勾股定理及其逆定理(讲义)

勾股定理及其逆定理（讲义）

➢课前预习

1.请你回顾直角三角形的性质：

边：直角三角形斜边长______任意一条直角边长；

角：直角三角形两锐角_________；

2.请同学们计算并背诵下列数的平方：

112=_______，122=_______，132=_______，142=_______，152=_______，162=_______，172=_______，182=_______，192=_______．

3.想一想：如图是由边长为1的正方形组成的网格，直角三角形的顶点在网格

的格点上．分别以直角三角形的三边为边，向外作正方形，请你分别求出这三个正方形的面积S A，S B，S C，并思考S A，S B，S C之间的数量关系．

C

A

B

➢知识点睛

1.勾股定理：

如果用a，b和c

2.勾股定理的验证：

3. 勾股定理逆定理：

如果__________________________________________________． 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2形．

4. 勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．常见勾股数有

_____________；______________；________________；________________；________________；_________________．

5. 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条

件，那么这两个命题称为互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．

如果一个定理的逆命题是真命题，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理．

➢ 精讲精练

1. 一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）

A ．斜边长为25

B ．三角形的周长为25

C ．斜边长为5

D ．三角形的面积为20

2. 如图，在Rt △ABC 和Rt △ACF 中，BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，AF 长为

12cm ，则正方形CDEF 的面积为_________．

c c

图2

b a

b

a D C B A

A

B

C

D

E

F

3. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，分别以BC ，AB ，AC 为边向外作正方

形，面积分别记为S 1，S 2，S 3．若S 2=4，S 3=6，则S 1=___________．

C

B A S 1

S 2

S 3

4. 如图，已知Rt △ABC 的两直角边长分别为6和8，分别以其三边为直径作半

圆，则图中阴影部分的面积为___________．

8

6C B

A

5. 等面积法是几何中一种常见的证明方法，可以直观地推导或

验证公式，俗称“无字证明”．例如，著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较长的直角边长都为a ，较短的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c 2，

也可以表示为21

4()2

ab a b ⨯+-．由此推导出重要的勾股定

理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，那么

a 2

+b 2

=c 2

．图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．

图1

b D A

D B A

6. 如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b

的面积为______．

l

c

b

a

7. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，

已知正方形ABDE 的面积为100，BC 的长为8，则点E 到直线BC 的距离为_________．

8. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，若AB=13cm ，BD=5cm ，CD=9cm ，

求线段AD ，AC 的长．

9. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ）

A ．0.3，0.4，0.5

B ．7，12，15

C ．11，60，61

D ．9，40，41

10. 如图，在单位正方形组成的网格图中有AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中

E

D

C B A

A

B

C

D

E F G

H 能构成一个直角三角形三边的线段是（ ） A ．CD ，EF ，GH B ．AB ，EF ，GH C ．AB ，CD ，GH D ．AB ，CD ，EF

11. 若三角形的三边长分别是222122221n n n n n ++++，

，（n 为正整数），则三角形的最大内角等于_______度．

12. 三边长分别是15，36，39的三角形是_______三角形．

13. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三

角形，下列图形中正确的是（ ）

A ．

B ．

C ． 7

152024257

1520

24

25715

20

2425

2524

20

157

2524

20157

A ．

B ．

C ．

D ．

14.

一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直

角．工人师傅量得这个零件各边长如图2所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．

图2

图1