空间角及其计算(含解析)

第51讲 空间角及其计算

1.已知二面角α-l -β的大小为60°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成

的角是( B )

A ．30°

B ．60°

C ．90°

D ．120°

2.(2012·东北三省四市教研协作体第二次调研测)已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成的角的余弦值为( C ) A.1010 B.15

C.31010

D.35

解析：令AB ＝1，则AA 1＝2，连接A 1B .因为CD 1∥A 1B ，异面直线BE 与CD 1所成的角即A 1B 与BE 所成的角．

在△A 1BE 中，由余弦定理易得cos ∠A 1BE ＝31010

，故选C. 3.如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a ＝(0,2,1)，b ＝(2，5，5)，那么这条斜线与平面的夹角是( D )

A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

解析：cos θ＝a·b |a||b|＝32

，因此a 与b 的夹角为30°. 4.(2013·河北省普通高中质量检测)三棱锥P -ABC 的两侧面P AB 、PBC 都是边长为2a 的正三角形，AC ＝3a ，则二面角A -PB -C 的大小为( D )

A ．90°

B ．30°

C ．45°

D ．60°

解析：取PB 的中点为M ，连接AM ，CM ，则AM ⊥PB ，CM ⊥PB ，所以∠AMC 为二面角A -PB -C 的平面角．在等边△P AB 与等边△PBC 中知AM ＝CM ＝3a ，即△AMC 为正三角形，所以∠AMC ＝60°，故选D.

5.(2012·江西省吉安市二模)已知正六棱锥的底面边长为1，体积为32，其侧棱与底面所成的角等于 π3

. 解析：设正六棱锥的高为h ，侧棱与底面所成的角为θ，

则13×6×34×12×h ＝32

，解得h ＝3， 于是tan θ＝3，故θ＝π3

. 6.(2012·福建省福州市3月质检)已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( D )

A.32

B.12

C.33

D.36

解析：由题意知该三棱锥是正三棱锥，如图，故顶点S 在底面上的射影是底面正三角形

的中心O ，则AO ＝23×32＝33，所以cos ∠SAO ＝AO SO ＝332＝36

，故选D. 7.(2012·海南海口4月检测)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，二面角A -BD 1-B 1的大小为

120° .

解析：以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图．

设A (1,0,0)，则D 1(0,0,1)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，

则AC →＝(－1,1,0)为平面BB 1D 1的一个法向量，

设n ＝(x ，y ，z )为平面ABD 1的一个法向量，

则n ·AD 1→＝0，n ·AB →＝0，

又AD 1→＝(－1,0,1) ，AB →＝(0,1,0)，

所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋z ＝0y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧

z ＝x

y ＝0

， 令x ＝1，则z ＝1，所以n ＝(1,0,1)，

所以cos 〈AC →，n 〉＝AC →·n |AC →||n |＝－12×2＝－12， 所以〈AC →，n 〉＝120°，

故二面角A -BD 1-B 1的大小为120°. 8.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是正方形ADD 1A 1和ABCD 的中

心，G 是CC 1的中点．设GF 、C 1E

与AB 所成的角分别为α，β，求α＋β.

解析：建立空间直角坐标系如图．设正方体的棱长为2.

则B (2,0,0)，A (2,2,0)，G (0,0,1)，F (1,1,0)，C 1(0,0,2)，E (1,2,1)．

则BA →＝(0,2,0)，GF →＝(1,1，－1)，C 1E →＝(1,2，－1)，

所以cos 〈BA →，GF →〉＝13，cos 〈BA →，C 1E →〉＝23

， 所以cos α＝13，cos β＝23，sin β＝13

， 所以α＋β＝90°.

9.(2013·广东省高州市二模)已知△ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ，∠CBA ＝∠DBC ＝120°，求：

(1)直线AD 与平面BCD 所成角的大小；

(2)二面角A -BD -C 的余弦值．

解析：(1)如图，在平面ABC 内，过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，则AH ⊥平面DBC ， 所以∠ADH 即为直线AD 与平面BCD 所成的角，

由题设知△AHB ≌△AHD ，

则DH ⊥BH ，AH ＝DH ，所以∠ADH ＝45°.

所以直线AD 与平面BCD 所成的角为45°.

(2)过H 作HR ⊥BD ，垂足为R ，连接AR ，

则由AH ⊥平面BCD ，

所以AH ⊥BD ，AH ∩HR ＝H ，

所以BD ⊥平面AHR ，所以BD ⊥AR .

故∠ARH 为二面角A -BD -C 的平面角的补角，

设BC ＝a ，则由题设知，AH ＝DH ＝

32a ，BH ＝a 2

. 在△HDB 中，HR ＝

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a ， 所以tan ∠ARH ＝AH HR ＝2， 故二面角A -BD -C 的余弦值的大小为－

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