1或x 2＝－13.∴两个切点分别为(1,2)和(－13，－1427)．切线方程为x －y ＋1＝0和x －y －527＝0.∴d ＝|1＋527|2＝16227.类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．6．以下说确的是( )A ．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点B ．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处无切线D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)不一定存在答案 D例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．3解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．练习：类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．4解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--．又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--．解得000111x y x ===，，即20x y +-=．评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．5解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上．设切点为00()M x y ，，则点M的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--．化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．练习：17．已知曲线方程为y ＝x 2，求过A (3,5)点且与曲线相切的直线方程．解析解法一设过A (3,5)与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y －5＝k (x －3)，即y ＝kx ＋5－3k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5－3k y ＝x 2，得x 2－kx ＋3k －5＝0.Δ＝k 2－4(3k －5)＝0，整理得(k －2)(k －10)＝0. ∴k ＝2或k ＝10. 所求的直线方程为2x －y －1＝0,10x －y －25＝0.解法二设切点P的坐标为(x0，y0)，由y＝x2，得y′＝2x.∴y′|x＝x0＝2x0.由已知kPA＝2x0，即5－y03－x0＝2x0.又y0＝2x0，代入上式整理，得x0＝1或x0＝5.18．已知曲线S：y＝3x－x3与点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为( )A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析显然P不在S上，设切点为(x0，y0)，由y′＝3－3x2，得y′|x＝x0＝3－3x20.切线方程为y－(3x0－x30)＝(3－3x20)(x－x0)．∵P(2,2)在切线上，∴2－(3x0－x30)＝(3－3x20)(2－x0)，即x30－3x20＋2＝0.∴(x0－1)(x20－2x0－2)＝0.由x0－1＝0，得x0＝1.由x20－2x0－2＝0，得x0＝1± 3.∵有三个切点，∴由P向S作切线可以作3条．综合练习：10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于( )A．0 B．－4C．－2 D．2答案 B解析 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2. ∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4.12．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12答案 A解析依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，选A.15．(1)求过曲线y ＝e x 上点P (1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程；(2)曲线y ＝15x 5上一点M 处的切线与直线y ＝－x ＋3垂直，求此切线方程．解析 (1)∵y ′＝e x ，∴曲线在点P (1，e)处的切线斜率是y ′|x ＝1＝e. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为k ＝－1e .∴所求直线方程为y －e ＝－1e(x －1)，(2)∵切线与y ＝－x ＋3垂直，∴切线斜率为1. 又y ′＝x 4，令x 4＝1，∴x ＝±1.∴切线方程为5x －5y －4＝0或5x －5y ＋4＝0.4．y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18 B.14 C.12 D ．1答案 B解析由已知{ y ＝ax 2＋1，y ＝x 有唯一解，即x ＝ax 2＋1，ax 2－x ＋1＝0有唯一解， ∴Δ＝1－4a ＝0，∴a ＝14.15．点P 在曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上，且曲线在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标．解析设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20＋1.f ′(x 0)＝lim Δx →0x 0＋Δx2＋1－x 20＋1Δx＝2x 0.所以过点P 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x ＋1－x 20.而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点．由{ y ＝2x 0x ＋1－x 20，y ＝－2x 2－1，得即Δ＝4x 20－8(2－x 20)＝0.解得x 0＝±233，y 0＝73.所以点P 的坐标为(233，73)或(－233，73)．17．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值．解析设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2＝k .若x 0＝0，则k ＝2.若x 0≠0，由y 0＝kx 0，得k ＝y 0x 0.∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0，即3x 20－6x 0＋2＝x 30－3x 20＋2x 0x 0.解之，得x 0＝32. ∴k ＝3×(32)2－6×32＋2＝－14.综上，k ＝2或k ＝－14.16．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式．解析 ∵f (x )＝2x 3＋ax 的图像过点P (2,0)， ∴a ＝－8.∴f (x )＝2x 3－8x .∴f ′(x )＝6x 2－8. 对于g (x )＝bx 2＋c 的图像过点P (2,0)，则4b ＋c ＝0. 又g ′(x )＝2bx ，∴g ′(2)＝4b ＝f ′(2)＝16. ∴b ＝4.∴c ＝－16. ∴g (x )＝4x 2－16. 综上可知，f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16.1．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1，l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．分析 (1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再用点斜式写出直线方程；(2)求面积用S ＝12a ·h 即可完成．解析 (1)因为y ′＝2x ＋1，则直线l 1的斜率k 1＝2×1＋1＝3，则直线l 1的方程为y ＝3x －3，设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (x0,y0)，因为l 1⊥l 2。

