第一轮复习排列组合常见题型及解法

排列组合常见题型及解法排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口,实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。

一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。

二．处理排列组合应用题的规律（1）两种思路：直接法，间接法。

(2)两种途径：元素分析法，位置分析法。

1 重复排列“住店法”重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。

把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题。

例1 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）2. 特殊元素（位置）用优先法:把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），可优先将它（们）安排好，后再安排其它元素。

对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？例2（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）。

例3 5个“1”与2个“2”可以组成多少个不同的数列？3. 相邻问题用捆绑法:对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”“捆绑”为一个“大元素：与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。

例1. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？例2（1996年上海高考题）有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有____________种（结果用数字表示）。

4. 相离问题用插空法:元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。

例5（2003年北京春季高考题）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。

如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）A 6B 12C 15D 30例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？5. 定序(顺序一定)问题用除法:对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。

例1、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（）（用数字作答）。

例2. 由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？6. 多排问题用直排法:对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。

例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？7. 至少问题正难则反“排除法”:有些问题从正面考虑较为复杂而不易得出答案，这时，可以采用转化思想从问题的反面入手考虑，然后去掉不符合条件的方法种数往往会取得意想不到的效果。

在应用此法时要注意做到不重不漏。

例1.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（）A. 150种B. 147种C. 144种D. 141种8.先选后排“综合法”:“先选后排”是解排列组合问题的一个重要原则。

一般地，在排列组合综合问题中，我们总是先从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上。

例.对某产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止。

若所有次品恰好在第5次时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能？9.递推法例八一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？10．用转换法解排列组合问题例．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．例2：个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．例3.从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法．例4某城街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少．例5一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．例6求（a+b+c）10的展开式的项数．例7亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？11．错位排列问题:错位排列问题是一个古老的问题，最先由贝努利（Bernoulli）提出，其通常提法是：n个有序元素，全部改变其位置的排列数是多少？所以称之为“错位”问题。

例1．五个编号为1、2、3、4、5的小球放进5个编号为1、2、3、4、5的小盒里面，全错位排列（即1不放1，2不放2，3不放3，4不放4，5不放5，也就是说5个全部放错）一共有多少种放法？例2．五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？例3. 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有种12. 分球问题“隔板法”:常用于解决整数分解型排列、组合的问题。

例1.求方程x+y+z=10的正整数解的个数。

(即：10个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？)例1．求方程x+y+z=10 的非负整数解的个数。

例．将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。

例:为构建和谐社会出一份力，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添2个小品节目，则不同的排列方法有多少种？例.有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案？解：6个班，可用5个隔板，将10个名额并排成一排，名额之间有9个空，将5个隔板插入9个空，每一种插法，对应一种分配方案，故方案有：（种）13．分球入盒问题例32：将5个小球放到3个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法？①小球不同，盒子不同，盒子不空②小球不同，盒子不同，盒子可空③小球不同，盒子相同，盒子不空④小球不同，盒子相同，盒子可空⑤小球相同，盒子不同，盒子不空⑥小球相同，盒子不同，盒子可空⑦小球相同，盒子相同，盒子不空⑧小球相同，盒子相同，盒子可空例33、有4个不同的小球，放入4个不同的盒子内，球全部放入盒子内（1）共有几种放法？（答：44）（2）恰有1个空盒，有几种放法？（答：2344144C A=）（3）恰有1个盒子内有2个球，有几种放法？（答：同上2344144C A=）14．分组问题与分配问题①分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处理例22。

有9个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每组个数2，3，4。

上述问题各有多少种不同的分法？例23。

有9本不同的书：（1）分给甲2本，乙3本，丙4本；（2）分给三个人，分别得2本，3本，4本。

上述问题各有多少种不同的分法？例25（06湖南卷）某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 ( )A.16种B.36种C.42种D.60种15.合并单元格解决染色问题例7 （全国卷（文、理））如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）。

16、比赛计数问题根据比赛规则，比赛计数问题主要分为四类，每类比赛都有对应的解题方法，如下所示：注意：单循环赛，即任意两队打一场比赛，和顺序无关，所以是组合问题；双循环赛，即任意两个队打两场比赛，和顺序有关，所以是排列问题。

例1．100名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛，要产生男、女冠军各一名，则要安排单打赛多少场？（）A．90 B．95 C．98 D．100例2．足球世界杯决赛圈有32支球队参加，先平均分成八组，以单循环方式进行小组赛；每组前两名的球队再进行淘汰赛。

直到产生冠、亚、季军，总共需要安排（）场比赛。

A．48 B．63 C．64 D．6517.多元问题用分类法对于多个元素问题，有时有多种情况需要进行分类讨论，然后根据分类计数原理将各种可能性相加即得。

需要注意的是，分类时要不重复不遗漏。

例1 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄。

为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有____________种例2 有11名翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另2人英语、日语都精通。

从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作。

问这样的分配名单共可开出多少张？例3. 已知直线中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。

例4.将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？。