函数图像的切线问题(最新整理)

设切点为 P(x0，y0)，利用导数将切线方程表示为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再将
A(s,t)代入求出 x0. 2．两个函数图像的公切线
函数 y=f(x)与函数 y=g(x) 存在公切线，
若切点为同一点 P(x0，y0)，则有 Error!
若切点分别为(x1,f(x1)),(x2,g(x2)),则有
y
kx
与曲线
y
l8n
x
有公共点，则
k
6
的最大值为
15 5
30
20 10
.
解：根据题8意画出右图，由图可知，当直线和曲线相切时， k 取8 得最大值.
设切点坐标为 x0,
y0
，则
y0
ln
x0
，
y
'
1 x
y ' 1 ，切线方程为
x 10x0
x0
y
ln
x0
1 x0
(x
x0 ) ，原点在切线上，ln
x0
4
A. 1 或 25 64
B. 1 或 21 4
C. 7 或 25 4 64
D. 7 或 7 4
思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线 y ax2 15 x 9 含有参数，所以考虑 4
先从常系数的曲线 y x3入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线
1， x0
e12
斜率的最大值为
1
.
e
例 10.曲线 y ex 在点 2, e2 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）
A. e2
B. 2e2
C. 4e2
e2
D.

求曲线在点某处或过某点的切线方程

2求曲线在点某处或过某点的切线方程1.求曲线在某点处的切线例1．求曲线33y x x =+在点(2,14)P --处的切线方程分析：由在点(2,14)P --处的切线，可知(2,14)P --是切线的切点。

由导数的几何意，可得切线的斜率等于函数33y x x =+在2x =-处的导数，再由直线的点斜式方程可求得切线方程解：由'2()33f x x =+，得切线的斜率为'(2)15k f =-=，所以切线方程为1415(2)y x +=+，即1516y x =+归纳：这类问题就是已知点P 是切点，求切线方程。

可以先求出函数在该点处的导数，它也就是切线的斜率，再运用直线的点斜式方求出切线方程练习：求曲线12ln(21)y x =++在点(0,1)P 处的切线方程解：由14()2(21)2121f x x x x ''=⨯⨯+=++，得切线的斜率为(0)4k f '==，故所求的切线方程为14(0)y x -=-，即410x y -+=2.求曲线经过点P 处的切线方程例2．已知曲线C ：3()2f x x x =-+，求经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程错解：由'2()31f x x =-，得'(1)2k f ==，所以所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =。

错因剖析：此处所求的切线只说经过P 点，而没说P 点一定是切点，于是切线的斜率 k 与'(1)f 不一定相等。

比如（如图）当02x π≤≤时，正弦曲线sin y x =在点P 处的切线只有一条：1l ；而经过点P 的切线却有两条：1l 与2l 。

正解：设经过点P （1，2）的直线与曲线C 相切于点00(,)x y ，则由'2()31f x x =-，得在点00(,)x y 处的斜率'200()31k f x x ==-，有在点00(,)x y 处的切线的方程为2000(31)()y y x x x -=--。

导数法求切线方程的三种题型

题目：导数法求切线方程的三种题型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一。

用导数求切线方程的关键在于清楚导数的几何意义：切线的斜率确实是函数y=f(x)在切点处的导数。

下面举出长建的题型及解法：题型一：已知切点，求曲线的切线方程。

例1：求函数y=f(x)=2x3在x=1处的切线方程。

解：先求y’=f’(x)=6x2f’(1)=6×1=6=k当x=1时y=2∴切点为(1,2)y-2=6(x-1)y=6x-4题型二：已知曲线外一点，求曲线的切线方程。

例2：已知函数f(x)=x3-3x，过点A(0,16)做曲线y=f(x)的切线，求切线方程。

解：带入可知点A不在曲线上。

设切点M(x0,y0)，且点M位于曲线上，知足y0=x03-3x0①f’(x)=3x2-3f’(x0)=3x02-3=k ②又有k=(Y0-16)/(x0-0) ③①带入③，且②=③，取得3x02-3=(x03-3x0)/x0解得x0=-2 ∴y0=-2∴M坐标为（-2，-2）K=3×(-2)2-3=9∴y+2=9(x+2)Y=9x+16题型三：弄清“过某点的切线”与“在某点的切线”例3：(1)求曲线y=x3-2x在点A(1,-1)处的切线方程。

(2)求过曲线y=x3-2x上的点A(1,-1)处的切线方程。

解：(1)做法仿照例1可得切线方程为x-y-2=0(2)设切点为(x0,y0),那么有y0=x03-3x0f’(x0)=3x02-23x02-2=k=(y0+1)/(X0-1)3x02-2= (x03-3x0+1)/ (X0-1)解得x0=1或x0=-1/2当x0=1时y0=-1 切点为(1,-1)现在切线方程为x-y-2=0当x0=-1/2时y0=7/8 切点为(-1/2,7/8) 对结果进行分析可知：“在点A处”实际是指A点确实是切点，而“过点A”包括了A点是切点和A点不是切点两种情形。

以上确实是要紧的三种题型，咱们发觉求切线方程最关键的确实是求出切点，利用切线的斜率等于切点处函数的导数，但假设函数在(x0,y0)处的导数不存在时，该切线方程为y= y0。

用导数求切线方程的四种类型[精选.]

用导数求切线方程的四种类型浙江曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法．类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（）Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--．又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--．解得000111x y x ===，，即20x y +-=．评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上．设切点为00()M x y ，，则点M 的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--．化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。

曲线切线方程

曲线切线方程前言在微积分中，曲线的切线是指与曲线在某一点相切且与该点斜率相同的直线。

切线方程是描述切线的数学表达式，它可以用来求解曲线在某一点处的切线。

本文将介绍曲线切线方程的概念、求解方法以及应用举例，帮助读者全面理解和掌握这一重要概念。

一、曲线的切线1.1 切线的定义曲线上任意一点P处的切线是指过该点且与曲线仅有一个交点的直线。

切线具有以下两个重要特性：•切点：切点是切线与曲线相交的点，也是切点所在位置对应的自变量和函数值。

•斜率：切点处的斜率等于曲线在该处的斜率。

1.2 利用导数求解切斜率为了求解曲线在某一点处的切斜率，我们需要利用导数。

导数描述了函数在某一点处的变化速率，也可以理解为函数图像在该处的斜率。

对于函数y=f(x)，其导数可以表示为f’(x)或dy/dx。

在求解切线斜率时，我们可以通过求解函数的导数来得到。

1.3 曲线切线方程的定义对于曲线上任意一点P(x0, y0)，其切线方程可以表示为：y - y0 = f’(x0)(x - x0)其中，f’(x0)表示函数f(x)在点P处的导数值。

二、求解曲线切线方程的步骤2.1 确定切点坐标首先，我们需要确定要求解切线的曲线上的某一点P(x0, y0)。

这个点可以是已知的特定坐标，也可以是通过其他方法获得。

2.2 求解导数值然后，我们需要计算函数f(x)在该点处的导数值f’(x0)。

根据函数的具体形式和性质，可以通过微积分中的各种求导法则来计算导数值。

2.3 利用切点和斜率写出切线方程最后，利用已知的切点坐标和导数值，将切线方程写成标准形式：y - y0 =f’(x0)(x - x0)。

三、曲线切线方程的应用举例3.1 求解直角坐标系下曲线的切线例如，我们要求解函数y = x^2在点P(2, 4)处的切线方程。

首先，计算函数在该点处的导数值。

对于函数y = x^2，其导数为f’(x) = 2x。

将x0 = 2代入导数公式，得到f’(2) = 4。